Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
45-son_1-to’plam_May -2025
75
ISSN:3030-3621
CHIZIQLI PROGRAMMALASHTIRISH MASALALARI
Quljanov Jaxongir Baxtiyorovich,
SamISI, Oliy matematika
kafedrasi o’qituvchisi, PhD,
Usmonova Rushana
Samarqand iqtisodiyot va
servis instituti talabasi,
Davronov Sherozbek
Samarqand iqtisodiyot va
servis instituti talabasi
Annotatsiya
Mazkur maqolada chiziqli programmalashtirish masalalarining yechimlari va
ularning asosiy xossalari tahlil qilinadi. Dastlab chiziqli programmalashtirishning
nazariy asosi, maqsad funksiyasi va cheklovlar tizimi ko‘rib chiqiladi. Keyinchalik bu
masalalarning yechimlarini topish usullari, xususan grafik usul, simplex algoritmi va
dual masala yondashuvi misollar orqali bayon qilinadi. Shuningdek, yechimlarning
mavjudligi, unikumligi, chegaraviy va optimal nuqtalar kabi xossalarga doir amaliy
misollar
asosida
tahliliy
yondashuvlar
keltiriladi.
Maqolada
chiziqli
programmalashtirish usullarining iqtisodiyot, logistika va resurslarni taqsimlash kabi
real sohalardagi qo‘llanilishi ham ko‘rsatib o‘tiladi. Ushbu ish talabalarga,
o‘qituvchilarga hamda amaliy matematikaga qiziquvchi mutaxassislarga foydali
bo‘lishi mumkin.
Kalit so‘zlar:
chiziqli programmalashtirish, maqsad funksiyasi, cheklovlar
tizimi, simplex usuli, optimal yechim, dual masala, grafik usul, resurslarni taqsimlash,
amaliy matematika, matematik modellashtirish.
Kirish
Bugungi kunda matematik modellashtirish va optimallashtirish usullari turli
sohalarda muhim ahamiyat kasb etmoqda. Ayniqsa, resurslarni samarali taqsimlash,
ishlab chiqarish jarayonlarini rejalashtirish, logistika yo‘nalishlarini aniqlash va
iqtisodiy tahlil qilishda
chiziqli programmalashtirish (CHP)
muhim vosita sifatida
keng qo‘llanilmoqda. CHP masalalari — bu maqsad funksiyasini (odatda daromadni
maksimal yoki xarajatni minimal qilish) cheklovlar tizimi ostida optimallashtirish
masalalaridir.
Chiziqli programmalashtirish masalalarining yechimlari nafaqat optimal natijani
topish, balki ushbu yechimning mavjudligi, unikumligi (yagona yechim borligi),
chegaraviy nuqtalarda joylashganligi kabi muhim xossalarni ham o‘z ichiga oladi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
45-son_1-to’plam_May -2025
76
ISSN:3030-3621
Ayniqsa, har bir yechimning iqtisodiy yoki amaliy mazmuni mavjud bo‘lib, bu CHP
usullarini real hayot muammolarini hal etishda samarali qo‘llash imkonini beradi.
Ushbu maqolada CHP masalalarining matematik tuzilishi, yechimlarini topish usullari
(grafik usul, simplex algoritmi, dual yondashuv) va ularning xossalari tizimli tarzda
ko‘rib chiqiladi. Shuningdek, ba’zi amaliy masalalar yechimi orqali bu xossalarning
qanday namoyon bo‘lishi tahlil qilinadi. Maqolaning maqsadi — chiziqli
programmalashtirish nazariyasining asosiy tushunchalarini yoritish va ularni amaliy
masalalar yechish orqali mustahkamlashdir.
