18
Alfraganus University
¹ Кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Цифровые технологии» ALFRAGANUS UNIVERSITY ТГТУ, Ташкент, Узбекистан.
e-mail: goyibnazarova71@mail.ru. ОRCID 0009-0005-6054-2199
ГЕОМЕТРИЯНИ ¤ЈИТИШДА
ФУЗИОНИЗМ ўОЯСИНИ Ј¤ЛЛАШ
GEOMETRIC EDUCATION WITH
THE POSITION OF THE IDEAS OF FUSIONISM
Гулнора Норматовна Гойибназарова
¹
Аннотация:
эта статья посвящается геометрическому образованию с позиций идей фузионизма и практическому пользу
идеи фузионизма при решении геометрических задач. Также в статье ведется сравнительный анализ геометри
-
ческих понятий и объектов на плоскости и в пространстве.
Аннотация:
мазкур мақолада геометрия фанини ўқитишда фузионизм ғоясини қўллаш ҳамда геометрик масалларни ечишда
фузионизм ғоясидан фойдаланишнинг афзалликлари ҳақида фикрлар билдирилган. Бундан ташқари, мақолада
текисликда ва фазода геометрик тушунча ва объектларни таққаслашга ҳам тўхталиб ўтилган.
Abstract:
this article is dedicated to the stages of development of the idea of fuzionizm in stadying geometry and the practical use
of the idea of fusionism in solving geometric problems. The article also conducts a comparative analysis of geometric objects
on the plane and in space.
Ключевые слова:
преподавание геометрии, фузионизм, планиметрия, стереометрия, простран-
ственное представление
Калит сўзлар:
геометрияни ўқитиш, фузионизм, планиметрия, стереометрия, фазовий тасаввур.
Key words:
teaching geometry, fuzionizm, planimetry, stereometry.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
С ПОЗИЦИЙ ИДЕЙ ФУЗИОНИЗМА
УДК 51:371-3
19
Alfraganus University
Проблема слитного изучения планиметрии со стереометрией очень актуальна в наши дни, а спор по
этому вопросу уходит в середину 18-го века, когда начали проходить реформы образования. В течение
всего ушедшего 20-го века выдающиеся математики, педагоги решали одну из сложнейших проблем
теории обучения математике - как эффективно построить и преподавать курс геометрии. Тему «Фу-
зионизмы в геометрии» логично рассмотреть в конце изучения школьного курса геометрии в качестве
повторения и обобщения пройденного материала. Кроме того, мы встречаемся с фузионизмами при
решении большинства задач, следовательно, изучив этот материал, ученики будут увереннее решать
задачи на уроках геометрии, пользуясь новыми, приобретёнными знаниями. Из всего выше сказанного
можно сделать вывод, что разобравшись и поняв идею фузионизма в курсе геометрии, данный подход
принесёт большую практическую пользу.
Идея фузионизма в геометрии всегда была привлекательна, сама по себе очень красива, нестандартна
по отношению к традиционной сложившейся системе последовательного курса геометрии от плани-
метрии к стереометрии, восходящей ещё к «Началам» Евклида.
Планиметрия (от лат. planum — плоскость и греч. metreo — измеряю), часть элементарной геоме-
трии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости.
Стереометрия (от стерео - объём и греч. metreo — измеряю), часть элементарной геометрии, в ко-
торой изучаются фигуры в пространстве [3].
В первой половине 19-го века фузионизм ещё не был популярен в Росси, но весьма интересовал умы
многих в Западной Европе, где Н.И.Лобачевский нашёл своих последователей, например, французского
математика Монжа, а тот своих учеников: Брианшона, Понселе, Шаля, Штаудта и др [7]. В 1825 г. из-
вестный французский математик Жергонн написал статью о необходимости слитного преподавания
планиметрии и стереометрии, в которой поднял вопрос о неестественном (с его точки зрения) деле-
нии геометрии на плоскую и пространственную, что плохо влияет на умственное развитие учащихся.
Именно Жергонн первый предложил запись аналогичных утверждений для плоскости и пространства
в два столбца, например:
Выведем значение фузионизма при изучении геометрии. Во-первых, воспользуемся словами
Бретшнейдера, автора книги «О преподавании геометрии в гимназиях»:
• Очень вредно молодой ум ученика долго задерживать на изучении плоской геометрии, так как от
этого замедляется развитие пространственного представления, а от этого и развитие вообще.
