Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
48-son_1-to’plam_Iyul -2025
3
ISSN:3030-3621
RATSIONAL TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH METODIKASI
Mirzaazimova Aziza O‘tkir qizi
Jizzax viloyat Zomin tuman 1-son
Politexnikumi matematika o‘qituvchisi
Email:
Annotatsiya:
Mazkur maqolada ratsional tenglamalar tushunchasi, ularning
turlari va yechish usullari nazariy va metodik jihatdan yoritilgan. Tenglamalarni
o‘rganishda o‘quvchilarda mantiqiy fikrlashni rivojlantirish, yechim jarayonida
xatolardan saqlanish, taqqoslash, umumlashtirish ko‘nikmalarini shakllantirish muhim
ahamiyat kasb etishi alohida ta’kidlanadi. Shuningdek, ratsional tenglamalarni
yechishga oid o‘quvchilarga mo‘ljallangan metodik yondashuv ham ishlab chiqilgan.
Kalit so‘zlar:
ratsional tenglama, algebraik ifoda, umumiy maxraj, nolga
tenglashtirish, noaniqlik holati, o‘quv metodikasi, matematik kompetensiya.
Kirish:
Matematika fani zamonaviy ta’limda o‘quvchilarning mantiqiy,
algoritmik, tahliliy va tanqidiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantiruvchi asosiy
vositalardan biri hisoblanadi. Algebra bo‘limi esa bu jarayonda yetakchi o‘rin tutadi,
ayniqsa tenglamalarni yechish o‘quvchilarda sistematik yondashuvni, mantiqiy
izchillikni va muammoli vaziyatlarda mustaqil fikrlashni shakllantirishga xizmat
qiladi. Shular orasida ratsional tenglamalar alohida o‘rin egallaydi.
Ratsional tenglamalar — bu maxrajida algebraik ifoda mavjud bo‘lgan
tenglamalardir. Ularni o‘rganish orqali o‘quvchilar kasrli algebraik ifodalar bilan
ishlash, maxrajni nolga aylantiruvchi taqiqlangan qiymatlarni aniqlash, algebraik
ekvivalentlikni tahlil qilish, yechimlarni tekshirish kabi muhim bilim va ko‘nikmalarni
egallaydi. Bu tenglamalar ko‘pincha boshqa tenglama turlariga (masalan, irratsional
yoki logarifmik tenglamalar) tayyorgarlik bosqichi sifatida ham xizmat qiladi.
Afsuski, amaliyotda ratsional tenglamalarni o‘qitishda bir qancha metodik
xatoliklar va yuzaki yondashuvlar kuzatiladi. O‘quvchilar bu tenglamalarning mantiqiy
mohiyatini emas, faqat texnik amallarni eslab qolishga intiladi. Bu esa matematik
tafakkurning yuzaki shakllanishiga sabab bo‘ladi. Ayniqsa, maxrajni nolga
aylantiruvchi qiymatlarni e’tiborsiz qoldirish, yechimlarni tekshirmaslik, umumiy
maxrajga noto‘g‘ri ko‘paytirish kabi xatoliklar ko‘p uchraydi.
Shu boisdan ratsional tenglamalarni o‘rgatish jarayoni metodik jihatdan puxta
rejalashtirilishi zarur. O‘quvchilarning bilim darajasiga mos, bosqichma-bosqich va
tushunarli yondashuv orqali ularning mustaqil fikrlash, xatolarni tahlil qilish, mantiqiy
natijaga kelish qobiliyatini shakllantirish mumkin. Zamonaviy o‘quv metodikalar,
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
48-son_1-to’plam_Iyul -2025
4
ISSN:3030-3621
interfaol usullar, vizual ko‘rgazmalar, hayotiy misollar bu borada yuqori
samaradorlikni ta’minlaydi.
Asosiy qism:
Ratsional tenglamalar algebraning o‘rta bo‘g‘inlarida
o‘rganiladigan murakkabroq tenglama turlaridan biri bo‘lib, ular o‘zida kasrli
ifodalarni mujassamlashtiradi. Bu tenglamalarning yechilishi, boshqa tenglama
turlaridan farqli o‘laroq, qo‘shimcha ehtiyotkorlikni talab qiladi. Ayniqsa, ularda
ishtirok etuvchi algebraik ifodalarning maxrajlari o‘zgaruvchili bo‘lishi natijasida
ayrim qiymatlarda ifodaning mavjud emasligi holatlari yuzaga keladi. Bu esa
o‘quvchilarda mantiqiy ehtiyotkorlik, nazorat, tekshirish va xulosa chiqarish
ko‘nikmalarini shakllantirishda muhim vosita hisoblanadi.
