“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-3027
_SJIF:
5.449
https://scientific-jl.com/ped
Volume-82, Issue-1, May -2025
159
O‘ZBEK MILLIY NAQSHLARINI R-FUNKSIYA YORDAMIDA
GEOMETRIK MODELLASHTIRISH
Shohruh Safarov
Alfraganus University Raqamli texnologiyalar kafedra dotsenti
Mo‘min Babajanov
O‘zbekiston xalqaro islomshunoslik akademiyasi “Zamonaviy axborot-
kommunikatsiya texnologiyalari” kafedrasi katta o‘qituvchilari, PhD
Behruzbek Roxmanov
Alfraganus University Raqamli texnologiyalar kafedra magistri
Annotatsiya
Maqolada o‘zbek milliy naqshlarini matematik jihatdan
modellashtirish masalasi ko‘rib chiqiladi. Xususan, R-funksiya usuli yordamida
naqshlardagi geometrik shakllarning aniqligi va murakkabligi hamda ularning
geometrik modeli ifodalanadi. Bunda R funksiyaning konyunksiya dizyunksiya va
inkor amallaridan foydalani algebraik mantiqiy tenglamalar tuziladi. R-funksiya usuli
zamonaviy hisoblash geometriyasi va kompyuter grafikasi sohalarida qo‘llaniladigan
kuchli vosita bo‘lib, u yordamida murakkab konturlarning analitik tengmalarini
yaratish imkoniyati mavjud.
Kalit so‘zlar:
R-funktsiya, o‘zbek naqshlari, modellashtirish, geometrik
modellar, analitik ifoda, kompyuter grafika.
O‘zbekiston boy madaniy merosga ega bo‘lib, uning ajralmas qismi milliy
naqshlardir. Ushbu naqshlar nafaqat dekorativ ahamiyatga ega, balki o‘zida chuqur
ramziy ma’nolarni ham mujassam etadi. Zamonaviy texnologiyalar, xususan
matematik modellashtirish usullari, bu naqshlarni o‘rganish, tahlil qilish va qayta
yaratish uchun yangi imkoniyatlar yaratmoqda. Ushbu maqolada o'zbek milliy
naqshlarini R-funksiya yordamida modellashtirish usuli ko'rib chiqiladi.
R-funksiyalar (Regularized Boolean functions) geometrik obyektlarni analitik
tarzda ifodalash uchun kuchli matematik apparat hisoblanadi. Ular mantiqiy algebra va
haqiqiy qiymatli funksiyalarning kombinatsiyasi orqali murakkab shakllarni aniq va
ixcham tarzda tasvirlash imkonini beradi. R-funksiyalarning asosiy xususiyati
shundaki, ular obyektning ichki va tashqi qismlarini aniq ajratib turadi va silliq
chegaralarni hosil qilishga imkon beradi. R-funktsiya — bu ma’lum shartli sohalarni
analitik ravishda ifodalashga imkon beradigan maxsus sinfdagi matematik funksiyadir.
Bu funksiyalar yordamida sohalarning birikmasi (union), kesishmasi (intersection)
yoki farqi (difference) kabi geometrik amallarni amalga oshirish mumkin. R-
funktsiyalar mantiqiy (Boolean) algebra va analitik geometriyaning kombinatsiyasi
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-3027
_SJIF:
5.449
https://scientific-jl.com/ped
Volume-82, Issue-1, May -2025
160
hisoblanadi. O'zbek milliy naqshlari o'zining xilma-xilligi, simmetriyasi va
takrorlanuvchanligi bilan ajralib turadi. Ularda geometrik shakllar, o'simlik elementlari
va an'anaviy ramzlar keng qo'llaniladi. Naqshlarning tuzilishi ko'pincha murakkab
bo'lib, bir nechta elementlarning o'zaro uyg'unlashuvidan hosil bo'ladi.
R-Funksiyalar Yordamida Modellashtirish
O'zbek milliy naqshlarini R-funksiyalar yordamida modellashtirish bir necha
bosqichdan iborat bo'ladi [1]:
1.
