ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
37
BAZI BIR SHEGARALIQ MÁSELELERDI SHESHIWDIŃ
IZBE IZ JUWIQLASIWLAR USILI
Qurbanbaev Ó.O.
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, docent.
Reimova L. J.
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, stajyor oqıtıwshı.
Jamalov Q. N.
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, stajyor oqıtıwshı.
https://doi.org/10.5281/zenodo.13752886
Annotaciya.
Maqalada ekinshi tártipli sızıqlı bolmaǵan differenciallıq teńleme ushın
shegaralıq másele qarastırıladı. Bázi bir belgilew jasaw arqalı bul shegaralıq másele birirnshi
tártipli differenciallıq teńlemeler sisteması ushın shegaralıq máselege alıp kelinedi hám
shegaralıq máselelerdi sheshiwdiń sanlı-analitikalıq uslı járdeminde juwıq sheshiledi, sol menen
birge qatelik bahalanadı.
Gilt sózler:
Ekinshi tártipli sızıqlı bolmaǵan differenciallıq teńleme, birirnshi tártipli
differenciallıq teńlemeler sisteması, shegaralıq másele, juwıq sheshim.
SOLVING SOME LIMITED PROBLEMS USING THE METHOD OF SUCCESSIVE
APPROXIMATIONS
Abstract.
The article considers a constrained problem for a second-order nonlinear
differential equation. Having made some notations, this limited problem is reduced to a value
problem for a system of first-order differential equations and is solved destructively using a
numerical-analytical method for solving value problems, and the error is estimated.
Key words.
Second-order nonlinear differential equation, system of first-order differential
equations, value problem, approximate solution.
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ЗАДАЧА МЕТОДОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ
Аннотация.
В статье рассматривается ограниченная задача для нелинейного
дифференциального уравнения второго порядка. Сделав некоторые обозначения, данная
ограниченная задача сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений
первого порядка и решается деструктивно с помощью численно-аналитического метода
решения ограниченных задач, при этом оценивается погрешность.
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
38
Ключевые слова.
Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка,
система дифференциального уравнения первого порядка, краевая задача, приближенное
решение.
Sızıqlı emes shegaralıq máselelardi úyreniwdiń házirgi zaman usılları ishinde keń taralģan
metodlardıń biri Samoylenkonıń sanlı-analitikalıq usılı bolıp, bul usıl izleniwshi sheshimdi
analitikalıq kóriniste ańlatıwģa imkan beredi [1-3].
Meyli bizge ekinshi tártipli
2
2
, ,
d y
dy
F t y
dt
dt
differenciallıq teńleme berilgen bolıp, bul differenciallıq teńleme ushın
2
1
)
(
,
)
0
(
d
T
y
d
y
shegaralıq shártlerdi qanaatlandıratuģın sheshimdi juwıq dúziw máselesi qoyılģan bolsın,
bul jerde
( , , )
F t y y
ў
funkciyası
1
2
( , , )
0,
t y y
T
D
D
oblastında anıqlanģan hám úzliksiz
funkciya. Máseleni sheshiwden aldın
1
( )
( ),
y t
x t
2
( )
( )
y t
x t
belgilew
kiritip, berilgen shegaralıq máseleni
( , ),
dx
f t x
dt
(1)
2
2
1
1
)
(
,
)
0
(
d
T
x
d
x
(2)
kórinisindegi shártleri ajralģan shegaralıq máselege alıp kelemiz, bul jerde
)
(
)
(
)
(
2
1
t
x
t
x
t
x
,
1
1
2
2
2
1
2
1
2
( , ,
)
( )
( , )
( , ,
)
( , ( ),
( ))
f t x x
x t
f t x
f t x x
F t x t x t
.
Bizge málim
)
,
(
x
t
f
funkciyası
D
T
x
t
,
0
)
,
(
(3)
oblastta anıqlanģan hám úzliksiz funkciya boladı, bul jerde
1
2
.
