Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
88
TO’LQIN TARQALISH TENGLAMASI UCHUN UMUMLASHGAN KOSHI
MASALASINI YECHISH
Tanirbergenov Muratbek Bazarbaevich
Qoraqalpoq davlat universiteti, dotsent,
tanirbergenovmuratbek384@gmail.com, +998913845097
Sobitov Sardorbek Oybek oʻgʻli
Qoraqalpoq davlat universiteti, 2-kurs magistranti
sobitovsardorbek0425@gmail.com, +998931200425
Annotatsiya:
ushbu maqolada to’lqin tarqalish tenglamasi uchun umumlashgan
Koshi masalasini yechish qaralgan. Maqolada boshlang’ich shartlar asosida Grin
funksiyasidan foydalanib umumiy shakldagi yechimlar topiladi va bir qancha misollar
orqali formulalarning amaliyotda qo’llanilishi ko’rsatiladi.
Annotation:
This article discusses the solution to the problem of expansion for
wave propagation analysis. Using the Green's function under the initial conditions,
solutions describing wave propagation are constructed, and through several examples,
the practical application of theoretical data and formulas is demonstrated.
Kalit so’zlar:
umumlashgan koshi masalasi; Grin funksiyasi; kechikuvchi
potensial; oddiy va qo’sh qatlam potensiallari; Lebeg teoremasi.
Keywords:
expansion for the Cauchy problem; Green's function; outgoing
potential; applicative and multilayer potentials; Lebegue's theorem.
Kirish
Matematik fizika tenglamalaridan biri bo’lgan to’lqin tarqalish tenglamasi
ko’plab texnik jarayonlarni modellashtirishda muhim ahamiyatga ega. Xususan,
elastik muhitda to’lqin tarqalishi, akustik va elektromagnit to’lqinlarning harakati, suv
to’lqinlarining harakati, geofizikada yer osti to’lqinlarining harakati va boshqa
jarayonlarni tasvirlashda foydalaniladi. To’lqin tarqalish tenglamasi uchun
umumlashgan Koshi masalasini tadqiq qilish esa bu masalalarning boshlang’ich
shartlar asosida keyinchalik qanday o’zgarishini ko’rish imkonini beradi. Bu
masalalarni tadqiq qilishda fransuz matematiklari Ogisten-Jean Fresnel, Jozef Fure va
bundan tashqari S. Sobolev, L. Shvarc, V. Vladimirov kabilarning ilmiy mehnatlari
katta ahamiyatga ega.
To’lqin tarqalish tenglamasi uchun quyidagi klassik Koshi masalasi berilgan
bo’lsin:
2
( , ),
a
tt
u
u
a
u
f x t
W
(1)
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
89
0
0
|
( ),
t
u
u x
0
1
|
( ).
t
t
u
u x
(2)
Bunda
a
W Dalamber оperatоri,
),
0
(
t
C
f
1
0
(
)
m
u
C
va
1
(
)
m
u
C
.
Aytaylik, (1)-(2) Kоshi masalasining klassik
)
,
(
t
x
u
yechimi mavjud bo’lsin,
ya’ni
2
1
(
0)
(
0)
u
C t
C t
sinfga tegishli bo’lgan,
0
t
qiymatlarda (1)
tenglamani,
0
t
da esa (2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya
aniqlangan.
Endi
u
va
f
funksiyalarni
0
t
yarim o’qda
,
0,
0,
0,
u
t
u
t
,
0,
0,
0
f
t
f
t
nol qilib davom ettiramiz. Keyin ( , )
u x t
funksiyaning
1
m
da quyidagi to’lqin
tarqalishi tenglamasining yechimi ekanligini ko’rsatamiz:
0
1
( , )
( )
( )
( )
( )
a
u
f x t
u x
t
u x
t
W
(3)
Haqiqatan ham,
1
( , )
(
)
m
x t
D
uchun quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
0
,
,
m
a
a
a
u
u
dt
u
dx
W
W
W
2
2
2
2
2
2
0
0
lim
lim
m
m
u
u
a
dxdt
a
u
dxdt
t
t
( , )
( , )
( , )
( , )
m
m
x
u x
u x
dx
x
dx
t
t
0
( ,0)
( ,0)
( ,0)
( ,0)
m
m
m
x
u x
f dxdt
u x
dx
x
dx
t
t
1
0
1
( ,0)
( )
( ) ( ,0)
m
m
m
x
f
dx dt
u x
dx
u x
x
dx
t
0
1
( , )
( )
( )
( )
( ), ( , ) .