Naqshni elementlarga ajratish:
Dastlab, murakkab naqsh uning asosiy
geometrik elementlariga (doiralar, to'rtburchaklar, egri chiziqlar va hokazo)
ajratiladi.
2.
Har bir element uchun R-funksiyani aniqlash:
Har bir element uchun uni
matematik tarzda ifodalaydigan R-funksiya tuziladi. Masalan, doira uchun R-
funksiya uning markazi va radiusi orqali aniqlanishi mumkin:
2
2
2
0
0
( , )
(
)
(
)
x y
r
x
x
y
y
Bu yerda
0
0
(
,
)
x y
- doira markazi, r - radiusi.
( , )
0
x y
doira ichidagi
nuqtalarni,
( , )
0
x y
esa tashqarisidagi nuqtalarni ifodalaydi [1,2].
Agar
( , )
0,
f x y
bu doira,
( , )
0,
g x y
to‘g‘riburchak bildirsa, u holda
2
2
( , )
R f g
f
g
f
g
- bu ikkala sohaning birikmasi (union),
2
2
( , )
R f g
f
g
f
g
- bu ikkala sohaning kesishmasi (intersection) bo’ladi.
3.
Elementlarni birlashtirish uchun R-operatsiyalardan foydalanish:
Naqshning murakkab shaklini hosil qilish uchun elementlarning R-funksiyalari
maxsus R-operatsiyalar (birlashma, kesishma, ayirma) yordamida
birlashtiriladi. Masalan, ikki obyektning birlashmasi uchun quyidagi R-
funksiya ishlatilishi mumkin:
1
2
1
2
12
22
. Kesishma uchun esa:
1
2
1
2
12
22
4.
Simmetriya va takrorlashni hisobga olish:
O'zbek naqshlarining o'ziga xos
xususiyati bo'lgan simmetriya va takrorlanishni modellashtirish uchun mos
matematik transformatsiyalar va takrorlash operatorlaridan foydalaniladi.
Masalan, aylantirish, ko'chirish va aks ettirish kabi transformatsiyalar naqsh
elementlariga qo'llanilishi mumkin.
O‘zbek milliy naqshlarini modellashtirish jarayoni
O‘zbek naqshlari odatda quyidagi geometrik shakllardan tashkil topgan: doiralar,
yulduzsimon elementlar, spirallar, to‘g‘ri va egri chiziqlar, va ularning simmetrik
kombinatsiyalari. Bu shakllarni quyidagi bosqichlarda modellashtirish mumkin:
1.
Elementar shakllarni tanlash:
Har bir naqsh alohida geometrik shakllarga
ajratiladi (doira, elips, ko‘pburchak).
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-3027
_SJIF:
5.449
https://scientific-jl.com/ped
Volume-82, Issue-1, May -2025
161
2.
Ularning R-funktsiyalari orqali ifodalanishi:
Har bir shakl uchun tegishli R-
funktsiyalar tuziladi.
3.
Naqshni hosil qilish:
Shakllar kesishmasi va birikmalari orqali naqshning
umumiy analitik ifodasi aniqlanadi.
4.
Kompyuter grafikasi vositalarida tasvirlash:
Hosil qilingan R-funktsiyalar
grafik dastur yordamida vizual ko‘rinishda tasvirlanadi.
O'zbek Milliy Naqshlarini R-Funksiya Yordamida Modellashtirish
O'zbek milliy naqshlaridan bir nechta oddiy namunani R-funksiyalar yordamida
qanday modellashtirish mumkinligini ko'rib chiqaylik.
1-misol: Oddiy "Bodomcha" Naqshi Elementi
"Bodomcha" (bodom shakli) o'zbek naqshlarida keng tarqalgan elementlardan biridir.
U ikki yarim doira va ularni birlashtiruvchi to'g'ri chiziqlardan iborat bo'lishi mumkin
[3,4,5].
