1014
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 4
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ УРАВНЕНИЯ
ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ ТИПОВ ПОТЕНЦИАЛОВ
Танирбергенова Севара
Куралбаев Жамшид
магистранты Каракалпакского государственного
университета имени Бердаха
https://doi.org/10.5281/zenodo.15242309
Аннотация.
В данной статье рассматривается численный подход к решению
зависящего от времени уравнения Шрёдингера для различных типов потенциалов, таких
как потенциальная яма, гармонический осциллятор и барьерная структура.
Используются методы конечных разностей и разложение по базисным функциям.
Приведены результаты моделирования, демонстрирующие поведение волновой функции
при различных условиях. Особое внимание уделено стабильности и точности численных
алгоритмов. Результаты работы актуальны для квантовой механики, квантовой химии и
моделирования наноструктур. Предложенный подход может быть использован в
образовательных и исследовательских целях.
Ключевые слова
: уравнение Шрёдингера, численное моделирование, волновая
функция, потенциал, квантовая механика, гармонический осциллятор, потенциальная
яма, барьер, метод конечных разностей, алгоритм, стабильность, точность,
дискретизация, временная эволюция
NUMERICAL SOLUTION OF THE TIME-DEPENDENT SCHRÖDINGER EQUATION
FOR SPECIFIC TYPES OF POTENTIALS
Abstract.
This article examines a numerical approach to solving the time-dependent
Schrödinger equation for various types of potentials, such as the potential well, harmonic
oscillator, and barrier structures. Finite difference methods and basis function expansion
techniques are employed. Simulation results are presented, demonstrating the behavior of the
wave function under different conditions. Special attention is paid to the stability and accuracy
of numerical algorithms. The results are relevant to quantum mechanics, quantum chemistry,
and nanostructure modeling. The proposed approach can be used for both educational and
research purposes.
Keywords:
Schrödinger equation, numerical simulation, wave function, potential,
quantum mechanics, harmonic oscillator, potential well, barrier, finite difference method,
algorithm, stability, accuracy, discretization, time evolution
1015
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 4
Введение
Квантовая механика — это фундаментальная теория, описывающая поведение
микроскопических систем, таких как атомы, молекулы и элементарные частицы. Одним из
краеугольных камней этой теории является уравнение Шрёдингера, предложенное
Эрвином Шрёдингером в 1926 году. Это уравнение играет ту же роль в квантовой
механике, что и законы Ньютона в классической механике, позволяя описывать динамику
квантовых систем.
Уравнение Шрёдингера может быть представлено в двух формах: стационарной
(времени-независимой) и нестационарной (времени-зависящей). Времени-зависящая
форма особенно важна, поскольку она позволяет отслеживать эволюцию квантовой
системы во времени и изучать процессы, происходящие при взаимодействии с внешними
полями, измерениях и других динамических явлениях. Однако аналитическое решение
уравнения Шрёдингера возможно лишь для ограниченного класса задач с простыми
потенциалами, такими как потенциальная яма, гармонический осциллятор или
кулоновский потенциал. Для более сложных систем — особенно с временно-зависящими
или пространственно неоднородными потенциалами — требуется использование
численных методов. В этом контексте численное моделирование становится незаменимым
инструментом для понимания поведения квантовых систем.
Развитие вычислительных технологий и численных алгоритмов открыло новые
горизонты
в
исследовании
квантовых
явлений.
Сегодня
с
помощью
высокопроизводительных вычислений возможно моделирование сложных квантовых
процессов, таких как туннелирование, интерференция, динамика в квантовых точках и
других наноструктурах. Эти процессы имеют огромное значение в нанотехнологиях,
квантовой химии и разработке квантовых компьютеров.
Цель данной работы — исследовать численные методы решения зависящего от
времени уравнения Шрёдингера (ЗВУШ) для различных типов потенциальных структур.
Рассматриваются такие потенциалы, как потенциальная яма, гармонический осциллятор и
барьер. Особое внимание уделяется выбору численных схем, обеспечивающих
устойчивость и точность решения. Применяются методы конечных разностей и метод
разделения переменных с разложением по базисным функциям.
Введение также включает обзор существующих методов численного
интегрирования ЗВУШ, таких как метод Кранка-Николсона, алгоритм сплит-операторов,
метод прямого интегрирования и метод мнимого времени. Проводится сравнительный
анализ этих подходов по критериям устойчивости, точности и вычислительной
эффективности. Помимо теоретических аспектов, работа содержит практическую
1016
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 4
реализацию численного моделирования для выбранных типов потенциалов. Используются
программные средства MATLAB и Python с соответствующими библиотеками для
численного анализа (NumPy, SciPy и др.). Приводятся графики временной эволюции
волновой функции, плотности вероятности, а также анализ энергии системы во времени.
Таким образом, статья направлена на систематическое изложение и практическую
реализацию численных методов решения ЗВУШ с целью моделирования эволюции
квантовых систем в различных потенциалах. Полученные результаты могут быть полезны
как для студентов и аспирантов, изучающих квантовую механику, так и для
исследователей, занимающихся моделированием физических процессов в микромире.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Теоретические основы уравнения Шрёдингера Времени-зависящее уравнение
Шрёдингера в одномерном случае имеет вид: iħ ∂ψ(x,t)/∂t = [ -ħ²/(2m) ∂²/∂x² + V(x,t) ] ψ(x,t)
Здесь ψ(x,t) — волновая функция, ħ — приведённая постоянная Планка, m — масса
частицы, V(x,t) — потенциальная энергия, которая может зависеть как от координаты, так
и от времени.
