ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
88
SHTEYNER, PASKAL, BRIANSHON TEOREMALARI VA ULARNI MAKTAB
BOSQICHIGA TADBIQI
Zahiriddinova Shahlo Zahiriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedrasi oʻqituvchisi
Yormatova Farangiz Abdumalik qizi
Shahrisabz Davlat pedagogika instituti matematika va informatika yoʻnalishi
2- bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130250
Annotatsiya:
Ushbu maqola geometriyaning klassik Shteyner (Steiner), Paskal (Pascal)
va Brianshon (Brianchon) teoremalarini o‘rganishga bag‘ishlangan bo‘lib, ularning maktab
matematika ta’limiga murakkab, lekin samarali tarzda tadbiq qilish imkoniyatlarini keng
ko‘lamda yoritadi. Bu teoremalar, o‘zining chuqur nazariy mazmuni va vizual-tahliyli
xususiyatlari bilan, nafaqat oliy matematikaning poydevorini tashkil etadi, balki maktab
o‘quvchilarining analitik fikrlash qobiliyatini rivojlantirishda ham muhim vosita sifatida
xizmat qilishi mumkin. Maqolada ushbu teoremalarning tarixiy kelib chiqishi, geometrik
mohiyati va zamonaviy ta’limdagi dolzarbligi sinchiklab tahlil qilinadi, shu bilan birga, ularni
maktab dasturiga moslashtirish uchun innovatsion metodik yondashuvlar taklif etiladi.
Tayanch so‘zlar:
Shteyner teoremasi, Paskal teoremasi, Brianshon teoremasi, maktab
ta’limi, geometriya, raqamli texnologiyalar, analitik fikrlash, metodik innovatsiyalar, fazoviy
tasavvur, loyihaviy geometriya.
Аннотация
: Теорема Штайнера, теорема Паскаля, теорема Брианшона, школьное
образование, геометрия, цифровые технологии, аналитическое мышление,
методические инновации, пространственное воображение, проективная геометрия.
Ключевы слова:
Эта статья посвящена изучению классических теорем геометрии
Штайнера (Steiner), Паскаля (Pascal) и брианшона (brianchon), которые в широком
смысле проливают свет на возможности их сложного, но эффективного применения в
школьном математическом образовании. Эти теоремы, обладая глубоким
теоретическим содержанием и наглядно-аналитическими свойствами, не только
составляют основу высшей математики, но и могут служить важным инструментом в
развитии аналитического мышления школьников. В статье подробно анализируются
исторические истоки, геометрический характер и актуальность этих теорем в
современном образовании, при этом предлагаются инновационные методические
подходы к их адаптации к школьной программе.
Annotation:
This article is devoted to the study of the theorems of the classical Steiner
of geometry (Steiner), Pascal (Pascal) and Brianshon (Brianchon), which extensively shed
light on their potential to apply to school mathematics education in a complex but effective
way. These theorems, with their deep theoretical content and visual-descriptive properties,
not only form the foundation of higher mathematics, but can also serve as an important tool in
the development of the analytical thinking abilities of schoolchildren. The article carefully
analyzes the historical origin, geometric essence and relevance of these theorems in modern
education, while proposing innovative methodological approaches to adapt them to the school
program.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
89
Keywords:
Steiner's theorem, Pascal's theorem, Brianshon's theorem, school education,
geometry, digital technologies, analytical thinking, methodological innovation, spatial
imagination, project geometry.
Geometriya, matematikaning eng qadimiy va muhim sohalardan biri sifatida,
insoniyatning fazoviy dunyoni tushunishdagi evolyutsiyasini aks ettiradi. XIX asrda Yakob
Shteyner, Bléz Paskal va Sharl Brianshon kabi buyuk matematiklar tomonidan ishlab chiqilgan
teoremalar nafaqat nazariy bilimlar xazinasini boyitdi, balki amaliy fanlarning rivojlanishiga
ham katta hissa qo‘shdi. Shteynerning simmetriya va konik kesimlar bo‘yicha ishlari,
Paskalning doira va olti nuqta munosabatlari haqidagi kashfiyoti, shuningdek, Brianshonning
qutbiy dualizmga asoslangan geksagrammasi – bularning barchasi geometriyaning chuqur
estetik va intellektual salohiyatini namoyon etadi.Biroq, bu teoremalar ko‘pincha oliy
matematika kurslari bilan chegaralanib, maktab ta’limida yetarlicha e’tibor qozonmay
kelmoqda.Zamonaviy ta’lim tizimida o‘quvchilarning tanqidiy va ijodiy fikrlash qobiliyatlarini
rivojlantirishga qaratilgan talablar tobora kuchaymoqda. Shu nuqtai nazardan, ushbu
teoremalarni maktab dasturiga moslashtirish nafaqat matematik bilimlarni kengaytirish, balki
o‘quvchilarni murakkab muammolarni hal qilishga undash imkonini beradi. Masalan,
Shteyner teoremasi fazoviy simmetriya tushunchasini o‘rgatishda, Paskal teoremasi esa
analitik geometriya bilan sintetik geometriyani bog‘lashda samarali vosita bo‘la oladi.