f x t
u x
t
u x
t
t x
(3) tenglikda ( , )
u x t
funksiyasi uchun boshlang’ich shartlar bo’lgan
)
(
0
x
u
va
)
(
1
x
u
funksiyalari
0
t
vaqt momentida tez ta’sir qiluvchi
0
1
( )
( )
( )
( )
u x
t
u x
t
tashqi
ta’sir kuchiga aylanadi, ya’ni
)
(
0
x
u
boshlang’ich ta’sirga
0
( )
( )
u x
t
qo’sh qatlam,
)
(
1
x
u
ga esa
1
( )
( )
u x
t
oddiy qatlam mos keladi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
90
Shu bilan birga (1)-(2) klassik Kоshi masalasining yechimlari
0
t
qiymatlarda
nolga aylanadigan yechimlarga ega bo’ladigan (3) umumlashgan Koshi masalasining
yechimlari orasida bo’ladi. U holda tashqi ta’sir kuchini umumlashgan funksiya deb
hisoblab
0
1
( , )
( , )
( )
( )
( )
( )
F x t
f x t
u x
t
u x
t
belgilash kiritamiz.
1-ta’rif [1, 2, 3].
Quyidagi ko’rinishdagi bir jinsli bo’lmagan to’lqin
tenglamasini
2
( , ),
a
tt
u
u
a
u
F x t
W
1
(
)
m
F
D
(4)
qanoatlantiruvchi
va
0
t
oraliqda
nolga
aylanuvchi
1
( , )
(
)
m
u x t
D
umumlashgan funksiyani topish masalasiga umumlashgan Koshi masalasi deb ataladi.
(4) tenglama
1
(
)
m
D
fazosida quyidagi tenglikka teng kuchli, ya’ni
1
(
)
m
D
uchun
,
,
.
a
u
F
W
(5)
(4) tenglamadan
F
funksiyasi
0
t
oraliqda nolga aylanuvchi umumlashgan Koshi
masalasi yechimga ega bo’lishining zaruriy sharti bo’ladi. Keyingi tasdiqlar ushbu
shartning yetarli ekanligini ham oydinlashtiradi.
Eslatma [1, 2, 3].
Biz (3) ni keltirib chiqarishda,
2
1
(
0)
(
0)
u
C t
C t
sinfga
tegishli va
0
t
oraliqda nolga aylanuvchi, Dalamber operatorining ta’siri
(
0)
a
u
C t
W
sinfga tegishli bo’lgan ixtiyoriy
)
,
(
t
x
u
funksiya uchun bajariluvchi
quyidagi tenglikni ko’rsatdik:
( , )
( ,0 )
( )
( ,0 )
( ).
a
a
t
u
u x t
u x
t
u x
t
W
W
(6)
1-teоrema [1, 2, 3].
1
( , )
(
)
m
F x t
D
umumlashgan funksiyasi
0
t
oraliqda
0
)
,
(
t
x
F
,
( , )
m
x t
E
Dalamber operatorining Grin funksiyasi bo’lsin. U holda (4)
umumlashgan Koshi masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi kechikuvchi
potensial ko’rinishida aniqlanadi:
.
m
u
F
E
(7)
Bu yechim
D
fazosida
F
funksiyalarga bog’liq bo’lmaydi.
1-natija [1, 2, 3].
2
1
(
0)
(
0)
u
C t
C t
sinfga tegishli va
0
t
oraliqda
nolga aylanuvchi Dalamber operatorining ta’siri esa
(
0)
a
u
C t
W
sinfga tegishli
bo’lgan ixtiyoriy
)
,
(
t
x
u
funksiyasi quyidagi ko’rinishda ifodalanadi:
(0)
(1)
( , )
( , )
( , )
( , )
m
m
m
u x t
V
x t
V
x t
V
x t
. (8)
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
91
Bunda
)
,
(
t
x
V
m
zichligi
a
u
W
ga teng bo’lgan kechikuvchi potensial,
(0)
( , )
m
V
x t
va
(1)
( , )
m
V
x t
lar esa zichliklari mos ravishda
( , 0)
t
u x
va ( , 0)
u x
ga teng bo’lgan oddiy
va qo’sh qatlam potensiallari, ya’ni
( , )
( , )
( , ),
m
m
V
x t
x t
f x t
E
(0)
1
1
( , )
( , ) [
( )
( )]
( , )
( ),
m
m
m
V
x t
x t
u x
t
x t
u x
E
E
(1)
0
0
( , )
( , ) [
( )
( )]
( , )
( ) .
m
m
m
V
x t
x t
u x
t
x t
u x
t
E
E
Bunda
)
,
(
t
x
u
funksiyasi (6) tenglamani qanoatlantirgani uchun 1-teоrema ga
ko’ra bu funksiya kechikuvchi potensiallar uchligining (8) ko’rinishdagi yig’indisi
sifatida aniqlanadi.
