МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
406
https://universalpublishings.com
FAZODA ANALITIK GEOMETRIYANING
SODDA MASALALARI.
Latipova Shahnoza Salim qizi
Osiyo Xalqaro Universiteti
“Umumtexnik fanlar” kafedrasi o’qituvchisi
ANNOTATSIYA
Fazodagi analitik geometriya sirt va chiziqlarni ularning tenglamalari orqali
algebraik usullarda o‘rganadi. Bunda asosan ikkita masala qaraladi:
1)
berilgan tenglama fazoda qanday obyektni ifodalashini aniqlash;
2)
berilgan geometrik obyekt tenglamasini topish.
Fazodagi eng sodda sirt bo‘lmish tekislik I tartibli tenglama bilan ifodalanadi
va aksincha, har qanday I tartibli tenglama fazoda biror sirtni aniqlaydi.
Tekisliklarning xususiyatlarini ularning umumiy, kesmalardagi va normal
tenglamalari yordamida o‘rganish mumkin. Kerak bo‘lganda bu tenglamalarning
biridan ikkinchisiga o‘tib bo‘ladi.
Kalit so’zlar
.
Fazodagi nuqta koordinatalari * Fazodagi geometrik obyekt
tenglamasi* Fazodagi analitik geometriya predmeti * Fazodagi analitik
geometriyaning asosiy masalalari * Tekislikning umumiy tenglamasi * Tekislikning
normal vektori.
1.1. Fazoda analitik geometriya predmeti va asosiy
masalalari. Fazoda Dеkart koordinatalar sistemasi kiritilgan
bo‘lsin. Bu holda undagi har bir M nuqta uning
koordinatalari
dеb
ataladigan (
x
,
y
,
z
) sonlar uchligi bilan to‘liq aniqlanishi va M(
x
,
y
,
z
) kabi yozilishi oldin (III bob, §2) aytib o‘tilgan edi. Fazodagi
sirt va chiziqlarni M(
x
,
y
,
z
) nuqtalar to‘plami kabi qarash
mumkin. Fazoda biror
S
sirt va
F
(
x
,
y
,
z
)=0 (*)
tenglama berilgan bo‘lsin.
1-TA‘RIF:
Agar (*) tenglamani faqat
S
sirtga tegishli
M(
x
,
y
,
z
) nuqtalarning koordinatalari qanoatlantirsa, u bu sirtning
tеnglamasi
dеb ataladi.
Agarda М
0
(
х
0
,
у
0
,
z
0
) nuqta uchun
F
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)=0 shart
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
407
https://universalpublishings.com
bajarilsa (tenglama qanoatlantirilsa), М
0
nuqta shu tenglama bilan
aniqlanadigan
S
sirtga tegishli, aks holda esa tegishli bo‘lmaydi.
Shunday qilib sirt o‘zining tenglamasi bilan to‘liq aniqlanadi.
Ammo har qanday tenglama ham biror sirtni ifodalashi shart emas.
Masalan,
x
2
+
y
4
+
z
6
=0 tenglamani faqat bitta O(0,0,0) nuqta
koordinatalari qanoatlantiradi va shu sababli bu tenglama sirtni
ifodalamaydi. Shuningdek,
x
2
+
y
2
+
z
2
+1=0 tenglamani fazodagi
birorta ham nuqtaning koordinatalari qanoatlantirmaydi va u bo‘sh
to‘plamni ifodalaydi.
Fazodagi chiziqlarni tenglamalari
F
1
(
x
,
y
,
z
)=0 va
F
2
(
x
,
y
,
z
)=0 bo‘lgan
S
1
va
S
2
sirtlarning kesishish chizig‘i singari qarash
mumkin. Bu holda chiziqdagi barcha M(
x
,
y
,
z
) nuqtalarning
koordinatalari
0
)
,
,
(
0
)
,
,
(
2
1
z
y
x
F
z
y
x
F
(**)
tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.
2-TA‘RIF:
Agar (**) tenglamalar sistemasini faqat fazodagi
L
chiziqning M(
x
,
y
,
z
) nuqtalarning koordinatalari qanoatlantirsa,
u bu chiziqning
tеnglamasi
dеb ataladi.
3-TA‘RIF:
Fazodagi sirt va chiziqlarni ularning
tеnglamalari orqali o‘rganuvchi matеmatik fan
analitik gеomеtriya
dеb ataladi.
