ALGEBRAIK TENGLAMALARNING UMUMIY YECHIM USULLARI VA ULARNING AMALIY TATBIQI

Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

79

Rasulberdiyev Vohid Odil o'g'li

Jizzax viloyati Yangiobod tumani 8-umumiy o'rta ta’lim maktabida algebra va geometriya fani

o'qituvchisi, Eng yosh Innovatsion g'oya mualifi

Xalqaro SAT sertifikati sohibi

Uzbekistan

vohid

19911@gmail.ru

Annotatsiya.

Ushbu maqola algebraik tenglamalarni yechishning umumiy usullarini, ularning

matematik asoslarini va turli ilmiy va amaliy sohalardagi qo‘llanilishini tahlil qiladi. Chiziqli va nochiziqli

tenglamalar, tenglamalar sistemalari va ularni yechishning analitik, grafik va sonli usullari ko‘rib chiqiladi.

Maqola iqtisodiyot, muhandislik, fizika va informatika sohasidagi amaliy misollar orqali algebraik

tenglamalarning ahamiyatini yoritadi. O‘zbekiston ta’lim tizimi kontekstida talabalar uchun ushbu usullarni

o‘zlashtirish va qo‘llash bo‘yicha tavsiyalar beriladi.

Kalit so‘zlar:

Algebraik tenglamalar, chiziqli tenglamalar, nochiziqli tenglamalar, yechim usullari,

amaliy tatbiq, iqtisodiyot, muhandislik, informatika.

Аннотация:

В статье анализируются общие методы решения алгебраических уравнений, их

математические основы и приложения в различных научных и практических областях.

Рассматриваются линейные и нелинейные уравнения, системы уравнений и аналитические,

графические и численные методы их решения. В статье подчеркивается важность алгебраических

уравнений на практических примерах в области экономики, техники, физики и информатики. Даны

UNIVERSAL XALQARO ILMIY

JURNAL

Jurnalning bosh sahifasi:

https://universaljurnal.uz

ALGEBRAIK TENGLAMALARNING UMUMIY YECHIM USULLARI VA ULARNING

AMALIY TATBIQI

Universal International Scientific

Journal

e-ISSN:

3060-4540 (online)

Year: 2025 Issue: 2 Volume: 6

Published: 30.06.2025

https://universaljurnal.uz

International indexes

Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

80

рекомендации студентам по освоению и применению этих методов в условиях узбекской системы

образования.

Ключевые слова:

Алгебраические уравнения, линейные уравнения, нелинейные уравнения,

методы решения, практическое применение, экономика, инженерия, информатика.

Abstract:

This article analyzes general methods for solving algebraic equations, their mathematical

foundations and applications in various scientific and practical areas. Linear and nonlinear equations,

systems of equations and analytical, graphical and numerical methods for solving them are considered. The

article highlights the importance of algebraic equations through practical examples in the fields of

economics, engineering, physics and computer science. Recommendations are given for students to master

and apply these methods in the context of the Uzbek education system.

Keywords:

Algebraic equations, linear equations, nonlinear equations, solution methods, practical

applications, economics, engineering, computer science..

Language:

Uzbek

Citation:

Rasulberdiyev , V. (2025). GENERAL SOLUTION METHODS OF ALGEBRAIC

EQUATIONS AND THEIR PRACTICAL APPLICATION. Universal International Scientific Journal,

2(6), 79–84. Retrieved from

https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/3388

Copyright © 2025 by author(s) and Scientific Research Publishing Inc. This work is licensed under

the

Creative

Commons

Attribution

International

License

(CC

BY

4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Algebraik tenglamalar matematikaning

asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ular
noma’lum qiymatlarni aniqlash uchun
ishlatiladi. Tenglamalar chiziqli va nochiziqli
turlarga

bo‘linadi,

shuningdek,

bitta

noma’lumli tenglamalar yoki bir nechta
noma’lumli tenglamalar sistemasi shaklida
bo‘lishi mumkin (Strang, 2016). Algebraik
tenglamalarni

yechish

usullari

analitik

(to‘g‘ridan-to‘g‘ri), grafik va sonli (taqribiy)
usullarga bo‘linadi, har biri o‘ziga xos
afzalliklarga va qo‘llanilish sohasiga ega.
O‘zbekiston

ta’lim

tizimida

algebraik

tenglamalar o‘rta maktab va oliy ta’lim
dasturlarining asosiy qismi sifatida o‘qitiladi,
chunki ular iqtisodiyot, muhandislik, fizika va
informatika kabi sohalarda keng qo‘llaniladi
(Adizov & Xudoyberganov, 2014).