• Метод обучения геометрии, основанный на отделении планиметрии от стереометрии, не даёт тех
результатов, каких можно достигнуть с помощью метода слияния.
Туринский профессор Паоли отмечает:
• Существует много аналогий между некоторыми плоскими и пространственными фигурами, но
изучая их раздельно друг от друга, мы отказываемся видеть то, что даёт полная аналогия между ними,
и тем самым возвращаемся к излишним повторениям [1].
Несмотря на большое значение фузионизма, в школе всё-таки не прижилось слитное преподавание
планиметрии со стереометрией в систематическом курсе геометрии. Основная причина заключается
в том, что фузионизм противоречит основным дидактическим принципам: от простого к сложному,
последовательности, систематичности. Можно сделать вывод, что метод фузионизма будет весьма
полезен и эффективен при проведении заключительного этапа изучения школьного курса геометрии
– повторении основного пройденного материала.
При этом следует помнить, что фузионистский систематический курс геометрии никогда не был
официальным, общепринятым, никогда не имел широкого распространения.
Идея фузионизма в геометрии возникла из недр самой геометрии, была обусловлена задачами пре-
подавания одной из самых образных, живых и практических наук, особенно в средней школе. «Неис-
порченный» мозг ребенка способен понимать многое, даже то, что кажется взрослому непостижимым.
Все мы знаем, что детские впечатления – самые сильные и прочные впечатления, они порою остаются
с человеком на всю жизнь. Поэтому создание ярких, довольно «трудных», развивающих учебников,
например, по геометрии, необходимо как на начальной ступени обучения, так и в средних и старших
классах, при этом нельзя забывать о возрастных и психических особенностях детей, их наклонностях.
Основными задачами преподавания геометрии в школе являются:
1)
изучение пространственных форм;
2)
развитие пространственного воображения;
20
Alfraganus University
32
Для плоскости
Для пространства
Если фигура находится в пределах
некоторой плоскости, то из выбранной на
плоскости точки (начала координат)
проводят две взаимно перпендикулярные
оси
OX
(абсцисс)
и
OY
(ординат).
Положение
точки
на
плоскости
определяют двумя координатами:
x
и
y.
Если фигура (точка) находится в
пространстве, то через начало координат
проводят три взаимно перпендикулярные
оси
OX
(абсцисс),
OY
(ординат)
и
OZ
(аппликат).
Соответственно
этому
положение точки в пространстве задаѐтся
тремя координатами:
x, y
и
z
. Можно
сказать, что это пространство трѐх
измерений или трѐхмерное пространство
AC=CB
Каждая координата середины отрезка
равна полусумме соответствующих
координат его концов. Т.е.
x
C
=(x
A
+x
B
):2,
y
C
=(y
A
+y
B
):2
AC=CB
То же самое, только
добавляется
координата
z; z
C
=(z
A
+z
B
):2
Расстояние между двумя точками
определяется по формуле:
AB
2
=(x
A
-x
B
)
2
+(y
A
-y
B
)
2
AB
2
=(x
A
-x
B
)
2
+(y
A
-y
B
)
2
+(z
A
-z
B
)
2
Возможны два случая взаимного
расположения прямых на плоскости:
а) прямые пересекаются, т.е. имеют
только одну общую точку;
б) прямые параллельны, т.е. лежат в
одной плоскости и не пересекаются.
Возможны два случая взаимного
расположения
плоскостей
в
пространстве:
а) плоскости пересекаются;
б) плоскости параллельны.
В прямоугольной системе координат
уравнение окружности радиуса
r
с
центром в некоторой точке (
x
0
; y
0
)
имеет вид:
(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
=r
2
.
В частности, уравнение окружности
радиуса
r
с центром в начале координат
имеет вид:
x
2
+y
2
=r
2
.
В трѐхмерном пространстве уравнение
сферы радиуса
r
с центром в некоторой
точке (
x
0
;y
0
;z
0
) имеет вид:
(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
+(z-z
0
)
2
=r
2
.
В частности, уравнение сферы радиуса
r
с центром в начале координат имеет вид:
x
2
+y
2
+z
2
=r
2
.
