ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
69
TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI VA FORMULALARNI KOMPLEKS SONLAR
YORDAMIDA ISBOTLASH.
Ergashov Ozodbek Hotamovich
Buxoro davlat universiteti
https://doi.org/10.5281/zenodo.10774975
Annotatsiya.
Mazkur maqolada trigonometrik funksiyalarni aniqlashda va turli
trigonometrik formulalarni isbotlashda kompleks sonlar yordamida qanday isbotlash yo’llari
ko’rsatilgan.
Kalit so’zlar:
kompleks son, argument, Nyuton binomi, Muavr formulasi, ayniyat.
PROOF OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS AND FORMULAS USING
COMPLEX NUMBERS.
Abstract.
This article shows how to prove trigonometric functions using complex numbers
and proving various trigonometric formulas.
Key words:
complex number, argument, Newton's binomial, Muavr's formula, equation.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ФОРМУЛ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.
Аннотация.
В данной статье показано, как доказывать тригонометрические
функции с помощью комплексных чисел и доказывать различные тригонометрические
формулы.
Ключевые слова:
комплексное число, аргумент, бином Ньютона, формула Муавра,
уравнение.
Maqolada
keltirilgan
ma’lumotlardan
iqtidorli
o’quvchilar
o’z
bilimlarini
mustahkamlashda foydalanishlari mumkin. Ma’lumotlar asosan sinus va kosinus uchun
keltirilgan. Tangens va kotangenslarning xossalari quyidagi
cos
sin
tg
va
sin
cos
ctg
munosabatlar yordamida sinus va kosinuslarning mos xossalaridan osongina keltirib chiqarilishi
mumkin.
1. Kompleks sonlar. Asosiy ta'rif va tushunchalar
.
1-ta’rif
. z kompleks son deb
𝑧
=
𝑥
+
𝑖𝑦
ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda
𝑥
va
𝑦
- haqiqiy sonlar
𝑖
esa
𝑖
= yoki
𝑖
2
= −1 (1)
tenglik bilan aniqlanuvchi mavhum birlik deb ataluvchi birlik.
𝑥
va
𝑦
ni
𝑧
kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismlari deyiladi va bunday belgilanadi:
𝑅𝑒𝑧
=
𝑥
,
𝐼𝑚𝑧
=
𝑦
Xususiy holda, agar
𝑥
= 0 bo‘lsa, u holda
𝑧
= 0 +
𝑖𝑦
=
𝑖𝑦
sonni sof mavhum son,
agar
𝑦
= 0 bo‘lsa, u holda
𝑧
=
𝑥
+
𝑖
∙ 0 =
𝑥
, ya’ni haqiqiy son 2 hosil bo‘ladi. Shunday
qilib, haqiqiy va mavhum sonlar
𝑧
kompleks sonning xususiy holidir.
2 - ta’rif
. Agar ikkita
𝑧
1
=
𝑥
1
+
𝑖𝑦
1
va
𝑧
1
=
𝑥
1
+
𝑖𝑦
1
kompleks sonlarning haqiqiy
qismi alohida, mavhum qismi alohida teng bo‘lsa, bu kompleks sonlar teng, ya’ni
𝑧
1
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
70
=
𝑧
2
bo‘ladi, boshqacha aytganda
𝑅𝑒𝑧
1
=
𝑅𝑒𝑧
2
va
𝐼𝑚𝑧
1
=
𝐼𝑚𝑧
2
bo‘lsa,
𝑧
1
=
𝑧
2
hisoblanadi.
3-ta’rif
.
𝑧
=
𝑥
+
𝑖𝑦
kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismi nolga teng bo‘lsagina,
u nolga teng bo‘ladi, ya’ni agar
𝑥
= 0 va
𝑦
= 0 bo‘lsagina,
𝑧
= 0 va aksincha. 1-chizma.
4- ta’rif
. Mavhum qismlari bilan farq qiluvchi ikkita
𝑧
=
𝑥
+
𝑖𝑦
va
𝑧
̅=
𝑥
−
𝑖𝑦
(2)
kompleks son qo‘shma kompleks sonlar deyiladi. 5- ta’rif. Haqiqiy va mavhum
qismlarning ishoralari bilan farq qiluvchi ikkita
𝑧
1
=
𝑥
+
𝑖𝑦
va
𝑧
2
= −
𝑥
−
𝑖𝑦
(3)
kompleks son qarama-qarshi kompleks sonlar deyiladi.