1-misol.
Ushbu berilganlar bo’yicha umumlashgan Koshi masalasini yechishni
qaraymiz:
0
( , )
( )sin
(
),
f x t
t
t
x
x
0
( )
0,
u x
1
( )
( )
u x
x
x
ya’ni
0
0
0
( )sin
(
),
|
0,
|
( ).
tt
xx
t
t
t
u
u
t
t
x
x
u
u
x
x
Yechish.
Bunda
(0)
( , ),
V
x t
(1)
( , )
V
x t
oddiy va qo’sh qatlam potensiallari mos
ravishda quyidagicha aniqlanadi:
(0)
1
0
( , )
( , ) [ ( )
( )]
0,
V
x t
x t
t u x
E
(
( )
( ))
(1)
1
1
( , )
( , ) [ ( )
( )]
( , ) [ ( )
( )]
x
x
x
V
x t
x t
t
x
x
x t
t
x
E
E
1
1
( , )
(
| |).
2
x t
at
x
a
E
U holda bundan kechikuvchi potensial quyidagicha aniqlanadi:
0
(3 )
2
1
0
( , )
( , ) [
( )sin
(
)]
V x t
x t
t
t
x
x
E
0
0
|
|
(3 )
2
0
0
1
(
|
|)
( ) sin
2
x
x
t
a
at
x
x
d
a
0
0
1
|
|
(
|
|) 1 cos
.
2
x
x
at
x
x
t
a
a
Shunday qilib, nerilgan boshlang’ich shartlarda to’lqin tarqalishi tenglamasi
uchun umumlashgan Koshi masalasining yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
92
0
0
1
|
|
1
( , )
(
|
|) 1 cos
(
| |).
2
2
x
x
u x t
at
x
x
t
at
x
a
a
a
2-misol [4].
Quyidagi Koshi masalasining yechimini toping:
1.
1
0
0
,
0,
,
|
sin ,
|
cos .
x
tt
xx
t
t
t
u
u
e
t
x
u
x
u
x
x
Yechish.
Bu misolda umumlashgan Koshi masalasi:
( )
( ) sin
( ) (
cos ),
x
tt
xx
u
u
t e
t
x
t
x
x
1
1
( , )
(
| |),
2
x t
at
x
a
E
1)
1
1
( , ) [ ( ) (
cos )]
( , ) (
cos )
x t
t
x
x
x t
x
x
E
E
1
1
1
1
(
, ) (
cos )
(
|
|) (
cos )
2
x
t
d
t
x
d
E
2
1
1
(
cos )
sin
sin cos ;
2
2
2
x
t
x
t
x
t
x
t
d
xt
t
x
2)
1
1
( , )
( , ) [ ( ) sin ]
sin
x t
x t
t
x
x
t
E
E
1
1
( (
| |)) sin
(
| |) sin
2
2
t
x
x
t
x
x
t
1
[ ( ) (
)
( ) (
)] sin
2
t
t
x
t
t
x
x
1
1
( ) (
) sin
( ) (
) sin
2
2
t
t
x
x
t
t
x
x
( )
sin
(
(
))
sin
(
(
))
2
t
x
t d
x
t d
( )
[sin(
)
sin(
)]
( )sin cos ;
2
t
x
t
x
t
t
x
t
3)
1
1
( , ) [ ( )
]
( )
(
,
)
x
x t
t
e
e
x
t
d d
E
E
1
( )
(
|
|)
2
e
t
x
d d
|
|
0
|
|
0
(
)
(
)
(
).
t
x
x
t
t
t
x
t
x
t
x
t
(
)
(
)
(
)
0
(
)
0
1
1
2
2
t
x
t
t
x
t
x
t
x
t
d
e d
e
e
d
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
93
1
1
(1 ch ).
2
2
t
t
x
x
t
x
x
t
x
x
e
e
e
e
e
e
e
e
t
Demak, yakuniy javob quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
( , )
sin(
)
(1 ch ).
x
u x t
xt
x t
e
t
3-msol [4].
0,
t
1
x
o’zgaruvchilarida quyidagi tashqi ta’sir kuch
manbayiga ega bo’lgan to’lqin tarqalish tenglamasi uchun umumlashgan koshi
masalasini yeching:
2
2
2
2
( ) ( )
(
)
,
x
t
u t,x
t
x
t
1.
a
Yechish.