2
2
1 0
x
y
a
b
Bu yerda a va b ellipsning yarim o'qlari. Bir nechta "bodomcha" elementlarini kerakli
tartibda joylashtirib, ularni birlashtirish (
∪
) operatsiyasi yordamida murakkab
"bodomcha" naqshini hosil qilish mumkin.
R-funksiyasi
orqali
bodomcha
naqshiga o‘xshash shaklni olish mumkin:
( )
(1 sin( ))
b
r
a
Bu yerda:
( )
r
radius, ya’ni nuqtaning markazdan uzoqligi;
[0, 2 ]
— burchak (gradus emas,
radian
larda);
0
a
— hajm parametri (kattaligi);
0
b
— cho‘zilganlik yoki egilish darajasi;
sin( )
— shaklni pastga egib beradi.
2.
"Isirg'a" naqshi:
Ushbu naqsh egri chiziqlar va doiralardan iborat bo'lishi
mumkin. Doira uchun R-funksiya quyidagicha ifodalanadi [5,6]:
2
2
2
0
0
0
x
x
y
y
r
Bu yerda
0
0
,
x y
doiraning markazi va
r
uning radiusi. Egri chiziqlarni
modellashtirish uchun esa Bezier egri chiziqlari yoki spline funksiyalari kabi
parametrik egri chiziqlarni R-funksiyalarga aylantirish usullaridan foydalanish
mumkin. Keyin bu elementlarni birlashtirish va kesishish (∩) operatsiyalari orqali
"isirg'a" naqshining murakkab shaklini yaratish mumkin [7,8,9].
3. Geometrik naqshlar (masalan, "Panjara"):
O'zbek naqshlarida ko'p
uchraydigan panjara shaklidagi naqshlarni modellashtirish uchun to'g'ri
to'rtburchaklar yoki romblar kabi oddiy geometrik shakllarning R-funksiyalaridan
foydalanish mumkin:
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-3027
_SJIF:
5.449
https://scientific-jl.com/ped
Volume-82, Issue-1, May -2025
162
To'g'ri to'rtburchak:
2
2
2
0
0
0
x
x
y
y
r
Bu yerda
1
2
,
x x
va
1
2
,
y y
to'rtburchakning chegaralari. Ushbu to'rtburchaklarni
kerakli masofada takrorlab va kesishish operatsiyalari yordamida panjara
naqshini hosil qilish mumkin.
Afzalliklari va Qo'llanilishi
R-funksiyalar yordamida o'zbek milliy naqshlarini modellashtirish quyidagi
afzalliklarga ega [10]:
Aniq matematik ifodalash:
Naqshlar aniq matematik formulalar orqali
ifodalanadi, bu ularni tahlil qilish va qayta ishlashni osonlashtiradi.
Parametrik boshqaruv:
Naqsh elementlarining shakli va o'lchamlari
parametrik tarzda boshqarilishi mumkin, bu esa naqshlarni moslashtirish va
o'zgartirish imkonini beradi.
Kompyuter grafikasi va dizaynda qo'llash:
Modellashtirilgan naqshlar
kompyuter grafikasi, dizayn, to'qimachilik va boshqa sohalarda keng
qo'llanilishi mumkin.
Naqshlarni generatsiya qilish:
R-funksiyalar yordamida yangi, o'xshash
naqshlarni avtomatik ravishda generatsiya qilish imkoniyati mavjud.
Xulosa
R-funksiyalar yordamida o‘zbek milliy naqshlarini geometrik modellashtirish
nafaqat estetik qadriyatlarni raqamli muhitga ko‘chirishga, balki ularni tahlil qilish,
saqlash va yangi naqshlar yaratishda zamonaviy yondashuvni ta’minlaydi. Bu usul
amaliy san’atni zamonaviy kompyuter texnologiyalari bilan uyg‘unlashtirishda katta
imkoniyatlar yaratadi. R-funktsiyalar yordamida istalgan murakkab sohalarni
elementar geometrik shakllar asosida aniqlik bilan ifodalash mumkin. Bu funksiya
usuli naqshlarning har bir komponentini matematik shaklda modellashtirish, ularni
kompozitsion jihatdan birlashtirish imkonini beradi. Ayniqsa, naqshlardagi simmetriya
va takroriyliklarni ifodalashda bu yondashuv juda samarali hisoblanadi.