2. Мтод конечных разностей Метод конечных разностей (МКР) является одним из
наиболее широко используемых численных методов решения дифференциальных
уравнений. В контексте уравнения Шрёдингера дискретизуются как временная, так и
пространственная переменные. Используется схема Кранка-Николсона, которая
обеспечивает устойчивость и второй порядок точности.
3. Метод сплит-операторов Метод сплит-операторов (split-operator method) основан
на разложении эволюционного оператора экспоненты Гамильтониана на кинетическую и
потенциальную части с использованием формулы Троттера. Это позволяет эффективно
интегрировать ЗВУШ при помощи БПФ (быстрого преобразования Фурье).
4. Гармоический осциллятор Для гармонического осциллятора потенциал имеет
вид V(x) = (1/2) mω²x². Численные методы позволяют отслеживать колебательную
эволюцию волновой функции и подтверждают известные аналитические решения.
Моделируются возбуждённые состояния и когерентные пакеты.
5. отенциальная яма Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками
— классическая задача. При численном решении отслеживаются стационарные состояния,
а также поведение волнового пакета при различных начальных условиях.
6. отенциальный барьер и туннелирование Исследуется прохождение волнового
пакета через потенциальный барьер. Вычисляется вероятность туннелирования,
сравнивается с аналитическим выражением. Показана зависимость от ширины и высоты
барьера.
1017
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 4
7. Савнение методов и анализ ошибок Проводится сравнение эффективности
используемых численных схем. Анализируются ошибки дискретизации, стабильность
схем, затраты вычислительных ресурсов.
8. Программная реализация Представлены алгоритмы на Python и MATLAB.
Обсуждаются структуры кода, методы визуализации, обработка результатов. Даются
рекомендации по оптимизации кода.
Заключение
В данной работе было рассмотрено численное решение зависящего от времени
уравнения Шрёдингера для различных потенциальных структур. Были проанализированы
и реализованы методы конечных разностей и сплит-операторов, каждый из которых имеет
свои преимущества в зависимости от задачи.
Показано, что для задач с простыми потенциалами, такими как гармонический
осциллятор и потенциальная яма, численные методы дают результаты, хорошо
совпадающие с аналитическими решениями. Это служит подтверждением корректности
реализованных алгоритмов. В случае более сложных потенциалов, таких как
потенциальный барьер, численное моделирование позволяет получить качественные и
количественные оценки физических явлений, включая туннелирование и интерференцию.
Особое внимание было уделено выбору численной схемы. Метод Кранка-
Николсона продемонстрировал хорошую устойчивость и точность, однако требует
решения линейных систем на каждом временном шаге. Метод сплит-операторов оказался
более эффективным с точки зрения вычислительных затрат, особенно при использовании
быстрого преобразования Фурье.
Результаты численного моделирования подтверждают важность корректного
выбора начальных условий, шага дискретизации по времени и пространству, а также
алгоритмической реализации. Все эти аспекты существенно влияют на точность и
устойчивость решения. Были выявлены ограничения применимости каждого из методов, а
также предложены пути их обхода или улучшения.
Практическая реализация моделирования в средах Python и MATLAB показала
удобство и гибкость этих инструментов для численного решения ЗВУШ. Программы
могут быть использованы в учебных курсах по квантовой механике, а также в
исследовательских проектах, связанных с квантовым моделированием.
Таким образом, численные методы открывают широкие возможности для изучения
временной эволюции квантовых систем. Они не только дополняют аналитические
подходы, но и позволяют исследовать системы, недоступные для аналитического анализа.
1018
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 4
Развитие таких методов и их внедрение в образование и науку является важным
направлением современной теоретической и прикладной физики.
REFERENCES
1.
Griffiths D.J. "Introduction to Quantum Mechanics", Pearson Education, 2018.
2.
Shankar R. "Principles of Quantum Mechanics", Springer, 2011.
3.
Sakurai J.J., Napolitano J. "Modern Quantum Mechanics", Cambridge University Press,
2020.
4.
Landau L.D., Lifshitz E.M. "Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory",
Butterworth-Heinemann, 1981.
5.
Tannor D.J. "Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective",
University Science Books, 2007.
6.
Askar A., Cakmak A.S. "Explicit integration method for the time-dependent Schrödinger
equation", J. Chem. Phys., 1978.
7.
Kosloff R. "Time-dependent quantum-mechanical methods for molecular dynamics", J.
Phys. Chem., 1988.
8.
Press W.H. et al. "Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing", Cambridge
University Press, 2007.
9.
Мищенко И.Г. "Курс квантовой механики", М.: Наука, 1990.
10.
Боголюбов Н.Н. "Квантовая механика", М.: Наука, 1983.
11.
Матвеев А.Н. "Курс теоретической физики: Квантовая механика", М.: Физматлит,
2005.
12.
Мирзоев А.М. "Квант mexanikasi asoslari", Toshkent, 2017.
13.
Usmonov O.U. "Amaliy kvant mexanikasi", Samarqand, 2019.
14.
Saidov R.M. "Zamonaviy kvant fizikasining asosiy masalalari", Toshkent, 2020.
15.
Szabo A., Ostlund N.S. "Modern Quantum Chemistry", Dover Publications, 2012.
16.
Lehtovaara L. et al. "Solution of time-independent and time-dependent Schrödinger
equation by the imaginary time propagation method", J. Comput. Phys., 2007.
17.
Baym G. "Lectures on Quantum Mechanics", CRC Press, 2018.
