Панжарадаги икки ва учта бир хил заррачали системаларга мос шредингер операторларининг муҳим ва дискрет спектрлари ҳақида

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 14.07.2016.FM.01.01

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

ХАЛХЎЖАЕВ АХМАД МИЯССАРОВИЧ

ПАНЖАРАДАГИ ИККИ ВА УЧТА БИР ХИЛ ЗАРРАЧАЛИ

СИСТЕМАЛАРГА МОС ШРЕДИНГЕР ОПЕРАТОРЛАРИНИНГ

МУҲИМ ВА ДИСКРЕТ СПЕКТРЛАРИ ҲАҚИДА

01.01.01 – математик анализ

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

УДК: 519

Докторлик диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской диссертации

Content of the abstract of doctoral dissertation

Халхўжаев Ахмад Мияссарович

Панжарадаги икки ва учта бир хил заррачали системаларга мос
Шредингер операторларининг муҳим ва дискрет спектрлари ҳақида....... 3

Халхужаев Ахмад Мияссарович

О существенном и дискретном спектрах операторов шредингера,

соответствующих системам двух и трех одинаковых частиц на
решетке............................................................................................................. 25

Khalkhujaev Ahmad Miyassarovich

On the essential and discrete spectra of the Schrödinger operator associated to a
system of two and three identical particles on lattices.............................. 47

Эълон қилинган ишлар рўйхати

Список опубликованных работ
List of publihed works....................................................................................... 68

2

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 14.07.2016.FM.01.01

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

ХАЛХЎЖАЕВ АХМАД МИЯССАРОВИЧ

ПАНЖАРАДАГИ ИККИ ВА УЧТА БИР ХИЛ ЗАРРАЧАЛИ

СИСТЕМАЛАРГА МОС ШРЕДИНГЕР ОПЕРАТОРЛАРИНИНГ

МУҲИМ ВА ДИСКРЕТ СПЕКТРЛАРИ ҲАҚИДА

01.01.01 – математик анализ

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

3

Докторлик диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси

ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида 30.09.2014/B2014.3-4.FM86 рақам билан рўйхатга
олинган.

Докторлик диссертацияси Самарқанд давлат университетида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз) Илмий кенгаш веб-саҳифаси

(http://ik-fizmat.nuu.uz/) ва «ZIYONET» таълим ахборот тармоғида (www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи: Лақаев Саидахмат Норжигитович

физика-математика фанлари

доктори, профессор

Расмий оппонентлар: Малышев Вадим Александрович

физика-математика

фанлари доктори, профессор

(Москва давлат университети, Россия)

Ғанихўжаев Расул Набиевич

физика-математика фанлари доктори, профессор

Рахимов Абдуғофур Абдумажидович

физика-математика фанлари доктори

Етакчи ташкилот: Миссури университети

(АҚШ)

Диссертация ҳимояси Ўзбекистон Миллий университети ҳузуридаги 14.07.2016.FM.01.01

рақамли Илмий кенгашнинг «___»___________2016 йил соат____ даги мажлисида бўлиб ўтади.
(Манзил: 100174, Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (99871) 227-12-24,
факс: (99871) 246-53-21, 246-02-24, e-mail: nauka@nuu.uz.)

Докторлик диссертацияси билан Ўзбекистон Миллий университетининг Ахборот-ресурс

марказида танишиш мумкин (____рақами билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100174, Тошкент ш.,
Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (99871) 246-02-24).

Диссертация автореферати 2016 йил «____» _______________куни

тарқатилди. (2016 йил «____» _______________ даги _______ рақамли реестр
баѐнномаси).

А.А. Абдушукуров

Фан доктори илмий даражасини берувчи

Илмий кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., профессор

Ғ.И. Ботиров

Фан доктори илмий даражасини берувчи

Илмий кенгаш котиби, ф.-м.ф.н.

А. Садуллаев

Фан доктори илмий даражасини берувчи

Илмий кенгаш хузуридаги илмий семинар раиси,

ф.-м.ф.д., профессор, академик

4

КИРИШ (докторлик диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Жаҳон

миқѐсида олиб борилаѐтган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар физикада
мураккаб турғун объектлар одатда уларнинг боғланган пайтдаги энергиясини
камайиш имконини берувчи тортишиш кучлари натижасида ҳосил бўлишини
кўрсатади. Бироқ кейинги йилларда олимлар томонидан тартибланган
муҳитларда мураккаб турғун объектлар ҳаттоки итаришувчи таъсирлар
натижасида ҳам мавжуд бўлишлиги исботланди. Итаришувчи жуфтликларни
тавсифлашда фойдаланиладиган Бозе–Хаббард модели, яъни панжарадаги
Шредингер оператори экспериментал кузатишларнинг назарий асоси ва
қўллашнинг назарий базаси ҳисобланади. Шунинг учун қаттиқ жисмлар
физикаси ҳамда квант майдонлар назариясида учрайдиган панжарадаги
заррачалар системаси гамильтонианларига мос Шредингер операторларига
оид тадқиқотларни ривожлантириш муҳим вазифаларидан бири бўлиб
қолмоқда.

Мустақиллик йилларида мамлакатимизда амалий тадбиққа эга бўлган

долзарб йўналишларга эътибор кучайтирилди, хусусан, мамлакатимиз
олимлари томонидан бутун сонли панжарадаги заррачалар системаси
гамильтонианларига мос Шредингер операторларини ўрганишга алоҳида
эътибор қаратилди. Панжарадаги икки ва уч заррачали системага мос
Шредингер операторлари учун муҳим спектрдан ташқарида боғланган
ҳолатлар мавжудлиги ва уларнинг сони ҳамда муҳим спектр тубидаги
эффектларни аниқлашга оид сезиларли натижаларга эришилди.

Ҳозирги кунда панжарадаги икки ва уч квант заррачали система

гамильтонианларига мос Шредингер операторлари оиласининг спектри
система квазиимпульси ўзгаришига нисбатан ўта сезувчан бўлганлиги учун
ушбу операторлар оилалари спектрига оид муаммоларни ҳал этиш, жумладан
уч заррачали дискрет Шредингер операторлари учун боғланган ҳолатлар
мавжудлигини кўрсатиш ва унинг сонини аниқлаш муҳим аҳамият касб
этмоқда. Бу борада мақсадли илмий тадқиқотларни, жумладан, қуйидаги
йўналишлардаги илмий изланишларни амалга ошириш муҳим вазифалардан
бири ҳисобланади: панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита бир
хил заррачали (фермионли ѐки бозонли) системага мос Шредингер
операторининг дискрет спектрини тадқиқ этиш; ушбу оператор муҳим
спектри тубидаги бўсағавий ходисаларни аниқлаш; уч ўлчамли панжарада
жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро таъсирлашувчи уч заррачали
системага мос Шредингер оператори хос қийматлари сони учун асимптотик
формулалар топиш; бир ва икки ўлчамли панжарада уч заррачали системага
мос Шредингер оператори хос қийматларининг мавжудлигини кўрсатиш.
Юқорида келтирилган илмий-тадқиқотлар йўналишида бажарилаѐтган илмий
изланишлар мазкур диссертация мавзусининг долзарблигини изоҳлайди.

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2006 йил 7 августдаги

ПҚ-436-сон «Фан ва технологияларни ривожлантиришни мувофиқлаштириш
ва бошқаришни такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида» ҳамда

5

2008 йил 15 июлдаги ПҚ-916-сон «Инновацион лойиҳалар ва технология
ларни ишлаб чиқаришга татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги
қўшимча чора-тадбирлар тўғрисида» Қарорлари ва мазкур фаолиятга
тегишли бошқа норматив-ҳуқуқий хужжатларда белгиланган вазифаларни
амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти муайян даражада хизмат
қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур тадқиқот республика

фан ва технологиялар ривожланишининг IV. «Математика, механика ва
информатика» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий тадқиқотлар шарҳи

1

.

Узлуксиз ва дискрет Шредингер операторлари ҳамда Фридрихс моделларига

оид тадқиқотлар ва илмий изланишлар етакчи хорижий давлатларнинг илмий

марказлари ва олий таълим муассасалари, жумладан, Universitat Innsbruck

(Австрия), University of Missouri, Princeton University, Harvard University

(АҚШ), Россия Фанлар академияси ахборотларни узатиш муаммолари

институти, Université Paris Nord (Франция), Kyoto University (Япония),

Universität Bonn ва Universität Mainz (Германия), Россия Фанлар академияси

Математика институти Санкт-Петербург бўлими, Россия Фанлар академияси

назарий физика институти, Москва давлат университети (Россия), University

Roma and SISSA (Italy), University of Basel, Universität Zürich (Switzerland),

Universidade de São Paulo (Бразилия), University of Toronto (Канада), Universiti

Kuala Lumpur (Малайзия) да олиб борилмоқда. Оптик панжарадаги заррачали

системалар, икки ва уч заррачали Шредингер операторлари ҳамда Фридрихс

моделларига оид дунѐда олиб борилган тадқиқотлар натижасида қатор

долзарб масалалар ечилган, жумладан, қуйидаги илмий натижалар олинган:

итаришувчи жуфтликларни тавсифлашда фойдаланиладиган Бозе–Хаббард

гамильтониани, яъни панжарадаги Шредингер оператори экспериментал

кузатишларнинг назарий асоси қилиб олинган ва тартибланган муҳитларда
мураккаб турғун объектлар итаришувчи таъсирлар натижасида ҳам мавжуд

бўлиши мумкинлиги исботланган (Universitat Innsbruck (Австрия)); икки

заррачали узлуксиз ва дискрет Шредингер операторлари хос қийматларининг

боғланиш доимийсига боғлиқлиги ўрганилган (Princeton University (АҚШ),

University of Basel (Швейцария), Самарқанд давлат университети); юқори

температураларда гиббс майдонларининг кенг синфи трансфер-матрицалари

учун икки заррачали боғланган ҳолатлари ўрганилган (Россия Фанлар

академияси ахборотларни узатиш муаммолари институти); кластерлик

параметрининг кичик қийматларида икки заррачали кластер операторлари

боғланган ҳолатларининг мавжудлиги исботланган (Россия Фанлар

академияси

1

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи: Letter nature

doi:10.1038/nature04918, Annals of Physics doi:10.1016/j.aop.2004.09.010, Comm. Math. Phys.

http://projecteuclid.org/euclid. cmp/1104253518, Annales del'I.H.P. Physique théorique. http://eudml.org/doc/76764,

Функц. анализ и его прил., http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v27/i3/p15, Commun. Math. Phys.

doi:10.1007/s00220-005-1454-y, Comm. Math. Phys. http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103908588, Матем.

сборник http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v136/i4/p567, J. Funct. Anal. doi:10.1016/0022-1236(91)90038-7 ва бошқа

манбалар асосида ишлаб чиқилган.

6

ахборотларни узатиш муаммолари институти); ихтиѐрий потенциалли икки
заррачали дискрет Шредингер оператори хос қийматлари мавжудлик
шартлари топилган (Universität Bonn (Германия), University of Missouri
(АҚШ), Самарқанд давлат университети); уч заррачали узлуксиз ва дискрет
Шредингер операторлари учун Ефимов эффекти исботланган (Россия Фанлар
академияси физика-техника институти, Россия Фанлар академияси
Математика институти Санкт-Петербург бўлими, Université Paris Nord
(Франция), Kyoto University (Япония), Россия Фанлар академияси назарий
физика институти, Самарқанд давлат университети); уч заррачали
Шредингер операторлари хос қийматлари сони учун муҳим спектр чап
чеккасига интилиш асимптотикалари олинган (Universität Bonn (Германия),
Kyoto University (Япония), University of Toronto (Канада), Самарқанд давлат
университети).