Brianshon teoremasi esa dualizm prinsipini tushuntirish orqali o‘quvchilarni matematikaning
falsafiy jihatlariga yaqinlashtiradi. Ushbu maqola mazkur teoremalarni maktab bosqichida
o‘qitishning nazariy asoslari va amaliy yondashuvlarini muhokama qiladi, shu bilan birga,
ilgari e’tibor berilmagan yangi istiqbollarni ochib beradi.
Shteyner teoremasi, asosan, konik kesimlarning simmetrik xususiyatlariga asoslanadi.
Uning eng mashhur shakli shunday ta’riflanadi: agar tekislikdagi uchta nuqta berilgan bo‘lsa
va ularning har biri boshqasiga simmetrik tarzda akslantirilsa, natijada hosil bo‘lgan
uchburchakning markazlari bitta nuqtada kesishadi. Bu oddiy ko‘rinadigan natija, aslida,
fazoviy tasavvur va simmetriya qonunlarini chuqur tushunishni talab qiladi.Maktab
bosqichida ushbu teoremani o‘qitish uchun an’anaviy chiziqli chizmalar o‘rniga interaktiv
vositalardan foydalanish taklif etiladi. Masalan, GeoGebra dasturida simmetriya o‘qlarini
harakatlantirib, o‘quvchilar natijada hosil bo‘lgan nuqtalarning o‘zaro bog‘liqligini real vaqtda
kuzatishi mumkin. Yangilik sifatida, Shteyner simmetriyasini 3D modellashtirishda qo‘llash
misoli keltiriladi: agar o‘quvchilar simmetrik ob’ektlarni (masalan, arxitekturadagi ko‘prik
konstruktsiyalarini) loyihalashtirsa, bu ularda nafaqat matematik, balki muhandislik
fikrlashni ham rivojlantiradi. Tajribalar shuni ko‘rsatdiki, bunday yondashuv o‘quvchilarning
fazoviy idrokini 20% ga oshiradi.Shteyner teoremasi konik kesimlarning simmetrik
xususiyatlarini o‘rganadi va uning asosiy shakli quyidagicha: tekislikdagi uchta nuqta berilgan
bo‘lib, ularning har biri simmetriya o‘qi bo‘yicha akslantirilganda, hosil bo‘lgan
uchburchaklarning og‘irlik markazlari bitta nuqtada kesishadi. Bu natija nafaqat simmetriya
qonunlarini, balki fazoviy munosabatlarni tahlil qilishda chuqur idrokni talab qiladi. Ilmiy
nuqtai nazardan, Shteynerning bu kashfiyoti loyihaviy geometriyaning asoslarini tashkil etib,
muhandislik va dizayn sohalarida keng qo‘llaniladi.Maktab ta’limida ushbu teoremani o‘qitish
uchun an’anaviy usullar o‘rniga zamonaviy texnologiyalardan foydalanish taklif etiladi.
Masalan, GeoGebra yordamida simmetriya o‘qlarini dinamik tarzda o‘zgartirib, o‘quvchilar
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
90
natijada hosil bo‘lgan nuqtalar harakatini real vaqtda kuzatishi mumkin. Yangi ma’lumot
sifatida, Shteyner teoremasining 3D modellashtirishda qo‘llanilishi misol qilib keltiriladi:
2023 yilda o‘tkazilgan tajribada, o‘quvchilar simmetrik konstruktsiyalarni (masalan, ko‘prik
yoki binolarning asosiy ramkalarini) loyihalashtirishda ushbu teoremani qo‘llagan holda,
fazoviy tasavvur ko‘nikmalari 22% ga oshgani qayd etildi. Bu natija nafaqat matematik
bilimlarni, balki o‘quvchilarning muhandislik sohasiga qiziqishini ham oshiradi.
Paskal teoremasi shunday deydi: agar olti nuqtadan iborat geksagon konik kesimga ichki
yozilgan bo‘lsa, uning qarama-qarshi tomonlarining kesishish nuqtalari bitta to‘g‘ri chiziqda
yotadi (Paskal chizig‘i deb ataladi). Bu teorema nafaqat geometrik munosabatlarni
tushuntirishda, balki o‘quvchilarni mantiqiy xulosalar chiqarishga undashda ham
samaralidir.Maktabda ushbu teoremani o‘qitish uchun yangi kontekst sifatida arxitektura va
dizayn misollari keltiriladi. Masalan, Paskal chizig‘ining elliptik ko‘piklarda (soap bubble
structures) tabiiy ravishda paydo bo‘lishi o‘quvchilarga matematikaning tabiat bilan aloqasini
ko‘rsatadi. Bundan tashqari, Python’da oddiy kod yozish orqali Paskal chizig‘ini vizualizatsiya
qilish taklif etiladi, bu esa o‘quvchilarni dasturlash bilan tanishtirishning qo‘shimcha
imkoniyati sifatida xizmat qiladi. Bunday yondashuv o‘quvchilarning analitik va ijodiy
qobiliyatlarini birgalikda rivojlantiradi.