Algebraik tenglama — chap tomoni

nomaʼlumlardan tuzilgan koʻphaddan iborat
boʻlgan

tenglama.

Nomaʼlum

xning

tenglamani

qanoatlantiradigan,

ayniyatga

aylantiradigan

qiymatlari

tenglamaning

ildizlari yoki yechimlari deyiladi. Algebraning
asosiy

masalalaridan

biri

Algebraik

tenglamaning ildizlarini topishdan iboratdir. 1,
2, 3 va 4 darajali Algebraik tenglama
ildizlarini topish formulalari maʼlum, darajasi
5 va undan ortiq boʻlgan tenglamalar uchun
bunday formulalar umumiy holda mavjud
emas. Ammo koeffitsiyentlari kompleks
sonlar boʻlgan ixtiyoriy tenglama kompleks
yechimga ega (qarang Algebraning asosiy
teoremasi).

Algebraik tenglama - P(x1,x2,...,xn)=0

ko`rinishida

Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

81

yoziladi. Bu erda P - x1,x2,...,xn

noma’lum o'zgaruvchilardan iborat ko`phad.
Algebraik

tenglamaning

darajasi

P

ko`phadning

darajasiga

teng

bo`ladi.

x1,x2,...,xn

o'zgaruvchilarning

algebraik

tenglamaga nol qiymat beruvchi qiymatlari
ushbu algebraik tenglamaning ildizlari deb
ataladi.

Ushbu maqola algebraik tenglamalarni

yechishning umumiy usullarini tahlil qiladi,
ularning matematik asoslarini ochib beradi va
turli sohalardagi amaliy qo‘llanilishini
misollar orqali ko‘rsatadi. Maqola talabalar,
o‘qituvchilar va tadqiqotchilar uchun foydali
bo‘lib, O‘zbekiston ta’lim tizimida ushbu
mavzuni o‘qitish va qo‘llash bo‘yicha amaliy
tavsiyalar beradi.

Algebraik tenglamalarning turlari va

yechim usullari

1. Chiziqli tenglamalar
Chiziqli

tenglamalar

umumiy

ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:

[ ax + b = 0 ]
Bu yerda ( a ) va ( b ) – haqiqiy sonlar, (

x ) – noma’lum, va ( a \neq 0 ). Yechim
quyidagicha topiladi:

[ x = -\frac{b}{a} ]
Yechim usullari:
Analitik

usul:

Tenglamani

soddalashtirish va noma’lum ( x ) ni aniqlash.

Grafik usul: Tenglamani ( y = ax + b )

shaklida grafik sifatida chizish va ( x )-o‘q
bilan kesishish nuqtasini topish.

Misollar:
( 2x + 3 = 7 ) tenglamasini yechish:
[ 2x = 4 ]
[ x = 2 ]
Chiziqli tenglamalar sistemasi bir nechta

noma’lumli tenglamalardan iborat bo‘lib,
umumiy ko‘rinishi quyidagicha:

[ a_1x + b_1y = c_1 ]
[ a_2x + b_2y = c_2 ]

Chiziqli tenglamalar sistemasi uchun

yechim usullari:

O‘rniga qo‘yish usuli: Bir tenglamadan

bir noma’lumni ifodalab, ikkinchi tenglamaga
qo‘yish.

Qo‘shish usuli: Tenglamalarni qo‘shish

yoki ayirish orqali bir noma’lumni yo‘qotish.

Kramer usuli: Determinantlar yordamida

yechim topish:

[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y =

\frac{\Delta_y}{\Delta} ]

Bu yerda ( \Delta ) – asosiy determinant,

( \Delta_x ) va ( \Delta_y ) – mos ravishda ( x
) va ( y ) uchun determinantlar.

Gauss

usuli:

Matritsa

shaklida

tenglamalarni soddalashtirish va ketma-ket
yo‘qotish orqali yechim topish.

Grafik usul: Tenglamalar grafiklarining

kesishish nuqtasini aniqlash.

2. Nochiziqli tenglamalar
Nochiziqli tenglamalar noma’lumning

darajasi ikki yoki undan yuqori bo‘lgan
tenglamalardir. Masalan, kvadrat tenglama:

[ ax^2 + bx + c = 0 ]
Yechim diskriminant orqali topiladi:
[ \Delta = b^2 - 4ac ]
[

x_{1,2}

=

\frac{-b

\pm

\sqrt{\Delta}}{2a} ]

Nochiziqli tenglamalar uchun yechim

usullari:

Analitik usul: Kvadrat tenglamalar

uchun

formula

yoki

o‘zgaruvchilarni

almashtirish usuli.

