ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
135
PROEKTIV TEKISLIKDAGI QO'ZG'ALMAS TOʻGʻRI CHIZIQ. PROEKTIV
NUQTAI NAZARDAN YEVKLID GEOMETRIYASI
Zahiriddinova Shahlo Zahiriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedrasi oʻqituvchisi. Ilmiy rahbar
Rajabova Dilbar Xayrullayevna
Shahrisabz Davlat pedagogika instituti matematika va
informatika yoʻnalishi 2- bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130443
Annotatsiya:
Ushbu maqola proyektiv geometriya va Yevklid geometriyasi o'rtasidagi
bog'liqlikni, xususan proyektiv tekislikdagi qo'zg'almas to'g'ri chiziq tushunchasini o'rganadi.
Maqolada proyektiv tekislikning asosiy xususiyatlari, undagi qo'zg'almas chiziqning roli va
Yevklid geometriyasiga moslashuvi tahlil qilinadi.Muhokama jarayonida proyektiv
transformatsiyalar va ularning Yevklid fazosidagi aks etishi ko'rib chiqiladi. Maqola
geometriya sohasidagi zamonaviy tadqiqotlar va nazariy yondashuvlarni umumlashtirishga
qaratilgan bo'lib, ushbu mavzuni o'quvchilar uchun tushunarli qilishga harakat qiladi.
Kalit soʻzlar
: Proyektiv geometriya, Yevklid geometriyasi, qo'zg'almas to'g'ri chiziq,
proyektiv tekislik, transformatsiya, nuqtai nazar, geometrik tahlil.
Аннотация:
В данной статье исследуется связь между проективной геометрией и
евклидовой геометрией, в частности понятие неподвижной прямой в проективной
плоскости. Рассматриваются основные свойства проективной плоскости, роль
неподвижной прямой и ее адаптация к евклидовой геометрии. В ходе обсуждения
анализируются проективные преобразования и их отображение в евклидовом
пространстве. Статья направлена на обобщение современных исследований и
теоретических подходов в области геометрии, а также на доступное изложение данной
темы для читателей.
Ключевые слова:
проективная геометрия, евклидова геометрия, неподвижная
прямая, проективная плоскость, преобразование, точка зрения, геометрический
анализ.
Annotation:
This article explores the relationship between projective geometry and
Euclidean geometry, specifically the concept of an invariant straight line in a projective plane.
It examines the fundamental properties of the projective plane, the role of the invariant line,
and its adaptation to Euclidean geometry. The discussion includes an analysis of projective
transformations and their representation in Euclidean space. The article aims to summarize
modern research and theoretical approaches in geometry while making this topic accessible
to readers.
Keywords
: projective geometry, Euclidean geometry, invariant straight line, projective
plane, transformation, perspective, geometric analysis.
Kirish:
Geometriya fan sifatida insoniyatning fazoviy tasavvurlarini tahlil qilish va
tizimlashtirishga xizmat qiladi. Yevklid geometriyasi ming yillar davomida klassik fazo
tushunchasi sifatida hukmronlik qilib kelgan bo'lsa-da, XIX asrda proyektiv geometriyaning
paydo bo'lishi bilan bu soha yangi rivojlanish bosqichiga kirdi.Proyektiv geometriya Yevklid
geometriyasidan farqli o'laroq, cheksizlikdagi nuqtalar va chiziqlarni ham o'z ichiga oladi, bu
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
136
esa uni yanada umumiy va moslashuvchan qiladi. Ushbu maqolada proyektiv tekislikdagi
qo'zg'almas to'g'ri chiziq tushunchasi va uning Yevklid geometriyasi bilan aloqasi muhokama
qilinadi. Qo'zg'almas chiziq proyektiv transformatsiyalar kontekstida muhim ahamiyatga ega
bo'lib, u geometrik ob'ektlarning o'zaro munosabatlarini tahlil qilishda asosiy vosita sifatida
xizmat qiladi.Maqolaning maqsadi - ushbu tushunchani o'zbek tilida tushunarli tarzda yoritish
va uning nazariy va amaliy ahamiyatini ko'rsatib berishdir.