D
D
D
Aytayıq
)
,
(
x
t
f
funkciyası
D
x
x
x
T
t
,
,
,
,
0
ushın
0
M
sanı menen shegaralanģan hám
0
K
sanı boyınsha Lipshic shártin qanaatlandırsın, yaģniy (3) oblastta
x
x
K
x
t
f
x
t
f
M
x
t
f
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
(4)
teńsizligi orınlı bolsın.
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
39
Sonıń menen birge, meyli (1),(2) shegaralıq máselesi
,
M K
parametrleri hám
1
2
,
,
T d d
berilgenleri boyınsha tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1) óziniń
1
2
MT
dógeregi menen
D
oblastında jatatuģın
0
D
kópligi bos kóplik bolmasın,
yaģniy
0
0
D
(5)
2).
K
T
Q
matricasinıń menshikli mánisleri absolyut mánisi boyınsha birden kishi
bolsın, yaģniy
2
,
1
,
1
)
(
i
Q
i
(6)
Bul shártlerdiń hámmesi orınlanģan jaģdayda (2) shegaralıq shártti hárdayım
qanaatlandıratuģın hám (1),(2) shegaralıq máseleniń anıq sheshimine teń ólshewli umtılatuģın
funkciyalar izbe-izligin dúziw hám anıq sheshim arasındaģı ayırmanı bahalaw imkanı bar boladı.
Bunıń ushın
))
(
(
))
0
(
(
)
1
(
)
(
1
2
T
x
d
T
t
x
d
T
t
t
x
(7)
t
T
ds
ds
s
x
s
f
T
s
x
s
f
0
0
))
(
,
(
1
))
(
,
(
integrallıq teńlemeni qarastıramız, bul jerde
1
1
2
2
2
(0)
( (0))
(0),
(0)
(0)
d
x
d x
x
x
x
1
1
1
2
2
( )
( )
( ( ))
( ).
( )
x T
x T
d x T
x T
d
x T
(7) integral teńlemeniń sheshimi (1) differencial teńlemeni hárdayım qanaatlandıra
bermeydi, biraq (2) shegaralıq shártlardiń ekewinde qanaatlandıradı. Eger (7) teńlemeniń
sheshiminde qatnasatuģın
))
0
(
(
2
x
d
hám
))
(
(
1
T
x
d
degi
2
1
(0),
( )
x
x T
parametrlerin tańlap alıw
arqalı bul sheshimniń (1) teńlemenide qanaatlantdırıwın táminlew múmkin.
Usı máqsette (7) integral teńlemeniń sheshimin
))
(
(
))
0
(
(
)
1
(
)
,
(
1
2
0
1
T
x
d
T
t
x
d
T
t
x
t
x
T
m
(8)
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
40
t
T
T
m
T
m
ds
ds
x
s
x
s
f
T
x
s
x
s
f
0
0
0
0
))
,
(
,
(
1
))
,
(
,
(
,
,...
2
,
1
,
0
m
izbe-iz juwıqlasıwlar usılı járdeminde sheshemiz, bul jerde
0
1
2
( ( ),
(0)).
T
x
x T x
Bul (8)
formula menen anıqlanatuģın
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalar izbe-izliginiń hár biri barláq
m
ushın (2)
shegaralıq shártlerdi qanaatlandıradı.
Meyli
0
1
0
2
))
(
(
,
))
0
(
(
D
T
x
d
D
x
d
bolsın dep uyģarayıq. Ol jaģdayda (8) formula
menen anıqlanatuģın
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalar izbe-izligi
D
oblasttan shıģıp ketpeydi.