Дунѐда бугунги кунда, панжарадаги икки ва уч заррачали системаларга

мос Шредингер операторлари спектри ва резонансларини тадқиқ этиш
бўйича бир қатор, жумладан: панжарадаги икки заррачали системага мос
Шредингер операторлари хос қийматлари сони ва уларнинг жойлашув
ўрнини панжаранинг ўлчами, заррачаларнинг ўзаро таъсир энергиялари ва
система квазиимпульсига боғлиқ равишда аниқлаш, муҳим спектр тубидаги
бўсаға ҳодисаларини тадқиқ этиш, панжарадаги уч заррачали системага мос
Шредингер

операторларининг

муҳим

спектрини

тавсифлаш,

бу

операторларнинг хос қийматлари мавжудлиги ва уларга мос хос
функцияларнинг хоссаларини аниқлаш каби устувор йўналишларда илмий
тадқиқот ишлари олиб борилмоқда.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Атом ва молекуляр ҳамда

қаттиқ жисмлар физикаси, квант майдонлар назариясининг асосий
масалалари Шредингер операторларини ўрганишга қаратилган. Бу соҳада
олинган натижалар тўғрисида кўплаб маълумотлар математик физиканинг
“энциклопедияси” – М.Рид ва Б.Саймоннинг тўрт томли китобида
келтирилган. Панжарадаги заррачалар системасига мос Шредингер
операторлари

ўтган

асрнинг

тўқсонинчи

йилларида

Д.С.Маттис,

А.И.Могильнер томонидан қаралиб бошланди ва унга оид тадқиқотлар жадал
ривожланди. Панжарадаги Шредингер операторларини математик маънода
тадқиқ этишда узлуксиз Шредингер операторларидаги каби муаммолар
учрайди. Яъни, дастлаб бир, икки заррачали ва ҳоказо кўп заррачали
операторларни ўрганиш талаб этилади. Узлуксиз ва дискрет Шредингер
операторлари ҳамда умумлашган Фридрихс моделлари учун дискрет спектр
мавжудлиги, хос қийматнинг узлуксиз спектр атрофидаги ѐйилмалари, ўзаро
таъсир константасининг бўсағавий қийматини аниқлаш масалалари М. Клауз,

Б. Саймон, Г.М. Граф, Д. Шенкер, Р.А.Фариа да Веига, Е.Л. Лакштанов, Р.А.
Минлос, С.Н. Лақаев, К. Макаров каби олимлар томонидан ўрганилган.

Маълумки, икки заррачали Шредингер операторларида ўзаро таъсир

константаси кичрайиши натижасида боғланган ҳолат энергияси узлуксиз
спектр чеккасига яқинлашади ва таъсир константасининг чекли қийматида
чегара билан устма-уст тушади. Бу бўсағавий қийматга боғланган ҳолат ѐки

7

виртуал ҳолат мос келишини аниқлаш масаласи билан Дж.Раух, Б. Саймон,
М. Клауз ва С.Н.Лақаевлар шуғулланган. С. Албеверио, С. Лақаев, К.
Макаров ва З. Муминовлар томонидан

d

-ўлчамли

d



,

d

≥

3, панжарада

ихтиѐрий икки заррачали система гамильтонианига мос икки заррачали
Шредингер оператори учун хос қийматларнинг мавжудлик шартлари
топилган. Бундан ташқари ушбу операторнинг муҳим спектрдан
ташқаридаги хос қийматлари сонининг чеклилиги исботланган.

Уч заррачали Шредингер операторлари учун потенциалга қўйилган

маълум шартларда муҳим спектрдан чапда чексиз сондаги хос қийматлар
пайдо бўлиш ҳодисаси дастлаб В.Н. Ефимов томонидан очилган. Ушбу
ҳодиса кейинчалик физик олимлар Д.С.Маттис, А.И.Могильнер томонидан
ўрганилган. Унинг қатъий математик исботи биринчи бўлиб Д.Р. Яфаев
томонидан берилган. Кейинчалик эса Ю. Овчинников, И.М. Сигал, Ҳ. Тамура
томонидан исботланган. Д.Р. Яфаев Ефимов эффектини Фаддеев интеграл
тенгламалар усулидан фойдаланиб исботлаган. Бироқ Ю. Овчинников ва
И.М. Сигал иккитаси оғир ва биттаси енгил бўлган жуфт-жуфти билан
сферик симметрик потенциаллар ѐрдамида таъсирлашувчи уч заррачали
система учун вариацион принципдан фойдаланиб ушбу ҳодисани исботлаган.
Ҳ. Тамура эса Ефимов эффектини заррачалар массасига чегара қўймасдан
жуфт-жуфти билан (сферик симметрик потенциалларсиз) таъсирлашувчи уч
заррачали система учун барча икки заррачали системалар нолда виртуал
сатҳга эга бўлганда вариацион принципдан фойдаланиб исботлаган. Соболев
томонидан уч заррачали узлуксиз Шредингер операторининг муҳим
спектрдан чапдаги хос қийматлари сони учун асимптотик формула топилган.
Кулон потенциалли уч заррачали модель гамильтонианлар учун дискрет
спектр чеклилига оид натижалар дастлаб, Дж.Ушияма томонидан олинган.
Унинг

усулидан

фойдаланиб,

М.А.Антонец,

Г.М.Жислин,

И.А.Шеpешевскийлар турли уч заррачали системалар учун дискрет спектр
чеклилиги масаласини ҳал этган. Бир ва икки ўлчамли ҳолда уч заррачали
система гамильтониани учун дискрет спектр чеклилиги Г.Жислин томонидан
исботланган.

Дастлаб

панжарадаги

жуфт-жуфти

билан

контакт

таъсирлашувчи учта бир хил заррачали системага мос Шредингер
операторлари учун система квазиимпульсининг маҳкамланган қийматида
Ефимов эффектининг мавжудлиги С.Н.Лақаев томонидан исботланган.
С.Н.Лақаев, Ж.Абдуллаев ва З. Мўминовлар томонидан жуфт-жуфти билан
контакт таъсирлашувчи уч заррачали системага мос айирмали Шредингер
операторлари учун муҳим спектрдан чапдаги хос қийматлари сони учун

асимптотик формула олинган. Бир ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан
контакт таъсирлашувчи уч заррачали системага Шредингер операторлари хос
қийматлари чеклилиги М. Муминов ва Н. Алиев томонидан исботланган.

Диссертация мавзусининг диссертация бажарилаѐтган олий

таълим муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари билан боғлиқлиги.

Диссертация тадқиқоти ЎзР ФА Самарқанд бўлимининг ФА-Ф1-Ф045
“Панжарадаги кўп заррачали система гамильтонианлари. Спектр ва
резонанслар” (2007-2011 йй.); ЎзР ФА Самарқанд бўлимининг ФМ-1-016

8

“Панжарадаги икки ва уч заррачали системаларда қуйи энергетик эффектлар”
(2008-2009

йй.);Самарқанд

давлат

университетининг

Ф4-ФА-Ф079

“Панжарадаги

сони

сақланмайдиган

заррачалар

системаси

гамильтонианларининг спектрал таҳлили” (2012-2016) мавзусидаги илмий
тадқиқот лойиҳаси доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

панжарадаги жуфт-жуфти билан қисқа

масофада ўзаро таъсирлашувчи икки ва учта бир хил заррачали (фермионлар
ѐки бозонлар) системаларга мос икки ва уч заррачали Шредингер
операторларининг муҳим ва дискрет спектрларини тадқиқ қилишдан иборат.

Тадқиқотнинг вазифалари

:

ихтиѐрий ўлчамли панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита

бир хил заррачали (фермионли) системага мос Шредингер оператори муҳим
спектридан ташқаридаги хос қийматларининг мавжуд бўлишлик шартларини
аниқлаш;

панжарадаги икки ва уч заррачали Шредингер операторлари учун

Бирман-Швингер принципи ўхшаши (аналоги)ни ўрнатиш; панжарада
жуфт-жуфти билан қўшни тугунларда ўзаро таъсирлашувчи икки заррачали
(фермионли) системага мос Шредингер оператори хос қийматлари сонини ва
муҳим спектр бўсаға ҳодисаларини заррачалар таъсир энергияси ва икки
заррачали система тўла квазиимпульсига боғлиқ ҳолда аниқлаш;

уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро

таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер оператори чексиз кўп
хос қийматга эга эканлиги (Ефимов эффекти)ни исботлаш ва хос қийматлар
сони учун асимптотик формулалар топиш;

бир ва икки ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан бир нуқтада

(контакт) таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер оператори
хос қийматларининг мавжудлигини ва сонининг чеклилигини кўрсатиш.

Тадқиқотнинг объекти

панжарадаги жуфт-жуфти билан қисқа

масофада ўзаро таъсирлашувчи икки ва уч заррачали системаларга мос
Шредингер операторларидан иборат.

Тадқиқотнинг предмети

панжарадаги иккита бир хил заррачали

(фермион ѐки бозонли) системага мос икки заррачали Шредингер
операторлари, панжарадаги учта бир хил заррачали (бозонли) системага мос
уч заррачали Шредингер операторларининг спектрал тадқиқотларидан
иборат.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот ишида математик анализ,

математик физика, функционал анализ ва комплекс ўзгарувчили функциялар
назарияси усулларидан фойдаланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

ихтиѐрий ўлчамли панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита

бир хил заррачали (фермионли) системага мос Шредингер оператори муҳим
спектридан ташқаридаги хос қийматларининг мавжуд бўлишлик шартлари
топилган;

9

ихтиѐрий ўлчамли панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита

бир хил заррачали (фермионли) системага мос Шредингер оператори муҳим
спектридан ташқаридаги хос қийматлари сонининг чеклилиги исботланган;

панжаранинг қўшни тугунларида таъсирлашувчи иккита бир хил

заррачали

(фермионли)

системага

мос

Шредингер

оператори

параметрларининг барча қийматларида хос қийматлар сони ва жойлашув
ўрни аниқ топилган;

уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро

таъсирлашувчи уч заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системага мос
Шредингер операторининг муҳим спектридан чапдаги хос қийматлари сони
учун асимптотик формулалар олинган;

уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро

таъсирлашувчи уч заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системага мос
Шредингер оператори учун система квазиимпульсининг ноль нуқта
атрофидаги нолдан фарқли қийматларида муҳим спектридан чапдаги хос
қийматлари сонининг чеклилиги кўрсатилган;

илк бор бир ва икки ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан бир

нуқтада (контакт) таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер
оператори муҳим спектридан ташқарида хос қийматларининг мавжудлиги
исботланган;

бир ва икки ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан бир нуқтада

(контакт) таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер оператори
муҳим спектридан чапда хос қийматлари сонининг чеклилиги кўрсатилган.

Тадқиқотнинг

амалий

натижаси

боғланган

ҳолатларнинг

аналитиклиги ҳақидаги хулосалар қаттиқ жисмлар физикаси ва квант
механикасида

экспериментал

тадқиқотларнинг

сифат

кўрсаткичини

аниқлашда ва сонли ҳисоблашларда қўлланилиши мумкинлигидан иборат.

Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги

математик анализ,

математик физика, функционал анализ ва комплекс ўзгарувчили функциялар
назарияси усулларидан фойдаланилганлиги ҳамда математик мулоҳаза
ларнинг қатъийлиги билан асосланган

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг илмий аҳамияти ўз-ўзига қўшма операторлар спектрал
назариясида, квант механикаси, қаттиқ жисмлар физикаси, квант майдонлар

назарияси, хусусан, панжарадаги икки ва уч заррачали система
гамильтонианларининг спектрлари билан боғлиқ масалаларни ҳал этишда
фойдаланиш мумкинлиги билан изоҳланади.

Тадқиқот натижалариининг амалий аҳамияти ишда олинган илмий

натижалар қаттиқ жисмлар физикаси ва квант механикасида экспериментал
тадқиқотлар ўтказиш ва қўллашга назарий асос сифатида хизмат қилиши
билан белгиланади.

Тадқиқот

натижаларининг

жорий

қилиниши.

Диссертация

тадқиқоти жараѐнида олинган натижалар қуйидаги йўналишларда амалиѐтга
жорий қилинган:

10

панжарадаги икки заррачали системага мос Шредингер операторлари

хос қийматини аниқлаш усуллари QJ130000.2426.01G11 “Eigenvalue problem
for the two particle Schrodinger operataor on lattice” грант лойиҳсида икки ва уч
заррачали дискрет Шредингер операторлари учун қўлланилган (Малайзия
технология университетининг 1 ноябрдаги малумотномаси). Илмий
натижанинг қўлланилиши қаралаѐтган икки заррачали операторларининг
асосий хоссаларини тадқиқ этиш ва махсус экзотик потенциалли уч
заррачали система гамильтонианларининг муҳим спектрини тавсифлаш
имконини берган;

икки заррачали дискрет Шредингер операторлари учун олинган

натижалардан ERGS/1/2/2013/STG06/UKM/01/2 “Investigations of the Roles of
theThird Variables in Analysing Statistical relationship functions” грант
лойиҳасида ранги бирга тенг умумлашган Фридрихс моделлари учун
қўлланилган (Малайзия Кебангсаан университетининг 26 октябрдаги
маълумотномаси). Илмий натижанингқўлланилиши натижасида ушбу
оператор хос қийматлари учун Пюизо қаторлари олинган.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси.