Уравнение прямой будет иметь вид:
ax+by+c=0,
где
x
и
y -
переменные,
a, b
и
c
числа.
Уравнение плоскости будет иметь вид:
ax+by+cz+d
=0, где
x, y
и
z -
переменные,
a, b, c
и
d
числа
.
Условия параллельности прямых:
a
1
x+b
1
y+c
1
=0
a
2
x+b
2
y+c
2
=0
a||b
a
1
:a
2
=b
1
:b
2
c
1
:c
2
где
x
и
y -
переменные, являющиеся
координатами
некоторой
точки,
Условия параллельности плоскостей:
a
1
x+b
1
y+c
1
z+d
1
=0
a
2
x+b
2
y+c
2
z+d
2
=0
α||β
a
1
:a
2
=b
1
:b
2
=c
1
:c
2
d
1
:d
2
где
x, y
и
z -
переменные, являющиеся
координатами некоторой точки, лежащей
3)
воспитания правильного логического мышления;
4)
привитие практических навыков, включая сюда и умение решать различные геометрические
задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.
Известно, что содержание курса геометрия состоит из аксионмы, теоремы, определения и решение
задач которое в целом образуют геоемтрические понятия. В работе геометрическую подготовку уча-
щихся мы определили по следуюшим параметрам:
-знание геометрических понятия;
- использокания теоритического материала на практике;
-правильно и наглядно изображать геометрических фигур;
-уровень развития пространственного воображания;
-роль геометриии при изучении других предметов;
-обобщать пройденный материал при изучении новой темы.
Сравнение планиметрии со стереометрией
21
Alfraganus University
32
Для плоскости
Для пространства
Если фигура находится в пределах
некоторой плоскости, то из выбранной на
плоскости точки (начала координат)
проводят две взаимно перпендикулярные
оси
OX
(абсцисс)
и
OY
(ординат).
Положение
точки
на
плоскости
определяют двумя координатами:
x
и
y.
Если фигура (точка) находится в
пространстве, то через начало координат
проводят три взаимно перпендикулярные
оси
OX
(абсцисс),
OY
(ординат)
и
OZ
(аппликат). Соответственно
этому
положение точки в пространстве задаѐтся
тремя координатами:
x, y
и
z
. Можно
сказать, что это пространство трѐх
измерений или трѐхмерное пространство
AC=CB
Каждая координата середины отрезка
равна полусумме соответствующих
координат его концов. Т.е.
x
C
=(x
A
+x
B
):2,
y
C
=(y
A
+y
B
):2
AC=CB
То же самое, только
добавляется
координата
z; z
C
=(z
A
+z
B
):2
Расстояние между двумя точками
определяется по формуле:
AB
2
=(x
A
-x
B
)
2
+(y
A
-y
B
)
2
AB
2
=(x
A
-x
B
)
2
+(y
A
-y
B
)
2
+(z
A
-z
B
)
2
Возможны два случая взаимного
расположения прямых на плоскости:
а) прямые пересекаются, т.е. имеют
только одну общую точку;
б) прямые параллельны, т.е. лежат в
одной плоскости и не пересекаются.
Возможны два случая взаимного
расположения
плоскостей
в
пространстве:
а) плоскости пересекаются;
б) плоскости параллельны.
В прямоугольной системе координат
уравнение окружности радиуса
r
с
центром в некоторой точке (
x
0
; y
0
)
имеет вид:
(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
=r
2
.
В частности, уравнение окружности
радиуса
r
с центром в начале координат
имеет вид:
x
2
+y
2
=r
2
.
В трѐхмерном пространстве уравнение
сферы радиуса
r
с центром в некоторой
точке (
x
0
;y
0
;z
0
) имеет вид:
(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
+(z-z
0
)
2
=r
2
.
В частности, уравнение сферы радиуса
r
с центром в начале координат имеет вид:
x
2
+y
2
+z
2
=r
2
.
Уравнение прямой будет иметь вид:
ax+by+c=0,
где
x
и
y -
переменные,
a, b
и
c
числа.
Уравнение плоскости будет иметь вид:
ax+by+cz+d
=0, где
x, y
и
z -
переменные,
a, b, c
и
d
числа
.
