Universal International Scientific Journal
1
87
Тўраев Фарходжон Фармонович
Университет Альфраганус
Uzbekistan
Аннотация:
В частности появились задачи со свободной границей для нагруженного
уравнения теплопроводности, где правая часть уравнении содержить значения решения или его
производных на многообразиях меньшей размерности.
Ключевые слова:
биологии, задачи, раничным условиям, границей для нагруженного,
приложениями, многочисленными.
Abstract:
In particular, problems with a free boundary for the loaded heat equation appeared, where
the right-hand side of the equation contains the values of the solution or its derivatives on manifolds of
lower dimension.
Keywords:
biology, problems, boundary conditions, boundary for loaded, applications, numerous.
Annotatsiya:
yuklangan issiqlik tenglamasi uchun erkin chegara bilan bog'liq muammolar paydo
bo'ldi, bu erda tenglamaning o'ng tomoni pastki o'lchamdagi kollektorlarda yechim yoki uning hosilalarini
o'z ichiga oladi.
Kalit so‘zlar:
biologiya, muammolar, chegara shartlari, yuklanganlar uchun chegara, ilovalar, ko'p.
Language:
Russian
UNIVERSAL XALQARO ILMIY
JURNAL
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 1
Published: 31.01.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
1
88
Citation:
Turaev , F. (2025). Stefan problem for loaded heat equation. Universal International
Scientific
Journal,
2(1),
187–191.
Retrieved
from
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/1443
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.14910313
Основы теории нагруженных уравнений
были разработаны в работах А.М.Нахушева и
его учеников [1]. Опубликованы десятки работ,
в
которых
исследованы
различные
неклассические задачи для нагруженных
уравнений (см.напр.[2]) Это продиктована
многочисленными
практическими
приложениями в газо-гидродинамике, в
математической биологии и в других областях.
В частности появились задачи со свободной
границей
для
нагруженного
уравнения
теплопроводности, где правая часть уравнении
содержить значения решения или его
производных на многообразиях меньшей
размерности [3,4].
В настоящей работе рассматривается задача
со свободной границей типа Стефана для
нагруженного параболического уравнения.
1.Постановка задачи.
Требуется найти пару
функций (s(t), u(x,t)), такие что s(t) определена
и монотонна возрастающая на отрезке
0
t
T
, а функция u(x,t) в области
( , ) : 0
( ), 0
D
x t
x
s t
t
T
=
удовлетворяет уравнению
0
( , )
( , )
( ( , )), ( , )
,
xx
t
u
x t
u x t
F u x t
x t
D
−
=
(1)
начальным и граничным условиям
0
( , 0)
( ), 0
(0)
0,
u x
x
x
s
s
=
=
(2)
(0, )
( ), 0
,
x
u
t
t
t
T
=
(3)
( ( ), )
0, 0
,
u s t t
t
T
=
(4)
𝑠̇(𝑡) = −𝛼𝑢
𝑥
(𝑠(𝑡), 𝑡),0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇,
(5)
Всюду в работе предполагаем, что для
заданных функций и постоянных выполнены
следующие основные условия:
1.Положительные постоянные
0
0
,
,
x s
удовлетворяют неравенствам
0
0
0
x
s
,
0
(0)
0,
s
s
=
0
.
2.Функция
( )
F
определена для
и
ограничена в замкнутом множестве аргумента.
3.
( ),
( )
x
x
заданные
непрерывно
дифференцируемые функции.
4.Выполнены
условия согласования в
угловых точках
0
(0)
(0),
( )
0.
s
=
=
.
Universal International Scientific Journal
1
8
9
Поставленная задача рассмотрена в работе
[3]. Но в этой работе не установлены
априорные оценки и не исследована
поведение свободной границы. Поэтому
разрешимост доказана при малых значениях
времени.
II. Априорные оценки. Сначала при помощи
принципа экстремума устанавливаются
двустороннее оценки для ( , ),
u x t
( , )
x
u x t
и на
основе этих оценок исследуется
поведение
свободной
границы
в
рассматриваемом промежутке времени. Далее
доказывается
глобальная
разрешимость
задачи.
Лемма 1.
Пусть выполнены условия (1)-(4)
и
( )
0,
( )
0,
x
t
для
произвольной
,
( )
0.
F
Тогда
( , )
0
u x t
в
D
и
𝑢
𝑥
(𝑠(𝑡), 𝑡) < 0, 𝑠̇(𝑡) > 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇].
При этих результатах справедлива оценка
1
( , )
( , , , ).
u x t
N
F T
Доказательство. Из задачи (1)-(5) по
принципу экстремума имеем ( , ) 0
u x t
в
D
.
Значить функция ( , )
u x t
на правой границе
достигает свой минимум, тогда по известному
свойству решений уравнения параболического
типа
( ( ), )
0
x
u s t t
[5,6]. Далее из
условии (5) получается, что
𝑠̇(𝑡) > 0
в
[0, ]
t
T
.
Чтобы оценить ( , )
u x t
сверху получим для
нее интегральное представление.
