Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
181
MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA KOMBINATORIKANING ASOSIY
QOIDASI MAVZUSINI O’QITISHNING O’ZIGA XOS XUSUSIYATLARI
BOZOROVA LAYLO NASILLOYEVNA
Buxoro shashar 38-umumiy o‘rta ta’lim maktabi
Boshlang‘ich ta’lim fani o‘qituvchisi
Annotatsiya:
Ushbu maqolada umumta’lim maktablarida matematika fanining
“Kombinatorikaning asosiy qoidasi’’mavzusini o’qitishning o’ziga xos xususiyatlari
bo’yicha fikr mulohazalar yuritilgan. Dars jarayonida foydalanish mumkin bo’lgan
interfaol usullardan “Qo’shningni top’’ o’yini hamda “O’yla izla top’’ usullaridan
namunalar keltirilgan.
Kalit so’zlar:
matematika, kombinatorika, qoida, dars jarayoni, interfaol
usullar, o’rin almashtirish, guruhlash.
1. Kirish.
Zamonaviy ta’limni tashkil etishga qo’yiladigan muhim talablardan
biri ortiqcha ruhiy va jismoniy kuch sarf etmay, qisqa vaqt ichida yuksak natijalarga
erishishdir. Qisqa vaqt orasida muayyan nazariy bilimlarni o’quvchilarga yetkazib
berish,ularda ma’lum faoliyat yuzasidan ko’nikma va malakalarni hosil
qilish,shuningdek o’quvchilar faoliyatini nazorat qilish, ular tomonidan egallangan
bilim, ko’nikma va malakalar darajasini baholash o’qituvchidan yuksak pedagogik
mahorat hamda ta’lim jarayoniga nisbatan yangicha yondashuvni talab etadi.
Ta’limda pedagogik texnologiyalarning asosiy maqsadi o’qitish tizimida
o’quvchini dars jarayonining markaziga olib chiqish,o’quvchilarni o’quv materiallarini
shunchaki yod olishdan, avtomatik tarzda takrorlashlaridan uzoqlashtirib, mustaqil va
ijodiy faoliyatini rivojlantirish ,darsning faol ishtirokchisiga aylantirishdir.Shundagina
o’quvchilar muhim hayotiy yutuq va muammolar,o’tiladigan mavzularning
amaliyotga tadbiqi bo’yicha o’z fikriga ega bo’ladi,o’z nuqtai nazarini asoslab bera
oladi.
Pedagogik texnologiya o’z mohiyatiga ko’ra sub’ektiv xususiyatga ega. Qanday
shakl, metod va vositalar yordamida tashkil etilishidan qat’iy nazar texnologiyalar:
- pedagogik faoliyat samaradorligini oshirish; o’qituvchi o’rtasida o’zaro
hamkorlikni qaror toptirishi;
- o’quvchilar tomonidan o’quv predmetlari bo’yicha puxta bilimlarning
egallanishini ta’minlashi;o’quvchilarda mustaqil, erkin va ijodiy fikrlash
ko’nikmalarini shaklllantirish;
- o’quvchilarning o’z imkoniyatlarini ro’yobga chiqara olishlari uchun zarur
shart-sharoitlarni yaratishi;
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
182
- pedagogik jarayonda demokratik va insonparvarlik g’oyalarining ustuvorligiga
erishishni kafolatlashi zarur.
Hozirgi yangi metodlarni yoki innovatsiyalarni ta’lim jarayoniga tatbiq etish
haqida gap borganda interfaol usullarining o’quv jarayoniga qo’llanilishi tushuniladi.
Interfaollik bu o’zaro ikki kishi faolligi ya’ni o’quv-biluv jarayoni o’zaro suhbat
tariqasida dialog shaklida (kompyuter aloqasi) yoki o’quvchi –o’qituvchining o’zaro
muloqoti asosida kechadi. Interfaollik-o’zaro faollik, harakat, ta’sirchanlik, u o’quvchi
va o’qituvchi muloqotlarida sodir bo’ladi. Interfaol usulning bosh maqsadi o’quv
jarayoni uchun eng qulay vaziyat yaratish orqali o’quvchining faol, erkin fikr
yuritishiga muhit yaratishdir.
