113
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Ахметов Куанишбек Низамаддинович
Преподаватель математики, Ташкентский институт текстильной
и легкой промышленности Рес.УЗ. г. Ташкент: don10061992@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.14415214
: В настоящей дается определения и свойств специальных функции, а
также решаются задачи Коши, Коши-Гурса и Неймана(
N
) для уравнения
гиперболического и эллиптического типов второго рода с сингулярным
коэффициентом.
Ключевые слова:
Определение и некоторые свойства специальных функций.
1. Гамма функция.
Гамма функцией
( )
z
называется интеграл Эйлера второго
рода [4], [28]:
1
0
( )
z
x
z
x
e dx
,
Re
0
z
, (1.1)
который сходится для всех
z
C
при
Re
0
z
(
C
-множество комплексных
чисел).
Гамма-функция
( )
z
удовлетворяет
следующим
функциональным
соотношениям:
а) обобщенные формулы понижения и повышения аргумента
(
)
( )
( )
n
z
n
z
z
,
( )
( 1)
( )
(
)
(
)
(1
)
n
n
n
z
z
z
n
z
n
z
,
б) формула дополнения
( ) (1
)
sin
z
z
z
при
1
z
, если
1
2
z
, то
1
2
, (1.2)
в) формула удвоения (формула Лежандра)
2
1
2
1
(2 )
( )
2
z
z
z
z
,
г) другие соотношения
(
1)
!
n
n
,
(1) 1
,
( ) (
)
sin
z
z
z
z
.
2. Бета функция.
Бета-функция
( , )
B p q
определяется с помощью интеграла
Эйлера первого рода [4], [28]:
1
1
1
0
( , )
(1
)
p
q
B p q
t
t
dt
,
Re
0
p
,
Re
0
q
. (1.3)
Функция
( , )
B p q
выражается через функцию
( )
z
по формуле
( ) ( )
( , )
(
)
p
q
B p q
p
q
. (1.4)
114
3. Гипергеометрическая функция Гаусса
( , , , )
F a b c z
определяется при
1
z
как сумма степенного ряда [4], [28]:
0
( ) ( )
( , , , )
( )
!
k
k
k
k
k
a
b
z
F a b c z
c
k
, (1.5)
которая называется гипергеометрическим рядом.
Его параметры
, ,
a b c
и переменная
z
могут быть комплексными, причем
0, 1, 2,...
c
, а символ Похгаммера
( )
n
a
при целых неотрицательных определяется
равенством [4], [28]:
( )
(
1)...(
1)
n
a
a a
a
n
,
1, 2,...
n
,
0
( )
1
a
Очевидно, что
( )
( 1) (
)(
1)...(1
)
n
n
a
a
a
n a
,
(1)
!
n
n
.
Если
1
z
и
1
z
,
Re(
)
0
c
a
b
, то ряд (1.5) сходится абсолютно и
равномерно, а при остальных значениях
z
функция Гаусса определяется как
аналитическое продолжение этого ряда. Один из способов такого продолжения -
использование интегрального представления Эйлера
1
1
1
0
( )
( , , , )
(1
)
(1
)
,
( ) (
)
0
Re
Re , arg(1
)
a
c a
b
c
F a b c z
t
t
zt
dt
a
c
a
a
c
z
(1.6)
правая часть которого определена при указанных условиях, обеспечивающих
сходимость интеграла. Далее, приведем свойства функции Гаусса.
, , ,1
c
c
a
b
F a b c
c
a
c
b
,
Re
0
c
a
b
, (1.7
1
)
( , , , )
(1
)
a
F a b b z
z
, (1.7
2
)
, , ,
1
,
, ;
c a b
F a b c z
z
F c
a c b c z
, (1.7
3
)
(0, , ; )
( , , ;0) 1
F
b c z
F a b c
, (1.7
4
)
, , ,
1
,
, ;
1
, ;
,
1
1
arg(1
)
,
a
b
z
z
F a b c z
z
F a c
b c
z
F a
c c
z
z
z
(1.7
5
)
1
( , , , )
(
1, , , )
a
a
d
z F a b c z
az
F a
b c z
dz
(1.7
6
)
Гипергеометрическая функция Гаусса допускает следующую оценку [24], [27]:
115
при
0, 0
1,
( , , , )
(1
)
при
0, 0
1,
1 ln(1
)
при
0, 0
1.
c a b
const
c
a
b
z
F a b c z
const
z
c
a
b
z
const
z
c
a
b
z
(1.8)
References:
1.
Gellerstedt S. Sur un probleme aux limitespour equation // Arkiv for matematik,
astronomiochfysik. 1935. 25А. № 10. Р. 1-12.
2.
Urinov A.K., Okboev A.B. Nonlocal Boundary-Value Problem for a Parabolic-Hyperbolic
Equation of the Second Kind. // Lobachevskii Journal of Mathematics. Vol.41. no. 9. 2020. Pp.
1886–1897 .
3.
Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. Т.2. 296
с.
4.
Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. Т.1. 296
с.
5.
Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа. // Некоторые
проблемы математики и механики: Сб. науч. тр. Ленинград, 1970. С. 112-119.
6.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:
«Наука». 1966. 204 с.
7.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука,
1981. 448 с.