Интегрируя тождество Грина
по области
(
)
(
)
0
0
( ), 0
Nu
uN
Nu
s
t
−
−
=
−
и устремляя по области
к нулю, учитывая
условия (2), (3), (4) и (5) , получим
0
0
0
0
( , )
( , ; ,0) ( )
( , ;0, ) ( )
( , ; ( ), ) ( )
( , ; , ) ( ( ))
,
s
t
t
D
u x t
N x t
d
N x t
d
N x t s
d
N x t
F V
d d
=
+
+
+
−
(6)
где
( , ; , )
( , ; , )
(
, ; , )
N x t
K x t
K
x t
=
+
−
Функция Грина второй краевой задачи для
полуплоскости x>0
2
1
(
)
( , ; , )
exp(
)
4(
)
2
(
)
x
K x t
t
t
−
=
−
−
−
0
( )
( ( ), ),
( )
( , )
x
u s t t
V t
u x t
=
=
В силу установленного
( )
0
, а по
свойству функции Грина
( , ; ( ), )
0.
N x t s
.
Тогда отбрасывая третий интеграл справа и
оценивая известные интегралы находим
1
( , )
( , ; , ).
u x t
N
F T
При этом используются
оценки
Universal International Scientific Journal
19
0
0
0
( , ; , 0)
( )
.
s
N x t
d
1
0
( , ; 0, )
( )
.
t
N x t
d
C
T
Лемма 2.
Пусть
( )
0
x
и выполнены
условий леммы 1, а для положительных
2
,
( )
.
F
N
Тогда
3
( , , , )
( , )
0
x
N
F T
u x t
−
. В частности
3
( ( ), )
x
u s t t
N
−
Доказательство.
Дифференцируя уравнения (1) по
x
для
( , )
( , )
x
u t x
t x
=
получим задачу:
( , )
( , ),
( , )
,
xx
t
x t
x t
x T
D
−
(7)
0
( , 0)
( ), 0
,
x
x
x
s
=
(8)
(0, )
( ), 0
,
t
t
t
T
=
(9)
( ( ), )
0, 0
,
s t t
t
T
(10)
Отсюда по принципу экстремума и условий
леммы 2 имеем
( , )
( , )
0
x
x t
u t x
=
в
D
Дифференцируя (6) по
x
, после несложных
преобразований переходя к пределу при
( ) 0
x
s t
→
−
, имеем
0
0
0
0
0
( , ) 2
( ) ( ( ), ; ,0)
2
( )
( ( ), ;0, )
2 ( )
( ( ), ; ( ), )
( ( ), ; ( ), ) ( ( ))
,
s
t
x
t
t
x
x t
G s t t
d
N s t t
d
N s t t s
d
G s t t s
F V
d
=
−
+
+
+
(11)
где
( , ; , )
( , ; , )
(
, ; , )
G x t
K x t
K
x t
=
−
−
функция Грина первой краевой задачи для
полуплоскости
0
x
Отсюда
в
силу
неравенств
( )
0,
( ( ), ; ( ), )
0
x
t
N s t t s
отбрасывая
положительный интеграл в правой части,
находим
3
( ( ), )
x
u s t t
N
−
.
Далее, из условии (5) получим что,
𝑠̇(𝑡) <
𝑁
4
. При доказательстве этих
неравенств использованы оценки
0
0
( )
( ( ), ; , 0)
,
s
N s t t
d
2
0
( )
( ( ), ; 0, )
.
t
x
N s t t
d
C
T
Переходя в (6) к пределу при
0
x
x
→
получаем
интегральное
уравнение
относительно ( ) :
V t
0
0
0
0
0
0
0
0
( , )
( , ; , 0) ( )
( , ;0, ) ( )
( , ; ( ), ) ( )
( , ; , ) ( ( ))
,
s
t
t
D
V x t
N x t
d
N x t
d
N x t s
d
N x t
F V
d d
=
+
+
+
−
(12)
Universal International Scientific Journal
191
Интегрируя (5) по t от 0 до t, находим
0
0
( )
( )
,
t
s t
s
d
= −
(13)
Получили
систему
нелинейных
интегральных уравнений (11), (12), (13).
Разрешимость системы установлены при
помощи теоремы о неподвижной точке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. --М.Выс.шк.1995.--301
с.
2. Cannon J.R., Yin H.M. A class of non-linear nonclassical parabolic equations.
//--J.Diff.Equat.(79),1989, pp.266-288.
3. Adriana C.Briozzo, Domingo A.Tarzia. A one-phase Stefan problem for a non-
classical heat equation with a heat flux condition on the fixed face. //--App.Math.and
Com.(182), 2006, pp.809-818.
4. Adriana C.Briozzo, Domingo A.Tarzia. Existence and uniqueness for one-phase
Stefan problems of non-classical heat equations with temperature boundary condition at a
fixed face. //--El.Jour.Differ.Eq.Vol. 2006(2006), No.21, pp.1-16.
5. А. Фридман. Уравнения с частными производными параболического типа.--
М.:Мир.1968.--428 с.
6. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго
параболического типа. //--УМН, 1962, Т.17, вып.3, с.3-141.