Тадқиқотнинг натижалари

илмий-амалий анжуманларда мухокама қилинган, шу жумладан: Ёш олимлар
республика конференцияси (Тошкент, 2003 й., 2004 й.), «Хусусий ҳосилали
дифференциал тенгламалар ҳамда анализ ва информатиканинг турдош
муаммолари» (Тошкент, 2005 й.), «Математик физиканинг ва информацион
технологияларининг

замонавий

муаммолари»

(Тошкент,

2005

й.),

«Операторлар алгебраси ва квант эҳтимолликлар назарияси» (Тошкент, 2005

й.), «Математик анализнинг долзарб муаммолари» (Урганч, 2012 й.),
«Математик анализ ва математик физиканинг нокоррект ва ноклассик
масалалари» (Самарқанд, 2012 й.), «International Seminar on Mathematics and
Natural Sciences» (Самарқанд, 2013 й.), «Дифференциал тенгламаларнинг
замонавий муаммолари ва уларнинг татбиқлари» (Тошкент, 2013 й.),
«Математик физиканинг ноклассик тенгламалари ва уларнинг татбиқлари»
(Тошкент, 2014 й.), «Замонавий математик физика усуллари ва уларнинг
татбиқлари» (Тошкент, 2015 й.), Турк дунѐси математиклари жамияти
конгресси (Баку, 2011 й.), III халқаро Россия–Қозоғистон симпозиуми

(Нальчик, 2014 й.) да баѐн этилган ҳамда апробациядан ўтказилган.
Тадқиқотнинг натижалари Самарқанд давлат университети қошидаги
«Математик анализ ва унинг замонавий математик физикага татбиқлари»
семинарида мунтазам равишда, Бонн университети «Амалий математика»
институти илмий семинарида (Германия, 2004 й., 2007 й.), Ўзбекистон
Миллий университети қошидаги Математика институтининг «Операторлар
алгебралари ва уларнинг татбиқлари» Республика семинарида (2012-2016
йй.), Ўзбекистон Миллий университетининг «Функционал анализ ва унинг
татбиқлари» семинарида (2014-2016 йй.) муҳокама қилинган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилиниши.

Диссертация мавзуси бўйича

жами 41 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон Респуб ликаси

Олий аттестатция комиссиясининг докторлик диссертациялари асосий илмий

натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий нашрларда 13 та

11

мақола, жумладан, 6 таси хорижий ва 7 таси республика журналларида нашр
этилган.

Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.

Диссертация кириш кисми,

тўртта боб, хулоса ва фойдаланилган адабиѐтлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссертациянинг ҳажми 161 бетни ташкил этган.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асосланган,

тадқиқотнинг

республика

фан

ва

технологиялари

ривожланишининг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу
бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик
даражаси келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баѐн
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб
берилган, тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар
ва диссертация тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг

«Чегараланган

операторларнинг

спектрал

хоссалари (Бошланғич маълумотлар)»

деб номланувчи биринчи бобида

асосий натижаларни олишда зарур бўлган муҳим тушунчалар, ўз-ўзига
қўшма операторлар ва оператор қўзғалишлар назариясининг спектрларига
оид теоремалар келтирилган.

Диссертациянинг «

Панжарадаги икки заррачали (фермионли)

системага мос икки заррачали Шредингер операторлари

» деб

номланувчи

иккинчи

боби

ихтиѐрий

ўлчамли

панжарада

ўзаро

таъсирлашувчи икки заррачали (фермионли) системага мос Шредингер
операторларининг спектрал хоссаларини тадқиқ қилишга бағишланган.
Қаралаѐтган операторларнинг система квазиимпульсига боғлиқ хос
қийматлари ва муҳим спектрининг бўсаға ҳодисалари ўрганилган.

( )

d



d



нинг декарт

2

d



–

d

−

ўлчамли бутун сонли панжара ва

−

2

d

2





орқали

2

кўпайтмаси бўлсин.

[( ) ]

−

( )

d



да аниқланган квадрати билан

2,

a d

2 2

d

2

жамланувчи функцияларнинг гильберт фазосини ва

[( ) ]

⊂

[( ) ]

−









орқали антисимметрик функциялардан тузилган қисм фазосини белгилаймиз.
Иккита бир хил заррача (фермионли) системанинг эркин гамильтониани

0

ˆ

h

координата тасвирида

[( ) ]

2,

a d

2





гильберт фазосида

1 ˆ

=

x x

1

h

Δ

+

Δ

(1)

0

2

2

m m

1 2

кўринишдаги оператор ѐрдамида аниқланади, бунда

I

Δ

x

=

Δ

⊗

1

ва

Δ

x

=

I

⊗

Δ

2

d

2

,

m

> 0 – фермионнинг массаси,

I

–

( )

l



фазодаги бирлик

оператор ва

⊗

тензор кўпайтма. Панжаравий Лапласиан

Δ

−

заррачанинг бир

тугундан қўшни тугунга кўчишини тавсифловчи айирма операторидир, яъни

12

Δψ

x

∑

ψ

x

−

ψ

x

+

s

ψ

∈





2

d

( ˆ)( ) = [ ˆ( ) ˆ( )], ˆ ( ),

| |=1

s

s s

+

+

s

d d

(1) ( )

.

(1) (

d

)

бунда

= ... ;

s

= (

s

,...,

s

)

∈



Икки заррачали система гамильтониани

h

ˆ

заррачаларнинг ўзаро

2,

a d

2

таъсирини тавсифлайди ва

[( ) ]





гильберт фазосида қуйидаги

ˆ

=ˆ

0

−

h h v

ˆ

формула билан аниқланади, бунда

v

ˆ

−

ҳақиқий қийматли функцияга

кўпайтириш операторидир:

2, 2

a d

(ˆ ˆ)( , ) =ˆ( ) ˆ( , ), ˆ [( ) ].

v

ψ

x x v x

−

x

ψ

x x

ψ

∈





(2)

1 2 1 2 1 2

Фараз 1.

Ушбу

v

ˆ(

s

)

≥

0

функция

d



да жуфт ва қуйидаги шартларни

қаноатлантирсин

lim | | ˆ( ) = 0, =1 2,

2

+

ε

| |

s v s агар d ёки

s

→∞

3

1

+

+

ε

lim | | ˆ( ) = 0, = 3,

2

| |

s v s агар d

s

→∞

d

+

ε

lim | | ˆ( ) = 0, 4,

| |

s

s v s агар d

≥

→∞

бунда

ε

> 0

−

мусбат сон.

d



–

d

−

ўлчамли тор, яъни

қарама-қарши ѐқлари айний бўлган
(2

π



)модул бўйича киритилган

қўшиш ва

(

−

π

,

π

]куб бўлсин. У

d



да

d

d

ҳақиқий сонга кўпайтириш амалларига нисбатан абель группаси ташкил

2

d

қилади,

( )

L



–

d



да аниқланган квадрати билан интегралланувчи

2,

o d

2

d

функцяларнинг гильберт фазоси ва

( )

⊂

( )

−

L



L



тоқ функциялар қисм

фазоси бўлсин.

Фурье алмаштиришлари, икки заррачали система тўла квазиимпульси

ажратилиши ва импульс кўринишидаги операторларнинг тўғри интеграл

йиғиндига ѐйилишидан кейин

h

ˆ

гамильтониан спектрини ўрганиш

( )

2,

o d

L



гильберт фазосида қуйидаги формула билан аниқланган

d

h

(

k

),

k

∈



операторлар оиласининг спектрини ўрганишга келтирилади:

0

h k h k

−

v

(3)

( ) = ( ) .

2,

o d

0

h k

оператор

( )

Қўзғалмас

( )

L



фазода

(

q

)



k

функцияга

кўпайтириш операторидан иборат, яъни

( ( ) )( ) = ( ) ( ), ( ),

2,

o d

h k f q



k

q f q f

∈

L



0

бунда

d i

2



q

∑

−

k

( )

( ) =

( )

i

k

cosq

m

i

=1

(1 cos

2

).

2,

o d

v

– ўзаро таъсир (қўзғатиш) оператори

( )

L



гильберт фазосида қуйидаги

формула билан аниқланади:

13

v f q v q t f t dt f L



( )( ) = (2 ) ( ) ( ) , ( ).

/2 2,

o d

π

−

d

− ∈

∫



d

Бу ерда

v k

∑

v s e

−

d

/2 i(

k

,

s

)

( ) = (2 ) ˆ( ) ,

π

(4)

бунда

d

s

∈



d

( ) ( ) (1) ( ) (1) ( )

j j d d d d

k s

∑

k s k k k

∈



s s s

∈



( , ) =,= ( ,..., ) ,= ( ,..., ) .

j

=1

Агар

v

қўзғалиш оператори ядроси фараз 1 ни қаноатлантирса, изли

операторлар синфига қарашли бўлади ва натижада муҳим спектр турғунлиги
ҳақидаги Вейл теоремасига кўра (3) формула билан аниқланган

h

(

k

)

операторнинг

(

h

(

k

))

σ

ess

муҳим спектри

( )

0

h k

операторнинг муҳим спектри

билан устма-уст тушади.

( )

0

h k

эса функцияга кўпайтириш оператори

бўлганлиги учун

( ( )) = [ ( ), ( )],

min max

h k k k

σ

ess





тенглик ўринли бўлади, бунда

( ) =

min

( ), ( ) =

max ( ).

min

k q

max

k

k

q









q

d

k

d

∈



∈



q

k

= (

π

,

π

,...,

π

)

∈



Эслатма 1.

h

(

k

)операторнинг муҳим спектри

d

бўлганда айнийди, яъни

нуқтага айланади. Шунинг учун

(

h

(

k

))

σ

ess

ихтиѐрий

d

k

∈



да абсолют узлуксиз бўла олмайди.

1

v

квадрат илдизи қуйидаги

Маълумки,

v

операторнинг мусбат

2

кўринишга эга:

1

d

∫

−



1

2 2
2

π

−

′

′

′

1

( )( ) = (2 ) ( ) ( ) ,

v f p v p p f p dp

d

1

v p

ядро

ˆ ( )

бунда

( )

2

v s

функциянинг тескари Фурье

алмаштиришидир:

2

1

1

p s

1

v p

∑

v s e

( ) =

2

i( , ) 2

d

∈



π

ˆ ( ) .

d

(2 )

2

s

k

∈



\(

−

π

,

π

)ва

k

∈

(

−

π

,

π

)ва( )

min

z

≤



k

(ҳар бир

d d

Ҳар бир

d

2,

o d

L



фазода

< ( )

min

z



k

) учун

( )

1

1

( , ; , ) =

2

2

v p t v t s dt

k z p s



1

π

(2 )
( ) ( )

− −

∫

( )

d

−





d k

t z

ядроли



(

k

,

z

)Бирман-Швингер интеграл операторни аниқлаймиз.

1

1



(

k

,

z

) =

v r

(

k

,

z

)

v

Таъкидлаймизки, ихтиѐрий

< ( )

min

z



k

учун

2

2

0

тенглик бажарилади, бунда

( , )

0

r k z

–

( )

0

h k

операторнинг резольвентаси.

Таъриф 1.

d

=1ѐки 2 бўлсин ва фараз 1 шартлари бажарилсин. Фараз

қилайлик,



(

0

,0)

ψ

=

ψ

,

d

0

=

(0,...,0)

∈



.

14

2,

o d

ψ

∈

L



ечимга эга бўлсин. Агар

тенглама нолмас

( )

1

ψ

( )( )

2,

v p

∈

/



2



0

( )

p

L

o d

( )

бўлса,

h

(

0

)

оператор ноль энергияли резонансга эга дейилади. Қуйидаги

теоремалар иккинчи бобнинг биринчи параграфи учун асосий натижалар
ҳисобланади.

Фараз 1 бажарилсин.

Теорема 1.

d

=1ѐки 2 бўлсин. Агар

h

(

0

)оператор ноль энергияли

резонансга эга бўлса ѐки ноль сони

h

(

0

)операторнинг хос қиймати бўлса, у

ҳолда ихтиѐрий

k

=

/

0

учун

h

(

k

)оператор муҳим спектрдан чапда ѐтувчи хос

қийматга эга.

Теорема 2.

d

≥

3

бўлсин. Агар

z

= 0сони

h

(

0

)операторнинг

n

каррали хос

қиймати бўлса, у ҳолда ихтиѐрий

k

=

/

0учун

h

(

k

)оператор муҳим спектрдан

чапда ѐтувчи камида

n

та хос қийматга.

k

∈

(

−

π

,

π

)ва

d

∈



ларда

h

(

k

)операторнинг

Теорема 3.