Fazodagi analitik gеomеtriyada asosan ikkita masala
qaraladi:
1. Bеrilgan sirtn yoki chiziqning tеnglamasini topish va uni
analitik o‘rganish.
2. Berilgan tеnglamaga mos keluvchi sirtn yoki chiziqni
aniqlash.
Masala: Markazi М(
а
,
b
,
c
) nuqtada joylashgan R radiusli
sfera tenglamasini
toping.
Yechish: N(
x
,
y
,
z
) shu sferaga tegishli ixtiyoriy bir nuqta
bo‘lsin. Sfera |MN|=R shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
408
https://universalpublishings.com
to‘plamidan (gеomеtrik o‘rnidan) iboratdir. Unda ikki nuqta
orasidagi masofa (III bob,§2, (7)) formulasiga ko‘rа sferaning
ushbu tenglamasini hosil etamiz:
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
R
c
z
b
y
a
x
R
c
z
b
y
a
x
R
MN
Masalan, markazi M(2,3,–1) va radiusi R=5 bo‘lgan
sfera tenglamasi
(
х
–2)
2
+ (
у
–3)
2
+(
z
+1)
2
= 25
tenglamaga ega bo‘ladi. Bu yerdan N(5,7,–1) nuqta shu
sferaga tegishli ekanligi kelib chiqadi, chunki
(5–2)
2
+ (7–3)
2
+(1–1)
2
= 25.
K(2,6,3) nuqta bu sferada yotmaydi, chunki uning
koordinatalari sferaning tenglamasini qanoatlantirmaydi:
(2–2)
2
+ (6–3)
2
+(3–1)
2
= 13
25.
Tenglamalari
х
2
+
у
2
+(
z
+4)
2
= 20 va
х
2
+
у
2
+
z
2
=4 bo‘lgan
sferalarning kesishish chizig‘i
L
4
20
)
4
(
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bu sistemadagi
tenglamalarni ayirib,
z
=0 ekanligini topamiz. Bu yerdan
L
chiziq
XOY koordinata tekisligida joylashgan va tenglamasi
х
2
+
у
2
=4
bo‘lgan aylanadan iborat ekanligini ko‘ramiz.
1.2. Tekislik va uning umumiy tenglamasi.
Tekislik geometriyaning
boshlang‘ich tushunchalariga kiradi va shu sababli ta’rifsiz qabul etiladi.
TЕORЕMA:
1) Fazodagi har qanday tekislikning tenglamasi uch
o‘zgaruvchili chiziqli tenglamadan iborat, ya’ni
A
x+
B
y+
C
z
+D=0 (1)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda A
2
+ B
2
+C
2
≠0 shart bajarilishi kerak.
2) Har qanday (1) chiziqli tenglama fazoda biror tekislikni aniqlaydi.
Isbot:
1) Faraz qilaylik fazoda qandaydir
P
tekislik berilgan bo‘lsin. Bu
tekislikka tegishli biror M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqta va
P
tekislikka perpendikular joylashgan
biror
n
=(A,B,C) vektor ma’lum bo‘lsin. Bеrilgan
P
tеkislikda yotuvchi ixtiyoriy
М(
x
,
y
,
z
) nuqtani olib, boshi va uchi M
0
va M nuqtalarda joylashgan
a
=(
x−x
0
,
y−y
0
,
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
409
https://universalpublishings.com
z−z
0
) vektorni qaraymiz. Bu vektor bilan
n
vеktor o‘zaro ortogonal bo‘ladi va shu
sababli ularning skalyar ko‘paytmasi nolga tengdir. Bu skalyar ko‘paytmani
qaralayotgan vektorlarning koordinatalari orqali ifodalaymiz:
A(
x
–
x
0
)+B(
y
–
y
0
)+C(
z
–
z
0
)=0
=>
A
x
+B
y
+C
z
+(–A
x
0
–B
y
0
–C
z
0
)=0
=>
A
x
+B
y
+C
z
+D=0, D= –(A
x
0
+B
y
0
+C
z
0
).
Demak, haqiqatan ham tekislik tenglamasi (1) ko‘rinishdagi chiziqli
tenglamadan iborat ekan.
2) Berilgan (1) tenglamani qanoatlantiruvchi birorta M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqtani
olamiz. Masalan, agar A≠0 bo‘lsa, M
0
(–D/A,0,0) yoki, agar B≠0 bo‘lsa, M
0
(0, –
D/B,0) yoki, agar C≠0 bo‘lsa, M
0
(0,0, –D/C) deb olish mumkin.