Ushbu shartlardagi to’lqin tarqalish tenglamasining Grin funksiyasi
(
1)
1
1
1
1
1
( , )
(
| |)
(
| |),
supp
| | ,
2
2
( , )
( , )
a
a
x t
at
x
t
x
t
x
a
x t
x t
E
E
E
W
tashqi kuch funksiyasi va uning tashuvchisi esa
( ) ( )
( , )
,
x
t
F x t
t
supp
0,
0
F
t
x
.
Yuqorida keltirilgan natijalar bo’yicha
( ) ( )
tt
xx
x
t
u
u
t
Kоshi masalasining yechimi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
1
1
( ) ( )
( , )
( , )
( , )
( , )
(
| |)
2
x
t
u x t
V x t
x t
F t x
t
x
t
E
.
Bunda
1
supp
0,
0
| |
| | .
F
t
x
t
x
t
x
E
Endi berilgan masalani yechish uchun to’lqin tarqalish operatorining Grin
funksiyasi va tashqi kuch funksiyasining umumlashgan o’ramasini ta’rif bo’yicha
hisoblaymiz, ya’ni
2
( , )
(
)
t x
S
asosiy va ixtiyoriy
1
kesim
2
1
( , )
(
)
t x
D
funksiyalari uchun
1
1
1
,
lim
( , ),
,
( , ), (
,
)
R
t
x
F
F t x
y
t
x
y
R R
E
E
1
0
| |
1
lim
, 0
(
, )
.
2
R
y
dt
t
t
y d dy
R
t
Keyin limitga o’tish amalini integral belgisi ostiga kiritish uchun chegaralangan
yaqinlashuvchilik haqidagi Lebeg teoremasi shartlarini tekshirib ko’ramiz:
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
94
Ushbu shartlarni keltirib chiqarish uchun
( , )
t x
ning asosiy funksiya ekanligidan
foydalanamiz, ya’ni
1
2 3
0 :
0,
| ( , ) |
.
(1
)
C
C
t
z
t x
t
Bundan
0,
t
|
|
y
uchun
2 3
2
2 2
| (
, ) |
.
[1 (
) ]
(1
)(1
)
C
C
t
x
t
t
Shu bilan birga kesim funksiya uchun quyidagi tasdiqlar o’rinli bo’ladi. Yetarli
darajada katta
R
va
0
t
,
1
x
uchun
1
lim
,
1
R
t
x
R R
va
1
kesim
2
1
( , )
(
)
t x
D
uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan, ya’ni
0 :
M
0,
t
1
x
1
|
( , ) |
t x
M
.
Bundan integral belgisi ostidagi funksiya absolyut integrallanuvchi bo’ladi, ya’ni
1
1
2 2
2
0
1
, 0
(
, )
|
|
(1
)
(1
)
t
t
M
C
t
y
L
y
R
t
t
t
.
Demak, ushbu shartlarda chegaralangan yaqinlashuvchilik haqidagi Lebeg
teoremasi shratlari o’rinli bo’lib, biz limitga o’tish amalini integral belgisi ostiga
kiritishimiz mumkin bo’ladi. Keyingi hisoblashlar
R
ga bog’liq bo’lmagan o’rama
ifodasi bilan bog’liq bo’ladi, ya’ni
(
)
1
0
|
|
1
,
(
, )
2
t
y
dt
F
t
y d dy
t
E
|
|
0
|
|
|
|
0
1
1
( , )
( , )
2
2
y
t
y
y
dt
dt
y d dy
y d dy
t
t
|
|
|
|
( , )
|
| (
|
|), ( , ) .
y
y
y d dy
t
x
t
x
t x
Shunday qilib
1
( ) ( )
( , )
(
|
|)
|
| (
|
|).
2
x
t
u x t
t
x
t
x
t
x
t
Xulosa
Ushbu maqolada to’lqin tarqalishi tenglamasi uchun Koshi masalasi uchun
umumlashgan yechimlarni topish masalasi qaraldi. Maqolada beilgan nazariy
ma’lumotlar asosida bir qancha misollar ko’rib chiqildi va ular matematik fizika
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
46-son_1-to’plam_Iyun -2025
ISSN:3030-3621
95
masalalarini umumlashgan funksiyalar nazariyasi yordamida yechishga asos bo’lib
xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва,
«Наука»,
1976 г., 528 с.
2.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.
Москва, «Наука», 1979 г., 320 с.
3.
Ш.Ғ. Қосимов, Т.Н. Алиқулов, Ш. Қ. Отаев, Ғ.С. Хаитбоев, М.М.
Бабаев. Математик физиканинг замонавий усуллари. 2–том. Тошкент,
“Университет” нашриёти, 2016 й., 396 б.
4.
В.С. Владимирова, Москва, ФИЗМАТЛИТ, Сборник задач по
уравнениям математической физики // Под редакцией, 2001., 141-
146 c.