Ratsional tenglamalar deganda tarkibida kasr ifodalar (ya’ni maxrajida
o‘zgaruvchili algebraik ifoda) mavjud bo‘lgan algebraik tenglamalar tushuniladi.
Bunday tenglamalarda tenglamaning o‘ng yoki chap tomonida yoki har ikkala
tomonida algebraik kasrlar ishtirok etadi. Ularning umumiy ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:
P(x)/Q(x)=R(x)/S(x) yoki A(x)/B(x)=C(x)
bu yerda P(x),Q(x),R(x),S(x) ko‘phadlar.
Mazkur tenglamalarning ishlov berish jarayonida har doim birinchi navbatda
ular mavjud bo‘lmagan qiymatlar aniqlanadi. Bu matematik jihatdan "aniqlik sohasi"
tushunchasiga olib boradi. Tushunarli qilib aytganda, kasrli ifodaning maxrajini nolga
aylantiruvchi sonlar ifodani ma'nosiz holga keltiradi, ya’ni bu holatda ifoda
aniqlanmagan bo‘ladi. Shuning uchun, ratsional tenglamani yechish jarayonida bu
holatlar alohida e’tiborga olinishi lozim.
O‘quvchilarning ko‘pchilik hollarda bu tenglamalarni oddiy algebraik
tenglamalar bilan aralashtirib yuborishi kuzatiladi. Chunki tenglama tashqi
ko‘rinishidan oddiy algebraik munosabatlarga o‘xshaydi. Biroq, bu tenglamalarda
ishtirok etuvchi har bir had, ayniqsa, kasrli hadlar, alohida e’tibor talab etadi. Ularni
umumiy shaklga keltirish, ya’ni umumiy maxraj topish yoki maxrajdan xalos bo‘lish –
muhim yechim bosqichlaridan biridir. Ammo bu jarayonda amalga oshiriladigan
harakatlar faqat texnik vosita sifatida emas, balki matematik mantiqqa asoslangan,
tafakkur talab qiladigan bosqich sifatida qaralishi lozim.
Ayni jihatdan qaralganda, o‘qituvchi dars jarayonida faqat algebraik
transformatsiyalarni o‘rgatibgina qolmay, balki ularning har birining asosiy ma’nosini
ochib berishi, harakatlarning nima uchun aynan shunday ketma-ketlikda amalga
oshirilayotganini o‘quvchiga tushuntirib borishi lozim. Shuningdek, masala
yechilganidan so‘ng topilgan sonlarning dastlabki ifoda tarkibidagi roli, ularni
tenglama maxrajini nolga aylantirish ehtimoli mavjudmi yoki yo‘qligini tekshirish
o‘quvchiga topshirilishi kerak. Bu orqali o‘quvchi tanqidiy fikrlashga, o‘z yechimlarini
tekshirishga va fikrlarining mantiqiy oqibatlarini ko‘ra olishga o‘rgatiladi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
48-son_1-to’plam_Iyul -2025
5
ISSN:3030-3621
Ratsional tenglamalar orqali o‘quvchilar mantiqiy muloqaza yuritish, tafakkuriy
bosqichlarni to‘g‘ri ketma-ketlikda bajara olish, ifodalar bilan erkin muomala qila olish
kabi qobiliyatlarni shakllantiradilar. Bu esa ularning kelgusidagi matematik faoliyatida
ham, boshqa fanlardagi yondashuvlarda ham zarur bo‘lgan ko‘nikmalarni
rivojlantiradi. Ayniqsa, fizikadagi formulalar, kimyodagi nisbatlar, iqtisodiy modellar
bilan ishlashda bu turdagi fikrlash juda katta ahamiyat kasb etadi.
Ta’lim jarayonida bu tenglamalarni o‘rganishdan maqsad faqat ularni yechishga
doir texnik amallarni egallash emas, balki o‘quvchining har bir bosqichda qaror qabul
qilishda tayanadigan mantiqiy asosi bo‘lishiga erishishdir. Agar o‘quvchi bu
tenglamalarni faqat formulaviy yechim orqali tushunsa, u natijaga erishgan bo‘lsa-da,
bilim mustahkamligi, moslashtirish qobiliyati va boshqa shakldagi tenglamalarga
nisbatan yondashuvi cheklangan bo‘lib qoladi. Shuning uchun o‘quvchi bilan
mashg‘ulotlarda har bir xatolikning sababi tahlil qilinishi, xatoni topish va uni
to‘g‘rilash o‘rgatilishi kerak.
