SUN'IY INTELLEKTNI PEDAGOGIK TA'LIMGA INTEGRATSIYA
QILISH:MUAMMO VA YECHIMLAR mavzusida xalqaro ilmiy-amaliy anjuman
materiallari. Andijon. 23-25 aprel 2025-yil
adpi.uz
universaljurnal.uz
436
PREDIKATLAR ALGEBRASINI SUN’IY INTELLEKTGA BOG’LIQLIGI
Mamadaliyev Kamildjan Bazarbayevich,
Mamadaliyev Baxtiyor Kamildjanovich,
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15357832
Andijon davlat pedagogika instituti
Annotatsiya: Predikatlar algebrasi va sun'iy intellekt (SI) o'rtasida aloqalar mavjud bo'lib,
ular zamonaviy kompyuter ilm-fanining asosiy tushunchalarini tashkil qiladi. Predikatlar algebrasi
– bu mantiqiy formulalar va ularning mantiqiy xususiyatlarini o'rganish bilan shug'ullanadigan soha
bo'lib, bu matematik tushunchalar sun'iy intellekt tizimlarini qurishda, qaror qabul qilish
jarayonlarida va tabiatni modellashtirishda muhim rol o'ynaydi. Ushbu maqolada predikatlar
algebrasi va uning sun'iy intellektni rivojlantirishdagi ahamiyatini ko'rib chiqamiz.
Kalit so’zlar: Predikatlar algebrasining tadbiqi, sun’iy intellekt, tengkuchli formulalar,
teorema isboti, to’plam, kreativ qobiliyat.
RELATIONSHIP OF PREDICATE ALGEBRA WITH ARTIFICIAL
INTELLIGENCE
Mamadaliyev Kamildjan Bazarbayevich
Mamadaliyev Baxtiyor Kamildjanovich
Andijan State Pedagogical Institute
Annotation: There are connections between predicate algebra and artificial intelligence (AI),
which constitute the fundamental concepts of modern computer science. Predicate algebra is a field
that studies logical formulas and their logical properties, and these mathematical concepts play an
important role in building artificial intelligence systems, decision-making processes, and modeling
nature. In this article, we will consider predicate algebra and its importance in the development of
artificial intelligence.
Key words: Applications of predicate algebra, artificial intelligence, equivalence formulas,
theorem proving, sets, creative ability.
СВЯЗЬ
АЛГЕБРЫ
ПРЕДИКАТОВ
С
ИСКУССТВЕННЫМ
ИНТЕЛЛЕКТОМ
Мамадалиев
Камилджан
Базарбаевич
,
Мамадалиев
Бахтиёр
Камиджанович
,
Андижанский
государственный
педагогический
институт
Аннотация
:
Существуют
связи
между
алгеброй
предикатов
и
искусственным
интеллектом
(
СИ
),
которые
формируют
основные
концепции
современной
информатики
.
Алгебра
предикатов
—
это
область
,
которая
занимается
изучением
логических
формул
и
их
логических
свойств
,
и
эти
математические
концепции
играют
важную
роль
в
построении
систем
искусственного
интеллекта
,
процессах
принятия
решений
и
моделировании
природы
.
В
этой
статье
мы
рассмотрим
алгебру
предикатов
и
ее
значение
в
развитии
искусственного
интеллекта
.
Ключовые
слов
a:
Применение
алгебры
предикатов
,
искусственного
интеллекта
,
формул
эквивалентности
,
доказательства
теорем
,
множества
,
творческих
способностей
.
Predikatlar algebrasi sun'iy intellektga qanday ta'sir ko'rsatadi?
Sun'iy intellekt
tizimlarining ko'pchiligi mantiqiy qaror qabul qilish, tabiatni modellashtirish va turli xil masalalarni
yechish uchun predikatlar algebrasini qo'llaydi. Masalan, mantiqiy qarorlar asosida robotlar yoki
avtomatik tizimlar qanday harakat qilishlarini aniqlashda predikatlar algebrasi foydalaniladi.
Matematika fani matematik mantiq fani qonuniyatlari asosida o’rganiladi va rivojlantirib
boriladi. Shunday bo’lsada matematik mantiq fani pedagogika institutlari boshlang’ich ta’lim
SUN'IY INTELLEKTNI PEDAGOGIK TA'LIMGA INTEGRATSIYA
QILISH:MUAMMO VA YECHIMLAR mavzusida xalqaro ilmiy-amaliy anjuman
materiallari. Andijon. 23-25 aprel 2025-yil
adpi.uz
universaljurnal.uz
437
yo’nalishi talabalariga alohida fan sifatida o’qitilmaydi. Matematika fani darsliklariga matematik
mantiq fani elementlari qisman kiritilgan bo’lsada uning tadbiqlari yetarlicha yoritilmagan. Natijada
talabalar matematika fanining nazariy asoslarini chuqur o’rganishda, tenglama va tengsizliklarni
yechishda, ayniqsa teoremalarni isbotlashda ko’p qiyinchiliklarga duch kelishmoqda. Bu hollar esa
talabalar sun’iy intellekt dasturlari bilan ishlash jarayonida hatoliklarga yo’l qo’ymoqda. Shularni
e’tiborga olib ushbu maqolada biz predikatlar algebrasining tengsizlik va tengsizliklar sistemasini
yechishga hamda teoremalar isbotlashga tadbiqlarini ko’rib chiqamiz.