R-funktsiyalar orqali modellashtirish — bu faqat matematik tasvir emas, balki
naqshlarning raqamli formati, ya'ni vektorli grafik ko‘rinishini olish imkonini ham
beradi. Bu esa ularni zamonaviy dizayn, 3D modellashtirish, lazerli kesish va raqamli
bosma texnologiyalarida keng qo‘llashga imkon yaratadi.
O‘zbek naqshlarini R-funksiyalar asosida modellashtirish — bu ularni nafaqat
fizik shaklda, balki algoritmik va raqamli asosda saqlashga imkon beruvchi muhim
vositadir. Bu esa madaniy meros obektlarining ilmiy arxivini yaratishda, uni
o‘rganishda va ta’lim jarayonlariga integratsiya qilishda muhim o‘rin tutadi.
R-funktsiyalar yondashuvi nafaqat matematik modellashtirishni, balki badiiy-estetik
jihatdan mukammal naqshlarni hosil qilishni ham ta’minlaydi. Bu san’at va ilm-fan
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-3027
_SJIF:
5.449
https://scientific-jl.com/ped
Volume-82, Issue-1, May -2025
163
o‘rtasidagi yangi integratsion yondashuvni shakllantiradi. Shuningdek, bu usul
yordamida yangi, zamonaviy dizaynga ega naqshlar yaratish mumkin bo‘ladi. Tadqiqot
natijalari shuni ko‘rsatadiki, R-funksiyalar yordamida naqshlar yaratuvchi
algoritmlarni ishlab chiqish imkoniyati mavjud. Bunday algoritmlar yordamida
foydalanuvchi parametrlar asosida turli naqsh variantlarini avtomatik ravishda yaratish
mumkin bo‘ladi. Bu esa zamonaviy dizayn sohalarida (grafik dizayn, tekstil, interyer
dizayn) katta amaliy ahamiyatga ega bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Ривачев В.Л, Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. Киев: Наук
думка, 1987. 176 с.
2.
Курпа Л.В. Методом Р-функсии для решения линейных задач изгиба и
колебаний пологих оболочек. Харков НТУ ХПИ 2009. 391с.
3.
Wickham,
H.
(2015).
Advanced
R
.
CRC
Press.
– R tilida funksiyalar, lexical scoping, closures va funksiya dizayni haqida chuqur
maʼlumot beradi.
4.
Wickham, H. & Grolemund, G. (2016).
R for Data Science
. O’Reilly Media.
– R dasturlashning amaliy jihatlarini, xususan funksiyalardan foydalanishni yoritadi.
5.
Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002).
Modern Applied Statistics with S
. Springer.
– Statistika ilovalarida funksiyalarning qo‘llanilishi haqida.
6.
Matloff, N. (2011).
The Art of R Programming: A Tour of Statistical Software
Design
. No Starch Press. – Funksiyalarni yaratish, chaqirish, optimallashtirish
bo‘yicha foydali manba.
7.
Chambers, J. M. (2008).
Software for Data Analysis: Programming with R
. Springer.
– R dasturida funksional dasturlash uslubi va ilg‘or texnikalar haqida.
8.
R Core Team. (2024).
R: A language and environment for statistical computing
. R
Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL:
– R ning rasmiy hujjatlari, ayniqsa funksiyalar bo‘yicha qismlar muhim manba
hisoblanadi.
9.
Peng, R. D. (2020).
R Programming for Data Science
. Leanpub.
– Boshlovchilar uchun funksiyalarni tushunishga oid sodda va aniq manba.
10.
Grolemund, G. (2014).
Hands-On Programming with R
. O’Reilly Media.
– Amaliy mashqlar orqali funksiyalarni o‘rganish imkonini beradi.
