YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
63
MASALALARNI TURLI USULLARDA YECHISHDAGI MUAMMOLAR
Normurodov Shoxrux Muzaffar o'g'li
Renessans ta'lim universiteti o’qituvchisi
Hasanova Munisa Bahodir qizi
Navoiy davlat universitet talabasi
Amrullayeva Zebiniso Oybek qizi
Navoiy davlat universitet talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.14999440
Kirish.
Ehtimollik nazariyasi kundalik hayotimizning turli sohalarida muhim o‘rin
tutadi. Matematik statistikadan tortib, iqtisodiyot, tibbiyot va hatto sun’iy intellekt sohalarida
ehtimollik tahlili keng qo‘llaniladi. Xususan, nostandart masalalarni yechishda ehtimollik
nazariyasining turli usullaridan foydalanish mumkin. Ushbu maqolada har xil ehtimollik
yondashuvlari, jumladan,
klassik ehtimollik nazariyasi
,
kombinatorik usul
va
Bayes
nazariyasi
yordamida murakkab masalalarni qanday yechish mumkinligi tushuntiriladi.
Kalit so‘zlar:
Ehtimollik nazariyasi, Nostandart masalalar, Klassik ehtimollik,
Kombinatorika, Bayes nazariyasi, Shartli ehtimollik, Matematik statistika, Stokastik
jarayonlar, Permutatsiya va kombinatsiya, Ehtimollik usullari, Eksperiment va natijalar,
Tasodifiy hodisalar.
Masala sifatida biz har birida oq va qora sharchalar mavjud bo‘lgan ikkita qutidan
tasodifiy sharcha tanlash ehtimolini hisoblaymiz. Ushbu jarayonni turli usullar bilan tahlil
qilib, har bir yondashuvning afzallik va kamchiliklarini ko‘rib chiqamiz. Shu tariqa, ehtimollik
nazariyasining real hayotdagi qo‘llanilishiga yanada chuqurroq nazar tashlaymiz.
Masala:
Birinchi qutida 3 ta oq va 2 ta qora sharcha, ikkinchi qutida esa 4 ta oq va 3 ta
qora sharcha bor. Har bir qutidan bittadan tasodifiy sharcha olinadi. Olingan ikkala sharcha
ham oq bo‘lish ehtimolini toping.
1-usul: Klassik ehtimollik nazariyasi
Yechim: Klassik nazariyasiga ko’ra, agar hodisalar bir xil imkoniyatda yuz bersa, unda
hodisaning ehtimolligi barcha mumkin bo’lgan natijalar soniga mos keluvchi natijalar
sonining nisbatiga teng:
1.
Birinchi qutidan oq sharcha olish ehtimoli:
P(A) =
𝑜𝑞 𝑠ℎ𝑎𝑟𝑐ℎ𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑛𝑖
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦 𝑠ℎ𝑎𝑟𝑐ℎ𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑛𝑖
=
3
5
; P(B) =
4
7
P(
𝐴 ∩ 𝐵)
= P(A)
∗
P(B) =
3
5
∗
4
7
=
12
35
; Natija:
12
35
2-usul: Kombinatorika usuli
Yechim: Bu usulda barcha mumkin bo‘lgan holatlar soni hisoblab chiqiladi va ulardan
faqat oq sharchalar olingan holatlar tanlanadi.
1. Birinchi qutida jami 5 ta sharcha bor, ulardan 3 tasi oq.
Oq olish usullari soni: 3
Umumiy imkoniyatlar soni: 5
Ehtimollik:
3
5
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
64
2. Ikkinchi qutida jami 7 ta sharcha bor, ulardan 4 tasi oq.
Oq olish usullari soni: 4
Umumiy imkoniyatlar soni: 7
Ehtimollik:
4
7
3 . Umumiy ehtimoylik:
3
5
∗
4
7
=
12
35
Natija:
12
35
3-usul: Bayes formulasi (agar qo’shimcha ma’lumot bo’lsa). Agar masala boshqacha
berilgan bo’lsa, biz allaqachon oq sharcha olinganligini bilamiz va u qaysi qutidan
olinganligini toppish kerak bo’lsa, undan Bayes teoremasidan foydalanamiz. Agar oq sharcha
allaqachon olingan bo’lsa, uning birinchi yoki ikkinchi qutidan kelgan ehtimolini hisoblash
mumkin:
P(
𝑄
1
| 𝑂𝑞)
=
𝑃(
𝑂𝑞
|
𝑄
1)𝑃(𝑄
1
)
𝑃(𝑂𝑞)
Biz bu haqida keyingi ishlarimizda masalalar ko’rib boramiz.
Xulosa.
Ehtimollik nazariyasi turli xil matematik va amaliy masalalarni yechishda keng
qo‘llaniladigan muhim sohadir. Ushbu maqolada bir masalani yechishda uch xil yondashuv –
klassik ehtimollik nazariyasi, kombinatorik usul va Bayes nazariyasi
tahlil qilindi. Har
bir usulning o‘ziga xos afzalliklari va cheklovlari borligini ko‘rdik.
Klassik ehtimollik
nazariyasi
oddiy va tez hisoblash imkonini bersa,
kombinatorik usul
murakkabroq
holatlarni aniq hisoblashga yordam beradi.
Bayes nazariyasi
esa shartli ehtimolliklarni
aniqlashda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, u ko‘plab amaliy sohalarda, jumladan, tibbiyot va
ishlab chiqarish sohalarida qo‘llaniladi. Natijada, ehtimollik nazariyasining turli
yondashuvlari bizga nostandart masalalarni hal qilishda moslashuvchan va aniq
strategiyalarni tanlash imkonini beradi. Shu sababli, har bir yondashuvni yaxshi tushunish va
to‘g‘ri qo‘llay bilish matematik tahlil va real hayot muammolarini hal etishda muhim ahamiyat
kasb etadi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
G‘. M. Mahmudov, A. R. Mahmudov –
Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika
.
Toshkent: Fan, 2005.
2.
S. A. Usmonov –
Ehtimollik nazariyasiga kirish
. Toshkent: O‘zbekiston, 2008.
3.
X. X. To‘rayev, B. T. Qodirov –
Ehtimollik nazariyasi va statistik tahlil
. Toshkent:
Universitet, 2012.
4.
A. Abduqodirov –
Matematika va ehtimollik nazariyasi asoslari
. Toshkent: Yangi asr
avlodi, 2017.
5.
M. I. Abdullayev –
Kombinatorika va ehtimollik nazariyasi asoslari
. Toshkent: Sharq,
2019.
6.
Internet manbalari –
Matematika va ehtimollik nazariyasi bo‘yicha turli o‘zbekcha
maqolalar va darsliklar
.
7.
B. V. Gnedenko –
Ehtimollik nazariyasi asoslari
. Moskva: Nauka, 1988.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
65
8.
W. Feller –
Ehtimollik nazariyasi va uning ilovalari
. Nyu-York: Wiley, 1968.
9.
A. N. Kolmogorov –
Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika
. Moskva: Nauka, 1933.
10.
R. Durrett –
Ehtimollik: Nazariya va amaliyot
. Kembrij universiteti nashriyoti, 2010.
11.
D. P. Bertsekas, J. N. Tsitsiklis –
Ehtimollik, statistik va stokastik jarayonlar
. Athena
Scientific, 2002