Bu holda A
x
0
+B
y
0
+C
z
0
+D=0 tenglik o‘rinli bo‘ladi va uni (1) tenglamadan
hadma-had ayirib A(
x
–
x
0
)+B(
y
–
y
0
)+C(
z
–
z
0
)=0 tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik
n
=(A,B,C) va
a
=(
x−x
0
,
y−y
0
,
z−z
0
) vektorlarning ortogonalligini ifodalaydi. Bu
shartni qanoatlantiruvchi
a
vektorlarning uchlarini ifodalovchi M(
x
,
y
,
z
) nuqtalar
to‘plami M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqtadan o‘tuvchi va
n
=(A,B,C) vektorga nisbatan
perpendikulyar joylashgan tekislikdan iborat bo‘ladi. Demak, (1) tenglama
haqiqatan ham tekislikni ifodalar ekan. Teorema to‘liq isbot bo‘ldi.
3-TA‘RIF:
(1) tenglama tekislikning
umumiy tenglamasi
deb ataladi.
Berilgan
P
tekislikka perpendikulyar bo‘lgan har qanday vektor bu tekislikning
normal vektori
yoki qisqacha
normali
deb ataladi.
Oldingi teoremani isbotlash jarayonidan (1) umumiy tenglamasi bilan
berilgan tekislik uchun
n
=(A,B,C) normal vektor bo‘lishi kelib chiqadi. Bu natija
kelgusida juda ko‘p qo‘llaniladi.
Endi
P
tekislikning (1) umumiy tenglamasini ayrim xususiy hollarda tahlil
etamiz.
1.
D=0
А
х
+В
у
+С
z
=0
0(0,0,0)
P
, ya’ni
P
tеkislik koordinatalar
boshidan o‘tadi.
2.
А=0
В
у
+С
z
+D=0
n
=(0,B,C)
OX
P
||OX, ya’ni
P
tеkislik
OX o‘qiga parallеl bo‘ladi.
3.
В=0
А
х
+С
z
+D=0
n
=(A,0,C)
OY
P
||OY.
4.
С=0
А
х
+В
у
+D=0
n
=(A,B,0)
OZ
P
||OZ .
5.
А=0 , D=0
В
у
+С
z
=0
0(0,0,0)
P
,
P
||OX
OX
P
, ya’ni
P
tеkislik OX o‘qidan o‘tadi.
6.
В=0 , D=0
А
х
+С
z
=0
0(0,0,0)
P
,
P
||OY
OY
P
.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
410
https://universalpublishings.com
7.
С=0, D=0
А
х
+В
у
=0
0(0,0,0)
P
,
P
||OZ
OZ
P
.
8.
А=0, В=0
С
z
+D=0
z
=–D/С
P
||OX ,
P
||OY
P
||XOY,
ya’ni
P
tеkislik XOY tеkisligiga parallеl bo‘ladi.
9.
А=0, С=0
В
у
+D=0
у
=–D/В
P
||OX ,
P
||OZ
P
||XOZ.
10.
В=0, С=0
А
х
+D=0
x
=–D/А
P
||OY ,
P
||OZ
P
||YOZ.
11.
А=0, В=0, D=0
С
z
=0
z
=0
P
=XOY .
12.
А=0, С=0, D=0
В
у
=0
y
=0
P
=XOZ .
13.
В=0, С=0, D=0
А
х
=0
x
=0
P
=YOZ .
1.3. Tеkislikning kеsmalardagi tеnglamasi.
Fazoda koordinatalar
boshidan o‘tmaydigan hamda OX, OY va OZ koordinata o‘qlarini mos ravishdа
M
1
(
а
,0,0), M
2
(0,
b
,0) va M
3
(0,0,
c
)
nuqtalarda kеsib o‘tuvchi
P
tеkislik tеnglamasini
tuzamiz. Buning uchun tеkislikning umumiy А
х
+В
у
+С
z
+D =0 (D≠0) tеnglamasidan
foydalanamiz. Bu yеrdagi noma’lum A, B va C koeffitsiеntlarni quyidagi
mulohazalardan topamiz:
M
1
(
а
,0,0)
P
А
а
+D = 0
А = – D/
а
;
M
2
(0,
b
,0)
P
В
b
+D = 0
В = – D/
b
;
M
3
(0,0,
c
)
P
C
c
+ D =0
С = –D/
c.
