310
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛИТ МЕТОДОМ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
И.К. Каландарбеков, Д.Дж. Исвалиев, И.И. Каландарбеков
Таджикский технический университет имени академика М.С.Осими.
Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых, 10А
Введение.
Развития строительной механики связан с широким применением
численных методов с использованием высокоскоростных компьютеров, которые
позволяют проводить расчеты строительных конструкций по весьма сложным расчетных
схемам. Следовательно, актуален вопрос о разработке численных методов, обладающих
достаточной точностью и удобных при использовании современных компьютеров.
Инженеры, учёные и специалисты в области технических наук, широко используют в
последнее время численные методы исследований. Данные методы основаны на
приближенном решении уравнений, описывающих физическую задачу.
Основным требованием к методом расчета является уменьшение трудоемкости
расчетов при сохранении достаточной точности полученного решения. Метод
сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной статье, позволяет
учитывать свойства этих элементов. Кроме того, этот метод менее трудоемок по
сравнению с известными вариантами метода конечных элементов.
В данной работе рассматривается применение МСД при расчёте пластины с
различными граничными условиями. Получены матрицы внешней и внутренней
жёсткости и составлена разрешающая система уравнений, в результате решения которой
определены перемещения в центре и внутренние усилия по краям пластины.
Метод исследования.
В данной работе для решения статической задачи по расчету плит применяется
численный метод - метод сосредоточенных деформаций
.
Рис. 1.
Свободно опертой конечный элемент.
Рассмотрим конечный элемент (рис 1). Для конечного элемента со
свободнымкраям составим систему уравнений. Расчетная схема и действие усилия на
конечного элемента представлена на рис. 2.
311
Рис. 2
. Расчетная схема пластины и действующие усилия.
1)
0
x
M
=
,
1
4
,3
,2
0
2
2
y
y
x
b
b
H
H
Q
Q
M
−
+
−
−
−
=
.
2)
0
y
M
=
,
2
3
,1
,4
0
2
2
x
x
y
a
a
H
H
Q
Q
M
−
+
+
+
+
=
. (1)
3)
0
z
F
=
,
,1
,4
,2
,3
0
x
x
y
y
z
Q
Q
Q
Q
F
−
+
+
−
+
=
.
Из системы уравнений (1) формируем матрицу коэффициентов А.Элементы
матрицы А.
1
2
3
3
0
1
0
0
0
2
0
0
,
0
1
0
,
2
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
2
0
1
0
,
0
0
,
2
0
0
1
0
0
1
b
a
b
a
−
−
−
−
−
−
А =
А =
А =
А =
(2)
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
2
2
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
.
2
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
b
b
a
a
−
−
−
−
−
−
А =
(3)
Матрица внутренней жёсткости для рассматриваемого конечного элемента имеет
диагональную структуру:
5
5
5
5
0,
,
,0,
,
,0,
,
,0 ,
,
3
3
3
3
y
y
x
x
GJ
GJ
GJ
Gbh
Gah
Gah
GJ
Gbh
diag
a
a
b
b
b
b
a
a
С =
(4)
Формируем матрицы А и С.
312
5
5
0
0
0
0
0
0
2
3
2
3
5
0
0
0
0
0
0
2
3
5
5
5
0
0
0
0
0
0
3
3
3
0
0
5
0
0
2
3
5
0
0
3
x
y
y
x
GJ
b
Gah
b
Gah
a
b
b
GJ
GJ
a
Gbh
a
b
b
Gbh
Gah
Gah
a
b
b
GJ
a
a
Gbh
a
Gbh
a
−
−
−
−
=
−
−
=
АC =
(5)
Далее формируется транспонированная матрица
т
A
.
Результаты исследования
В результате перемножения трех матриц получим матрицу жесткости,
коэффициенты которой будут равны:
11
12
13
21
22
23
31
32
33
5
5
2
2
3
2
2
3
2
2
5
5
;
0,
0;
0;
; (6)
6
6
10
10
0;
0;
0;
.
3
3
x
x
y
x
GJ
b
b
Gah
b
b
Gah
GJ
k
a
b
b
a
GJ
GJ
abGh
abGh
k
k
k
k
a
b
Gbh
Gah
k
k
k
k
a
b
=
+ −
−
+ −
−
+
=
=
+
=
=
=
=
+
=
=
=
=
+
Матрицы внешней жесткости получается диагональной.