Ихтиѐрий

d

муҳим спектрдан чапда ѐтувчи хос қийматлари сони чеклита.

Эслатма 2.

Қўзғатувчи

v

оператор мусбат бўлганлиги учун

h

(

k

) оператор ( )

max



k

дан

ўнгда хос қийматларга эга эмас.

d



Иккинчи бобнинг иккинчи параграфида

d

−

ўлчамли

,

d

≥

1

μ

h

ˆ

панжарада қўшни тугунларда таъсирлашувчи икки фермионли система
гамильтониани қаралган. Ушбу гамильтонианга мос

h

(

k

),

μ

d

k

∈



икки

заррачали дискрет Шредигер оператори учун оператор параметрлари:

заррачалар ўзаро таъсир энергияси
квазиимпульси

d

μ

> 0ва икки заррачали система тўла

k

∈



га боғлиқ равишда хос қийматлар сони ва жойлашув

ўрни топилган.

ˆ

h

ва

v

ˆ

операторлар (1) ва (2) формулалар билан

Фараз қилайлик,

0

аниқланган бўлиб,

v

ˆ

функция қуйидаги кўринишга эга бўлсин:

⎪

⎨⎧

μ

| |=1,

ˆ( ) = 2

v x

⎪⎩

агар x

0 | |

≠

1.

агар

x

У ҳолда

v

ўзаро таъсир (қўзғатиш) оператори ранги

d

≥

1бўлган

2,

o d

L



гильберт фазосида

( )

d

v f q q t f t dt

i

μ

π

−

d

( ) ( )

i

∑ ∫

( )( ) = (2 ) sin sin ( )

i

=1



d

формула билан аниқланган интеграл оператор бўлади.

15

(1) (2) (

d

)

Айтиш жоизки,

( ) = ( , ,..., )



0

q



0

q q q

функция ноль нуқтада

айнимаган минимумга эга ва

(1) (2) ( )

, ,...,

d

q q q

ўзгарувчиларнинг ўрнини

алмаштиришга нисбатан инвариант бўлганлиги учун

sin

2 ( )

∫

q

i

dq

d

( )





0

q

интеграл мавжуд ва

i

=1,

d

нинг танланишидан боғлиқ эмас.

2

( )

sin

q

i

= (2 ) (

1

∫



0



−

μ

π

бўлсин.

d

) ,=1,

0

d

( )

q

dq i d

Ушбу параграфнинг асосий натижасини қуйидаги теоремада

келтирамиз.

l

,= 0,

( )

Теорема 4. a

)

0 <

μ

<

μ

0

бўлсин. У ҳолда шундай бўшмас

G l d

μ

тўпламлар мавжудки, бу тўпламлар учун

d

l j

G G

=,

l j

,

j

= 0,

d

,

G

=



( ) ( )

( )

i d

μ



μ



≠



μ

i

=0

муносабатлар бажарилади ва

(0)

G

μ

k

∈

бўлганда

h

(

k

)

μ

оператор муҳим

спектрнинг қуйи бўсағаси

( )

min



k

дан чапда хос қийматга эга эмас;

,

(

l

)

k

∈

G

μ

l

=1,

d

бўлганда

h

(

k

)

μ

оператор

( )

min



k

дан чапда карралиликлари билан

( )

i

i

( ), =1,

( )

μ

хос қийматга эга ва

( ) > 0, =1, .

бирга айнан

l

та

z k i l

z k i l

μ

μ

=

μ

0

бўлсин.

d

=1ѐки 2 бўлганда (

0

)

h

μ

оператор



min

(

0

)

=

0

b

)

бўсағада ноль энергияли резонансга эга.

d

≥

3бўлганда (

0

)

h

μ

оператор учун



min

(

0

) = 0бўсаға

d

каррали хос қиймат бўлади. Ихтиѐрий

d

∈

N

ва

d



,учун

h

(

k

)

k

∈

k

≠

0

μ

оператор

( )

min



k

бўсағадан чапда

карралиликлари

( )

i

билан бирга айнан

d

та

( ),

( )

i

μ

i

=1,

d

хос қийматга эга ва

( ) > 0, =1, .

z k

μ

>

μ

0

бўлсин. У ҳолда ихтиѐрий

d

z k i d

μ

c

)

k

∈



учун

h

(

k

)

μ

оператор

i

( ), =1,

( )

( )

min



k

бўсағадан чапда айнан

d

та

z k i d

μ

хос қийматга эга.

i

( ) < 0, =1,

( )

бўлганда

z k i d

μ

бўлади.

μ

> 4

d

Диссертациянинг

«Панжарадаги

уч

заррачали

Шредингер

оператори хос қийматлари учун асимптотика»

деб номланувчи учинчи

бобида уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро
таъсирлашувчи уч заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системага мос
Шредингер оператори учун Ефимов эффекти исботланган ва муҳим
спектрдан чапдаги хос қийматлари сони учун асимптотик формулалар
олинган. Система квазиимпульсининг ноль нуқта атрофидаги нолдан фарқли
қийматларида муҳим спектридан чапдаги хос қийматлари сонининг
чеклилиги кўрсатилган.

16

d



Учинчи бобнинг биринчи ва иккинчи параграфларида

,

d

≥

1 панжарада

жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро таъсирлашувчи икки ва уч

заррачали системаларнинг

h

ˆ

,

H

ˆэнергия операторлари қаралган. Бу

операторлар импульс кўринишида тасвирланган. Система тўла
квазиимпульслари ажратилгач, импульс кўринишидаги

h

,

H

операторлар

Фон-Нейман тўғри интеграл йиғиндига ѐйилган ва

h

(

k

),

d

k

∈



,

H

(

K

),

d

K

∈



операторлар оиласини ўрганишга келтирилган.





орқали

( ) ,

d

=1,2,...

d m



да аниқланган квадрати билан

2

d m

[( ) ]

2,

s d m

2

d m

жамланувчи функцияларнинг гильберт фазосини ва

[( ) ] [( ) ]





⊂





орқали ихтиѐрий иккита ўзгарувчисининг ўрнини алмаштиришга нисбатан
симметрик функциялар қисм фазосини белгилаймиз.

d



–

d

ўлчамли бутун сонли панжарада

m

=1массали иккита эркин заррачалар

(заррачалар бозон бўлган ҳол) системасининг энергия оператори

2,

s d

2

координата кўринишида

[( ) ]





гильберт фазосида қуйидаги

h

ˆ

0

=

Δ

⊗

I

+

I

⊗

Δ

ўз-ўзига қўшма чегараланган оператор билан аниқланади.

Панжарада қисқа масофада ўзаро таъсирлашувчи иккита бир хил квант

2,

s d

2

заррачали (бозонли) системанинг тўла гамильтониани

[( ) ]





гильберт

фазосида

0

ˆ

h

эркин гамильтонианнинг

v

ˆ

қўзғалиши орқали қуйидаги формула

билан аниқланади:

ˆ

=ˆ

0

h h

−

v

ˆ.

Бу ерда

(ˆ ˆ)( , ) =ˆ( ) ˆ( , ), ˆ [( ) ].

2,

s d

2

v

ψ

x

β

x

γ

v x

β

−

x

γ

ψ

x

β

x

γ

ψ

∈





Фараз 2.

v

ˆ(

s

)

−

функция

d



да аниқланган, жуфт, номанфий ва

d

+

θ

θ

1

lim | | ˆ( ) = 0, >

s v s

2

| |

s

→∞

шартни қаноатлантиради.

Мос равишда

d



–

d

ўлчамли бутун сонли панжарада учта эркин квант

заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системанинг

0

H

ˆ

энергия оператори

2,

s d

3





гильберт фазосида қуйидаги формула билан аниқланади:

[( ) ]

ˆ

H

0

Δ

⊗

I

⊗

I

+

I

⊗

Δ

⊗

I

+

I

⊗

I

⊗

Δ

=.

Жуфт-жуфти билан икки заррачали

қисқа

v

ˆ=

v

ˆ

α

=

v

ˆ

β

γ

,

α

,

β

,

γ

=1,2,3

потенциалли учта бир хил заррачали системанинг тўла

H

ˆэнергия оператори

0

H

ˆ

операторнинг чегараланган қўзғалишидан иборат:

ˆ

=ˆ ˆ

3

бунда

ˆ =

∑

ˆ

,

ˆ

=

ˆ

,=1,2,3

−

V

α

V

α

V

α

H H

0

−



,

2,

s d

3



[( ) ]





фазода функцияга кўпайтириш

i

=1

оператори бўлиб, қуйидаги формула билан аниқланади:

17

ˆ

(

2, 3

1 2 3 1 2 3

s d

V

α

ψ

x x x v x

β

−

x

γ

ψ

x x x

ψ

∈





ˆ)( , , )

=ˆ( ) ˆ( , , ), ˆ [( ) ].

2,

s d m

2

d m

d m

L



⊂

L



орқали



m

∈



[( ) ] [( ) ]

( ) ,да аниқланган симметрик

функциялардан тузилган қисм фазони белгилаймиз.



– стандарт фурье алмаштириши

1

: ( ) ( ), [ ( )]( ):=

i( , )

2 2

d d

−

p x

→

∑











L f p e f x

d

d
x

∈

( )

ва унинг

тескари
алмаштириш
и

* 2 2 *

(2 )

π

1

2



: ( ) ( ), [ ( )]( ):=

i( , )

L x e p dp

p x

d d

( )

ψ

→

∫













(2 )

π

d d

2

ψ

ҳамда

*

Δ

ˆ

=



Δ



–

Δ

– Лапласианнинг фурье алмаштириши бўлсин.

Таъкидлаш жоизки,

Δ

ˆ –

ε

(

⋅

)функцияга кўпайтириш оператори, яъни

ˆ

(

2

d

Δ

f k

ε

p f p f

∈

L



)( ) = ( ) ( ), ( ),

бунда

d

( ) (1) ( )

i d d

ε

p

∑

−

p p p p

∈



( ) = (1 cos ), = ( ,..., ) .

i

=1

Импульс тасвирида икки заррачали тўла системага мос

h

оператор

2,

s d

2

L



фазода

[( ) ]

h h

−

v

=

0

формула билан аниқланади. Иккита эркин заррачали системанинг энергия
оператори

0

h

қуйидаги кўринишга эга

=ˆ ˆ

h

0

Δ

⊗

I

+

I

⊗

Δ

,

ε

k

+

ε

k

функцияга кўпайтириш

оператори:
яъни

0

h

–

( ) ( )

β

γ

2, 2

s d

ε

k

β

+

ε

k

γ

f k

β

k

γ

f

∈

L



( )( , ) = ( ( ) ( )) ( , ), [( ) ].

h f k

β

k

γ

0

v

эса ўрама типидаги интеграл

оператордан иборат:

d

( ) ( , ) = (2 ) ( ) ( ) ( , ) ,

v f k k v k k k k k k

f k k dk dk

2

−

−

+

− −

∫

β

γ

β

β

β

γ

β

γ

β

γ

β

γ

π

′

δ

′

′

′

′

′

′

[( ) ],

2,

s d

2

d

( )



2

f

∈

L



бунда

δ

(

⋅

)

−

d



даги Диракнинг

делта-функцияси.

v

(

k

)функция эса (4)

кўринишидаги Фурье қатори ѐрдамида аниқланади.

Уч заррачали системанинг тўла энергия оператори

H

импульс

2,

s d

3

тасвирида

[( ) ]

L



гильберт фазосидаги ўз-ўзига қўшма чегараланган оператор

сифатида аниқланади:

=,

H H

0

−

V

1

−

V

2

−

V

3

бунда

=ˆ ˆ ˆ

H

0

Δ

⊗

I

⊗

I

+

I

⊗

Δ

⊗

I

+

I

⊗

I

⊗

Δ

,

3

∑

ε

k

функцияга

яъни учта эркин заррачанинг

H

0

энергия оператори

( )

α

α

=1

кўпайтириш оператори бўлади:

18

3

∑

ε

( )( , , ) = [ ( )] ( , , ),

1 2 3 0 1 2 3

H f k k k k

f k k k

α

α

=1

d

−

∫

2

α

1 2 3

π

β

β

V f k k k v k k

( )( , , ) = (2 ) (

)

d

( )



3

−

′

×

( ) ( ) ( , , ) , [( ) ].

