INTERNATIONAL MULTIDISCIPLINARY JOURNAL FOR
RESEARCH & DEVELOPMENT
SJIF 2019: 5.222 2020: 5.552 2021: 5.637 2022:5.479 2023:6.563 2024: 7,805
eISSN :2394-6334 https://www.ijmrd.in/index.php/imjrd Volume 12, issue 02 (2025)
290
SCALAR, VECTOR AND MIXED PRODUCT OF VECTORS
Madrimova Erkinoy Sabirovna
head teacher of Mathematics at Urgench State University academic Lyceum
Annotation:
This article provides insights into the scalar product of vectors,the vector
product,and the mixed product, showing the ways in which the problems involved are
solved.Methods for solving several problems using properties of vectors have been recommended.
Keywords:
vector, scalar product,vector product,mixed product, formula.
VEKTORLARNING SKALYAR,VEKTOR VA ARALASH KO`PAYTMASI
Annotatsiya:
Ushbu maqolada vektorlarning skalyar ko`paytmasi,vektor ko`paytmasi va aralash
ko`paytmasi haqida tushunchalar berilib,ularga doir masalalarning yechilish usullari ko`rsatib
berilgan.Bir necha masalalarni vektorlarning xossalaridan foydalangan holda yechish metodlari
tavsiya qilingan.
Kalit so’zlar:
vektor,skalyar ko`paytma, vektor ko`paytma,aralash ko`paytma,formula.
KIRISH
Vektorga oid masalalar o`quvchilarning bilimlarini oshirish bilan birgalikda algebraik,geometrik
masalalarni qulay usuldagi yechimlarini topishga yordam beradi.Jumladan vektorlar yordamida
trigonometrik va boshqa ko`rinishdagi funksiyalarning qiymatlar to`plamini topish, geometrik
jismlarning hajmlarini topish kabi masalalarni yechishda qulaylik yaratadi.Shu bilan birga
o`quvchilarning mantiqiy fikrlashlarini rivojlantiradi,o`quvchilarning qiziqishlarini oshiradi.
I.Vektorlarning skalyar ko`paytmasi.
�
vektorning koordinatasi
�
1
; �
1
; �
1
va
�
vektorning
koordinatasi
�
2
; �
2
; �
2
bo`lsin.U holda
�
va
�
vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb
� ∙ � = �
1
�
2
+
�
1
�
2
+ �
1
�
2
songa aytiladi.
1-misol.
� 2; − 3; 9
va
� 7; − 8; − 10
vektorlarning skalyar ko`paytmasini toping.
Yechish.
� ∙ � = �
1
�
2
+
�
1
�
2
+ �
1
�
2
= 14 + 24 − 90 =− 52
.
Demak,
� 2; − 3; 9
va
� 7; − 8; − 10
vektorlarning skalyar ko`paytmasi
−52
ga teng.
2-misol.
� 4; − 6; 9
va
� 2; − 2; �
vektorlarning skalyar ko`paytmasi 47 ga teng bo`lsa,m ni
toping.
Yechish.
� ∙ � = �
1
�
2
+
�
1
�
2
+ �
1
�
2
= 8 + 12 + 9� =
47.
Bu tenglikdan
� =
3 ekanligi kelib chiqadi.
Agar
�
va
�
vektorlar perpendikulyar bo`lsa,skalyar ko`paytma nolga teng
bo`ladi.
3-misol.
� 3; 6
va
� �; − 3
vektorlar perpendikulyar bo`lsa,
�
ni toping.
INTERNATIONAL MULTIDISCIPLINARY JOURNAL FOR
RESEARCH & DEVELOPMENT
SJIF 2019: 5.222 2020: 5.552 2021: 5.637 2022:5.479 2023:6.563 2024: 7,805
eISSN :2394-6334 https://www.ijmrd.in/index.php/imjrd Volume 12, issue 02 (2025)
291
Yechish.
� ∙ � = �
1
�
2
+
�
1
�
2
= 3 � − 18 = 0
.
Bundan
� = 6
ekanligi kelib chiqadi.
