Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
47-son_4-to’plam_Iyun -2025
57
ISSN:3030-3621
KVADRAT TENGLAMALARNING DISKRIMINANT USULI ASOSIDA
ALGORITMIK YECHIMI: PYTHON DASTURLASH TILIDA AMALIY
MODEL
Shamsitdinova Gavxaroy Azmiddin qizi
NamDU Fizika-matematika fakulteti talabasi
E-mail:
shamsitdinovagavharoy2005@gmail.com
Usmanjanova Nigora Shuxratali qizi
NamDU Raqamli ta’lim
texnologiyalari kafedrasi o‘qituvchisi
E-mail:
nigorausmanjanova@gmail.com
Annotatsiya:
Ushbu maqolada kvadrat tenglamalarning diskriminant usuli
yordamida yechimini algoritmik yondashuv asosida amalga oshirish masalasi,
tenglama koeffitsiyentlari berilgan holda Python dasturlash tili yordamida yechimlarni
aniqlash algoritmi ishlab chiqilgan. Python dasturlash tilining matematik
imkoniyatlari, xususan, math kutubxonasi yordamida tenglama ildizlarini hisoblash
jarayoni batafsil yoritilgan.
Kalit so
‘
zlar:
Kvadrat tenglama, diskriminant usuli, Python dasturlash tili,
algoritmik modellashtirish, matematik tahlil, dasturiy yechim, math kutubxonasi.
Аннотация:
В данной статье рассматривается задача решения квадратных
уравнений дискриминантным методом на основе алгоритмического подхода, а
также
алгоритм
определения
решения
с
использованием
языка
программирования Python по заданным коэффициентам уравнения. Подробно
рассматриваются математические возможности языка программирования
Python, в частности, процесс вычисления корней уравнений с использованием
математической библиотеки.
Ключевые слова:
квадратное уравнение, дискриминантный метод, язык
программирования Python, алгоритмическое моделирование, математический
анализ, программное решение, математическая библиотека.
Annotation:
This article discusses the problem of solving quadratic equations
using the discriminant method based on an algorithmic approach, and an algorithm for
determining solutions using the Python programming language, given the coefficients
of the equation. The mathematical capabilities of the Python programming language,
in particular, the process of calculating the roots of the equation using the math library,
are described in detail.
Keywords:
Quadratic equation, discriminant method, Python programming
language, algorithmic modeling, mathematical analysis, software solution, math
library.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
47-son_4-to’plam_Iyun -2025
58
ISSN:3030-3621
Kirish.
Hozirgi kunda matematika va axborot texnologiyalari fanlari o‘rtasidagi
integratsiya nafaqat nazariy, balki amaliy ahamiyatga ham egadir. Dasturlash tillari
orqali matematik masalalarni yechish — o‘quvchilarning mantiqiy va algoritmik
fikrlashini rivojlantirishda muhim vositadir [5]. Xususan, kvadrat tenglamalarni
diskriminant usuli orqali dasturiy yechish algoritmi o‘quvchilarga nafaqat matematik
asoslarni, balki Python tilida real kod yozish ko‘nikmalarini ham shakllantirishga
xizmat qiladi [1,5]. Ushbu maqolada kvadrat tenglamalarni Python dasturlash tilida
amaliy model asosida yechish algoritmi ishlab chiqiladi va uni dasturiy jihatdan tahlil
qilish ko‘zda tutiladi.
Kvadrat tenglamalarning diskriminant usuli haqida ko‘rib chiqadigan bo‘lsak, u
algebra fanining ildizlari bilan bog‘liq bo‘lib, kvadrat tenglamaning yechimlari soni va
ularning turini aniqlashga xizmat qiladi [2]. Diskriminant formulasining kelib
chiqishini ko‘rib chiqaylik. Demak, kvadrat tenglamaning umumiy ko‘rinishi
𝑎𝑥
2
+
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
(a, b, c - koeffitsiyentlar,
a
≠ 0
) ga teng. Tenglamani soddalashtiramiz
ya’ni
a
ga bo’lib yuborsak
𝑥
2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
tenglikka ega bo‘lamiz. Tenglamaning
chap tomonidagi ifodani to‘liq kvadratga keltiramiz:
𝑥
2
+
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
, chap tomonga
to‘liq kvadrat ifoda qo‘shamiz va ayiramiz:
𝑥
2
+
𝑏
𝑎
𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
→
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏
2
−4𝑎𝑐
4𝑎
2
. Ildizlarni topish uchun kvadrat ildiz olamiz:
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏
2
−4𝑎𝑐
2𝑎
. Oxirgi tenglikdan x ni topamiz, buning uchun noma’lum ifodalar qatnashgan
ko‘phadlarni chap tomonga, qolgan ko‘phadlarni o‘ng tomonga olib o‘tib
soddalashtiramiz:
𝑥
1,2
=
−𝑏±√𝑏
2
−4𝑎𝑐
2𝑎
bu ifoda diskriminant usulida kvadrat
tenglamaning ildizlarini topish formulasi hisoblanadi. Diskriminantni o‘zi
D
harf bilan
belgilanadi va quyidagicha topiladi:
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐
. Bu formula bilan kvadrat tenglama
ildizlarini topish formulasini soddalashtiramiz.