Ushbu maqolada umumta’lim maktablarining Matematika kursidan ma’lum
bo’lgan “Kombinatorikaning asosiy xossasi’’ mavzusini o’qitish bo’yicha ayrim
mulohazalar keltiriladi va uslubiy ko’rsatmalar beriladi.
2. Asosiy qism
. Bizga maktab matematika kursidan yaxshi ma’lumki,
,,Kombinatorikaning asosiy qoidasi’’mavzusi ,,Algebraik kasrlar’’ mavzusidan keyin
keladigan mavzu bo’lib, o’quvchi kasrlarni umumiy maxrajga keltirish, algebraik
kasrlarni qo’shish va ayirish haqida batafsil ma’lumotga ega bo’lsagina
kombinatorikaning asosiy xossasi mavzusini o’zlashtirishda qiyinchilikka uchramaydi.
Bunda yangi mavzu bayoniga o’tishdan oldin o’tilgan darsni o’quvchilar hukmiga
“Qoidani to’g’ri ayt” o’yinini havola qilish mumkin:
1) Kasrning asosiy xossasi bu-
2 )Kasrlarni qisqartirish bu-
3) Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish ketma-ketligi –
4) Har xil maxrajli kasrlarni qo’shish va ayirish uchun –
5) Algebraik kasrlarni ko’paytirish va bo’ish uchun-
O’quvchilar navbat bilan yuqorida sanab o’tilgan 5 ta qoidaga javob beradilar.Bu
jarayonda o’qituvchi javobning to’g’ri yoki noto’g’ri ekanligiga qarab izoh va
to’ldirishlar qilishi mumkin.
O’tilgan mavzuni takrorlashda “Mosini top” usulidan ham foydalanish yaxshi
samara beradi. Bu usulda “Qoidani to’g’ri ayt” o’yinidan farqli o’laroq javoblar aralash
shaklda bo’lsada jadvalda o’z aksini topgan bo’ladi. Bu esa o’quvchilarga to’g’ri
javoblarni eslashda yoki mantiqiy fikrlab topishda biroz imkoniyat yaratadi. Chunki
ko’p hollarda javoblarni taqqoslash orqali ham bilimlarni mustahkamlash hamda
o’tilgan tushunchalarni mustahkamlash yaxshi samara beradi.
O'quvchilarga taqdim qilinadigan aralash jadval
1
Kasrning asosiy xossasini bunday
yozish mumkin:
A
Algebraik kasr deyiladi
2
𝒂+𝒃
𝒂−𝒃
ifoda bu
B
Kasrlarni qisqartirish
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
183
3
Kasrlarning surat va maxrajini
ularning umumiy ko’paytuvchisiga
bo’lish kerak
C
𝒙. 𝒚
𝒙 + 𝒚
4
Surati
x
va
y
sonlarining
ko’paytmasiga,maxraji esa ularning
yig’indisiga teng algebraic kasr
D
𝒂
𝒃
=
𝒎𝒂
𝒎𝒃
5
Turli maxrajli kasrlarni qo’shish va
ayirish uchun nechta tartibda
amalga oshadi
E
𝒂𝒅
𝒃𝒄
6
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
F
4
O’quvchilar o’z fikr-mulohazalarini erkin bildiradilar,bir-birlarining javoblarini
to’ldiradilar hamda o’z-o’zini nazorat qiladilar.