Grafik usul: Tenglamani grafik sifatida

chizish va ( x )-o‘q bilan kesishish nuqtalarini
topish.

Sonli usullar: Taqribiy yechim topish

uchun iteratsion usullar, masalan:

Nyuton-Rafson usuli:
[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

]

Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

82

Biseksiya usuli: Intervalni ikkiga bo‘lib,

yechimni yaqinlashtirish.

Kompyuter

algoritmlari:

MATLAB,

Python yoki WolframAlpha kabi dasturlardan
foydalanish.

Nochiziqli

tenglamalar

sistemasi,

masalan:

[ x^2 + y^2 = 25 ]
[ x - y = 1 ]
Bu tizimni yechish uchun o‘rniga qo‘yish

yoki iteratsion usullar qo‘llaniladi.

Amaliy tatbiqlar
Algebraik tenglamalar turli sohalarda

keng qo‘llaniladi. Quyida ularning asosiy
qo‘llanilish sohalari va misollar keltiriladi.

1. Iqtisodiyot

Chiziqli

tenglamalar

sistemasi

iqtisodiyotda resurslarni taqsimlash, ishlab
chiqarish

xarajatlari

va

foydani

optimallashtirish uchun ishlatiladi.

Misol:
Bir korxona ikki turdagi mahsulot ishlab

chiqaradi: A va B. Har bir A mahsuloti uchun
2 kg xom ashyo va 3 soat ish kuchi, B
mahsuloti uchun esa 4 kg xom ashyo va 2 soat
ish kuchi talab qilinadi. Umumiy xom ashyo
16 kg, ish kuchi esa 12 soatni tashkil etadi.
Ishlab chiqariladigan mahsulotlar sonini
aniqlash uchun:

[ 2x + 4y = 16 ]
[ 3x + 2y = 12 ]
Bu yerda ( x ) – A mahsuloti, ( y ) – B

mahsuloti soni. Yechim: ( x = 4 ), ( y = 2 ).

2. Muhandislik
Muhandislikda algebraik tenglamalar

strukturaviy tahlil, elektr zanjirlari va mexanik
tizimlarni loyihalashda qo‘llaniladi.

Misol:
Elektr zanjiridagi oqim kuchini aniqlash

uchun

Kirxgof

qonunlariga

asoslangan

tenglamalar sistemasi tuziladi:

[ I_1 - I_2 - I_3 = 0 ]
[ 10I_1 + 20I_2 = 50 ]
[ 15I_2 + 5I_3 = 30 ]
Gauss usuli orqali yechim topiladi.
3. Fizika
Fizikada tenglamalar harakat, energiya

va kuchlarni hisoblashda ishlatiladi.

Misol:
Kvadrat tenglama yordamida jismning

harakat masofasini aniqlash:

[ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 ]
Agar ( s = 100 ), ( v_0 = 10 ), ( a = 2 ),

vaqt ( t ) ni topish uchun:

[ t^2 + 10t - 100 = 0 ]
Diskriminant: ( \Delta = 10^2 - 4(1)(-

100) = 500 ). Yechim: ( t \approx 5.48 )
sekund.

4. Informatika
Kompyuter fanida algebraik tenglamalar

algoritmlarni

optimallashtirish,

grafik

modellashtirish va mashinaviy o‘qitishda
qo‘llaniladi.

Misol:
Regressiya tahlilida chiziqli tenglamalar

yordamida ma’lumotlarni moslashtirish:

[ y = mx + c ]
Bu yerda ( m ) – egilish koeffitsienti, ( c

) – kesish nuqtasi.

O‘zbekiston ta’lim tizimida algebraik

tenglamalarni o‘qitish

O‘zbekiston o‘rta maktablarida algebraik

tenglamalar 7–9-sinflarda o‘qitiladi, oliy
ta’limda esa chiziqli algebra, amaliy
matematika va kompyuter fanlari kurslarida
kengroq yoritiladi. Quyidagi muammolar
mavjud:

Talabalar ko‘pincha nazariy bilimlarni

amaliy masalalarga qo‘llashda qiyinchiliklar
bilan uchrashadi.

Zamonaviy

kompyuter

dasturlari

(MATLAB,

Python)

dan

foydalanish

cheklangan.

Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

83

O‘qituvchilar uchun malaka oshirish

kurslari yetarli emas.