2, 3

1 2 3 1 2 3

s d

×

δ

k

α

−

k

α′

δ

k

β

+

k

γ

−

k

β′

−

k

γ

′

f k

′

k

′

k

′

dk

′

dk

′

dk

′

f

∈

L



k

=

k

1

+

k

2

∈



ва

d

K

=

k

1

+

k

2

+

k

3

∈



орқали мос равишда икки ва уч

d

заррачали система тўла квазиимпульсларини белгилаймиз

.

2,

e d

2

d

2,

s d

2

L



L



жуфт функциялар қисм фазоси бўлсин.

[( ) ]

( )

⊂

( )

−

2,

s d

3

L



гильберт фазоларининг

[( ) ]

⊕

∫

∈

L



ва

L L dk

e d

2, 2 2,





s d

[( ) ] = ( )

d

k



ва

⊕

∫

∈

L L dK

s d

2, 3 2, 2





s d

[( ) ] = [( ) ]

d

K



тўғри интеграл йиғиндига ѐйилмаси

h

ва

H

энергия операторларининг

=

⊕

∫

~

h h k dk

( )

(5)

d

∈



k

ва

~

=

∫

⊕

(6)

H H K dK

( )

d

K

∈



тўғри интеграл йиғиндига ѐйилмасига мос келади.

Учинчи бобнинг учинчи параграфида икки заррачали дискрет Шредингер

оператори учун ноль энергияли резонанс тушунчаси киритилган.

~

h k

3

d

= 3бўлсин. (5) формулада

келтирилган ( ), қуйидаги

h

(

k

),

3

k

∈



операторга унитар эквивалент:

0

h k h k

−

v

( ) = ( ) .

2, 3



e

0

h k

ва

v

операторлар

( )

k

∈



қобиқ оператор

( )

формулалар билан аниқланади:

L

гильберт фазосида қуйидаги

( ( ) )( ) = ( ) ( ), ( ),

2, 3

e

h k f k

β



k

k

β

f k

β

f

∈

L

0



бунда

k

k

ε

ε

k

k



k

−

+

+

( ) = (

k

) (

)

β

β

β

2

2

ва

3

−

v f k v k

−

k

′

f k

′

dk

′

f

∈

L

( )( ) = (2 ) ( ) ( ) , ( ).

2, 3

e

2

β

π

∫

β

β

β

β





3

~

H K

3

K

∈



қобиқ

оператор қуйидаги

(6) формулада келтирилган

( ),

H

(

K

),

3

K

∈



операторга унитар эквивалент:

( ) = ( ) .

H K H

0

K

−

V

1

−

V

2

−

V

3

19

( )

H

0

K

ва

V

α

≡

V

,

α

=1,2,3операторлар

[( ) ] ( ) ( )

2, 3 2 2 3 2, 3







e e

L

≅

L

⊗

L

гильберт фазосида

3 2

( , )

∈

(



)

α

β

k k

координаталарда қуйидаги кўринишда

тасвирланади:

e

H K f k

α

k

β

E K k

α

k

β

f k

α

k

β

f

∈

L

2, 3 2

( ( ) )( , ) = ( ; , ) ( , ), [( ) ],

0



k

α

k

α

E K k k K

−

k

+

−

+

+

,

ε

ε

ε

k

( ; , ) = ( ) (

α

β

α

) (
2

k

β

)
2

β

−

3

( ) ( , ) = (2 ) ( ) ( , ) , [( ) ].

e

V f k k v k

−

k

′

f k k

′

dk

′

f

∈

L

2

α

α

β

π

∫

β

β

α

β

β

2, 3 2





3

(

q

)



k

функция

q

= 0нуқтада айнимаган минимумга эга бўлганлиги

k

∈

ва

( )

min

z

≤



k

да

учун ҳар бир

(0)

U

δ

1

1

( , ; , ) =

2



p q k z

1

π

2

v p t v t q

dt

( ) ( )

− −

∫

( )

(2 )

3



k

−

3



интеграл чекли.

2, 3



e

t z

L

фазода



(

k

,

z

)интеграл операторни қуйидаги формула орқали

( )

аниқлаймиз

∫



k z f p



p q k z f q dq

( , ) ( ) = ( , ; , ) ( ) .



3

Эслатма 3

.

h

(

0

)оператор

z

≤



0

(

0

) = 0хос қийматга эга бўлиши учун

2, 3



e

L

фазода аниқланган



(

0

,

z

)оператор учун 1 сони хос қиймат бўлиши

( )

ψ

∈

Ker(

I

−



(

0

,

z

))хос функция учун

ва унга мос

1

2

ψ

( )( )

v p

3

f p



( ) =

∈



−

д б p

0

( )

p z

. .

2, 3



e

формула билан аниқланган

f

функция

( )

L

фазога қарашли бўлиши

зарур ва етарли. Бундан ташқари, агар

z

< 0бўлса, у ҳолда қуйидаги

тенгликлар ўринли бўлади:

dimKer(

h

(

0

)

−

zI

) = dimKer(

I

−



(

0

,

z

))ва

1

( ) ()

v

Ker( ( ) ) =

{ | ( ) =

2

ψ

⋅

h

0

zI f f

∈ −



0

− ⋅

ψ

, Ker( ( , ))}.



0

( )

⋅ −

I z
z

Таъриф 2

. Агар 1 сони



(

0

,0)оператор учун (битта ѐки бир нечта) хос

қиймат бўлса ва унга мос

ψ

хос функция учун

1

ψ

( )()

2, 3

v

∉

2



0

⋅

( )

⋅

L

e

( )



муносабат ўринли, яъни

1

≤

dimKer(

I

−



(

0

,

z

))

≥

dimKer(

h

(

0

)

−

zI

)

+

1бўлса, у

ҳолда

h

(0)оператор ноль энергияли резонансга эга дейилади.

20

Теорема 5

. Фараз 2 ўринли,

h

(

0

)

≥

0ва

h

(

0

)оператор ноль энергияли

резонансга эга бўлсин. У ҳолда барча

3

∈



0

k

лар учун

h

(

k

)оператор муҳим

спектрдан чапда ѐтувчи ягона

z

(

k

)хос қийматга эга бўлади. Бундан ташқари

ноль нуқтанинг шундай

(

0

)

U

δ

атрофи мавжудки, барча

(

0

)

U

δ

k

∈

лар учун

z

(

k

)

−

функция мусбат ва

(

0

)

U

δ

да узлуксиз бўлади.

E K E K k k E K E K k k

( )

min

( ; , ), ( )

max ( ; , )

≡ ≡

бўлсин.

min

α

β

3

α

β

max

3

k k

∈



∈



,

α

β

k k

,

α

β

Теорема 6

.

3

H

(

K

),

K

∈



операторнинг муҳим спектри учун қуйидаги

тенглик ўринли:

σ



σ

ε

ess

+

− ∪

( ( )) = { ( ( )) ( )} [ ( ), ( )],

H K

d

h p K p E

min

K E

max

K

p

∈



3

бунда

(

h

(

k

))

σ

d

–

3

h

(

k

),

k

∈



операторнинг дискрет спектри.

σ



σ

ε

(2)

H K

d

h p K p

ess

+

−

( ( )) = { ( ( )) ( )} ва

(3)

p

∈



3

ess min max



σ

H K E K E K E K k k

( ( )) = [ ( ), ( )]= { ( ; , )}

k k

,

α

β

∈



3

α

β

тўпламлар мос ҳолда

H

(

K

)муҳим спектрининг икки заррачали ва уч

заррачали қисмлари дейилади.

N

(

K

,

z

)орқали

3

H

(

K

),

K

∈



операторнинг

z

≤

τ

(

K

)дан чапдаги хос

қийматлари сонини белгилаймиз, бунда

(

K

) = inf (

H

(

K

)).

σ

ess

τ

Эслатма 5

.

Теорема 5 шартлари бажарилса,

( (0)) = [0, (

0

)]

σ

ess

H E

max

ва

(

H

(

K

)) =[ (

K

),

E

(

K

)]

ess max

σ

τ

тенгликлар ўринли бўлади, бунда ҳар бир

3

K

∈



0

учун

τ

(

K

) > 0.

Теорема 7

. Теорема 5 нинг шартлари бажарилсин. У ҳолда

H

(

0

) оператор

муҳим спектр қуйи чегарасидан чапда чексизта хос қийматга эга бўлади ва

N

(

0

,

z

)функция учун

N z

( , )

0

=

λ

,

lim

0

0

π

| log | ||

z

→−

z

2

муносабат
бажарилади
, бунда

λ

0

λ

=

πλ

8sinh /6

πλ

3cosh /2

тенгламанинг ягона мусбат ечими.

Теорема 8

. Теорема 5 нинг шартлари бажарилсин. У ҳолда барча

0

K

∈

U

δ

0

ларда

N

(

K

,0)сони чекли ва қуйидаги

( )

N K

( ,0)

lim

K

=

λ

0

π

K

→

| | 0

асимптотика ўринли.

| log | ||

Эслатма 6

.

h

(

0

)оператор манфий хос қийматга эга бўлса, у ҳолда

(

H

(

K

)) =[ (

K

),

E

(

K

)]

ess max

σ

τ

тенглик ўринли бўлади, бунда ҳар бир

3

K

∈



21

учун

τ

(

K

)

<

0. Бу ҳолда уч заррачали

оператор бўш бўлмаган икки
заррачали

муҳим спектрга эга ва

N

(

K

,

τ

(

K

)) <

∞

.

Диссертациянинг

«Панжарадаги

уч

заррачали

Шредингер

операторлари хос қийматларининг мавжудлиги ва сонининг чеклилиги
ҳақида»

деб номланувчи тўртинчи бобида бир ва икки ўлчамли панжарада

жуфт-жуфти билан контакт таъсирлашувчи учта бир хил заррачали (бозонли)
системага мос Шредингер операторининг муҳим спектридан чапда хос
қийматлари мавжудлиги ва уларнинг сони чеклилиги исботланган.

Тўртинчи бобнинг биринчи параграфида бир ва икки ўлчамли

панжарада жуфт-жуфти билан контакт таъсирлашувчи икки ва учта бир хил
заррачали системага мос Шредингер операторлари импульс кўринишида
тасвирланади. Фараз қилайлик,

ˆ( ) =,

β

γ

δ

x x

бунда

v x

−

x

δ

x x

– Кронекер

символи.

β

γ

β

γ

Икки бозонли системанинг контакт потенциалли таъсирлашувига мос

икки заррачали

h

(

k

),

λ

d

2,

e d

k

∈



Шредингер оператори

( )

L



фазода қуйидаги

формула билан аниқланади:

0

h k h k

λ

v

λ

+

( ) = ( ) .

Бу ерда

1

v f p f q dq f L



( )( ) =

2,

e d

∈

∫

π

(2 )

d



( ) , ( ),

d

λ

<

0(

λ

>

0)– тортишувчи (итаришувчи)

заррачаларнинг контакт

таъсирлашув энергияси.

Юқоридагидек, уч заррачали

H

(

K

),

λ

d

K

∈



оператор қуйидаги

формула билан аниқланади:

( ) = ( ) ( ).

H

λ

K H

0

K

+

λ

V

1

+

V

2

+

V

3

Бу ерда

d

H

0

(

K

),

K

∈



–

[( ) ]

2,

s d

2

L



фазода функцияга кўпайтириш

оператори:

( ( ) )( , ) = ( ; , ) ( , ), [( ) ],

2, 2

s d

H K f p q E K p q f p q f

∈

L



0

бунда

E

(

K

;

p

,

q

) =

ε

(

K

−

p

−

q

)

+

ε

(

p

)

+

ε

(

q

).

L



фазода

2

2,

s d

2



=

V

1

+

V

2

+

V

3

оператор эса

[( ) ]

координаталарда

( , ) ( )

d

p q

∈



( ) ( , ) =

+

+

− −

∫ ∫ ∫



1

1

1

f p q f p t dt f t q dt f t K p q dt

d

( , )

(2 )

( , )

d

( , )

d

π

π

π

d

(2 )

d

(2 )

d







кўринишида аниқланади.

Теорема 9

. Ихтиѐрий

λ

≠

0да

H

(

K

)

λ

операторнинг муҳим спектри

учун





( ( )) = { ( )

+

(

−

)} [E ( ),E ( )]

essspec min max

σ

ε

μ

λ

H K e k K k

K K

k

∈



d

22

λ

–

d

тенглик ўринли, бунда

e

(

k

) қиймати.

d

h

λ

(

k

),

k

∈



операторнинг ягона хос

U

δ

( )

[

p

λ

(

K

)] ={

K

∈

:|

K

−

p

λ

(

K

)|<

δ

}

−

K



d

p

λ

(

K

)

∈



нуқтанинг

δ

=

δ

(

K

)

−

атрофи бўлсин.