O’quvchilarga taqdim qilinadigan aralash jadvalning to’g’ri javoblari:
1
Kasrning asosiy xossasini bunday
yozish mumkin:
A
𝒂
𝒃
=
𝒎𝒂
𝒎𝒃
2
𝒂+𝒃
𝒂−𝒃
ifoda bu
B
Algebraik kasr deyiladi
3
Kasrlarning surat va maxrajini
ularning umumiy ko’paytuvchisiga
bo’lish kerak
C
Kasrlarni qisqartirish
4
Surati
x
va
y
sonlarining
ko’paytmasiga,maxraji esa ularning
yig’indisiga teng algebraic kasr
D
𝒙. 𝒚
𝒙 + 𝒚
5
Turli maxrajli kasrlarni qo’shish va
ayirish uchun nechta tartibda
amalga oshadi
E
4
6
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
F
𝒂𝒅
𝒃𝒄
Shu bilan bir qatorda bu o’rinda bu o’rinda buyuk ajdodlarimizning mavzuga oid
tadqiqot natijalaridan,tarixiy ma’lumotlardan keltirish orqali o’quvchilarda
ajdodlarimizga nisbatan hurmat-izzatni shakllantirish mumkin.Masalan,buyuk
ajdodimiz Abu Ali ibn Sino (980-1037) dunyoga mashhur ,,Tib qonunlari”ni yaratgan
alloma bo’lish bilan birga,uning matematikaga oid tadqiqotlari ham bor.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
184
O’qituvchi o’quvchilarning yangi mavzuni o’zlashtirishga tayyor ekanligiga
ishonch hosil qilgach,yangi mavzu bayoniga o’tishi mumkin.
Yangi mavzu bayoni:
Kombinatorika bu-diskret matematikaning bir qismi bo’lib unda asosan chekli
to’plamlar ustida ish yuritiladi.Kombinatorika berilishiga ko’ra takrorlanadigan va
takrorlanmaydigan turlarga ajraladi.
I-O’rinlashtirish
II-O’rin almashtirish
III-Guruhlash yoki kombinatsiya
Har qanday narsalardan tuzilgan va bir-birlaridan yo shu narsalarning o’zi bilan
yoki shu narsalarning farq qiluvchi guruppalarga birlashmalari deyiladi.
m elementni n tadan o’rinlashtirish deb shunday birlashmalarga aytiladiki
ularning birlashmalarga aytiladiki ularning har birida m elemrntdan olingan n tadan
element bo’lib ular bir-birlaridan yoki elementlari bilan yoki elementlarining tartibi
bilan farq qiladi.
I .a,b,c II.ab,ac,bc III.abc
O’rinlashtirishlar soni quyidagi formula bilan hisoblanadi:
𝐴
𝑚
𝑛
= 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) ∙∙∙ (𝑚 − 𝑛 + 1)
masalan,
𝐴
𝑚
3
= 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)
1-masala.
1) Sinfda 10 ta fan o’qitiladi va har kuni 5 ta dars o’tiladi. Dars
jadvalida necha usul bilan qo’yish mumkin.
𝐴
10
5
=10
∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6
=30240
2) Har biri 3 ta turli raqam bilan ifoda qilingan bo’lsa qancha butun son tuzish mumkin.
𝐴
10
3
=10
∙ 9 ∙ 8
=720
m ta elementdan n tadan olingan o’rinlashtirishlar faqat elementlari tartibi bilan
farq qilsa bunday elementlarga o’rin almashtirish deyiladi.
𝐴
𝑚
𝑛
=
𝑃
𝑚
= 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 𝑚!
Misol: 6 ta kishi hozirlangan stolga 6 ta kishini necha xil usulda joylashtirish
mumkin?
𝑃
6
=6!=1
∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720
Agar m ta elementdan n ta dan tuzilishi mumkin bo’lgan barcha
o’rinlashtirishlardan bir-birlari bilan eng kamida 1 ta element bilan farq qiladigan
birlashmalarga guruppalar deyiladi.
Misol: a,b,c,d
abc, abd, ,acd, bcd
Guruppalar uchun
𝐶
𝑚
𝑛
=
𝐴
𝑚
𝑛
𝑃
𝑛
=
𝑚(𝑚−1)……….(𝑚−𝑛+1)
𝑛!
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
185
Darsni yakunlashdan oldin, o’quvchilarning mavzuni o’zlashtirganlik darajasini
aniqlash maqsadida quyidagi savollarni berish mumkin.
1) Kombinatorika berilishiga ko’ra qanday turlarga ajraladi?