O‘qituvchi uchun eng muhim masalalardan biri — ratsional tenglamalarni
o‘rganish jarayonini o‘quvchining tajribasiga yaqinlashtirish, ya’ni hayotiy
vaziyatlarga bog‘lab tushuntirishdir. Masalan, biror ishni bajarishdagi samaradorlik,
tezlik va vaqt orasidagi bog‘liqlik, suv oqimi va idish to‘lishi haqidagi masalalar, yoki
ikki odamning umumiy ish hajmi kabi holatlar ratsional tenglamalarning amaliy
ifodasidir. Bunday yondashuvlar orqali mavzu tushunarli, dolzarb va foydali
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Xulosa
: Ratsional tenglamalarni o‘rganish — o‘quvchilarning algebraik
bilimlarini chuqurlashtirish, analitik fikrlash salohiyatini shakllantirish, matematik
tafakkurini rivojlantirishda asosiy mavzulardan biridir. Ushbu tenglamalar ko‘rinishi
jihatdan oddiy algebraik tenglamalarga o‘xshash bo‘lsa-da, ularning yechimida
maxrajdagi cheklovlar, ifodaning aniqlik sohasi, yechimlarning nazorat qilinishi kabi
nozik jihatlar mavjud bo‘lib, aynan shu xususiyatlar mavzuning o‘quvchilarga chuqur
va puxta o‘rgatilishini talab etadi.
Mazkur tenglamalarni o‘qitishda faqat texnik usullarni o‘zlashtirish bilan
cheklanmasdan, ularni tahlil qilish, har bir yechim bosqichining mantiqiy asoslarini
tushuntirish, o‘quvchini mustaqil fikrlashga undash muhimdir. Ratsional tenglamalarni
o‘rgatish jarayoni o‘quvchining fikrlash madaniyatini, xatoni anglab uni bartaraf etish
qobiliyatini, sabab-oqibatli tahlilga asoslangan yondashuvini shakllantirishda beqiyos
rol o‘ynaydi. Ayniqsa, bu tenglamalar bilan ishlash orqali o‘quvchilar “nima uchun bu
amal bajarildi?”, “yechimning qaysi bosqichi asosli?”, “bu qiymat doim to‘g‘ri
bo‘ladimi?” kabi savollarni o‘ziga berib, mantiqiy mulohaza yuritishni o‘rganadi.
Ratsional tenglamalarni o‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalar,
interfaol usullar, real hayotiy vaziyatlarga asoslangan masalalardan foydalanish,
o‘quvchini faol ishtirok etishga chorlovchi topshiriqlar — bu mavzuni chuqur
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
48-son_1-to’plam_Iyul -2025
6
ISSN:3030-3621
o‘zlashtirishga xizmat qiladi. Bundan tashqari, o‘quvchilarning fikrlash darajasiga
qarab differensial yondashuv, tipik xatolar ustida ishlash, “topilgan yechimni
tekshirish” mexanizmini avtomatik malakaga aylantirish ham samarali ta’limiy
yondashuvlardandir. Xulosa qilib aytganda, ratsional tenglamalar mavzusi —
o‘quvchining matematik madaniyatini yuksaltirish, mustaqil, aniq, asosli va izchil
fikrlovchi shaxs sifatida shakllanishi uchun muhim o‘quv vositasi hisoblanadi. Shu
bois bu mavzuni o‘qitishda o‘zbek maktablari uchun ishlab chiqilgan an’anaviy dars
shakllari bilan bir qatorda ilg‘or metodikalar, interaktiv mashg‘ulotlar, ko‘rgazmali
materiallar va zamonaviy yondashuvlar uyg‘un holda qo‘llanilishi zarur.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Ahmadjonov A., Qosimov A.
Algebra va analiz asoslari
, I qism. Toshkent:
O‘zbekiston, 2018.
2.
G‘ulomov R., Sobirov U.
Algebra. O‘rta maktablar uchun darslik
, 9-sinf.
Toshkent: O‘qituvchi, 2020.
3.
Shukurov D., Usmonov M.
Matematika o‘qitish metodikasi
. Toshkent: TDPU,
2019.
4.
Vilenkin N.Ya.
Algebra va boshlang‘ich matematik tahlil
. Moskva:
Prosveshchenie, 2005.
5.
Polonskiy V.
Algebra: Teoriya i zadachi
. Moskva, 2011.
6.
Mavlonov M.
O‘rta maktablarda algebra o‘qitish metodikasi
, NamDU, 2022.
7.
Zubov Yu.A.
Matematika fanidan amaliy topshiriqlar
. Toshkent, 2004.