A,B va C koeffitsiеntlar uchun topilgan bu ifodalarni umumiy tenglamaga
qo‘yib va D≠0 ekanligini hisobga olib, ushbu natijani hosil etamiz:
)
2
(
.
1
0
1
0
)
1
(
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
D
D
z
c
D
y
b
D
x
a
D
D
Cz
By
Ax
Demak, yuqorida berilgan ma’lumotlar asosida, tekislik tenglamasini (2)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda |
a
|, |
b
| va |
c
| qaralayotgan
P
tеkislikni OX, OY
va OZ koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalarini ifodalaydi va shu sababli quyidagi
ta’rif kiritiladi.
4-TA‘RIF:
(2) tenglama tekislikning
kesmalardagi tenglamasi
deyiladi.
Agar koordinata boshidan o‘tmaydigan tekislik (1) umumiy tenglamasi
bilan berilgan bo‘lsa (A,B,C,D≠0), uning kesmalardagi tenglamasiga o‘tish
quyidagicha amalga oshiriladi:
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
411
https://universalpublishings.com
.
,
,
1
/
/
/
0
1
0
C
D
c
B
D
b
A
D
a
C
D
z
B
D
y
A
D
x
D
Cz
D
By
D
Ax
D
D
Cz
By
Ax
Demak, umumiy tenglamadan kesmalardagi tenglamaga o‘tish uchun uni
ozod hadining qarama-qarshisiga bo‘lish kerak.
Masala:
Umumiy 3
х–
4
y
+
z–
5=0 tenglamasi bilan berilgan tekislikning
kesmalardagi tenglamasini toping.
Yechish:
Umumiy tenglamani –D=5 soniga bo‘lib, (2) tenglamada
5
1
5
,
4
5
,
3
5
C
D
с
B
D
b
A
D
а
ekanligini topamiz. Bundan berilgan tekislikning kesmalardagi tenglamasi
1
5
4
/
5
3
/
5
z
у
х
ekanligi kelib chiqadi.
1.4.
Tekislikning normal tenglamasi.
Berilgan
P
tekislikka O koordinata
boshidan o‘tkazilgan perpendikularning asosini N deb belgilaymiz. Bu
perpendikular uzunligi |ON|=
p
(ya’ni koordinata boshidan
P
tekislikkacha bo‘lgan
masofa) va uning OX,OY,OZ koordinata o‘qlari bilan mos ravishda hosil etgan α,
β, γ burchaklar ma’lum deb olamiz. Tekislikning ON perpendikularda joylashgan va
O nuqtadan N nuqtaga qarab yo‘nalgan normal birlik vektorini
n
deb belgilaymiz.
Bunda uning koordinatalari
n
=(cosα, cosβ, cosγ) bo‘ladi.
P
tekislikda yotuvchi
ixtiyoriy M(
x
,
y
,
z
) nuqtani olsak, uning radius vektori
OM=r
=(
x
,
y
,
z
) bo‘ladi. Endi
n
·
r
skalyar ko‘paytmani ikki usulda hisoblaymiz. Agar bu vektorlar orasidagi
burchakni φ deb olsak, unda skalyar ko‘paytmaning ta’rifiga asosan (quyidagi 36-
rasmga qarang)
n
·
r=
|
n
|·|
r
|·cosφ=1·|
r
|·cosφ=|
r
|·(|ON|/|
r
|)=|ON|=
p
tenglikka ega bo‘lamiz.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
412
https://universalpublishings.com
Ikkinchi tomondan, skalyar ko‘paytmaning koordinatalardagi ifodasiga
asosan,
n
·
r =
x
cosα+
y
cosβ+
z
cosγ
tenglikni hosil etamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki
P
tekislikdagi har bir M(
x
,
y
,
z
)
nuqtaning koordinatalari
x
cosα+
y
cosβ+
z
cosγ=
p
x
cosα+
y
cosβ+
z
cosγ–
p
=0
(3)
tenglamani qanoatlantiradi va aksincha, (3) tenglamani qanoatlantiruvchi har
bir M(
x
,
y
,
z
) nuqta
P
tekislikka tegishli bo‘ladi.
5-TA‘RIF:
(3) tenglama tekislikning
normal tenglamasi
deyiladi.
Endi (1) umumiy tenglamasi bilan berilgan tekislikning normal
tenglamasini topish masalasini ko‘ramiz. Buning uchun dastlab quyidagi lemmani
isbotlaymiz.
