ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
33
PROYEKTIV TEKISLIKDA QO’ZG’ALMAS TO’G’RI CHIZIQ. PROEKTIV
GEOMETRIYA NUQTAI NAZARDAN YEVKLID GEOMETRIYASI
Rahmatullayeva Maxfuza Iskandar qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti
Matematika va Informatika yo’nalishi 2-kurs talabasi
Zahiriddinova Shahlo Zahiriddin qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti
Matematika va ta’limda axborot texnologiyasi Kafedrasi o’qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15128999
Annotatsiya:
Ushbu maqola proyektiv geometriya nuqtai nazaridan proyektiv
tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq tushunchasini tahlil qiladi va uni Yevklid geometriyasi
bilan solishtiradi. Maqolada proyektiv tekislikning asosiy xususiyatlari, cheksizlikdagi chiziq
va transformatsiyalar natijasida saqlanib qoladigan qo‘zg‘almas chiziqlarning ahamiyati
yoritiladi. Yevklid geometriyasining klassik tekislik tushunchasi proyektiv geometriyadagi
umumiy yondashuv bilan taqqoslanadi. Shu bilan birga, ushbu tushunchalarning nazariy va
amaliy ahamiyati, xususan, kompyuter grafikasi va optika kabi sohalardagi qo‘llanilishi ko‘rib
chiqiladi. Maqola geometriya sohasidagi ikki muhim yo‘nalishning o‘zaro bog‘liqligini
ko‘rsatib, ularning zamonaviy ilmdagi o‘rnini ta’kidlaydi.
Kalit so‘zlar.
Proyektiv geometriya, Yevklid geometriyasi, Qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq,
Proyektiv tekislik, Cheksizlikdagi chiziq, Transformatsiya, Ideal nuqta, Parallel chiziqlar,
Geometrik tahlil, Amaliy qo‘llanma.
Abstract.
This article analyzes the concept of a fixed line in the projective plane from the
point of view of projective geometry and compares it with Euclidean geometry. The article
highlights the main properties of the projective plane, the importance of fixed lines preserved
as a result of a line at infinity and transformations. The classical concept of a plane in
Euclidean geometry is compared with the general approach in projective geometry. At the
same time, the theoretical and practical significance of these concepts is considered, in
particular, their application in such areas as computer graphics and optics. The article shows
the interrelation of two important directions in the field of geometry and emphasizes their
place in modern science.
Keywords.
Projective geometry, Euclidean geometry, Fixed line, Projective plane, Line
at infinity, Transformation, Ideal point, Parallel lines, Geometric analysis, Practical
application.
Аннотация.
В статье анализируется понятие фиксированной прямой на
проективной плоскости с точки зрения проективной геометрии и сравнивается с
евклидовой геометрией. В статье освещены основные свойства проективной
плоскости, линии на бесконечности, а также значение фиксированных линий,
сохраняющихся в результате преобразований. Классическое понятие плоскости
евклидовой геометрии сравнивается с общим подходом проективной геометрии. При
этом будет рассмотрена теоретическая и практическая значимость этих концепций, в
частности, их применение в таких областях, как компьютерная графика и оптика. В
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
34
статье показана взаимозависимость двух важных направлений в области геометрии и
подчеркнуто их место в современной науке.
Ключевые слова:
Проективная геометрия, Евклидова геометрия, Неподвижная
прямая, Проективная плоскость, Бесконечная линия, Преобразование, Идеальная
точка, Параллельные линии, Геометрический анализ, Практическое руководство.
Kirish.
Geometriya insoniyat bilimlarining eng qadimiy va muhim sohalardan biridir. U
fazoviy munosabatlarni o‘rganadi va matematikaning boshqa yo‘nalishlari uchun asos bo‘lib
xizmat qiladi. Yevklid geometriyasi, miloddan avvalgi 300-yillarda Yevklid tomonidan
tizimlashtirilgan, klassik tekislik va fazo tushunchalariga asoslanadi. Biroq, geometriya
rivojlanishi bilan birga, XIX asrda proyektiv geometriya paydo bo‘ldi, bu esa Yevklid
geometriyasining chegaralarini kengaytirib, yangi matematik dunyoqarashni taqdim etdi.
Proyektiv geometriya nuqtai nazaridan qaraganda, tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq
tushunchasi muhim o‘rin tutadi va bu tushuncha Yevklid geometriyasidagi an’anaviy
tasavvurlardan farq qiladi. Ushbu maqolada proyektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziqni
tahlil qilamiz va uni Yevklid geometriyasi bilan solishtiramiz.