�
va
�
vektorlarning skalyar ko`paytmasi uchun quyidagi formula o`rinli:
� ∙ � = � ∙ � ∙ ����
,bunda
� − �
va
�
vektorlar orasidagi burchak.
4-misol.Agar
� = 2
,
� = 3
bo`lib,ular orasidagi burchak 60
0
bo`lsa,
2
� − �
va
2
�
+3
�
vektorlarning skalyar ko`paytmasini toping.
Yechish.
(2
� − �
)
∙ (
2
�
+3
�) = 4�
2
+ 4� ∙ � − 3�
2
= 4 ∙ 4 + 4 ∙ � ∙ � ∙ ���60
0
− 3 ∙ 9 = 16 + 12 −
27 = 1
.
Demak, 2
� − �
va 2
�
+3
�
vektorlarning skalyar ko`paytmasi 1 ga teng ekan.
II.Vektorlarning vektor ko`paytmasi.
�
va
�
vektorlarning vektor ko`paytmasi
�
X
�
ko`rinishida yoziladi va quyidagi formula
bo`yicha hisoblanadi.
�
X
� =
� � �
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
=
�
�
1
�
1
�
2
�
2
−�
�
1
�
1
�
2
�
2
+ �
�
1
�
1
�
2
�
2
Bu yerda
� 1; 0; 0
,
� 0; 1; 0
,
� 0; 0; 1
vektorlar mos ravishda koordinata o`qlari
bo`yicha yo`nalgan birlik vektorlar.
5-misol.
� 2; − 1; 3
va
� −2; 4; 1
vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.
Yechish.
�
X
� =
� � �
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
=
� � �
2 − 1 3
−2 4 1
= � −1 3
4 1 −�
2 3
−2 1 + �
2 − 1
−2 4 =− 13� − 8� + 6�
.
Vektorlarning vektor ko`paytmasi yana vektor kattalikdan iborat bo`ladi.
Ikkita vektorga qurilgan parallelogrammning yuzi shu vektorlarning vektor ko`paytmasidan
iborat bo`lgan vektorning, absolyut qiymatiga teng bo`ladi, ya`ni
� = � X �
, bunda
�
parallelogrammning yuzi.
6-misol.
� 1; 2; − 2
va
� 2; − 3; 4
vektorlarga qurilgan uchburchakning yuzini toping.
Yechish.
INTERNATIONAL MULTIDISCIPLINARY JOURNAL FOR
RESEARCH & DEVELOPMENT
SJIF 2019: 5.222 2020: 5.552 2021: 5.637 2022:5.479 2023:6.563 2024: 7,805
eISSN :2394-6334 https://www.ijmrd.in/index.php/imjrd Volume 12, issue 02 (2025)
292
�
X
� =
� � �
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
=
�
�
1
�
1
�
2
�
2
−�
�
1
�
1
�
2
�
2
+ �
�
1
�
1
�
2
�
2
formuladan foydalanib berilgan
vektorlarning vektor ko`paytmasini topamiz.
�
X
� =
� � �
1 2 − 2
2 − 3 4
= 14� − 8� − 7�
.
�
X
�
vektorning koordinatasi (14;-8;-7) ga teng. Bu vektorning absolyut qiymati berilgan
vektorlarga qurilgan
parallelogramning yuziga teng bo`ladi.Uchburchakning yuzi esa
parallelogramm yuzining yarmiga teng.
Demak,
� 1; 2; − 2
va
� 2; − 3; 4
vektorlarga qurilgan uchburchakning yuzi:
� =
1
2
14
2
+ 8
2
+ 7
2
= 0,5 309
.
III.Vektorlarning aralash ko`paytmasi.
�
vektorning koordinatasi
�
1
; �
1
; �
1
,
�
vektorning koordinatasi
�
2
; �
2
; �
2
va
�
vektorning
koordinatasi
�
3
; �
3
; �
3
bo`lsin.Bu vektorlarning aralash ko`paytmasini topish uchun,
�
va
�
vektorlarning vektor ko`paytmasidan iborat vektorni
�
vektorga skalyar ko`paytiramiz.
�
,
�
,
�
vektorlarning aralash ko`paytmasi
���
ko`rinishda yoziladi va quyidagi formula bo`yicha
hisoblanadi.