Условия параллельности прямых:
a
1
x+b
1
y+c
1
=0
a
2
x+b
2
y+c
2
=0
a||b
a
1
:a
2
=b
1
:b
2
c
1
:c
2
где
x
и
y -
переменные, являющиеся
координатами
некоторой
точки,
Условия параллельности плоскостей:
a
1
x+b
1
y+c
1
z+d
1
=0
a
2
x+b
2
y+c
2
z+d
2
=0
α||β
a
1
:a
2
=b
1
:b
2
=c
1
:c
2
d
1
:d
2
где
x, y
и
z -
переменные, являющиеся
координатами некоторой точки, лежащей
33
лежащей на данной прямой,
a, b
, и
c
–
это числа.
на данной прямой,
a, b
, и
c
–
это числа.
Условия перпендикулярности прямых:
a
┴
b
a
1
a
2
+b
1
b
2
=0
Условия
перпендикулярности
плоскостей:
α┴β
a
1
a
2
+b
1
b
2
+c
1
c
2
=0
Расстояние от точки до прямой:
2
2
b
a
c
by
ax
d
Где
x
и
y -
координаты точки,
a, b
, и
c
числа из уравнения прямой.
Расстояние от точки до плоскости:
2
2
2
c
b
a
d
cz
by
ax
d
Где
x, y
и
z -
координаты точки,
a, b, c
и
d
числа из уравнения плоскости.
Косинус угла между прямыми:
Cos
φ=
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
y
x
x
Косинус угла между плоскостями:
Cos
φ=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
Любые вектора можно разложить по
двум координатным неколлинеарным
векторам:
a=x
1
i+y
1
j,
b=x
2
i+y
2
j,
где
x
и
y -
коэффициенты разложения, они
являются координатами векторов:
a {x
1
; y
1
}
b {x
2
; y
2
}
Сложение и вычитание векторов:
а+
b {x
1+
x
2
; y
1
+y
2
}
Умножение вектора на число:
λ
a
{λ
x
1
; λ
y
1
}
Длина вектора:
|a|=
2
1
2
1
x
y
Параллельность векторов:
a=x
1
i+y
1
j,
b=x
2
i+y
2
j,
a||b
x
1
:x
2
=y
1
:y
2
Перпендикулярность векторов:
a
┴
b
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
Любые вектора можно разложить по трѐм
координатным некомпланарным векторам:
a=
x
1
i+y
1
j+z
1
k,
b=
x
2
i+y
2
j+z
2
k,
где
x
и
y
коэффициенты разложения, они
являются координатами векторов:
a {x
1
; y
1
; z
1
}
b {x
2
; y
2
; z
2
}
Сложение и вычитание векторов:
а+
b {x
1
+x
2
; y
1
+y
2
; z
1
+z
2
}
Умножение вектора на число:
λ
a
{λ
x
1
; λ
y
1
; λ
z
1
}
Длина вектора:
|a|=
2
1
2
1
2
1
x
z
y
Параллельность векторов:
a=
x
1
i+y
1
j+z
1
k,
b=
x
2
i+y
2
j+z
2
k,
a||b
x
1
:x
2
=y
1
:y
2
=z
1
:z
2
Перпендикулярность векторов:
a
┴
b
x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2
=0
22
Alfraganus University
34
Фузионизм при изучении геометрических фигур.
Для выявления фузионизма при изучении геометрических фигур сформируем
дидактические блоки:
1)куб
-
квадрат
2)параллелепипед
-
прямоугольник
3)пирамида
-
треугольник
4)сфера
-
окружность.
Для плоскости
Для пространства
название
Квадрат
Куб
определение
Прямоугольник, у которого
все стороны равны
Прямоугольный
параллелепипед, у которого
все стороны равны
элементы
4 вершины, 4 стороны, 2
диагонали
8 вершин, 6
граней,
12 рѐбер, 4 диагонали
свойства
Все углы квадрата прямые
Все углы куба прямые
Диагонали квадрата равны,
взаимно перпендикулярны,
точкой пересечения делятся
пополам
Диагонали куба равны и
точкой пересечения делятся
пополам, но не
перпендикулярны друг к
другу
величины
S=a
2
V=a
3
название
Прямоугольник
Прямоугольный
параллелепипед
определение
Прямоугольником
называется параллелограмм, у
которого все углы прямые
Прямоугольным
параллелепипедом называется
четырѐхугольная призма,
основаниями которой
являются прямоугольники
элементы
4 вершины, 4 стороны, 2
диагонали
8 вершин, 6
граней,
12 рѐбер, 4 диагонали
свойства
Диагонали прямоугольника
равны и точкой пересечения
делятся пополам
Диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны и,
пересекаясь в одной точке,
они точкой пересечения
делятся пополам
Противоположные стороны
прямоугольника параллельны
и равны
Противоположные грани
прямоугольного
параллелепипеда
параллельны и равны
признак
Если в параллелограмме
диагонали равны, то этот
Если в четырѐхугольной
призме диагонали равны, то
Фузионизм при изучении геометрических фигур.