Proyektiv geometriya: Asosiy tushunchalar
Proyektiv geometriya klassik Yevklid geometriyasidan farqli o‘laroq, masofa va burchak
kabi metrik xususiyatlarga emas, balki nuqta, chiziq va tekisliklarning o‘zaro joylashuvi va
transformatsiyalariga e’tibor beradi. Bu soha birinchi marta fransuz matematigi Jan-Viktor
Ponsle tomonidan rivojlantirilgan bo‘lib, unda “ideal nuqta” yoki “cheksizlikdagi nuqta” kabi
tushunchalar muhim ahamiyatga ega. Proyektiv tekislikda har qanday ikkita to‘g‘ri chiziq
doimo kesishadi, hatto ular parallel bo‘lib ko‘rinsa ham, chunki parallel chiziqlar cheksizlikda
bir nuqtada tutashadi deb hisoblanadi. Proyektiv tekislikni tushunish uchun biz Yevklid
tekisligiga qo‘shimcha elementlar qo‘shamiz: cheksizlikdagi to‘g‘ri chiziq (yoki “ideal chiziq”)
va undagi nuqtalar. Bu tushuncha proyektiv fazoda qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziqning paydo
bo‘lishiga asos yaratadi. Proyektiv tekislikda qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq deganda proyektiv
transformatsiyalar (masalan, proyeksiya yoki gomografiya) natijasida o‘z holatida saqlanib
qoladigan chiziq tushuniladi. Proyektiv transformatsiyalar nuqtalar va chiziqlarning o‘zaro
joylashuvini o‘zgartirishi mumkin, lekin ularning asosiy xususiyatlari, masalan, kesishish yoki
parallel bo‘lish, saqlanib qoladi. Qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq ko‘pincha cheksizlikdagi chiziq
sifatida qaraladi, chunki u proyektiv tekislikning chegarasi yoki “ideal chegarasi” rolini
o‘ynaydi. Masalan, agar biz tekislikda bir nechta nuqtalarni proyeksiya qilsak, cheksizlikdagi
chiziq ularning umumiy chegarasi sifatida qoladi va har qanday transformatsiyada o‘z o‘rnini
saqlaydi. Bu holat proyektiv geometriyaning Yevklid geometriyasidan asosiy farqlaridan
biridir.
Yevklid geometriyasida tekislik cheklangan emas va unda parallel chiziqlar hech qachon
kesishmaydi. Bu tushuncha kundalik hayotda ko‘zga tashlanadigan oddiy holatlarga mos
keladi: masalan, temir yo‘l relslari uzoqda bir-biriga yaqinlashib ko‘rinsa ham, aslida
kesishmaydi. Ammo proyektiv geometriya bu tasavvurni kengaytiradi va parallel chiziqlarni
cheksizlikda kesishadigan deb hisoblaydi. Shu sababli, Yevklid tekisligidagi “parallel”
tushunchasi proyektiv tekislikda butunlay boshqacha talqin qilinadi. Yevklid geometriyasida
qo‘zg‘almaslik tushunchasi odatda harakatlar (masalan, siljish yoki aylanish) bilan bog‘liq
bo‘lsa, proyektiv geometriyada bu transformatsiyalarning umumiy xususiyatlariga bog‘liq.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
35
Proyektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq Yevklid geometriyasida mavjud bo‘lmagan
cheksizlik tushunchasini joriy qiladi va shu orqali geometrik tahlilni yanada umumiy qiladi.
Proyektiv geometriya va undagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq tushunchasi nafaqat nazariy
matematikada, balki amaliy sohalarda ham katta ahamiyatga ega. Masalan, kompyuter
grafikasi, arxitektura dizayni va mashinasozlikda proyeksiya usullari keng qo‘llaniladi.
Proyektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas chiziqlar ob’ektlarni uch o‘lchovli fazodan ikki o‘lchovli
tasvirga o‘tkazishda asosiy rol o‘ynaydi. Shu bilan birga, bu tushuncha fizika va optikada ham
qo‘llaniladi, chunki yorug‘lik nurlarining tarqalishi proyektiv transformatsiyalarga o‘xshash
xususiyatlarga ega.
Proyektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq proyektiv geometriyaning markaziy
tushunchalaridan biridir va Yevklid geometriyasining an’anaviy chegaralarini kengaytiradi.
Yevklid geometriyasi cheklangan tekislik va metrik xususiyatlarga asoslansa, proyektiv
geometriya cheksizlikni joriy qilib, geometrik munosabatlarni yanada umumiy nuqtai
nazardan o‘rganadi. Bu ikki yondashuv o‘zaro bir-birini to‘ldiradi va matematikaning turli
sohalari uchun asos bo‘lib xizmat qiladi. Proyektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq
nafaqat nazariy jihatdan qiziqarli, balki zamonaviy texnologiyalar va ilmiy tadqiqotlarda ham
muhim o‘rin tutadi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Popov A.V. Chizma geometriya – Moskva: Nauka, 2008.
2.
Borisov A.P. Proyeksion geometriya va chizma geometriya – Sankt-Peterburg:
Politekhnika, 2012.
3.
O‘rinboyev A., Yo‘ldoshev B. Chizma geometriya va muhandislik grafikasi – Toshkent:
O‘zbekiston Milliy universiteti nashriyoti, 2020.
4.
Farin G., Hansford D. Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox – Natick: A K
Peters/CRC Press, 2017.
5.
Foley J., van Dam A., Feiner S., Hughes J. Computer Graphics: Principles and Practice –
Boston: Addison-Wesley, 2014.
6.
Angel E., Shreiner D. Interactive Computer Graphics: A Top-Down Approach with WebGL
– Boston: Addison-Wesley, 2016.
7.
GIS and Cartography Journal Projection Techniques in Geographic Information Systems
– 2021, Vol. 14, No. 3.
8.
Autodesk Documentation AutoCAD Projection Methods – Autodesk Knowledge Base,
2022.
9.
Unity 3D Documentation Camera Projection Modes and Rendering Techniques – Unity
Technologies, 2023.
10.
Geometric Modeling and CAD Journal Applications of Parallel and Central Projection in
Industrial Design – 2020, Vol. 18, No. 2.