LEMMA:
Agar ikkita А
1
х
+В
1
у
+С
1
z
+D
1
=0 va А
2
х
+В
2
у
+С
2
z
+D
2
=0
tenglamalar bitta
P
tekislikni ifodalasa, unda ularning mos koeffitsiyentlari va ozod
hadlari proporsional bo‘ladi , ya’ni
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Isbot:
Bu tenglamalardan
n
1
=(А
1
,В
1
,С
1
) va
n
2
=(А
2
,В
2
,С
2
) normal
vektorlarni hosil etamiz. Ularning ikkalasi ham
P
tekislikka perpendikular va shu
sababli kollinear vektorlar bo‘ladilar. Unda, vektorlarning kollinearlik shartiga
asosan,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bunda μ proporsionallik koeffitsiyentini ifodalaydi.
Bu holda
3
6-
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
413
https://universalpublishings.com
2
1
2
1
2
1
,
,
C
C
B
B
A
A
bo‘lgani uchun, yuqoridagi tenglamalardan ikkinchisini μ soniga ko‘paytirib va
birinchisidan hadma-had ayirib
2
1
2
1
0
D
D
D
D
ekanligini ko‘ramiz. Bu nisbatni yuqoridagi nisbatlar bilan solishtirib,
lemmadagi tasdiqni to‘g‘riligiga ishonch hosil etamiz.
Bu lemmaga asosan
P
tekislikning (1) umumiy va (3) normal
tenglamalaridan
p
D
C
B
A
,
cos
,
cos
,
cos
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslar xossasidan
foydalanib, μ proporsionallik koeffitsiyentini topamiz:
.
1
1
)
cos
cos
(cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
B
A
C
B
A
Bu yerdan
2
2
2
cos
С
В
А
A
2
2
2
cos
С
В
А
B
2
2
2
cos
С
В
А
C
2
2
2
С
В
А
D
p
.
ekanligini topamiz. Bunda μ
normallashtiruvchi ko‘paytuvchi
deb ataladi va
uning ishorasi
p
=(–D/ μ)≥0 shartdan aniqlanib, D ozod had ishorasiga qarama-qarshi
qilib olinadi.
Shunday qilib tekislikning (1) umumiy tenglamasidan (3) normal
tenglamasiga o‘tish uchun uni
2
2
2
1
С
В
А
М
soniga ko‘paytirish kerak.
Masala:
Tekislikning 2
х–у
+2
z–
5=0 umumiy tenglamasidan normal
tenglamasiga o‘ting.
Yechish:
Normallashtiruvchi μ ko‘paytuvchini topamiz va berilgan
umumiy tenglamani unga ko‘paytirib, normal tenglamani topamiz:
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
414
https://universalpublishings.com
0
3
5
3
2
3
1
3
2
3
1
2
)
1
(
2
1
2
2
2
z
у
х
.
Bunda ozod had D=
–
5<0 bo‘lgani uchun μ ishorasi musbat qilib olindi va
normal tenglamada
3
5
,
3
2
cos
,
3
1
cos
,
3
2
cos
p
bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati.
1.
Latipova, S. (2024). YUQORI SINF GEOMETRIYA MAVZUSINI
O’QITISHDA YANGI PEDAGOGIK TEXNOLOGIYALAR VA METODLAR.
SINKVEYN
METODI,
VENN
DIAGRAMMASI
METODLARI
HAQIDA.
Theoretical aspects in the formation of pedagogical sciences
,
3
(3), 165-
173.
2.
Latipova,
S.
(2024,
February).
SAVOL-JAVOB
METODI,
BURCHAKLAR METODI, DEBAT (BAHS) METODLARI YORDAMIDA
GEOMETRIYANI
O’RGANISH.
In
Международная
конференция
академических наук
(Vol. 3, No. 2, pp. 25-33).
3.
Latipova, S., & Sharipova, M. (2024). KESIK PIRAMIDA
MAVZUSIDA
FOYDALANILADIGAN
YANGI
PEDAGOGIK
TEXNOLOGIYALAR. 6X6X6 METODI, BBB (BILARDIM, BILMOQCHIMAN,
BILIB OLDIM) METODLARI HAQIDA.
Current approaches and new research in
modern sciences
,
3
(2), 40-48.
4.
Latipova, S. (2024). 10-11 SINFLARDA STEREOMETRIYA
OQITISHNING
ILMIY
VA
NAZARIY
ASOSLARI.