λ

оператор хос қийматлари сонининг чеклилиги, хос қийматлари

H

(

K

)

ва уларга мос боғланган ҳолатларнинг регулярлиги ҳақидаги қуйидаги
теорема ўринли.

Теорема 10

.

d

=1,2ва

λ

< 0бўлсин. У ҳолда

1. Шундай

δ

> 0мавжудки, барча [0]

K

∈

U

δ

лар

учун

H

(

K

)

λ

оператор

муҳим спектри

( ( ))

σ

essspec

H

λ

K

дан чапда чеклита

( ),..., ( )

E

1,

λ

K E

n

,

λ

K

хос

қийматларга эга.

λ

операторнинг

( ), [0]

E

λ

K K

∈

U

δ

хос қийматга мос

2.

H

(

K

)

ψ

λ

хос функцияси

2

2, 2

s d

E K

⋅ ⋅

∈

L



( , ) ( )

d

p q

∈



бўйича регуляр. Бундан

, ( )( , )

λ

[( ) ]

ташқари,

( ), [0]

E

λ

K

∈

U

δ

⋅

хос қиймат ва вектор қийматли

s d

U L U L K

2 2, 2

ψ

λ

δ

→

δ



→

ψ

λ

: [0] [ [0]; [( ) ]],

E K

, ( )

λ

акслантириш

d

K

∈



бўйича регуляр.

Ушбу бобнинг асосий натижаларидан бири бўлган

d

H

λ

(

K

),

K

∈



оператор боғланган ҳолатлари мавжудлиги ҳақидаги теоремани келтирамиз.

Теорема 11

.

d

=1,2бўлсин.

1. Барча

λ

< 0ва

d

K

∈



ларда

H

(

K

)

λ

оператор муҳим спектр туби

τ

дан чапда

E

(

K

)

λ

хос қийматга эга.

b

( ( ))

essspec

H K

λ

2. Барча

λ

>

0ва

d

K

∈



ларда

H

(

K

)

λ

оператор муҳим спектр ўнг чети

τ

дан ўнгда

E

(

K

)

λ

хос қийматга эга.

t

( ( ))

essspec

H K

λ

Натижа 2

. Етарлича катта

|

λ

|> 0лар учун икки заррачали

h

λ

ва уч

заррачали

H

λ

гамильтонианлар

[

min

e

(

k

),

max

e

(

k

)]

λ

λ

ва

[

min

E

(

K

),

max

E

(

K

)]

k k

λ

λ

K K

яккаланган тармоқли (полосали) спектрларга эга.

23

ХУЛОСА

Диссертация иши панжарадаги жуфт-жуфти билан қисқа масофада

ўзаро таъсирлашувчи икки ва учта бир хил заррачали (фермионлар ѐки
бозонлар) системаларга мос икки ва уч заррачали Шредингер
операторларининг муҳим ва дискрет спектрларини тадқиқ қилишга
бағишланган.

Тадқиқотнинг асосий натижалари қуйидагилардан иборат: 1. Бир ва

икки ўлчамли панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита бир хил
заррачали (фермионли) системага мос Шредингер оператори учун резонанс
тушунчаси киритилганлигини таъкидлаш жоиз; 2. Ихтиѐрий ўлчамли
панжарада қисқа масофада таъсирлашувчи иккита бир хил заррачали
(фермионли) системага мос Шредингер оператори муҳим спектридан

ташқарида хос қийматлари мавжуд бўлиши шартлари топилганлигини
эътироф этиш мумкин.

3. Ихтиѐрий ўлчамли панжаранинг қўшни тугунларида таъсирлашувчи

иккита бир хил заррачали (фермионли) системага мос Шредингер оператори
параметрларининг барча қийматларида хос қийматлар сони ва жойлашув
ўрни топилганлигини қайд қилиш лозим.

4. Уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро

таъсирлашувчи уч заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системага мос
Шредингер операторининг муҳим спектридан чапдаги хос қийматлари сони
учун асимптотик формулалар топилган.

5. Уч ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан қисқа масофаларда ўзаро

таъсирлашувчи уч заррачали (заррачалар бозон бўлган ҳол) системага мос
Шредингер оператори учун система квазиимпульсининг ноль нуқта
атрофидаги нолдан фарқли қийматларида муҳим спектридан чапдаги хос
қийматлари сонининг чеклилиги кўрсатилган.

6. Бир ва икки ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан бир нуқтада

(контакт) таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер оператори
муҳим

спектридан

ташқарида

хос

қийматларининг

мавжудлиги

исботланганлигини эътироф этиш жоиз.

7. Бир ва икки ўлчамли панжарада жуфт-жуфти билан бир нуқтада

(контакт) таъсирлашувчи уч заррачали системага мос Шредингер оператори
муҳим спектридан чапда хос қийматлари сонининг чеклилиги кўрсатилган.

24

НАУЧНЫЙ СОВЕТ 14.07.2016.FM.01.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ

УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА НАУК

ПРИ НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ХАЛХУЖАЕВ АХМАД МИЯССАРОВИЧ

О СУЩЕСТВЕННОМ И ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРАХ ОПЕРАТОРОВ

ШРЕДИНГЕРА, СООТВЕТСТВУЮЩИХ СИСТЕМАМ ДВУХ И ТРЕХ

ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ НА РЕШЕТКЕ

01.01.01 – математический анализ

(физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

Ташкент – 2016

25

Тема докторской диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии

при Кабинете Министров Республики Узбекистан за № 30.09.2014/B2014.3-4.FM86.

Докторская диссертация выполнена в Самаркандском государственном университете.

Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский) размещен на
веб-странице Научного совета (http://ik-fizmat.nuu.uz/) и информационно-образовательном портале
«ZIYONET» (www.ziyonet.uz)

Научный консультант: Лакаев Саидахмат Норжигитович

доктор

физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Малышев Вадим Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

(Московский государственный университет, Россия)

Ганиходжаев Расул Набиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Рахимов Абдугафур Абдумажидович

доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Университет Миссури

(США)

Защита диссертации состоится «____» _____________2016 года в ____ часов на заседании

Научного совета 14.07.2016.FM.01.01 при Национальном университете Узбекистана. (Адрес:
100174, г. Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871)227-12-24, факс:
(99871) 246-53-21, e-mail: nauka@nu.uz.)

С докторской диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре

Национального университета Узбекистана (зарегистрирована за №___________). (Адрес: 100174,
г. Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871)246-02-24).

Автореферат диссертации разослан «____» _______________2016 года.

(протокол рассылки №________ от «____» _______________2016 года).

А

.

А. Абдушукуров

Председатель Научного совета по присуждению

ученой степени доктора наук, д.ф.-м.н., профессор

Г.И. Ботиров

Ученый секретарь Научного совета по присуждению

ученой степени доктора наук, к.ф.-м.н.

А. Садуллаев

Председатель научного семинара при Научном

совете по присуждению ученой степени доктора

наук, д.ф.-м.н., профессор, академик

26

ВВЕДЕНИЕ (аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Многочис

ленные научно-прикладные исследования, проводимые в мировом уровне,
показывают, что всюду в физике устойчивые сложные объекты обычно
образуются в результате действия сил притяжения, которые позволяют
составным частям уменьшить энергию при их связывании. Однако, последние
годы учеными доказано, что в упорядоченных средах устойчивые сложные
объекты могут существовать даже в случае отталкивающих взаимодействий.
Модель Бозе-Хаббарда, используемый для описания отталкивающих пар, т.е.
оператор Шредингера на решетке, является теоретическим обоснованием
экспериментального наблюдения и теоретической базой для применения.
Поэтому развитие исследования операторов Шредингера, соответствующих
гамильтонианам систем частиц на решетке, которые встречаются в моделях
физики твердого тела, а также решетчатой теории поля, является одним из
приоретных направлений.

В нашей стране в годы независимости большое внимание уделяется

направлениям, имеющим прикладное значение, в частности, особое внимание
было уделено исследованию операторов Шредингера, соответствующих
гамильтонианам систем частиц на целочисленной решетке. Значительные
результаты были достигнуты по определению условий существования
связанных состояний и их числа вне существенного спектра, а также
пороговых эффектов существенного спектра для операторов Шредингера,
соответствующих системам двух и трех частиц на решетке.

Поскольку, спектр семейства операторов Шредингера, соответствующих

гамильтонианам систем двух и трех квантовых частиц на решетке, является
довольно чувствительным к изменению квазиимпульса системы, важную роль
играет решение проблем, относящиеся исследований спектров этих
операторов, в частности, существование связанных состояний и определить
их числа для трехчастичных дискретных операторов Шредингера. В связи с
этим реализация целевых научных исследований в следующих направлениях
является одной из важных задач: исследовать дискретный спектр операторов
Шредингера, соответствующих системам двух одинаковых частиц (бозонов
или фермионов) с парными коротко-действующими потенциалами на
решетке, установить пороговые явления существенного спектра для этих
операторов, получить асимптотические формулы для числа собственных
значений трехчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе
трех частиц с парными короткодействующими потенциалами на трехмерной
решетке, показать существование собственных значений трехчастичного
оператора Шредингера,

соответствующего системе трех частиц на

одномерной и двумерной решетках. Научные исследования, проводимые в
вышеупомя-нутых направлениях,

подтверждают актуальность темы

диссертации.

Исследования данной диссертации в определенной степени служат

решению задач, указанных в Постановлениях Президента Республики
Узбекистан № ПП-436 от 7 августа 2006 года «О мерах по

совер-шенствованию

27

координации и управления развитием науки и технологии», № ПП-916 от 15
июля 2008 года «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения
инновационных проектов и технологий производства» а также в других
нормативно-правовых актах, относящихся к данной области деятельности.

Связь исследования к приоритетным направлениям развития

науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий в
Республике Узбекистан IV. «Математика, механика и информатика».

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации

2

.

Научные исследования по изучению спектра непрерывных и дискретных
операторов Шредингера, а также модели Фридрихса, ведутся в крупных
научных центрах и высших учебных заведениях мира, в частности: в
Universitat
Innsbruck (Австрия), University of Missouri, Princeton University, Harvard
University (США), Институте проблем передачи информации РАН

,

Université

Paris Nord (Франция), Kyoto University (Япония), Universität Bonn и Universität
Mainz (Германия), Санкт-Петербургском отделении Математичес-кого
института РАН, Московском государственном университете (Россия),
University Roma and SISSA (Италия), University of Basel, Universität Zürich
(Швейцария), Universidade de São Paulo (Бразилия), University of Toronto
(Канада), Universiti Teknologi Malaysia, Universiti Kebangsaan Malaysia
(Малайзия).

В результате научных исследований, проведенных для систем частиц на

оптической решетке, двух и трехчастичных операторов Шредингера, а также
моделей Фридрихса в мире решены целый ряд актуальных задач, в том числе,
получены следующие научные результаты: гамильтониан Бозе-Хаббарда, т.е.
дискретный

оператор

Шредингера,

используемый

для

описания

отталкивающих пар,

берется

в качестве теоретического обоснования

экспериментального наблюдения и доказывается, что в упорядоченных средах
устойчивые сложные объекты могут существовать даже в случае
отталкивающих взаимодействий (Universitat Innsbruck (Австрия)); изучена
зависимость собственных значений от константы связи для двухчастичных
непрерывных и дискретных операторов Шредигера (Princeton University
(США), University of Basel (Швейцария), Самаркандский государственный
университет); исследованы двухчастичные связанные состояния трансфер
матриц довольно широкого класса гиббсовских полей при высокой
температуре
(Институт проблем передачи информации РАН (Россия)); изучена природа

появления связанных состояний двухчастичных кластерных операторов при
малых значениях параметра кластерности (Институт проблем передачи
информации РАН (Россия)); найдены условия существования собственных
значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера с произвольным

2

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации: Letter nature doi:10.1038/nature04918,

Annals of Physics doi:10.1016/j.aop.2004.09.010, Comm. Math. Phys. http://projecteuclid.org/euclid.
cmp/1104253518, Annales del'I.H.P. Physique théorique. http://eudml.org/doc/76764, Функц. анализ и его прил.,
http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v27/i3/p15, Commun. Math. Phys. doi:10.1007/s00220-005-1454-y, Comm. Math. Phys.
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103908588, Матем. сборник http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v136/i4/p567, J.
Funct. Anal. doi:10.1016/0022-1236(91)90038-7 также были исследованы и другие источники.