Tavsiyalar:
Amaliy masalalar: O‘quv dasturlariga

iqtisodiyot, muhandislik va fizikadan misollar
kiritish.

Kompyuter dasturlari: Python yoki

MATLAB yordamida sonli usullarni o‘rgatish.

Interaktiv metodlar: Grafik usullar va

o‘yinli topshiriqlarni qo‘llash orqali qiziqishni
oshirish.

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini

teskari matritsa usulida yechish

n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar

sistemasi





































n

n

nn

2

2

n

1

1

n

2

n

n

2

2

22

1

21

1

n

n

1

2

12

1

11

b

x

a

...

x

a

x

a

.......

..........

..........

..........

..........

b

x

a

...

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

berilgan

bo`lsin.

Matritsalarni

ko`paytirish amali va matritsalar tengligi
ta`rifidan foydalanib, sistemani

A



X = B

matritsali tenglama ko`rinishida yozish

mumkin. Bu yerda, A = (aiκ) - asosiy matritsa,
B – ozod hadlar ustun matritsasi va X -
noma`lumlar ustun matritsasi.

Sistemaning

asosiy

matritsasi

A

maxsusmas bo`lib, A-1 uning tes-kari

qismini chapdan tes-kari A-1 matritsaga
ko`paytiramiz va

A

-1



A = E, E



X =X

tengliklarni e`tiborga olsak,

X = A

-1



B

(1)

tenglamani

olamiz.

(1)

tenglama

tenglamalar sistemasi yechimini matritsa
shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa
usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday

qilib, sistemani teskari matritsa usulida
yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A-
1 quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi
B ga ko`paytiriladi.

Masala.

Quyida

berilgan

chiziqli

tenglamalar sistemalarini teskari matritsa
usulida yeching:

















7

x

4

x

3

1

x

2

x

2

1

2

1



















5

x

x

6

x

3

2

x

4

x

2

x

3

2

1

3

2

1



































8

x

x

4

x

5

9

x

2

x

3

x

4

6

x

x

2

x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

.

5

-

9

7

1

-

7

3

2

4

2

1

7

1

-

4

3

2

1

x

x

X

2

1























































































Sistema yechimi: ( 9; -5 ).

2)

1

3

4

1















qism matritsa rangi

sistema rangiga teng bo`lgani uchun sistema
dastlabki ko`rinishini unga teng kuchli
quyidagi shakli bilan almashtiramiz:























5

x

6

x

x

3

2

x

2

x

4

x

2

3

1

2

3

1

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini

qo`llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim

ko`rinishlaridan biri shaklda yozilishi
mumkin. Bu yerda, x2єR.

.

13

1

13

22

2x

-

5

x

6

2

x

2

1

3

4

1

13

1

x

x

X

2

2

2

3

1













































































Universal International Scientific Journal

2025, 2(6)

84

3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini

Jordan usulida aniqlaymiz:

Sistema

yagona

yechimini

teskari

matritsa usuli formulasini qo`l-lab, quramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).
Har bir usul kabi teskari matritsa usuli

o`zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega.
Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va
biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq
qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida
yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta
qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari
ustuniga ko`paytiriladi va natija olinaveradi.
Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish
jarayoni bilan bog`liq bo`lib, ayniqsa, detA
nolga yaqin bo`lganda ko`p xonali sonlar
ustida hisob-kitoblarni talab etadi.

Xulosa
Algebraik tenglamalarni yechishning

umumiy usullari analitik, grafik va sonli
yondashuvlarni o‘z ichiga oladi, har biri o‘ziga
xos afzalliklarga ega. Chiziqli tenglamalar
iqtisodiyot va muhandislikda, nochiziqli
tenglamalar esa fizika va informatika sohasida
keng qo‘llaniladi. O‘zbekiston ta’lim tizimida
ushbu usullarni o‘qitishda amaliy yondashuv
va

zamonaviy

texnologiyalardan

foydalanishni kengaytirish zarur. Algebraik
tenglamalar nafaqat matematik bilimlarni
rivojlantiradi,

balki

turli

sohalarda

muammolarni hal qilishda muhim vosita
hisoblanadi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati

1.

Adizov, A. A., & Xudoyberganov, M. O‘. (2014). Amaliy matematika. Toshkent:

O‘zbekiston Respublikasi nashriyati.

2.

Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Cambridge, MA: Cambridge Press.

3.

Grewal, B. S. (2012). Higher Engineering Mathematics. Delhi: Khanna Publishers.

4.

Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish

usullari. Science and Education, 2(8), 303-311.