Академические
исследования в современной науке
,
3
(6), 27-35.
5.
Latipova, S. (2024). HILFER HOSILASI VA UNI HISOBLASH
USULLARI.
Центральноазиатский журнал образования и инноваций
,
3
(2),
122-130.
6.
Latipova, S. (2024). HILFER MA’NOSIDA KASR TARTIBLI
TENGLAMALAR UCHUN KOSHI MASALASI.
Development and innovations in
science
,
3
(2), 58-70.
7.
Latipova, S. (2024). KESIK PIRAMIDA TUSHUNCHASI. KESIK
PIRAMIDANING YON SIRTINI TOPISH FORMULALARI.
Models and methods
in modern science
,
3
(2), 58-71.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
415
https://universalpublishings.com
8.
Shahnoza, L. (2023, March). KASR TARTIBLI TENGLAMALARDA
MANBA VA BOSHLANG’ICH FUNKSIYANI ANIQLASH BO’YICHA
TESKARI MASALALAR. In
" Conference on Universal Science Research
2023"
(Vol. 1, No. 3, pp. 8-10).
9.
qizi Latipova, S. S. (2024). CAPUTO MA’NOSIDAGI KASR
TARTIBLI TENGLAMALARDA MANBA FUNKSIYANI ANIQLASH BO
‘YICHA TO ‘G ‘RI MASALALAR.
GOLDEN BRAIN
,
2
(1), 375-382.
10.
Latipova, S. S. (2023). SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF
FINDING
THE
SOURCE
FUNCTION
IN
FRACTIONAL
ORDER
EQUATIONS.
Modern Scientific Research International Scientific Journal
,
1
(10),
13-23.
11.
Latipova,
S.
(2024).
GEOMETRIYADA
EKSTREMAL
MASALALAR. В DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES (Т. 3, Выпуск 3, сс. 163–172).
12.
Latipova, S. (2024). EKSTREMUMNING ZARURIY SHARTI. В
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN MANAGEMENT AND ECONOMY (Т.
3, Выпуск 2, сс. 79–90).
13.
Latipova, S. (2024). FUNKSIYANING KESMADAGI ENG KATTA
VA ENG KICHIK QIYMATI. В CURRENT APPROACHES AND NEW
RESEARCH IN MODERN SCIENCES (Т. 3, Выпуск 2, сс. 120–129).
14.
Latipova, S. (2024). EKSTREMUMLARNING YUQORI TARTIBLI
HOSILA YORDAMIDA TEKSHIRILISHI. IKKINCHI TARTIBLI HOSILA
YORDAMIDA EKSTREMUMGA TEKSHIRISH. В SCIENCE AND
INNOVATION IN THE EDUCATION SYSTEM (Т. 3, Выпуск 3, сс. 122–133).
15.
Latipova,
S.
(2024).
BIR
NECHA
O'ZGARUVCHILI
FUNKSIYANING EKSTREMUMLARI. В THEORETICAL ASPECTS IN THE
FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 3, Выпуск 4, сс. 14–24).
16.
Latipova, S. (2024). SHARTLI EKSTREMUM. В МЕЖДУРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК (Т. 3, Выпуск 2, сс. 61–70).
17.
Latipova, S. (2024). KASR TARTIBLI HOSILALARGA BO'LGAN
ILK QARASHLAR. В CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION AND
INNOVATION (Т. 3, Выпуск 2, сс. 46–51).
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
416
https://universalpublishings.com
18.
Latipova, S. (2024). TURLI EKSTREMAL MASALALAR. BAZI
QADIMIY EKSTREMAL MASALALAR. В CENTRAL ASIAN JOURNAL OF
EDUCATION AND INNOVATION (Т. 3, Выпуск 2, сс. 52–57).
19.
Latipova, S. (2024). FUNKSIYA GRAFIGINI YASASHDA
EKSTREMUMNING QO'LLANILISHI. В CENTRAL ASIAN JOURNAL OF
EDUCATION AND INNOVATION (Т. 3, Выпуск 2, сс. 58–65).
20.
Latipova, S. (2024). BIRINCHI TARTIBLI HOSILA YORDAMIDA
FUNKSIYANING
EKSTREMUMGA
TEKSHIRISH,
FUNKSIYANING
EKSTREMUMLARI. В CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION AND
INNOVATION (Т. 3, Выпуск 2, сс. 66–72).