Muhokama:Proyektiv tekislikning asosiy tushunchasi Proyektiv tekislik- bu Yevklid
tekisligining kengaytirilgan shakli bo'lib, unda har bir juft to'g'ri chiziqning kesishishi
kafolatlanadi, hatto ular parallel bo'lsa ham. Buning uchun cheksizlikdagi nuqtalar qo'shiladi,
bu esa proyektiv tekislikni yanada umumiy qiladi.Masalan, Yevklid tekisligida parallel
chiziqlar hech qachon kesishmaydi, ammo proyektiv tekislikda ular cheksizlikdagi umumiy
nuqtada birlashadi. Proyektiv tekislikning asosiy xususiyatlaridan biri - undagi har qanday
to'g'ri chiziqning qo'zg'almaslik xususiyatiga ega bo'lishi mumkinligidir. Qo'zg'almas to'g'ri
chiziq deganda, ma'lum bir proyektiv transformatsiya ostida o'z o'rnini saqlab qoladigan
chiziq tushuniladi.
Proyektiv tekislikda qo'zg'almas to'g'ri chiziq transformatsiyalarning simmetriya o'qi
yoki markazi sifatida ishlaydi. Masalan, agar biz proyektiv transformatsiyani ko'rib chiqsak, u
tekislikdagi nuqtalarni bir joydan ikkinchi joyga ko'chiradi, lekin qo'zg'almas chiziq o'z
holatida qoladi. Bu xususiyat, xususan, perspektiv tasvirlarda muhim ahamiyatga ega, chunki
u tasvirning asosiy tuzilishini saqlab qolishga yordam beradi. Qo'zg'almas chiziqning eng
muhim namunasi cheksizlikdagi to'g'ri chiziqdir. Bu chiziq proyektiv tekislikda Yevklid
tekisligining chegarasini anglatadi va parallel chiziqlarning kesishish nuqtalarini o'z ichiga
oladi.
Yevklid geometriyasi cheklangan, o'lchanadigan masofalar va burchaklar bilan ishlaydi.
Proyektiv geometriya esa masofa va burchak tushunchalaridan voz kechib, fagat nugtalar,
chiziqlar va tekisliklarning o'zaro munosabatlari bilan shug'ullanadi. Shu sababli, Yevklid
geometriyasini proyektiv geometriyaning maxsus bir holati sifatida ko'rish mumkin.
Proyektiv nuqtai nazardan Yevklid tekisligini tahlil qilishda cheksizlikdagi to'g'ri chiziqni olib
tashlash orqali klassik geometriyaga qaytish mumkin. Bu jarayon proyektiv
transformatsiyalarni teskari yo'nalishda qo'llashbilan amalga oshiriladi.Masalan, agar
proyektiv tekislikdagi barcha nuqtalar cheksizlikdagi chiziqqa moslashtirilmasa, biz Yevklid
tekisligining odatiy tuzilishini olamiz.Proyektiv geometriya va qo'zg'almas chiziq tushunchasi
zamonaviy fan va texnologiyada keng qo'llaniladi. Masalan, kompyuter grafikasi, arxitektura
va mashinasozlikda perspektiv tasvirlarni yaratishda proyektiv transformatsiyalar asosiy
vosita sifatida ishlatiladi. Qo'zg'almas chiziq esa tasvirning barqarorligini ta'minlashda muhim
rol o'ynaydi.
Xulosa:
Proyektiv tekislikdagi qo'zg'almas to'g'ri chiziq Yevklid geometriyasini
kengaytirish va umumlashtirishda muhim vosita hisoblanadi. U geometrik ob'ektlarning
o'zaro munosabatlarini tahlil qilishda yangi imkoniyatlar ochadi va nazariy jihatdan ham,
amaliy jihatdan ham katta ahamiyatga ega. Ushbu tadqiqot proyektiv geometriyaning Yevklid
fazosiga moslashuvini ko'rsatib, ushbu ikki tushunchani birlashtiruvchi ko'prik vazifasini
o'taydi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
137
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Xo'jayev, A. (2020). Matematik tahlil va geometriya asoslari. Toshkent: Fan va
texnologiya nashriyoti.
2.
Sobirov, B. (2018). Proyektiv geometriya nazariyasi. Samarqand: SamDU nashriyoti.
3.
Coxeter, H. S. M. (2003). Projective Geometry. Springer (tarjima asosida).
4.
To'xtayev, R. (2015). Yevklid geometriyasining zamonaviy talqini. Toshkent: Universitet
nashriyoti.
5.
Internet manbalari: Geometriya bo'yichaumumiy ma'lumotlar (2025-yil holatiga ko'ra).