2) A o’rinlashtirish formulasi qanday ko’rinishda bo’ladi?
3) n ta elementdan iborat o’rin almashtirishlar soni qanday formula yordamida
aniqlanadi?
4) Korxonada 10 ta erkak va 8 ayol xodim ishlaydi.Shu korxonadan bita xodimni necha
xil usulda tanlab olish mumkin?
5)
𝐶
7
4
+
𝐶
7
3
6) Talaba 6 ta kitobdan 4 tasini necha usul bilan amalga oshirish mumkin?
Mavzuga oid quyidagi testlardan dars yakunida o’quvchilar bilimini qisqa
muddatda baholashda foydalanish mumkin.
MAVZUGA OID TESTLAR:
1.
𝐶
𝑛
𝑘
=?
A) n
! ∙ 𝑘
! B)
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
C) (n-k)! D)
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
2. 10 ta talabadan iborat guruhga ikkita yo’llanma ajratildi.Bu yo’llanmalarni
necha xil usul bilan tarqatish mumkin?
A) 90 B) 20 C) 10 D) 12
3. Kombinatorika berilishiga ko’ra necha turga bo’linadi?
A) 6 B) 8 C) 2 D) 3
4.
𝑃
𝑛
=?
A)
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
B) n! C)
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
D)
𝑚
𝑛
5. Tikuvchilik fabrikasida ishlayotgan xodimga haftaning ixtiyoriy ikki kunini
dam olish uchun tanlash imkoni berildi. Xodim dam olish kunlarini necha usulda
tanlashi mumkin?
A) 21 B) 14 C)12 D) 10
6.
𝐴
𝑥+3
2
=
𝐶
𝑥+2
3
+ 20
da x=?
A) 2
√7
B) 3 C) 2 D) 3 va 2
√7
Maqolada keltirilgan ma’lumotlarni shakllantirishda
[1]
adabiyotdan
foydalanildi. Bugungi kunda bir qator rivojlangan mamlakatlarda ta’lim-tarbiya
jarayonining samaradorligini kafolatlovchi zamonaviy pedagogik texnologiyalarni
qo’llash borasida katta tajriba asoslarini tashkil etuvchi metodlar interfaol metodlar
nomi bilan yuritilmoqda. Interfaol ta’lim metodlari hozirda eng ko’p tarqalgan va
barcha turdagi ta’lim muassasalarida keng qo’llanayotgan metodlaradn hisoblanadi.
Shu bilan birga, interfaol ta’lim interfaol ta’lim metodlarining turlari ko’p bo’lib,
ta’lim-tarbiya jarayonining deyarlik hamma vazifalarini amalga oshirish maqsadlari
uchun moslari hozird mavjud.Amaliyotda ulardan muayyan maqsadlar uchun
moslarini ajratib tegishlicha qo’llash mumkin. Bu holat hozirda interfaol ta’lim
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_2-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
186
metodlarini ma’lum maqsadlarni amalga oshirish uchun to’g’ri tanlash muammosini
keltirib chiqargan [2-15] maqolalarda ta’lim muassasalarida matematikaga oid fanlarni
o’qitishda qo’llash mumkin bo’lgan interfaol ta’lim metodlarining moslarini tanlash va
ularni o’quv jarayoniga joriy qilish masalalari tahlil qilingan. Ularning yutuqlari bilan
bir qatorda kamchiliklari ham sanab o’tilgan.
Xulosa
qilib aytganda, maktab o’quvchilariga matematika kursining
“Kombinatoriakning asosiy qoidasi” mavzusini o’qitish jarayonida maqolada
keltirilgan ma’lumotlardan foydalanish orqali darsning o’tilgan mavzuni takrorlash,
yangi mavzuni bayon qilish,mavzu bo’yicha olingan bilimlarni mustahkamlash
qismlarini samarali tashkil etish mumkin. Umuman darsni yanada samarali, natijador
va qiziqarli qilib tashkil qilishda ta’limning turli interfaol usullaridan foydalanish
mumkin.