��� =
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
�
3
�
3
�
3
.Vektorlarning aralash ko`paytmasi son kattalikdan iborat.
7-misol.
� 5; − 2; 2 , � 4; 2; − 3
va
� 4; − 3; 1
vektorlarning aralash ko`paytmasini
toping.
Yechish.
��� =
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
�
3
�
3
�
3
=
5 − 2 2
4 2 − 3
4 − 3 1
= 10 + 24 − 24 − 16 − 45 + 8 =− 43
Demak,
� 5; − 2; 2 , � 4; 2; − 3
va
� 4; − 3; 1
vektorlarning aralash ko`paytmasi
−43
ga teng ekan.
8-misol.
� 3; 2; 1 , � 5; 1; − 3
va
� 2; 3; 2
vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmini
toping.
Yechish.Vektorlarning aralash ko`paytmasi formulasiga ko`ra:
��� =
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
�
3
�
3
�
3
=
3 2 1
5 1 − 3
2 3 2
= 6 − 12 + 15 − 2 + 27 − 20 = 14
.
Demak,
� 3; 2; 1 , � 5; 1; − 3
va
� 2; 3; 2
vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmi
14 ga teng.
INTERNATIONAL MULTIDISCIPLINARY JOURNAL FOR
RESEARCH & DEVELOPMENT
SJIF 2019: 5.222 2020: 5.552 2021: 5.637 2022:5.479 2023:6.563 2024: 7,805
eISSN :2394-6334 https://www.ijmrd.in/index.php/imjrd Volume 12, issue 02 (2025)
293
Mustaqil yechish uchun masalalar
∙
1.
� 5; − 3; 8
va
� 3; − 6; − 1
vektorlarning skalyar ko`paytmasini toping.
2.
� 1; − 4; 4
va
� 6; − 2; �
vektorlarning skalyar ko`paytmasi 47 ga teng bo`lsa,m ni
toping.
3.
� 4; 6
va
� �; − 8
vektorlar perpendikulyar bo`lsa,
�
ni toping.
4.
� 3; − 4; 3
va
� −2; 5; 12
vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.
5.
� 7; − 2; 2
va
� 6; − 5; 4
vektorlarga qurilgan uchburchakning yuzini toping.
6.
� 1; − 3; 2 , � 4; 2; − 1
va
� 5; − 2; 1
vektorlarning aralash ko`paytmasini
toping.
7.
� 4; − 2; 8 , � −4; 1; − 3
va
� 9; − 3; 2
vektorlarga qurilgan parallelepipedning
hajmini toping.
8.
� 5; − 2; 2 , � 4; 2; − 3
va
� 4; − 3; 1
vektorlarning aralash ko`paytmasini toping.
XULOSALAR
Biz yuqorida vektorlarning xossalari va vektorlardan foydalanib vektorlarning skalyar
ko`paytmasi vektor ko`paytmasi va aralash ko`paytmasi va unga oid misollarni yechish
metodlarini ko`rib chiqdik.
Tanishib chiqilgan masalalardan ko`rinib turibdiki,turli masalalarni vektorlar yordamida qulay
va tushunarli usulda hal qilish mumkin ekan.
Tavsiya etilgan masalalarning yechimlari, o`quvchilarimizni yangi bilim bilan
boyitishga,ularni
mantiqiy
fikrlashlarini,tafakkurlarini
va
matematik
tasavvurlarini
rivojlantirishga xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.T.R.To`laganov,A.A.Normatov “Matematikadan praktikum”,Toshkent “o`qituvchi”,1989 yil.
2.I.Isroilov,Z.Pashayev,”Geometriya”, I qism, Toshkent “o`qituvchi”,2010 yil
3.https://uz.wikipedia.org/wiki/Vektor_(matematika)
4.
https://staff.tiiame.uz/storage/users/685/presentations/6t0FAEJd7L079DAmemER9oNUkGONg
5.
https://skysmart.ru/articles/mathematic/vektor
7.
https://staff.tiiame.uz/storage/users/687/presentations/MHJXPlSPQBuL6CwSW8ulamAvrst3sw
8.