28

потенциалом (Universität Bonn (Германия), University of Missouri (США),
Самаркандский государственный университет); доказан эффект Ефимова для
трехчастичных непрерывных и дискретных операторов Шредингера (Физико
технический институт РАН, Санкт-Петербургское отделение Математического
института РАН (Россия), (Université Paris Nord (Франция)), Kyoto University
(Япония), институт теоретической физики РАН (Россия), Самаркандский
государственный университет); получена асимптотика для числа собственных
значений, накапливающихся к левому краю существенного спектра
трехчастичного оператора (Universität Bonn (Германия), Kyoto University
(Япония), University of Toronto (Канада), Самаркандский государственный
университет).

На мировом уровне осуществляется ряд научно-исследовательских

работ в приоритетных направлениях по исследованию спектра и резонансов
операторов Шредингера систем двух и трех частиц на решетке, такие как
нахождение число и расположение собственных значений в зависимости от
размерности решетки, энергии взаимодействия частиц и квазиимпульса
системы двухчастичного оператора Шредингера на решетке; исследование
пороговых явлений существенного спектра этого оператора, описание
существенного спектра трехчастичного оператора Шредингера на решетке,
установление существования трехчастичных связанных состояний и
исследование свойств соответствующих собственных функций этих
операторов.

Степень изученности проблемы.

Основные задачи атомной и

молекулярной физики, физики твердого тела, квантовой теории поля
приводятся к изучению операторов Шредингера. Наиболее полный обзор
результатов по этой области содержится в энциклопедии современной
математической физики – четырехтомнике М. Рида и Б. Саймона. Операторы
Шредингера, соответствующие системам частиц на решетке, впервые
рассматривались

в

90-х годах прошлого века Д.С. Маттисом,

А.И.Могильнером и после чегл исследования бурно развились. В случае
оператора Шредингера на решетке в математическом смысле возникают те же
проблемы и тот же порядок их изучения, что и в случае непрерывного
оператора Шредингера. А именно, следует сначала изучить одночастичные
операторы, а затем двух, трех и т.д. частичные операторы Шредингера.
Задачи о существовании дискретного

спектра, а также определения

порогового значения константы связи для непрерывных и дискретных
операторов Шредингера, а также для обобщенной модели Фридрихса
изучались в работах М. Клауза, Б. Саймона, Г.М. Графа, Д. Шенкера, Р.А.
Фариа да Веига, Е.Л. Лакштанова, Р.А. Минлоса, С.Н. Лакаева, К. Макарова и

др.

Известно, что с уменьшением константы связи значение энергии

свзанного состояния двухчастичного оператора Шредингера приближается к
краю непрерывного спектра, и при некотором конечном значении константы
связи попадает на край. Изучению вопроса о соответствии этому пороговому
значению связанного состояния или виртуального уровня посвящены работы
Д.Р. Яфаева, Дж. Рауха, Б. Саймона, М. Клауза и С.Н.Лакаева.

29

С. Албеверио, С. Лакаевым, К. Макаровым и З. Муминовым найдены

условия существования собственных значений двухчастичных операторов
Шредингера, ассоциированных гамильтонианом системы двух произвольных
частиц на

d

- мерной решетке

d



,

d

≥

3

.

Появление бесконечного числа собственных значений левее

существенного спектра трехчастичного оператора Шредингера при некоторых
условиях на потенциал впервые был обнаружен Ефимовым. Этот эффект был
изучен во многих физических работах авторов Д.С. Маттис, А.И.Могильнер.
Строгое математическое доказательство существования эффекта Ефимова
было проведено впервые в работе Д.Р. Яфаева, а затем в работах Ю.
Овчинникова, И.М. Сигала, Х. Тамура. Д.Р. Яфаев установил эффект
Ефимова, используя метод интегральных уравнений Фаддеева. Однако, Ю.
Овчинников и И.М. Сигал интересным вариационным методом установили
эффект Ефимова для систем трех частиц, из которых две тяжелые, одна
легкая, взаимодействующих с помощью сферически-симметричных парных
потенциалов. Х. Тамура

используя вариационный метод доказал

существование эффекта Ефимова, без ограничения на массы частиц,
взаимодействующих с помощью парных потенциалов (не обязательно
сферически симметричных) в случае, когда все двухчастичные подсистемы
имеют виртуальный уровень в нуле. В работе А.В. Соболева найдены
асимптотические формулы для числа собственных значений, лежащих левее
существенного

спектра

трехчастичного

непрерывного

оператора

Шредингера. В многочастичном случае первый нетривиальный результат по
конечности дискретного спектра был получен Дж. Ушиямой, изучивщим
один

модельный

трехчастичный

гамильтониан

с

кулоновскими

потенциалами. Применяя его метод М.А. Антонец, Г.М. Жислин и И.А.
Шерешевский установили результаты о конечности дискретного спектра
разных трехчастичных систем. Конечность дискретного спектра гамильтонина
системы трех частиц на Евклидовом пространстве в одномерном и двумерном
случаях доказана Г.М. Жислиным. Впервые С.Н. Лакаевым доказано
существование эффекта Ефимова для трехчастичного дискретного оператора
Шредингера,

соответствующего системе трех одинаковых частиц,

взаимодействующих с помощью паpных контактных потенциалов
притяже-ния при фиксированном значении квазиимпульса системы. В
работах С.Н. Лакаева, Ж.И. Абдуллаева и З.Э. Муминова получены
асимптотики для числа собственных значений, лежащих левее существенного

спектра разностных операторов Шредингера, соответствующих системам
трех частиц, взаимо действующих с помощью парных контактных
потенциалов притяжения.

Конечность дискретного спектра оператора

Шредингера, соответствующего системе трех частиц с парными контактными
потенциалами на одномерной решетке установлена М. Муминовым и
Н.Алиевым.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего учебного заведения, в которой выполняется диссертация.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с плановой темой научно

исследовательских работ "Гамильтонианы систем нескольких частиц на

решетке. Спектр и резонансы", Самаркандского отделения АН РУз (ФА-Ф1-

30

Ф045, 2007-2011 гг.); "Низкоэнергетические эффекты в системах двух и трех
частиц на решетке" Самаркандского отделения АН РУз (ФМ-1-016, 2008-2009
гг.); Спектральный анализ гамильтонианов систем с несохраняющимся
ограниченным числом частиц на решетке (Ф4-ФА-Ф079, Самаркандский
государственный университет 2012-2016 гг.).

Целью исследования

является изучение существенного и дискретного

спектров двух и трехчастичных операторов Шредингера, соответствующих
системам двух и трех одинаковых частиц (фермионов или бозонов) с парными
короткодействующими потенциалами на решетке.

Задачи исследования:

найти условия существования собственных значений двухчастичного

оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц
(фермионов) с короткодействующими потенциалами для любой размерности
решетки;

установить аналог принципа Бирмана-Швингера для двух и трехчас

тичных операторов Шредингера на решетке;

определить число собственных значений и пороговых явлений сущест

венного спектра двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего
системе двух частиц (фермионов) с парными взаимодействиями на соседних
узлах решетки в зависимости от энергии взаимодействия частиц и полного
квазиимпульса системы двух частиц;

доказать бесконечность числа собственных значений (эффект Ефимова)

и установить асимптотику для числа собственных значений трехчастичного
оператора Шредингера, соответствующего системе трех частиц (бозонов) с
парными

двухчастичными

короткодействующими

потенциалами

на

трехмерной решетке;

установить существование и конечность числа собственных значений

трехчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе трех
частиц с парными двухчастичными контактными потенциалами на
одномерной и двумерной решетках.

Объект исследования -

операторы Шредингера, соответствующие

системам двух и трех частиц с парными короткодействующими

потенци-алами на решетке.

Предмет исследования -

спектральный анализ двухчастичных операто ров

Шредингера, соответствующих системам двух одинаковых частиц

(фермионов или бозонов) на решетке, трехчастичного оператора Шредингера,

соответствующего системе трех одинаковых частиц (бозонов) на решетке.

Методы исследования.

В диссертации использованы методы

математического анализа, математической физики, функционального анализа
и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна исследования

заключается в следующем: найдены

условия существования собственных значений вне существенного спектра
оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц
(фермионов) с короткодействующим потенциалом при всех размерностях
решетки;

31

доказана конечность числа собственных значений вне существенного

спектра оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых
частиц (фермионов) с короткодействующим потенциалом на решетке;

найдено число и расположение собственных значений оператора

Шредингера, соответствующего системе двух частиц (фермионов), взаимо
действующих на соседних узлах решетки при всех значениях параметров
оператора;

получены асимптотики для числа собственных значений, лежащих

левее существенного спектра оператора Шредингера, соответствующего
системе трех частиц (бозонов) с парными короткодействующими
потенциалами на трехмерной решетке;

показана конечность числа собственных значений, лежащих левее

существенного спектра оператора Шредингера, соответствующего системе
трех частиц (бозонов) с парными короткодействующими потенциалами на
трехмерной решетке при ненулевых значениях квазиимпульса в окрестности
нуля;

впервые доказано существование собственного значения оператора

Шредингера, соответствующего системе трех частиц с парными контактными
потенциалами на одномерной и двумерной решетках.

Практические результаты исследования -

состоят в возможности

применения выводов об аналитичности связанных состояний при
исследовании качественных свойств экспериментальных наблюдений и
численных вычислений в физике твердого тела и квантовой механике.

Достоверность результатов исследования

обоснована использованием

методов

математического

анализа,

математической

физики,

функционально-го анализа и теории функций комплексного переменного, а
также строгостью математических рассуждений.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научное значение результатов исследования заключается в том, что они могут
быть использованы в спектральной теории самосопряженных операторов,

квантовой механике, физике твердого тела, квантовой теории поля, в
частности, при решениях задач связанных со спектром гамильтонианов
систем двух и трех частиц на решетке.

Практическое значение диссертационного исследования определяется

тем, что полученные в работе научные результаты могут служить
теоретической основой экспериментальных наблюдений, проводимых в
физике твердого тела и квантовой механике

.

Внедрение результатов исследования.

Полученные в диссертации

результаты были использованы в следующих научно-исследовательских
проектах:

методы определения числа собственных значений операторов

Шредингера, соответствующих системе двух частиц на решетке
использованы в исследованиях зарубежного проекта QJ130000.2426.01G11
“Eigenvalue problem for the two particle Schrodinger operataor on lattice” для
некоторых двух и трехчастичных дискретных операторов Шредингера.
(Университет технологии

32

Малайзия, справка от 1 ноября 2016 года). Применение этих научных

результатов дает возможность изучить основные свойства двухчастичных
операторов и описать существенный спектр гамильтониана системы трех
частиц с экзотическими специальными потенциалами;

результаты для дискретных операторов Шредингера, использованы в

исследованиях

зарубежного

проекта

LRGS/TD/2011/UKM/ICT/03/02

“Investigations of the Roles of theThird Variables in Analysing Statistical
relationship functions” для обобщенной модели Фридрихса ранга один.
(Университет Кебангсаан Малайзия, справка от 26 октября 2016 года).
Применение этих научных результатов способствовало получить ряды Пюизо
для собственных значений этого оператора.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты

исследования обсуждались на научно-практических конференциях, в том
числе: республиканской конференции молодых ученых (Ташкент, 2003 г., 2004
г.), «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные
проблемы анализа и информатики» (Ташкент, 2005 г.), «Современные
проблемы математической физики и информационных технологий» (Ташкент,
2005 г.), «Операторные алгебры и квантовая теория вероятностей» (Ташкент,
2005 г.), «Актуальные проблемы математического анализа» (Ургенч, 2012 г.),
«Некорректные и неклассические задачи математического анализа и
математической физики» (Самарканд, 2012 г.), «International Seminar on
Mathematics and Natural Sciences» (Самарканд, 2013 г.), «Современные
проблемы дифференциальных уравнений и их приложе-ния» (Ташкент, 2013
г.), «Неклассические уравнения математической физики и их приложения»
(Ташкент, 2014 г.), «Современные методы математической физики и их
приложения», (Ташкент, 2015 г.), «IV Congress of the Turkic World
Mathematical

Society» (Baku, 2011), Третий международный Рос-сийско-Казахский
симпозиум (Нальчик, 2014 г.). Выступления и доклады прошли широкую
апробацию.