21.
Sharipova,
M.,
&
Latipova,
S.
(2024).
TAKRORIY
GRUPPALASHLAR.
Development of pedagogical technologies in modern
sciences
,
3
(3), 134-142.
22.
Shahnoza Latipova. (2024). THE STRAIGHT LINE AND ITS
DIFFERENT DEFINITIONS. Multidisciplinary Journal of Science and
Technology, 4(3), 771–780.
23.
Sharipova, M., & Latipova, S. (2024). IKKI O’ZGARUVCHILI
TENGLAMALAR SISTEMASI.
Центральноазиатский журнал образования и
инноваций
,
3
(2 Part 2), 93-103.
24.
Latipova, S. (2024). THE STRAIGHT LINE AND ITS DIFFERENT
DEFINITIONS.
Multidisciplinary Journal of Science and Technology
,
4
(3), 771-
780.
25.
Latipova,
S.
(2024).
KO
‘PO
‘ZGARUVCHILI
FUNKSIYALARNING TURLI TA’RIFLARI.
PEDAGOG
,
7
(5), 618-626.
26.
Muxtaram Boboqulova Xamroyevna. (2024). GEYZENBERG
NOANIQLIK PRINTSIPINING UMUMIY TUZILISHI . TADQIQOTLAR.UZ,
34(3), 3–12.
27.
Muxtaram Boboqulova Xamroyevna. (2024). THERMODYNAMICS
OF LIVING SYSTEMS. Multidisciplinary Journal of Science and Technology, 4(3),
303–308.
28.
Muxtaram
Boboqulova
Xamroyevna.
(2024).
QUYOSH
ENERGIYASIDAN FOYDALANISH . TADQIQOTLAR.UZ, 34(2), 213–220.
29.
Xamroyevna, M. B. (2024). Klassik fizika rivojlanishida kvant
fizikasining orni. Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi, 6(1), 9-19.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
417
https://universalpublishings.com
30.
Xamroyevna, M. B. (2024). ELEKTRON MIKROSKOPIYA
USULLARINI TIBBIYOTDA AHAMIYATI.
PEDAGOG
,
7
(4), 273-280.
31.
Boboqulova,
M.
X.
(2024).
FIZIKANING
ISTIQBOLLI
TADQIQOTLARI.
PEDAGOG
,
7
(5), 277-283.
32.
Xamroyevna, M. B. (2024). RADIATSION NURLARNING INSON
ORGANIZMIGA TASIRI.
PEDAGOG
,
7
(6), 114-125.
33.
Jalolov,
T.
S.
(2024).
DJANGO
В
ВЕБ-
ПРОГРАММИРОВАНИИ.
MASTERS
,
2
(5), 136-142.
34.
Jalolov, T. S. (2024). YUQORI HAJMLI MA'LUMOTLARNI
QAYTA ISHLASHDA PYTHON KUTUBXONALARI.
MASTERS
,
2
(5), 121-128.
35.
Jalolov, T. S. (2024). PYTHON-DA API-LARDAN FOYDALANISH:
KENG QAMROVLI QO'LLANMA.
MASTERS
,
2
(5), 113-120.
36.
Jalolov, T. S. (2024). DJANGONING VEB-DASTURLASHDAGI
ROLI.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 576-582.
37.
Jalolov, T. S. (2024). LEVERAGING APIS IN PYTHON: A
COMPREHENSIVE GUIDE.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 544-552.
38.
Jalolov, T. S. (2024). МАТЕМАТИЧЕСКОМ СТАТИСТИЧЕСКОМ
АНАЛИЗЕ В PYTHON.
MASTERS
,
2
(5), 151-158.
39.
Jalolov, T. S. (2024). ИСПОЛЬЗОВАНИЕ API В PYTHON:
ПОДРОБНОЕ РУКОВОДСТВО.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 553-560.
40.
Jalolov, T. S. (2024). PYTHON LIBRARIES IN HIGH VOLUME
DATA PROCESSING.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 561-567.
41.
Jalolov,
T.
S.
(2024).
DJANGO'S
ROLE
IN
WEB
PROGRAMMING.
MASTERS
,
2
(5), 129-135.
42.
Jalolov, T. S. (2024). PYTHONDA MATEMATIK STATISTIK
TAHLIL HAQIDA.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 583-590.
43.