Haqıyqattanda dástlepki juwıqlasıwdı
))
(
(
))
0
(
(
)
1
(
)
,
(
1
2
0
0
T
x
d
T
t
x
d
T
t
x
t
x
T
dep alsaq, bul jaģdayda
t
T
T
m
T
m
T
T
ds
ds
x
s
x
s
f
T
x
s
x
s
f
x
t
x
x
t
x
0
0
0
0
0
0
0
1
))
,
(
,
(
1
))
,
(
,
(
)
,
(
)
,
(
bolıp, lemma 1, [1] boyınsha
MT
M
t
x
t
x
x
t
x
T
T
2
1
)
(
)
,
(
)
,
(
1
0
0
0
1
boladı, bul jerde
1
( )
2 1
t
t
t
T
.
0
1
0
2
))
(
(
,
))
0
(
(
D
T
x
d
D
x
d
bolıwı sebepli
0
1
2
0
0
))
(
(
))
0
(
(
)
1
(
)
,
(
D
T
x
d
T
t
x
d
T
t
x
t
x
T
bolıp, bunnan
1
0
( ,
)
T
x t x
D
kelip shıģadı. Procesti dawam etip, barlıq
0
m
hám
0
0
0
[0, ],
( ,
)
T
t
T
x t x
D
lar ushın (8) degi
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalar izbe-iziginiń
D
oblasttan shıģıp ketpeytuģınlıģın kóriwge boladı.
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalar izbe-izliginiń jıynaqlı ekenligin kórsetiw ushın
1
j
bolģanda
)
,
(
)
,
(
0
0
T
m
T
j
m
x
t
x
x
t
x
ayırmanı bahalaymız. Lemma 1[1] ge tiykarlanıp
1
m
va
]
,
0
[
T
t
ushın
)
,
(
)
,
(
0
0
1
T
m
T
m
x
t
x
x
t
x
T
t
T
m
T
m
t
T
m
T
m
ds
x
s
x
x
s
x
T
t
ds
x
s
x
x
s
x
T
t
K
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
1
(
0
1
0
0
0
1
0
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
41
teńsizligine iye bolamız. Bul teńsizlikten
1
0
0
1
( ,
)
( ,
)
( )
m
m
T
m
T
m
x
t x
x t x
K M
t
(9)
teńsizligi kelip shıģadı, bul jerde
T
t
m
t
m
m
ds
s
T
t
ds
s
T
t
t
)
(
)
(
)
1
(
)
(
0
1
Lemma [2,3] di esapqa alıp, (9) nı
1
0
0
1
( ,
)
( ,
)
( )
m
m
T
m
T
KT
x
t x
x t x
t
M
%
(10)
kórinisinde jazıwģa boladı, bul jerde
1
1
2
( )
( )
1
.
3
3
t
t
t
t
T
%
Endi
))
,
(
)
,
(
(
)
,
(
)
,
(
0
1
0
0
0
T
j
m
T
j
m
T
m
T
j
m
x
t
x
x
t
x
x
t
x
x
t
x
))
,
(
)
,
(
(
...
))
,
(
)
,
(
(
0
0
1
0
2
0
1
T
m
T
m
T
j
m
T
j
m
x
t
x
x
t
x
x
t
x
x
t
x
teńliginen (10) ģa tiykarlanģan jaģdayda barlıq
1
j
ushın
1
1
0
0
0
0
( ,
)
( ,
)
( )
( )
m i
j
j
m i
m j
T
m
T
i
i
T
x
t x
x t x
t
K
M
t
Q
M
%
%
(11)
teńsizligi orınlı boladı. (6) nı esapqa alsaq
1
1
0
0
(
)
(
) ,
j
m i
m
i
m
i
i
T
K
Q
Q
Q
E
Q
0
lim
m
m
Q
(12)
bolıp,
m
da (11) hám (12) qatnaslarģa tiykarlanģan jaģdayda
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalar izbe-izliginiń
0
0
0
[0, ],
( ,
)
T
t
T
x t x
D
ushın teń ólshewli jıynaqlı ekenligin kóriwge
boladı:
0
0
lim
( ,
)
* ( ,
).