𝑥
1,2
=
−𝑏±√𝑏
2
−4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥
1,2
=
−𝑏±√𝐷
2𝑎
ko‘rinishga ega bo‘lib qoladi. Diskriminant (
D
) qiymatiga qarab kvadrat tenglamaning
ildizlari 3 xil holatga bo‘linadi:
D>0 (Musbat)
– diskriminant musbat bo‘lsa, kvadrat tenglama ikki xil haqiqiy
ildizga ega bo‘ladi:
𝑥
1
=
−𝑏+√𝐷
2𝑎
,
𝑥
2
=
−𝑏+√𝐷
2𝑎
.
D=0 (Nol)
– diskriminant nolga teng bo‘lsa, tenglama bitta haqiqiy ildizga ega
bo‘ladi:
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
D<0 (Manfiy)
– diskriminant manfiy bo‘lsa, kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga
ega emas, faqat kompleks ildizlar mavjud bo‘ladi [3].
Bu holatlarning har biriga alohida masala va uning dasturini Python dasturlash tilida
ko‘rib chiqaylik.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
47-son_4-to’plam_Iyun -2025
59
ISSN:3030-3621
1-misol.
𝑥
2
− 5𝑥 + 6 = 0
kvadrat tenglama ildizlarini toping va dasturini tuzing [3].
Yechimi:
𝑥
2
− 5𝑥 + 6 = 0
; a = 1, b = -5, c = 6;
D ni topamiz:
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 = (−5)
2
− 4 ∗ 1 ∗ 6 = 25 − 24 = 1
;
D = 1 > 0 demak, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Ularni topsak:
𝑥
1
=
−𝑏+√𝐷
2𝑎
=
−(−5)+√1
2∗1
= 3
,
𝑥
2
=
−𝑏+√𝐷
2𝑎
=
−(−5)−√1
2∗1
= 2
Berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari
𝑥
1
= 3, 𝑥
2
= 2
ga teng ekan.
Masalani Python dasturlash tilida ishlash uchun quyidagi kodlarni kiritamiz:
Natija:
2 ta haqiqiy ildiz: x1 = 3.0, x2 = 2.0
2- misol.
𝑥
2
− 4𝑥 + 4 = 0
kvadrat tenglama ildizlarini toping va dasturini tuzing [3].
Yechimi:
𝑥
2
− 4𝑥 + 4 = 0
; a = 1, b = -4, c = 4;
D ni topamiz:
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 = (−4)
2
− 4 ∗ 1 ∗ 4 = 0
;
D = 0 demak, tenglama bitta ildizga ega. Uni quyidagicha topamiz:
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
47-son_4-to’plam_Iyun -2025
60
ISSN:3030-3621
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
= −
−4
2 ∗ 1
=
4
2
= 2
Berilgan kvadrat tenglamaning ildizi
x
= 2 ga teng ekan.
Masalani Python dasturlash tilida ishlash uchun quyidagi kodlarni kiritamiz:
Natija:
Bitta haqiqiy ildiz: x = 2
3-misol.
𝑥
2
+ 2𝑥 + 5 = 0
kvadrat tenglama ildizlarini toping va dasturini tuzing [4].
Yechimi:
𝑥
2
+ 2𝑥 + 5 = 0
, a = 1, b = 2, c = 5;
D ni topamiz:
= 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 = 2
2
− 4 ∗ 1 ∗ 5 = −16
;
D = -16, demak tenglamaning haqiqiy ildizlari mavjud emas.
Masalani Python dasturlash tilida ishlash uchun quyidagi kodlarni kiritamiz:
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
47-son_4-to’plam_Iyun -2025
61
ISSN:3030-3621
Xulosa
Kvadrat tenglamalarni yechish jarayonida diskriminant usuli eng sodda va
samarali algebraik yondashuvlardan biri hisoblanadi. Ushbu usul yordamida
tenglamaning ildizlar soni va ularning turi (haqiqiy yoki kompleks) aniqlanadi.
Diskriminant qiymatining ijobiy, nolga teng yoki manfiy bo‘lishi natijasida
tenglamaning ikki xil, bitta yoki kompleks ildizlari mavjudligi aniqlanadi. Algebraik
yechimlar orqali bu formulalar an’anaviy tarzda qo‘lda yechilsa, Python dasturlash tili
yordamida ular tez va avtomatlashtirilgan shaklda hisoblanishi mumkin. Shunday qilib,
matematik nazariya va dasturlash amaliyotini uyg‘unlashtirish orqali o‘quvchilar va
dasturchilar kvadrat tenglamalarni yechishda puxta va samarali yondashuvni
shakllantirishlari mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1.
A.A. Abdullayev, R.A. O‘rinboyev. Algebra: 8-sinf uchun darslik. – Toshkent:
O‘zbekiston nashriyoti, 2021.
2.
A.A. Abdullayev va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. – Toshkent: O‘qituvchi,
2019.
3.
I.R. Qodirov. Oliy matematika asoslari. – Toshkent: Fan, 2016.
4.
J.S. Sultonov. Kompleks sonlar haqida asosiy tushunchalar. – Samarqand:
Samarqand Davlat Universiteti nashriyoti, 2007.
5.
Z. Ziyodov, D. Shukurov. Python dasturlash asoslari. – Toshkent: Innovatsiya
nashriyoti, 2020.