2. Kompleks sonning geometrik ta’sviri va trigonometrik shakli
Har qanday
𝑧
=
𝑥
+
𝑖𝑦
kompleks sonni
𝑂
XY tekislikda X va Y koordinatali
𝐴
(
𝑥
,
𝑦
) nuqta
shaklida tasvirlash mumkin va, aksincha, tekislikning har bir nuqtasiga kompleks son mos
keladi.
Kompleks sonlar tasvirlanadigan tekislik
𝑧
kompleks o‘zgaruvchining tekisligi
deyiladi.
Kompleks tekislikda z sonni tasvirlovchi nuqtani
𝑧
nuqta deb ataymiz (1- chizma).
ОX o‘qda yotuvchi nuqtalarga haqiqiy sonlar mos keladi (bunda y=0), ОY o‘qda yotuvchi
nuqtalar sof mavhum sonlarni tasvirlaydi (bu holda x=0). Shu sababli ОX o‘q haqiqiy o‘q.
ОY o‘q mavhum o‘q deyiladi. А(x, у) nuqtani 3 koordinatalar boshi bilan birlashtirib
ОА vektorni hosil qilamiz, bu ham z
x
iy kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi.
Koordinatalar boshini qutb deb, ОX o‘qning musbat yo‘nalishini qutb o‘qi deb
kompleks tekislikda koordinatalarning qutb sistemasini kiritamiz.
va r larni А (x,y) nuqtaning
qutb koordinatalari deymiz.
A nuqtaning qutb radiusi r , ya’ni A nuqtadan qutbgacha bo‘lgan masofa
𝑧
kompleks
sonning moduli deyiladi va z kabi belgilanadi.
r
z
(4)
ekani ravshan.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
71
A nuqtaning qutb burchagi
ni
𝑧
kompleks sonning argumenti deyiladi va
Аrgz
kabi belgilanadi. Argument bir qiymatli aniqlanmay, balki 2
k qo‘shiluvchi qadar aniqlikda
aniqlanadi, bunda k –butun son. Argumentning hamma qiymatlari orasidan 0
2
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi bittasini tanlaymiz. Bu qiymat bosh qiymat deyiladi va
bunday belgilanadi:
𝜑
=
𝑎𝑟𝑔𝑧
(5)
Ushbu (6)
tengliklarni hisobga olib,
𝑧
kompleks sonni bunday ifodalash mumkin:
z
x
i
y
r
(cos
isin
), (7)
Yozuvning (7) shakli kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi. z
x
iy
ko‘rinishdagi yozuv kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
4. Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va ildizdan chiqarish
Ko‘paytirish qoidasidan darajaga ko‘tarish qoidasi kelib chiqali.
𝑧
=
𝑟
∙ (cos
𝜑
+
𝑖
∙ sin
𝜑
)
uchun natural n da
𝑧
n
=
𝑟
n
∙ (cos
𝑛𝜑
+
𝑖
∙ sin
𝑛𝜑
)
ekani kelib chiqadi. Bu formula Muavr formulasi deyiladi. Bu formula kompleks sonni natural
darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tarilishi, argument esa daraja ko‘rsatkichiga
ko‘paytirilishi kerakligini ko‘rsatadi.
1-misol
. Mavhum birlik i ning natural darajasi uchun formula toping.
Yechish
.
𝑖
1
=
𝑖
,
𝑖
2
= −1 ,
𝑖
3
=
𝑖
∙
𝑖
2
= −
𝑖
,
𝑖
4
=
𝑖
2
∙
𝑖
2
= ,
𝑖
5
=
𝑖
∙
𝑖
4
=
𝑖
,
𝑖
6
=
𝑖
∙
𝑖
5
=
𝑖
2
= −1 ,
𝑖
7
=
𝑖
∙
𝑖
6
= −
𝑖
,
𝑖
8
=
𝑖
7
∙
𝑖
= −
𝑖
2
= 1.