m
T
T
m
x t x
x
t x
(13)
Al
)
,
(
0
T
m
x
t
x
funkciyalardıń hár biri (2) shegaralıq shártlerdi qanaatlanlandırıwı
sebepli olardıń shegi bolģan
)
,
(
*
0
T
x
t
x
funkciyası hám bul shártlerdi qanaatlandırıwı hám
j
da (11) den
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
42
1
0
0
1
* ( ,
)
( ,
)
( )
(
)
m
T
m
T
x
t x
x t x
t Q
E
Q
M
%
kórinisinde anıq hám juwıq sheshimler arasındaģı qátelikti bahalawģa boladı.
Egerde (13) ni esapqa alıp, (8) den
m
daģı shek alsaq, onda
)
,
(
*
0
T
x
t
x
funkciyası (7) integral teńlemeniń sheshimi boladı.
Ekinshi tárepten berilgen (1) differencial teńlemeniń
t
ds
s
x
s
f
x
t
x
0
))
(
,
(
)
0
(
)
(
teńlemesine teń kúshli bolıwı,
))
0
(
),
(
(
2
1
x
T
x
parametrler sistemasınıń mánislerin
T
T
T
ds
x
s
x
s
f
T
x
d
T
x
d
T
x
0
0
2
1
0
))
,
(
*
,
(
1
)))
0
(
(
))
(
(
(
1
)
(
(14)
vektor-funkciyası nolge aylanatuģın etip tańlap alıwģa sebep boladı.
Solay etip, qarastırılıp atırģan máseleni tómendegi teorema arqalı juwmaqlawģa boladı.
Teorema.
Meyli
)
,
(
x
t
f
funkciyası (3) oblastta anıqlanģan hám úzliksiz funkciya bolıp,
bul funkciya ushın (4)-(6) shártler orınlanatuģın bolsın. Bul jaģdayda (8) nıń
m
daģı shegi
bolıp esaplanatuģın
0
( ,
)
T
x t x
funkciyası (1),(2) shegaralıq máseleniń sheshimi bolıp
esaplanadı, egerde
))
0
(
),
(
(
2
1
x
T
x
parametrler sistemasınıń
0
T
x
mánislerinde (14) formula
menen anıqlanatuģın funkciya nolge aylanatuģın bolsa, yaģniy
0
(
)
0.
T
x
0
( )
( ,
)
T
x t
x t x
anıq sheshim hám
)
,
(
0
T
m
x
t
x
juwıq sheshim arasındaģı qátelik
ushın
1
0
1
* ( )
( ,
)
( )
(
)
m
m
T
x
t
x t x
t Q
E
Q
M
%
teńsizlik orınlı boladı.
REFERENCES
1.
Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования
периодических решений. - К.: Вища шк. изд-во при Киев.
2.
ун-те, 1976. - 179 c.
3.
Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно – аналитические методы
4.
исследования решений краевых задач. –Киев: Наук.думка. 1985. -224 с.
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 7
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
43
5.
Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы в теории краевых
задач обыкновенных дифференциальных уравнений. - Киев:
6.
Наук. думка, 1992. - 280 c.
7.
Abdikalikov F., Reymova L. The optimal risk of estimator of conditional distribution
function in a model of heteroscedastic regression with weakly dependent observations
//Bulletin of National University of Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciences. –
2018. – Т. 1. – №. 4. – С. 162-167.
8.
Qurbanbaev Ó. O., Djakaeva K. D., Askarova D. B. IMPULS TÁSIRINE IYE SIZIQLI
BIRTEKLI ЕМЕS DIFFERENCIALLIQ TEŃLEMELER SISTEMASI USHIN ÚSH
TOCHKALI
SHEGARALIQ
MÁSELELERDI
SHESHIWDIŃ
IZBE
IZ
JUWIQLASIWLAR USILI //Modern Science and Research. – 2024. – Т. 3. – №. 7.