Результаты

исследований

обсуждались

на

семинаре

«Математический анализ и его приложения в современной математической
физике» Самаркандского государственного университета, на семинаре
Института прикладной математики (университет Бонн, Германия, 2004 г.,
2007 г.), на республиканском семинаре «Операторные алгебры и их
приложения» Института Математики при Национальном университете
Узбекистана (2013 г., 2016 г.), на городском семинаре «Функциональный
аналий и его приложений» Национального университета Узбекистана
(2014-2016 гг.).

Опубликованность результатов исследования.

По теме диссертации

опубликовано 41 научных работ, из них 13 входят в перечень научных
изданий, предложенных Высшей аттестационной комиссией Республики
Узбекистан для защиты докторских диссертаций, в том числе из них 6
опубликованы в зарубежных журналах и 7 в республиканских научных
изданиях.

Объѐм и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем
диссертации составляет 161 страниц.

33

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обоснована актуальность и востребованность темы

диссертации,

определено

соответствие

исследования приоритетным

направлениям развития науки и технологий республики, приведены обзор
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цели и задачи, выявлены объект и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические результаты
исследования, раскрыта теоретическая и практическая

значимость

полученных результатов, даны сведения о внедрении результатов
исследования, об опубликованных работах и о структуре диссертации.

В первой главе диссертации, названной

«Спектральные свойства

ограниченных операторов (Предварительные сведения)»

, приведены

необходимые предварительные сведения, основные теоремы спектральной
теории и теории возмущений самосопряженных операторов, которые будут
использованы при изложении основных результатов диссертации.

Вторая глава диссертации, названная

«Двухчастичные операторы

Шредингера, соответствующие системам двух частиц (фермионов) на
решетке»,

посвящена исследованию спектральных свойств операторов

Шредингера,

соответствующих

системе

двух

одинаковых

частиц

(фермионов) с короткодействующими потенциалами на

d

-мерной решетке

d



,

d

≥

1. Изучены собственные значения и пороговые явления

существенного спектра этого оператора в зависимости от квазиимпульса

системы.

( )

d



декартово про

2

Пусть

d



–

d

-мерная целочисленная решетка и

−

2

d

2

изведение

.

d



Обозначим через

[( ) ]

−





гильбертово пространство квад

ратично-суммируемых функций, определенных на

2

( )

d



и через

2,

a d

2 2

d

2









подпространство, состоящее из антисимметричных

[( ) ]

⊂

[( ) ]

−

функций.

Свободный гамильтониан

0

ˆ

h

системы двух одинаковых частиц (фермионов) в

координатном представлении определяется оператором,

2,

a d

2

действующим в гильбертовом пространстве

[( ) ]





по формуле

1 ˆ

=

1 2

1

h

Δ

+

Δ

(1)

,

0

x x

2

1

и

Δ

x

=

I

⊗

Δ

m m

2

где

I

Δ

x

=

Δ

⊗

2

, а

m

> 0 – масса фермиона,

I

–

единичный

2

d

оператор в пространстве

( )

l



и

⊗

тензорное произведение. Решетчатый

Лапласиан

Δ

−

разностный оператор, описывающий перенос частицы с узла

на соседний узел, т.е.

Δψ

x

∑

ψ

x

−

ψ

x

+

s

ψ

∈





2

d

( ˆ)( ) = [ ˆ( ) ˆ( )], ˆ ( ),

| |=1

s

s s

+

+

s

d d

(1) (

d

)

где

= ... ;

(1) ( )

.

s

= (

s

,...,

s

)

∈



34

Гамильтониан системы двух фермионов (двухчастичный гамильтониан)

H

ˆ

описывает взаимодействие двух частиц в гильбертовом

2,

a d

2

пространстве

[( ) ]





по формуле

ˆ

=ˆ

0

h h

−

v

ˆ,

где

v

ˆ

−

оператор умножения на вещественнозначную

функци
ю

2, 2

a d

(ˆ ˆ)( , ) =ˆ( ) ˆ( , ), ˆ [( ) ].

v

ψ

x x v x

−

x

ψ

x x

ψ

∈





(2)

1 2 1 2 1 2

Условие 1.

Предположим, что функция

v

ˆ(

s

)

≥

0четна на

d



и

удовлетворяет условиям

+

ε

lim | | ˆ( ) = 0,

| |

s

2

s v s

→∞

при

d

=1,

2

3

1

+

+

ε

lim | | ˆ( ) = 0,

2

s v s

при

d

= 3,

| |

s

→∞

+

ε

lim | | ˆ( ) = 0,

d

s v s

при

d

≥

4,

| |

s

→∞

где

ε

> 0

−

некоторое

положительное число.

(

−

π

,

π

] – с

соответствующим

d



d

- мерный тор, т.е. куб

d

Пусть

−

отождествлением противоположных граней. Он рассматривается как абелева
группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число
введены как операции сложения и умножения на вещественное число в

d



π



а

( )

по модулю

(2 ) ,

d

2

d

L



– гильбертово пространство

квадратично

2,

o d

2

d

интегрируемых функций, определенных на

d



и

( )

⊂

( )

−

L



L



подпространство нечетных функций.

После преобразований Фурье, выделения полного квазиимпульса

системы двух частиц разложения в прямой операторный интеграл, изучение

спектра гамильтониана

h

ˆ

сводится к изучению спектра семейства операторов

( ), ,

d

2,

o d

h k k

∈



действующих в гильбертовом пространстве

( )

L



по формуле

0

h k h k

−

v

(3)

( ) = ( ) .

Невозмущенный оператор

( )

0

h k

есть оператор умножения на функцию

(

q

)



k

в

( ),

2,

o d

L



т.е.

( ( ) )( ) = ( ) ( ), ( ),

2,

o d

h k f q



k

q f q f

∈

L



0

где

d i

2



q

∑

−

k

( )

( ) =

( )

i

k

cosq

m

i

=1

(1 cos

2

).

Оператор взаимодействия (оператор возмущения)

v

действует в

2,

o d

гильбертовом пространстве

( )

L



по формуле

v f q v q t f t dt f L



( )( ) = (2 ) ( ) ( ) , ( ).

/2 2,

o d

π

−

d

− ∈

∫



d

Здесь

v k

∑

v s e

−

d

/2 i(

k

,

s

)

( ) = (2 ) ˆ( ) ,

π

(4)

s

∈



d

35

d

( ) ( ) (1) ( ) (1) ( )

j j d d d d

k s

∑

k s k k k

∈



s s s

∈



где

( , ) =,= ( ,..., ) ,= ( ,..., ) .

j

=1

При выполнении условия 1 возмущение

v

оператора

( )

0

h k

принадлежит классу операторов со следом и следовательно, из теоремы
Вейля о существенном спектре существенный спектр

(

h

(

k

))

σ

ess

оператора

h

(

k

),определенного по (3), совпадает со спектром оператора

( ).

0

h k

Так как

0

h

k

есть оператор умножения на функцию,

( )

( ( )) = [ ( ), ( )],

min max

h k k k

σ

ess





где









( ) =

min

( ), ( ) =

max ( ).

min

k q

max

k

k

q

q

d

k

d

∈



∈



q

k

= (

π

,

π

,...,

π

)

∈



существенный спектр оператора

Замечание 1.

При

d

h

(

k

)вырождается, т.е. превращается в точку, и поэтому мы не можем

утверждать, что

(

h

(

k

))

σ

ess

является абсолютно непрерывным при любом

k

∈



.

d

1

Известно, что положительный корень

2

v

оператора

v

имеет вид

1

d

∫

−



1

2 2 2

π

−

′

′

′

( )( ) = (2 ) ( ) ( ) ,

v f p v p p f p dp

d

1

1

v p

есть обратное преобразование Фурье функции ˆ ( )

где ядро

( )

2

1

1

p s

1

v p

∑

v s e

v s

, т.e.,

2

( ) =

2

i( , ) 2

d

2

∈



π

ˆ ( ) .

d

(2 )

s

k

∈



\ (

−

π

,

π

)и

k

∈

(

−

π

,

π

)и

( )

min

z

≤



k

(и для каждого

d d

Для каждого

d

< ( )

min

z



k

) определим интегральный оператор Бирмана-Швингера



(

k

,

z

)с

ядром

1

1

( , ; , ) =

2

2

v p t v t s dt

k z p s



1
(2 )
( ) ( )

− −

∫



.

d

−

( )

π



d k

t z

Отметим, что для любого

< ( )

min

z



k

имеет место равенство

1

1



(

k

,

z

) =

v r

(

k

,

z

)

v

, где

( , )

2
0

0

r k z

–

резольвента

оператора

( ).

0

h

k

2

Определение 1.

Пусть

d

=1или 2 и выполняется условие 1.

Предположим, что уравнение



(

0

,0)

ψ

=

ψ

,

d

0

=

(0,...,0)

∈



2,

o d

ψ

∈

L



. Будем говорить, что оператор

h

(

0

)

имеет ненулевое решение

( )

имеет резонанс с нулевой энергией, если

1

ψ

( )( )

2,

v p

∈

/



2



0

( )

p

L

o d

( ).

36

Предположим, что выполняется условие 1. Тогда справедливы

следующие теоремы:

Теорема 1.

Пусть

d

=1или

d=

2. Если оператор

h

(

0

)

имеет резонанс с

нулевой энергией или

z

= 0является собственным значением оператора

h

(

0

)

, то

для любого

k

=

/

0оператор

h

(

k

)имеет собственное значение, лежащее левее

существенного спектра.

Теорема 2.

Пусть

d

≥

3.Если число

z

= 0является

n

−

кратным

собственным значением оператора

h

(

0

), то для любого

k

=

/

0оператор

h

(

k

)

имеет не менее

n

собственных значений, лежащих левее существенного

спектра.

k

∈

(

−

π

,

π

)и

d

∈



оператор

h

(

k

)может иметь

Теорема 3.

Для любых

d

лишь конечное число собственных значений, лежащих левее существенного
спектра.

Замечание 2.

Так как возмущенный оператор

v

положителен,

h

(

k

)не

имеет собственных значений правее

( ).

max



k

В параграфе 2 главы 2
рассматривается гамильтониан

μ

h

ˆ

системы двух

d



и взаимодейству

фермионов, движущихся на

d

−

мерной решетке

,

d

≥

1 ющих на ближайших

соседних узлах. Установлены число и местоположение собственных
значений двухчастичного оператора Шредингера, ассоцииро
ванного с гамильтонианом

μ

h

ˆ

в зависимости от параметров

оператора: от
значений энергии взаимодействия на

соседних узлах квазиимпульса
системы

.

d

k

∈



μ

> 0и полного

ˆ

h

и

v

ˆ

определены по формулам (1) и

Предположим, что операторы

0

(2), а функция

v

ˆ

имеет вид:

⎪

⎨⎧

μ

| |=1,

ˆ( ) = 2

v x

⎪⎩

при x

0 | |

≠

1.

при

x

Тогда оператор возмущения

v

является интегральным оператором

ранга

d

≥

1, действующим в гильбертовом пространстве( )

2,

o d

L



по формуле

d

v f q q t f t dt

i

μ

π

−

( ) ( )

i

d

∑ ∫

( )( ) = (2 ) sin sin ( ) .

i

=1



d

(1) (2) (

d

)

Заметим, что функция

( ) = ( , ,..., )



0

q



0

q q q

имеет

невырожденный минимум в нуле и инвариантна относительно перестановки

(1) (2) (

d

)

аргументов

, ,..., ,

q q q

следовательно интеграл

sin

2 ( )

∫

q

i

dq

d

( )





0

q

существует и не зависит от выбора

i

=1,

d

.

Пусть

37

sin

2 ( )

q

i

= (2 ) (

1

d

−

μ

π

∫



0



0

dq i d

d

( )

q

) ,=1, .

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 4. a

). Пусть

0 < < .

μ

μ

0

Тогда существует разбиение тора

,

d



l

,= 0,

( )

т.е. непустые множества

G l d

μ

такие, что

d

l j

G

μ



G

μ



l

≠

j j d



G

μ



( ) ( )

i d

( )

=, ,= 0, ,=,

i

=0

и при

(0)

G

μ

k

∈

оператор

h

(

k

)

μ

не имеет собственных значений левее порога

l

,=1,

(

)

∈

μ

оператор

h

(

k

)

( )

min



k

существенного спектра; при

k

G l d

i

( ), =1,

( )

только

l

собственных значений

z k i l

μ

имеет

( )

i

порога

( )

min



k

и

( ) > 0, =1, .

z k i l

μ

μ

с учетом кратности, левее

b

). Пусть

=.

μ

μ

0

При

d

=1или 2 оператор (

0

)

h