Jalolov, T. S. (2024). БИБЛИОТЕКИ PYTHON ДЛЯ ОБРАБОТКИ
БОЛЬШИХ ОБЪЕМОВ ДАННЫХ.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(5), 568-575.
44.
Jalolov, T. S. (2024). MATHEMATICAL STATISTICAL ANALYSIS
IN PYTHON.
MASTERS
,
2
(5), 143-150.
45.
Jalolov, T. S. (2024). ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ
SPSS
В
АНАЛИЗЕ
ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ
ДАННЫХ.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(8), 20-26.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
418
https://universalpublishings.com
46.
Jalolov, T. S. (2024). THE IMPORTANCE OF INFORMATION
COMMUNICATION IN HIGHER EDUCATION.
WORLD OF SCIENCE
,
7
(8),
14-19.
47.
Jalolov, T. S. (2024). USE OF SPSS SOFTWARE IN
PSYCHOLOGICAL DATA ANALYSIS.
PSIXOLOGIYA VA SOTSIOLOGIYA
ILMIY JURNALI
,
2
(7), 1-6.
48.
Jalolov,
T.
S.
(2024).
OLIY
TA’LIMDA
AXBOROT
MUMKINASINING AHAMIYATI.
PSIXOLOGIYA VA SOTSIOLOGIYA ILMIY
JURNALI
,
2
(7), 21-26.
49.
Jalolov, T. S. (2024). SPSS S DASTURIDAN PSIXOLOGIK
MA'LUMOTLARNI TAHLILIDA FOYDALANISH.
MASTERS
,
2
(8), 8-14.
50.
Jalolov, T. S. (2024). ЗНАЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ
КОММУНИКАЦИИ В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ.
MASTERS
,
2
(8), 1-7.
51.
Sadriddinovich, J. T. (2023). IDENTIFYING THE POSITIVE
EFFECTS OF PSYCHOLOGICAL AND SOCIAL WORK FACTORS BETWEEN
INDIVIDUALS AND DEPARTMENTS THROUGH SPSS SOFTWARE.
In
INTERNATIONAL SCIENTIFIC RESEARCH CONFERENCE
(Vol. 2, No. 18,
pp. 150-153).
52.
Jalolov, T. S. (2023). SPSS YOKI IJTIMOIY FANLAR UCHUN
STATISTIK PAKET BILAN PSIXOLOGIK MA’LUMOTLARNI QAYTA
ISHLASH.
Journal of Universal Science Research
,
1
(12), 207-215.
53.
Jalolov, T. S. (2023). PSIXOLOGIYA YO ‘NALISHIDA TAHSIL
OLAYOTGAN
TALABALARGA
SPSS
YORDAMIDA
MATEMATIK
USULLARNI O ‘RGATISHNING METODIK USULLARI.
Educational Research
in Universal Sciences
,
2
(10), 323-326.
54.
Jalolov,
T.
S.
(2023).
ADVANTAGES
OF
DJANGO
FEMWORKER.
International Multidisciplinary Journal for Research &
Development
,
10
(12).
55.
Jalolov,
T.
S.
(2023).
PEDAGOGICAL-PSYCHOLOGICAL
FOUNDATIONS
OF
DATA
PROCESSING
USING
THE
SPSS
PROGRAM.
INNOVATIVE
DEVELOPMENTS
AND
RESEARCH
IN
EDUCATION
,
2
(23), 220-223.
56.
Jalolov, T. S. (2023). Programming languages, their types and
basics.
Technical science research in Uzbekistan
,
1
(5), 145-152.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь
419
https://universalpublishings.com
57.
Jalolov, T. S. (2023). THE MECHANISMS OF USING
MATHEMATICAL
STATISTICAL
ANALYSIS
METHODS
IN
PSYCHOLOGY.
TECHNICAL SCIENCE RESEARCH IN UZBEKISTAN
,
1
(5),
138-144.
58.
Jalolov, T. S. (2023). TEACHING THE BASICS OF PYTHON
PROGRAMMING.
International Multidisciplinary Journal for Research &
Development
,
10
(11).
59.
Jalolov, T. S. (2023). Solving Complex Problems in Python.
American
Journal of Language, Literacy and Learning in STEM Education (2993-2769)
,
1
(9),
481-484.
60.
Jalolov, T. S. (2023). PYTHON TILINING AFZALLIKLARI VA
KAMCHILIKLARI.
TECHNICAL SCIENCE RESEARCH IN UZBEKISTAN
,
1
(5),
153-159.