Bugungi raqamli iqtisodiyot sharoitida qarorlar qabul qilish jarayonida optimal
natijaga erishish dolzarb masalalardan biridir. Ayniqsa, ishlab chiqarish, logistika,
moliyaviy rejalashtirish va boshqa ko‘plab sohalarda resurslardan oqilona foydalanish,
xarajatlarni kamaytirish va daromadni ko‘paytirish uchun matematik modellashtirish
usullariga ehtiyoj ortib bormoqda. Bu yerda chiziqli programmalashtirish — ya’ni
ma’lum cheklovlar doirasida chiziqli bogʻlanishlarga asoslangan optimallashtirish
muammosi — muhim o‘rin tutadi. Chiziqli programmalashtirish masalasi matematik
modellashtirishning eng oddiy, biroq amaliy jihatdan eng keng qo‘llaniladigan
turlaridan biri bo‘lib, u ko‘p omilli qarorlar qabul qilishda aniq va ishonchli yechimlar
topishga xizmat qiladi. Chiziqli programmalashtirish masalasi (CHPM) quyidagicha
ifodalanadi: berilgan chiziqli maqsad funktsiyasini maksimal yoki minimal qilish talab
etiladi, bunda qaror o‘zgaruvchilari bir qator chiziqli tengsizlik (yoki tenglik)
cheklovlariga bo‘ysunadi. Masalan, quyidagi ko‘rinishdagi masala odatiy CHPM
modeli hisoblanadi:
.
.....
....
.....
....
.....
......
....
.....
.....
....
.....
.....
....
....
.....
.....
......
.....
....
,
....
,
....
2
2
1
1
2
2
2
22
1
12
1
1
2
21
1
11
n
m
mn
n
n
m
m
m
m
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra hamma noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi
kerak, ya’ni
0
i
x
).
,
1
(
m
i
Bu matematik modelni ishlab chiqish jarayoni quyidagi bosqichlarni o‘z ichiga
oladi: muammoni aniq ifodalash, o‘zgaruvchilarni tanlash, maqsad funktsiyasini
aniqlash, cheklovlarni belgilash va ularni chiziqli ko‘rinishga keltirish. Ushbu
strukturaviy yondashuv CHPMning universal qo‘llanish imkonini beradi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
45-son_1-to’plam_May -2025
77
ISSN:3030-3621
Chiziqli programmalashtirish masalalarini yechish uchun eng ko‘p tarqalgan
metod bu — Simpleks usuli hisoblanadi. Bu usul 1947 yilda Jorj Dantzig tomonidan
ishlab chiqilgan bo‘lib, u burchak nuqtalari orqali optimal yechim izlaydi. Simpleks
algoritmi boshlang‘ich asosiy burchak nuqtasidan boshlab, har bir bosqichda maqsad
funksiyasini yaxshilovchi yo‘nalishda harakat qiladi. Har bir qadamda yangi burchak
nuqta (asosiy yechim) hosil qilinadi va bu jarayon optimal natija topilguncha davom
etadi. CHPMda yechimlar to‘plami odatda chegaralangan (yoki chegaralanmagan)
konveks ko‘pyoqlik (polyhedron) ko‘rinishida bo‘ladi. Bu degani, yechimlar fazosida
barcha nuqtalar chiziqli kombinatsiyalar asosida bog‘langan bo‘lib, har qanday ikki
yechim orasidagi to‘g‘ri chiziq ham yechim bo‘lib qoladi. Bu xususiyat chiziqli
programmalashtirishni boshqaruv va qaror qabul qilish tizimlarida qulay vositaga
aylantiradi. Optimal yechim esa odatda bu ko‘pyoqlikning ekstremal nuqtalaridan
birida joylashadi.
Chiziqli programmalashtirish masalalarida yechimlarning mavjudligi, yagona
yoki ko‘p bo‘lishi masalaning tuzilishiga bog‘liq. Agar yechimlar to‘plami bo‘sh
bo‘lsa (ya’ni cheklovlar bir-biriga zid bo‘lsa), unda masala yechimga ega emas.