Для выявления фузионизма при изучении геометрических фигур сформируем дидактические блоки:
1)куб-квадрат
2)параллелепипед-прямоугольник
3)пирамида-треугольник
4)сфера-окружность.
23
Alfraganus University
35
параллелограмм
-
прямоугольник
это прямоугольный
параллелепипед
величины
S=ab
произведение длины на
ширину
V=abc
произведение длины,
ширины и высоты
название
Треугольник
Тетраэдр
определение
Три точки, не лежащие на
одной прямой и соединѐнные
отрезками
Четыре точки пространства,
не лежащие в одной
плоскости и соединѐнные
отрезками
элементы
Вершины, стороны, высота,
медиана, биссектриса
Основание, боковые грани,
рѐбра, высота, апофема,
вершина
величины
S=1/2ha
, где
a-
основание, а
h-
высота, проведѐнная к нему
V=1/3S
осн.
h
, где
h-
высота,
проведѐнная из вершины к
основанию
название
Окружность
Сфера
определение
Множество точек плоскости,
одинаково удалѐнных от
данной точки,
принадлежащих этой же
плоскости
Множество точек
пространства, одинаково
удалѐнных от данной точки
элементы
Центр окружности, радиус,
диаметр, хорда, дуга, сектор.
Понятие круга
Центр сферы, радиус, хорда,
диаметр, дуга, сектор.
Понятие шара
Заключение
Соответственно, можно сделать вывод, что проведение уроков с использованием
идеи фузионизма действительно способствует повышению геометрическую подготовку у
учащихся, повышает интерес к предмету и развивает пространственное воображения.
Также, при использовании идеи фузионизма на уроках можно экономить время за счет
обобщения пройденного материала.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Левитас Г.Г. Фузионизм в школьной геометрии// Математика в школе, 1995,
№6
-
С. 21
-26.
2.
Митенев Ю.А. Использование информационно
-
коммуникационных технологий в
обучении математике // Среднее профессиональное образование. 2011. № 6. С. 19
-20.
3.
Смирнова И.М. Идеи фузионизма в преподавании ШКГ//Математика
(еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), №17, 1998.
Заключение.
Соответственно, можно сделать вывод, что проведение уроков с использованием идеи фузионизма
действительно способствует повышению геометрическую подготовку у учащихся, повышает интерес
к предмету и развивает пространственное воображения. Также, при использовании идеи фузионизма
на уроках можно экономить время за счет обобщения пройденного материала.
Adabiyotlar:
1.Левитас Г.Г. Фузионизм в школьной геометрии// Математика в школе, 1995, №6-С. 21-26.
2.Митенев Ю.А. Использование информационно-коммуникационных технологий в обуче-
нии математике // Среднее профессиональное образование. 2011. № 6. С. 19-20.
3.Смирнова И.М. Идеи фузионизма в преподавании ШКГ//Математика (еженедельное
приложение к газете «Первое сентября»), №17, 1998.
4.Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования.
М., 2009.
5.Погорелов А.В.Геометрия: Учебник для 7-11класса. М. Просвещение. 1991г. стр.384.
6.Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учеб. Для ощеобразоват. учеб. заведений. - 3-е изд. сте-
реотип. - М.: Дрофа. 2001г.- 208с.
7.Льютых Е.Ф., Бурилич И.Н. Идея фузионизма в преподавании школьного курса геометрии. Сборник
научных статей по материалам II Международной научно-практической конференции. Уфа 2020.
8. Капаева Н.В. Школьное геометрическое образование с позиции идей фузионизма. Елец ЕГУ им.
И.А. Бунина, 2006