8.
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959. 165 с.
9.
Sindarova, Shoxista Maxammatovna (2021). OʻYINLI TEХNOLOGIYALARDAN
FOYDALANISH ORQALI O‘QUVCHILARNING BILIM, KO‘NIKMA VA MALAKALARINI
SHAKLLANTIRISH ( CHIZMACHILIK FANI MISOLIDA). Oriental renaissance: Innovative,
educational, natural and social sciences, 1 (11), 686-691.
10.
Maxammatovna, S. S. (2022). Methods of Solving Some Problems of Teaching
Engineering Graphics. Spanish Journal of Innovation and Integrity, 7, 97-102.
11.
Рихсибоев, У. Т., Халилова, Х. Э., & Синдарова, Ш. М. (2022). АutoCAD дастуридан
фойдаланиб деталлардаги ўтиш чизиқларини қуришни автоматлаштириш. Science and
Education, 3(4), 534-541.
12.
Bobomurotov, T. G., & Rikhsiboev, U. Т. (2022). Fundamentals Of Designing Triangles
Into Sections Equal 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 And 19. Central Asian Journal of Theoretical and
Applied Science, 3(2), 96-101.
13.
Makhammatovna, S. S. (2023). Pedagogical and Psychological Aspects of Improving the
Methods of Developing Students' Creative Research. Web of Semantic: Universal Journal on
Innovative Education, 2(3), 37-41.
14.
Abdurahimova, F. A., Ibrohimova, D. N. Q., Sindarova, S. M., & Pardayev, M. S. O. G. L.
(2022). Trikotaj mahsulotlar ishlab chiqarish uchun paxta va ipak ipini tayyorlash va
foydalanish texnologiyasi. Science and Education, 3(4), 448-452.
15.
Sindarova, S. (2023). TALABALARDA IJODIY IZLANUVCHANLIKKA XOS SIFATLARNI
116
SHAKILLANTIRISH USULLARI. Академические исследования в современной науке, 2(11),
23-29.
16.
Sindarova Shoxista Maxammatovna, & Mаxmudov Аbdunаbi Аbdugʻаfforovich (2022).
MUHANDISLIK GRAFIKASI FANLARINI OʻQITISHDA IJODIY IZLANISH TALAB QILINADIGAN
MASALALAR. Ta’lim fidoyilari, 24 (17), 2-275-284.
17.
Rixsiboyev, U. T., & Maxammatovna, S. S. (2023). TEXNOLOGIK VOSITALAR ORQALI
INNOVATSION DARS TASHKIL QILISH. ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ
В МИРЕ, 20(8), 168-175.
18.
Shoxista, S. Abdug’aforovich, MA (2022). METHODOLOGY OF STUDENT CAPACITY
DEVELOPMENT IN TEACHING ENGINEERING GRAPHICS. Gospodarka i Innowacje, 22, 557-
560.
19.
Sindarova, S. M. (2021). IQTIDORLI TALABALAR BILAN SHUG’ULLANISH
METODIKASI.(MUHANDISLIK FANLARI MISOLIDA). Oriental renaissance: Innovative,
educational, natural and social sciences, 1(8), 32-39.
20.
Shoxista, S. (2023). MUHANDISLIK GRAFIKASI FANINI OʻZLASHTIRISHDA ZAMONAVIY
DASTURDAN FOYDALANISH ORQALI TALABALAR IJODKORLIGINI RIVOJLANTIRISH.
Innovations in Technology and Science Education, 2(9), 780-790.
21.
Синдарова, Ш. (2023). Yosh ijodkorlarni qoʻllab quvvatlash va ular bilan ishlashni
tashkil qilish. Общество и инновации, 4(2), 177-181.
22.
Makhammatovna, S. S. (2023). DEVELOPMENT OF ENGINEERING GRAPHICS STUDENTS
TO CREATIVITY THROUGH IMAGINATION VIEWS. Лучшие интеллектуальные
исследования, 3(1), 22-26.
23.
Takhirovich, A. U., & Makhammatovna, S. S. (2023). Forming Creativity through the Use
of Modern Educational Tools. International Journal of Formal Education, 2(6), 404-409.
24.
Sindarova, S. (2023). AUTOCAD DASTURIDAN FOYDALANIB TALABALARNING IJODIY
IZLANISHLARINI RIVOJLANTIRISH. Наука и технология в современном мире, 2(14), 38-41.
25.
Mirzaliyev, Z. E., Sindarova, S., & Eraliyeva, S. Z. (2021). Develop students' knowledge,
skills and competencies through the use of game technology in the teaching of school drawing.
American Journal of Social and Humanitarian Research, 2(1), 58-62.
26.
Sindarova, S. M., Rikhsibaev, U. T., & Khalilova, H. E. (2022). THE NEED TO RESEARCH
AND USE ADVANCED PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN THE DEVELOPMENT OF
STUDENTS'CREATIVE RESEARCH. Academic research in modern science, 1(12), 34-40.
27.
Mirzaliev, Z., Sindarova, S., & Eraliyeva, S. (2019). Organization of Independent Work of
Students on Drawing for Implementation of the Practice-Oriented Approach in Training.
International Journal of Progressive Sciences and Technologies, 17(1), 297-298.