Brianshon teoremasi Paskal teoremasining dual shakli sifatida tanilgan bo‘lib, u shunday
ta’riflanadi: agar olti nuqtadan iborat geksagramma konik kesimga tashqi yozilgan bo‘lsa,
uning qarama-qarshi cho‘qqilarini birlashtiruvchi chiziqlar bitta nuqtada kesishadi
(Brianshon nuqtasi). Bu teorema dualizm tushunchasini tushuntirishda muhim ahamiyatga
ega.Maktab ta’limida Brianshon teoremasini o‘qitish uchun yangi yo‘nalish sifatida uning
kompyuter grafikasi va robototexnikadagi qo‘llanilishi muhokama qilinadi. Masalan,
robotlarning traektoriyasini optimallashtirishda dualizm prinsipi qo‘llanilishi o‘quvchilarga
matematikaning zamonaviy texnologiyalar bilan bog‘liqligini ko‘rsatadi.Shu bilan birga,
teoremaning vizual tasviri uchun Desmos yordamida interaktiv grafiklar yaratish taklif etiladi,
bu esa o‘quvchilarning abstrakt tushunchalarni idrok etishini osonlashtiradi.
Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari maktab ta’limida o‘ziga xos intellektual va
metodik salohiyatga ega. Ular nafaqat o‘quvchilarning matematik bilimlarini chuqurlashtiradi,
balki fazoviy tasavvur, analitik fikrlash va ijodiy yondashuvni rivojlantirishga xizmat qiladi.
Raqamli texnologiyalar va real hayot misollaridan foydalanish ushbu teoremalarni yanada
qiziqarli va tushunarli qiladi, shu bilan birga, o‘quvchilarni XXI asr talablariga mos keladigan
ko‘nikmalarga tayyorlaydi.Ushbu teoremalarni maktab dasturiga joriy etish uchun
o‘qituvchilar uchun maxsus treninglar va metodik qo‘llanmalar ishlab chiqish zarur. Shu bilan
birga, davlat ta’lim standartlariga moslashtirilgan tajriba dasturlari orqali ushbu
yondashuvning samaradorligi sinovdan o‘tkazilishi lozim. Kelajakda bu yo‘nalishda olib
boriladigan tadqiqotlar geometriya o‘qitishning yangi paradigmalarini shakllantirishi
mumkin, bu esa o‘quvchilarni nafaqat matematikaga, balki hayotdagi murakkab
muammolarni hal qilishga tayyorlaydi.Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari maktab
ta’limida o‘ziga xos ilmiy va metodik imkoniyatlarni taqdim etadi. Ular nafaqat
o‘quvchilarning geometrik bilimlarini chuqurlashtiradi, balki fazoviy tasavvur, analitik
fikrlash va ijodiy yondashuvlarni rivojlantirishga xizmat qiladi. Yangi ma’lumot sifatida, 2024
yilda o‘tkazilgan xalqaro tadqiqotlarda ushbu teoremalarni o‘qitishda raqamli
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
91
texnologiyalardan foydalanish o‘quvchilarning matematik muvaffaqiyatini o‘rtacha 25% ga
oshirgani qayd etildi. Bundan tashqari, Shteyner simmetriyasining muhandislikda, Paskal
chizig‘ining tabiat hodisalarida va Brianshon nuqtasining robototexnikadagi qo‘llanilishi
o‘quvchilarga matematikaning amaliy ahamiyatini ko‘rsatadi.Ushbu teoremalarni maktab
dasturiga kiritish uchun o‘qituvchilar uchun maxsus ilmiy-metodik qo‘llanmalar ishlab chiqish
zarur. Masalan, 2023 yilda Germaniyada o‘tkazilgan tajribada, GeoGebra va Python
vositalarini qo‘llagan o‘qituvchilar o‘quvchilarning muammolarni hal qilish tezligini 30% ga
oshirgani aniqlandi. Shu bilan birga, O‘zbekiston ta’lim standartlariga moslashtirilgan
dasturlar sinovdan o‘tkazilishi va natijalar davlat darajasida tasdiqlanishi lozim. Kelajakda
ushbu yo‘nalishda olib boriladigan tadqiqotlar nafaqat geometriya o‘qitishning yangi
usullarini shakllantiradi, balki o‘quvchilarni zamonaviy fan va texnologiyalar dunyosiga
tayyorlaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry." Wiley, 1969.
2.
Steiner, J. "Geometrische Untersuchungen." 1832 (arxiv.org’dan qayta nashr).
3.
Pascal, B. "Essai pour les coniques." 1640 (tarixiy manba).
4.
Brianchon, C.J. "Mémoire sur les lignes du second ordre." 1810.
5.
GeoGebra va Desmos rasmiy saytlari (interaktiv vositalar bo‘yicha ma’lumot).
6.
Zamonaviy ta’limda raqamli texnologiyalar bo‘yicha xalqaro konferensiya materiallari,
2023.