Predikatlar algebrasining tadbiqlarini o’rganishda uning tengkuchli formulalarini bilish muhum
hisoblanadi. Predikatlar algebrasining asosiy tengkuchli formulalarini eslatib o’tamiz:
( )⋀(
( )
⋁
( )
) ≡ ( )⋀ ( )⋁ ( )⋀ ( )
(1)
( )⋁
( )
⋀
( )
≡ (
( )
⋁
( )
)⋀(
( )
⋁
( ))
(2)
( )⋀ ( ) ≡ ( )⋁ ̅
( )
(3)
( )⋁ ( ) ≡ ( )⋀ ̅
( )
(4)
( ) ⟹ ( ) ≡ ( )⋁ ( )
(5)
( ) ⟹ ( ) ≡ ̅
( ) ⟹ ( )
(6)
( ) ⟺ ( ) ≡ ( )⋀ ( )⋁ ( )⋀ ̅
( )
(7)
( ) ⟺ ( ) ≡ (
( )
⋁
( )
)⋀( ̅
( )
⋁
( ))
(8)
Tengsizliklar predikatlardan iborat bo’lgani uchun tengsizlikni yechish masalasi predikatning
rostlik sohasini topish masalasiga keladi.
P
(
x
) va
S
(
x
) lar biror
ℳ
to’plamda aniqlangan predikatlar
bo’lsin. Bu predikatlarning rostlik sohalarini mos ravishda E
p
va E
s
lar bilan, P(x) predikatning
inkorini
( )
bilan va
ℳ\
to’plamni
bilan belgilaymiz.
( )
,
( )⋁ ( )
,
( )⋀ ( )
,
( ) ⟹ ( )
va
( ) ⟺ ( )
predikatlarning rostlik sohalarini topishda quyidagi teoremalardan
foydalanamiz.
1-teorema.
(∀ ∈ )(
≤
⟹
≤ √
)
.
Isbot. Teskarisidan faraz qilish usulidan foydalanamiz: ya’ni berilgan teorema o’rniga unga
teng kuchli bo’lgan quyidagi
(∀ ∈ )( ≤ √ ⇒
≤
)
teoremani isbot qilamiz.
( ≥ √ ⟹
≥ )
≥ √
bo’lsin. U holda
≥ 1
bo’ladi. Bu tengsizlikning har ikki tomonini
x
ga
ko’paytiramiz (x ning qiymati musbat bo’lgani uchun tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi).
∙
≥
∙ 1
demak,
≥ √
tengsizlikdan
≥
tengsizlik kelib chiqar ekan. Shunday qilib,
(∀ ∈
)( ≤ √ ⇒
≤
)
formula teorema bo’ladi. Shuning uchun bu formulaga teng kuchli bo’lgan
(∀ ∈ )(
≤
⟹
≤ √
)
formula ham teorema bo’ladi.
2-teorema.
(
=
) ⟹ (∀ ∈ ℳ)(
( )
⟺
( ))
Isbot.
=
bo’lsin. U holda
tegishli bo’lgan
∀
element
ga ham tegishli bo’ladi.
x
ning bu qiymatida
( )
va
( )
lar chin mulohazalar bo’ladi. Shuning uchun ekvivalentsiya
amalining ta’rifiga asosan
( )
⟺
( )
formula ham chin mulohaza bo’ladi. Demak,
=
tenglikdan
∀ ∈ ℳ)((
( )
⟺
( ))
formulaning chin mulohaza bo’lishi kelib chiqadi. Teorema
isbot bo’ldi.
R haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin.
1-misol.
R
to’plamda
x
2
-7x+12
<
0
predikat berilgan. Uning rostlik sohasi
E
p
ni toping.
Yechish. Berilgan predikatni
P
(
x
) bilan, uning rostlik sohasini
E
p
bilan belgilab olamiz. U
holda,
( ) ≡ (
− 7 + 12 < 0) ≡ (
(
− 3
)(
− 4
) < 0)
≡
≡ ( − 3 < 0) ∧ ( − 4 > 0) ∨ ( − 3 > 0) ∧ ( − 4 < 0) ≡
≡ ( < 3) ∧ ( > 4) ∨ ( > 3) ∧ ( < 4)
.