Umuman,
𝑖
4k
= 1 ,
𝑖
4k+1
=
𝑖
,
𝑖
4k+2
= −1 ,
𝑖
4k+3
= −
𝑖
2-misol
sin va cos2 larni isbotlang
Yechish.
Isbotlashimiz uchun z
2
topish yetarli
Z
2
=(r)
2
va bu
Z
2
=(r
2
(cos
2
+2icossin+i
2
sin
2
)) yoki (1) dan kelib chiqib Z
2
=(r
2
(cos
2
+2icossin-sin
2
))
Muavr formulasiga ko'ra esa
Z
2
=r
2
teng bo'ladi.
Haqiqiy va mavhum qismlarni tenglasak
= cos
2
-sin
2
=cossin
kabi formulani olishimiz mumkin
3-misol
z
3
darajasiga ko'tarish.
Yechish.
Z
3
=(r)
3
va bu
Z
3
=r
3
( cos
3
+3icos
2
sin+3i
2
cossin
2
+ +i
3
sin
3
)
(1) , 5- misoldan va Muavr formulasidan kelib chiqib
Z
3
=r
3
(cos3+isin3) ko'ra
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
72
Cos3= cos
3
-3cossin
2
Sin3=3cos
2
sin- sin
3
Sin3 va cos3 formula isbotini ko'rishimiz mumkin.
4-misol
sin4n va cos4n ni isbotlash.
Yechish.
4n
darajaga ko'tarish kerak. Buning uchun bizga Nyuton binomi formulasini
keltiramiz.
(a+b)
4n
=
a
4n
+a
4n-1
b+a
4n-2
b
2
+
a
4n-3
b
3
+a
4n-4
b
4
+…………………..+ab
4n-1
+
+b
4n
shu
ko'rinishda ochib chiqilsa
(cos+isin)
4n
=
cos
4n
+icos
4n-1
sin+
+i
2
cos
4n-2
sin
2
+i
3
cos
4n-3
sin
3
+
+i
4
cos
4n-4
sin
4
+…………………..+i
4n-1
cossin
4n-1
+i
4n
sin
4n
Kabi holatga keldi.
5-misolga keltirilganidek i ning qiymatlari qo'ysak
(cos+isin)
4n
=
cos
4n
+icos
4n-1
sin-
-cos
4n-2
sin
2
-icos
4n-3
sin
3
+
+cos
4n-4
sin
4
+…………………..-i
cossin
4n-1
+sin
4n
Muavr formulasiga ko'ra esa cosn+isinn.
Demak
Cosn=cos
4n
-cos
4n-2
sin
2
+………
…..-cos
2
sin
4n
+sin
4n
Sinn=cos
4n-1
sin- cos
4n-3
sin
3
+…….
….+cos
3
sin
4n-3
-cossin
4n-1
Formula isbotlandi.
O’quvchilar mustaqil yechishlari uchun quyidagi masalalarni tavsiya qilishimiz mumkin.
1. Trigonometriyaning asosiy ayniyatidan foydalanib cos2 va cos3 bir xil nomli formulasini
ko'rsating.
2. Trigonometriyaning asosiy ayniyatidan foydalanib sin2 va sin3 bir xil nomli formulasini
ko'rsating.
3. kompleks sonlar yordamida sin4 va sin5 formulasini aniqlang .
4. cos
5
=cos5+cos3+cos ni isbotlang
REFERENCES
1.
Г.Ҳудойберганов, А.Ворисов, Ҳ.Мансуров КОМПЛЕКС АНАЛИЗ, Toshkent
«УНИВЕРСИТЕТ» 1998
2.
А. САЪДУЛЛАЕВ, Г. ХУДОЙБЕРГАНОВ, X. МАНСУРОВ, А.БОРИСОВ,
Т.ТУЙЧИЕВ МАТЕМАТИК АНАЛИЗ КУРСИДАН МИСОЛ ВА МАСАЛАЛАР
ТУПЛАМИ 3 Toshkent «УНИВЕРСИТЕТ» 2000
3.
https://azkurs.org/pars_docs/refs/53/52775/52775.pdf
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
73
4.
http://iht.uz/download/slides/2kurs/algebra/015_II%20KURS%20Algebra-17.pdf
5.
https://arxiv.uz/uz/documents/referatlar/adabiyot/kompleks-sonlar-nazariyasi
