14
BESSEL TENGLAMASI UCHUN UCHINCHI SPEKTRAL CHEGARAVIY MASALA
Oripova Nigora Akramjon qizi
Farg‘ona davlat universiteti matematika kafedrasi o‘qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.11612321
Masala
.
parametrning shunday qiymatlari topilsinki, bu qiymatlarda
2
0
d
dy
x
x
y
dx
dx
x
,
0
0
x
x
,
(1)
differensial tenglamaning
0
y
,
(2)
0
0
0
y x
hy x
,
(3)
shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan yechimi mavjud bo’lsin, bu yerda
0
,
0
h
– o‘zgarmaslar.
Yechish
. Aytaylik,
0
bo‘lsin.
0
da (1) tenglamaning
1
2
y x
C x
C x
umumiy yechimidan foydalanamiz. (2) shartdan foydalanib, umumiy yechimdan
1
y x
C x
funksiyaga ega bo‘lamiz. Bu funksiyani (3) shartga qo‘yib,
1
1
0
0
0
C
x
hx
tenglikka
kelamiz.
0
h
,
0
0
x
ekanligidan
1
0
C
bo‘ladi. Demak,
0
y x
, bundan
0
{(1) – (3)}
masalaning xos soni emasligi kelib chiqadi.
0
holni ko‘ramiz. Bunda (1) tenglamaning umumiy yechimi
1
2
y x
C J
x
C Y x
(4)
ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda bu yerda
J
x
va
Y
x
funksiyalar mos ravishda birinchi va
ikkinchi tur Bessel funksiyalari [1]:
2
=0
1
2
=
1
1
n
n
n
x
J
x
n
n
,
cos(
)
=
sin(
)
J
x
J
x
Y x
,
a
–Eylerning gamma-funksiyasi [2].
(2) shartdan
2
0
C
ekanligi kelib chiqadi. U holda
1
y x
C J
x
bo‘ladi.
1
1
C
deb
olib, (3) shartdan foydalanib, xos qiymatlar uchun
0
0
0
J
x
hJ
x
tenglamaga ega bo‘lamiz.
0
,
0
x
almashtirishni qo‘llab
0
0
J
hx J
(5)
tenglikka kelamiz.
15
Teorema.
,
0,
0
bo‘lsin. U holda
0
J
J
tenglama sanoqli
sondagi musbat ildizlarga ega. Ularning chegaralanish nuqtasi cheksizlikdir.
Bu teoremaga ko‘ra (5) tenglama sanoqli sonda
1
2
0
...
...
k
musbat ildizlarga
ega bo‘ladi.
0
,
0
x
ga ko‘ra, xos sonlar
2
0
k
k
x
,
1,2,...
k
,
xos funksiyalar esa
0
k
k
x
y
x
J
x
,
1,2,...
k
bo‘ladi.
Xos funksiyalarning normasini hisoblash uchun
0
0
2
2
2
0
0
0
x
x
k
k
x
y
xy
x dx
xJ
dx
x
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
x
k
k
v
k
x
x
x
J
x
J
x
x
formuladan foydalanamiz. U holda
2
2
2
2
2
0
0
2
1
2
k
k
k
k
y
x J
x
J
tenglikka ega bo‘lamiz.
Oxirgi formuladan Bessel funksiyasining hosilasini chiqaraylik. Buning uchun (5)
tenglamadan foydalanamiz.
k
– (5) tenglamaning ildizi bo‘lgani uchun
0
k
k
k
hx
J
J
bo‘ladi. Shunday qilib,
2
2
4
2
2
2
0
0
2
2
0
1
2
k
k
k
x
h x
y
J
x
,
1,2,...
k
.
References:
1.
O‘rinov A.Q.
Maxsus funksiyalar va maxsus operatorlar.
Farg‘ona. –2012.
2.
Бейтмен Г., Эрдейи А.
Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая
функция. Функция Лежандра.
М.: Наука. – 1965.