= (
−∞
; 3)
∩
(4;
∞
)
∪
(3;
∞
)
∩
(
−∞
; 4) =
∅ ∪
(3; 4) =
= (3; 4)
. Javob:
= (3; 4)
.
2-misol. R to’plamda
P
(
x
)=(
x
2
-
x
-20>0) predikat berilgan. Uning rostlik sahasi
E
p
ni toping.
Yechish.
( )
≡
(
− − 20 > 0
)
≡
((
+ 4
)
⋅
(
− 5
) > 0)
≡
≡ ( + 4 < 0) ∧ ( − 5 < 0) ∨ ( + 4 > 0) ∧ ( − 5 > 0) ≡
SUN'IY INTELLEKTNI PEDAGOGIK TA'LIMGA INTEGRATSIYA
QILISH:MUAMMO VA YECHIMLAR mavzusida xalqaro ilmiy-amaliy anjuman
materiallari. Andijon. 23-25 aprel 2025-yil
adpi.uz
universaljurnal.uz
438
≡ ( < −4) ∧ ( < 5) ∨ ( > −4) ∧ ( > 5)
, Bundan va 2-3-teoremalardan topamiz.
=
{
∈
|
< −4
}
∩ { ∈ | < 5} ∪
∪
{
∈
|
> −4
}
∩
{
∈
|
> 5
} = (
−∞
;
−
4)
∩
(
−∞
; 5)
∪
∪
(
−
4;
∞
)
∩
(5;
∞
) = (
−∞
;
−
4)
∪
(5;
∞
)
.
Javob:
= (
−∞
;
−
4)
∪
(5;
∞
)
.
3-misol. R to’plamda
( )
=
≤ 0
predikat berilgan. Uning rostlik sahasi
E
p
ni toping.
Yechish.
( )
=
≤ 0 ≡ (2 + 6 ≤ 0) ∧ (5 − 10 > 0) ∨
∨ (2 + 6 ≥ 0) ∧ (5 − 10 < 0) ≡ ( ≤ −3) ∧ ( > 2) ∨ ( ≥ −3) ∧ ( < 2)
.
Bundan va 2-3-teoremalardan,
= {
∈
|
≤ −3
}
∩
{
∈
|
> 2
}
∪
∪
{
∈
|
≥ −3} ∩ { ∈
|
< 2
} = (
−∞
;
−
3]
∩
(2;
∞
)
∪
[
−
3;
∞
)
∩
∩
(
−∞
; 2) =
∅ ∪
[
−
3; 2) = [
−
3; 2)
. Javob:
= [
−
3; 2)
.
4-misol. R to’plamida
P
(
x
)=(|
x
-2|<3) predikat berilgan. Uning rostlik sohasi
E
p
ni toping.
Yechish.
( ) = (|
− 2
|
< 3) ≡ ( − 2 < 3) ∧ ( − 2 > −3) ≡
≡ ( < 5) ∧ ( > −1)
. Bundan va 3-teoremadan
= {
∈
|(
< 5
)
∧
(
> −1
)} = {
∈
|
< 5} ∩
{
∈
|
> −1
} =
= (
−∞
; 5)
∩
(
−
1;
∞
) = (
−
1; 5)
. Javob.
= (1; 5)
.
5-misol. R to’plamda aniqlangan
( )
= (|2 + 6| ≥ 4)
predikat berilgan. Uning rostlik
sohasi
E
p
ni toping.
Yechish.
( )
= (|2 + 6| ≥ 4) ≡ (2 + 6 ≥ 4) ∨ (2 + 6 ≤ −4) ≡
≡ (2 ≥ −2) ∨ (2 ≤ −10) ≡ ( ≥ −1) ∨ ( ≤ −5)
. Bundan va 2-teoremadan,
= {
∈
|(
≥ −1
)
∨
(
≤ −5
)} = {
∈
|
≥ −1
}
∪
{
∈
|
≤ −5
} =
= [
−
1;
∞
)
∪
(
−∞
;
−
5] = (
−∞
;
−
5]
∪
[
−
1;
∞
)
, kelib chiqadi.
Javob:
= (
−∞
;
−
5]
∪
[
−
1;
∞
)
.
6-misol. R to’plamda aniqlangan
( )
= (
−
≤ 0)
va
( )
= ( ≤ √
)
predikatlar
berilgan.
=?
,
=?
,
∧
=?
,
∨
=?
,
⟹
=?
,
⟹
=?
,
⟺
=?
topilsin.
Yechish.