Boshqa tomondan, agar maqsad funksiyasi to‘g‘ri chegaralanmagan yo‘nalishda o‘sib
borayotgan bo‘lsa, unda optimal yechim mavjud bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holatlar
CHPMda nazariy tahlil qilishni talab qiladi. Bundan tashqari, chiziqli
programmalashtirishning dual masalasi ham mavjud bo‘lib, u asl masala bilan o‘zaro
chuqur bog‘langan. Dual masala orqali resurslarning narxlari, ya’ni har bir cheklovning
qiymatini aniqlash mumkin. Dual masala yordamida CHPMni iqtisodiy tahlil qilish,
resurslarni samarali taqsimlash va baholash mumkin.
Masalan, qishloq xo‘jaligi sohasida fermer xo‘jaligi uchun optimal ekin
maydonini aniqlash CHPM orqali amalga oshiriladi. Bu yerda maqsad funktsiyasi —
daromadni maksimal qilish, cheklovlar esa yer maydoni, ishchi kuchi, suv resurslari va
boshqa omillar bilan bog‘liq bo‘ladi. Boshqa misol sifatida sanoatda mahsulotni
minimal xarajat bilan ishlab chiqarish, marketingda reklama byudjetini optimal
taqsimlash, moliyada investitsiya portfelini muvozanatlash kabi masalalarni keltirish
mumkin.
Zamonaviy chiziqli programmalashtirish masalalari uchun kompyuter dasturlari
— LINDO, MATLAB, Excel Solver, Python’da PuLP kutubxonasi kabi vositalar keng
qo‘llaniladi. Ushbu vositalar murakkab modellarda ham tezkor va aniq yechimlar
topish imkonini beradi. Ayniqsa, Python’dagi PuLP yoki SciPy modullari orqali
murakkab sanoat va iqtisodiy modellarni ishlab chiqish mumkin. Shuni alohida
ta’kidlash lozimki, CHPM orqali nafaqat optimal natijaga erishish, balki qaror qabul
qilish jarayonini tizimli, asosli va tahliliy tarzda tashkil etish mumkin. Bu usul bevosita
amaliyotga yo‘naltirilgan bo‘lib, raqobatbardosh iqtisodiy muhitda samarali boshqaruv
vositasi sifatida xizmat qilmoqda.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
45-son_1-to’plam_May -2025
78
ISSN:3030-3621
Xulosa qilib aytganda, chiziqli programmalashtirish masalasi nafaqat nazariy
ahamiyatga, balki chuqur amaliy ahamiyatga ham ega. Har qanday sohada resurslardan
samarali foydalanish, optimal strategiya tanlash va iqtisodiy samaradorlikni oshirish
CHPM orqali amalga oshiriladi. Bu yo‘nalishda ilmiy izlanishlar, algoritmlar va
texnologik yondashuvlar yanada kengayib bormoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Qodirov, M. M., Bozorov, S. S. (2020).
Operatsiyalar tadqiqi va chiziqli
programmalashtirish asoslari
. Toshkent: Iqtisod-Moliya nashriyoti.
2.
Turaev, A. A. (2019).
Optimallashtirish usullari
. Toshkent: Oliy ta’lim
muassasalari uchun darslik.
3.
Dantzig, G. B. (1963).
Linear programming and extensions
. Princeton
University press.
4.
Hillier, F. S., Lieberman, G. J. (2014).
Introduction to operations research
(10th
ed.). McGraw-Hill education.
5.
Hasanov, U. U., Rahimov, T. A. (2021).
Iqtisodiy modellashtirish va dasturlash
asoslari
. Toshkent: Fan va texnologiya.
6.
PuLP Documentation – Python linear programming API. (2023). Retrieved from
https://coin-or.github.io/pulp/
7.
Khachiyan, L. G. (1979). “A polynomial algorithm in linear programming”.
191–194.
8.
Sultonova, D. S. (2022). “Chiziqli programmalashtirishning iqtisodiy
masalalardagi qoʻllanilishi”.
Ilmiy-amaliy konferensiya materiallari
, Fargʻona
davlat universiteti, 2(1), 45–49.
9.
Gulomov, M., Tadjibayeva, G. (2018).
Matematik modellashtirish asoslari
.
Toshkent: Innovatsiya.