11
22
33
0
0
0
0
0
0
к
к
к
K =
(7)
Система разрешающих уравнений в матричное форме имеет вид
=
-1
W K × P
(8)
Матричное уравнение можно представить в следующем виде
1
11
1
22
1
33
0
0
0
0
0
0
x
x
y
y
z
к
M
к
M
w
к
F
−
−
−
=
(9)
Из решение уравнений (9) получим
1
11
x
x
M
k
−
=
,
1
22
y
y
M
k
−
=
и
1
33
z
F
w
k
−
=
С целью реализация полученного алгоритма решим конкретный пример при
следующих данных
- толщина плиты;
6
2
2 10 т/м
E
=
- модуль упругости;
(
)
(
)
6
6
2
6
2
2 10
0,769 10 т/м ;
0,769 10 т/м
2 1
2 1 0.3
E
G
G
=
=
=
=
+
+
- модуль сдвига;
0,05 м
h
=
313
0,3
=
- коэффициент Пуассона;
(
)
3
2
3
3
6
4
1 5 10
1 0.05
10,41 10 м ;
12
12
12
x
y
bh
I
I
−
−
= =
=
=
=
6
4
10, 41 10 м
x
y
I
I
−
=
=
- момент инерции;
( )
x
y
J
J
a b h
=
=
здесь
1
3
=
при
отношении сторон
b
h
˃10;
3
5
6
4
1
1 0,05
4,1666 10
41,666 10 м ;
3
x
y
J
J
−
−
=
=
=
=
6
4
41,666 10 м
x
y
J
J
−
=
=
- крутильной жёсткости;
10 т м,
x
y
M
M
=
=
10 т
z
F
=
-
внутренних усилий;
,
1,0 м
a b
=
- длина и ширина плиты.
Коэффициенты матрицы жесткости определяются по формуле (6).
5
4
5
4
6
5
3.11471 10
0
0
10
3.11471 10
0
3.11471 10
0
10
3.11471 10
0
0
3.90117 10
10
3.90117 10
x
y
w
−
−
−
−
−
−
=
=
Вектор деформаций вычисляется по формуле
, (10)
(11)
−
т
т
A W + λ = 0
λ = A W
Вектор внутренних сил находится по формуле
S = C× λ
(12)
4
4
4
4
4
4
4
4
0
1.16724 10
1.16724 10
0
3.11471 10
1.16724 10
0
3.11471 10
1.94747 10
0
3.11471 10
1.94747 10
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
λ =
11
22
33
6
6
6
6
6
6
6
6
2 0.769 10
41.666 10
5 1 1 0.769 10
0.05
32105.75 т м
1
6
2 0.769 10
41.666 10
5 1 1 0.769 10
0.05
32105.75 т м
1
6
10 0.769 10
1 0.05
10 0.769 10
1 0.05
256333.32 т/м
3 1
3 1
k
k
k
−
−
=
+
=
=
+
=
=
+
=
314
Обсуждения результатов исследования
Полученные перемещения в центре плиты, внутренние усилия и деформации по
краям сечения элемента были сопоставлены с аналитическим решением [4].
Аналитическое решение
4
3
0.00406
1.8 10 м,
3.38 т,
3.38 т.
х
у
qa
D
−
=
=
= −
=
W
Q
Q
Численное решение (фор.12)
5
3.90117 10 м,
7.48 т,
7.48 т.
х
у
−
=
= −
=
W
Q
Q
Однако при увеличении число разбивки элементов точность расчета повышается.
Вывод. Для конечного элемента с различными граничными условиями определены
перемещения, в центре элемента деформаций и внутренних усилий по краям сечениям
элемента. Реализация алгоритм на простых конкретных примерах и сравнение
результатов с аналитическим решением, показывает, что метод сосредоточенных
деформаций, суть которого состоит в преобразовании дифференциального уравнения,
описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области, к системе
алгебраических уравнений можно использовать для решения сложных задач. При
увлечении число разбивки элементов результат приближается к аналитическому
решению.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Ржаницын А.Р. Расчет сплошных конструкций методом упругих
сосредоточенных деформаций. Стр. мех. и расчет соор., 1980, №5, с. 15-20.
2.
Додонов М.И. Расчет изгибаемых пластин методом сосредоточенных
деформаций. Строительная механика и расчёт сооружений, 1986, №2, с. 22-25.
3.
Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций.
Душанбе: изд-во «Дониш», 2015. – 436 с.
4.
Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1966 г.,
636 с.
5.
Вайнгбер Д. В. «Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям
пластин», Киев, «Будiвельник», 1973, 488 с.
3
3
3
3
0
9.9798 10
7.4800626
0
9.9798 10
7.4800626
0
9.9798 10
12.4800363
0
9.9798 10
12.4800363
−
−
−
−
−
−
−
−
S =