= {
∈
|
−
≤ 0
} = {
∈
| (
− 1
)
≤
0}
= { ∈ |( ≤ 0) ∧
∧ ( − 1) ≥ 0} ∨ ( − 1 ≤ 0) ∧ ( ≥ 0)} = { ∈ | ≤ 0} ∩ { ∈ | ≥ 1} ∪
∪
{
∈
|
≤ 1
}
∩
{
∈
|
≥ 0
} = (
−∞
; 0]
∩
[1;
∞
)
∪
(
−∞
; 1]
∩
[0;
∞
) =
=
∅ ∪
[0; 1] = [0; 1]
;
= [0; 1]
.
=
∈
≤ √
= {
∈
|(
≥ 0
)
∧
(
≤
)} = {
∈
|
≥ 0
}
∩
∩
{
∈
| (
− 1
)
≤
0} = [0;
∞
)
∩
[0; 1] = [0; 1]
.
= [0; 1]
.
∧
=
∩
= [0; 1]
∩
[0; 1] = [0; 1]
∨
=
∪
= [0; 1]
∪
[0; 1] = [0; 1]
⟹
=
∪
= (
−∞
; 0)
∪
(1;
∞
)
∪
[0; 1] = (
−∞
;
∞
)
.
Shunga o’xshash
⟹
= (
−∞
;
∞
)
.
⟺
=
⟹
∩
⟹
= (
−∞
;
∞
)
[5].
Talabalarga predikatlar algebrasining tengkuchli formulalaridan foydalanib isbotlasha doir
masalalar yechishni o’rgatishda quyidagi teoremalardan foydalanish mumkin.
3-teorema.
(∀ ∈ )( ≤ √ ⟹
≤ )
.
4-teorema.
(∀ ∈ )( ≤ √ ⟺
≤ )
.
5-teorema.
(∀ ∈ ℳ)(
( )
⟹
( )
) ⟹ (
⊂
)
.
6-teorema.
⊂
⟹ (∀ ∈ ℳ)(
( )
⟹
( ))
.
7-teorema.
(
=
) ⟹ (∀ ∈ ℳ)(
( )
⟺
( ))
[6].
Predikatlar algebrasi va sun'iy intellekt bir-birini to'ldiradigan sohalardir. Predikatlar algebrasi
yordamida SI tizimlari mantiqiy qarorlar chiqarish, o'zaro munosabatlarni tahlil qilish va tabiiy tilni
SUN'IY INTELLEKTNI PEDAGOGIK TA'LIMGA INTEGRATSIYA
QILISH:MUAMMO VA YECHIMLAR mavzusida xalqaro ilmiy-amaliy anjuman
materiallari. Andijon. 23-25 aprel 2025-yil
adpi.uz
universaljurnal.uz
439
tushunishda samarali ishlay oladi. Shu bilan birga, SI tizimlarining rivojlanishi predikatlar
algebrasiga yangi imkoniyatlar yaratadi va kelajakda bu ikki soha o'rtasidagi aloqalar yanada
mustahkamlanishi kutilmoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1.
Kamildjanovich,
M.
B.
(2021).
BO’LAJAK
BOSHLANG’ICH
SINF
O’QITUVCHISINING KASBIY KOMPETENTLIGINI RIVOJLANTIRISH. TA'LIM VA
RIVOJLANISH TAHLILI ONLAYN ILMIY JURNALI, 1(5), 1-7.
2.
Mamadaliyev, B. K. (2018). SIGNIFICANCE OF CREATIVE TASKS IN
PREPARING CREATIVE-PERFECT STUDENTS. EASTERN EUROPEAN SCIENTIFIC
JOURNAL, (2).
3.
Bazarbaevich, M. K., & Kamildjanovich, M. B. (2021). SOLVING PROBLEMS OF
APPLICATIONS OF COLLECTION THEORY.
4.
Мамадалиев
,
Б
.
К
.
(2025).
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ
ПРОГРАММНОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ДЛЯ
РАЗВИТИЯ
ТВОРЧЕСКИХ
СПОСОБНОСТЕЙ
БУДУЩИХ
УЧИТЕЛЕЙ
НАЧАЛЬНЫХ
КЛАССОВ
.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
,
71
(1),
234-237.
4.
Maratovich, A. I. (2024). FORMATION OF STUDENTS OF PRIMARY
EDUCATION IN THE BASICS OF THE MATHEMATICS COURSE, SKILLS AND ABILITIES
NECESSARY FOR DEEPER ASSIMILATION OF THE MATHEMATICS COURSE. International
journal of advanced research in education, technology and management, 3(2), 83-89.
5.
MARATOVICH, A. I. (2024). THE IMPORTANCE OF MATHEMATICS IN THE
FORMATION OF A WORLDVIEW AND ITS PLACE IN THE STUDY OF THE SURROUNDING
BEING. MULTIDISCIPLINARY AND MULTIDIMENSIONAL JOURNAL, 3(2), 122-125.
