T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
136
ISSN:3030-3613
PARABOLIK TENGLAMALAR UCHUN AYRIMALI SXEMALAR
Ismoilov Axrorjon Ikromjonovich
Farg’ona davlat universiteti amaliy matematika
va informatika kafedrasi katta o’qituvchisi
e-mail: ismoilovaxrorjon@yandex.com
Soliyeva Xurshida Tavakaljon qizi
Farg’ona davlat universiteti talabasi
e-mail: xurshidasoliyeva27@gmail.com
Qodirova Gulnoraxon Akmaljon qizi
Fargʻona davlat universiteti talabasi
Annonatsiya.
Ushbu maqolada parabolik turdagi differensial tenglamalarning
sonli yechimlarini topishda qo'llaniladigan ayrimali usullar va ularning nazariy
asoslari, amaliy dasturiy realizatsiyasi yoritilgan. Ayrimali sxemalar yordamida
issiqlik o'tkazuvchanlik masalasini yechish algoritmi bosqichma-bosqich tahlil
qilinadi. C# dasturlash tilida yechimni kompyuterda modellashtirish imkoniyatlari ham
ko‘rib
chiqiladi.
Maqola
fizika-matematikaviy
jarayonlarning
sonli
modellashtirilishiga qiziquvchilar uchun foydali bo‘ladi.
Kalit so‘zlar:
Parabolik tenglama, ayrimali sxema, issiqlik o'tkazuvchanlik,
sonli usul, nazariy yechim, C# dasturlash, algoritm, stablillik, konvergentlik,
modellashtirish.
Annonation.
This article discusses the use of finite difference methods for
solving parabolic partial differential equations numerically. Theoretical foundations of
difference schemes and their practical implementation are explained. A step-by-step
algorithm for solving the heat conduction problem using numerical methods is
analyzed. The article also demonstrates how the solution can be modeled using the C#
programming language. It is useful for those interested in the numerical modeling of
physical and mathematical processes.
Keywords:
Parabolic equation, finite difference scheme, heat conduction,
numerical method, theoretical solution, C# programming, algorithm, stability,
convergence, modeling.
Аннотация.
В данной статье рассматриваются численные методы
решения параболических дифференциальных уравнений с использованием
конечно-разностных схем. Изложены теоретические основы разностных методов
и их практическая реализация. Пошагово проанализирован алгоритм решения
задачи теплопроводности. Также показано моделирование решения на языке
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
137
ISSN:3030-3613
программирования C#. Статья будет полезна тем, кто интересуется численным
моделированием физико-математических процессов.
Ключевые слова:
Параболическое уравнение, метод конечных разностей,
теплопроводность,
численный
метод,
теоретическое
решение,
программирование на C#, алгоритм, устойчивость, сходимость, моделирование.
KIRISH.
Matematik fizikaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan
parabolik
turdagi differensial tenglamalar
zamonaviy fan va texnika, jumladan fizika,
muhandislik, informatika va iqtisodiyot sohalaridagi ko‘plab real muammolarni
modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Jumladan,
issiqlik o'tkazuvchanlik
,
diffuziya
,
filtratsiya
kabi jarayonlar parabolik tenglamalar bilan ifodalanadi. Bunday
tenglamalarning aniq yechimini topish ko‘pincha mushkul bo‘lganligi sababli, ular
uchun
sonli usullar
, xususan,
ayrimali sxemalar
asosida yechimlar ishlab
chiqilgan.Parabolik tenglamalar nazariyasining shakllanishi va rivojlanishi XIX asrga
borib taqaladi.
Jozef Furye
o‘zining “Issiqlikning analitik nazariyasi” (Théorie
analytique de la chaleur, 1822) nomli mashhur asarida birinchi bo‘lib issiqlik
tenglamasini kiritgan va uni yechish uchun trigonometrik qatorlardan foydalangan. Bu
tenglama bugungi kunda Furye tenglamasi yoki issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi
deb yuritiladi. XX asrga kelib, parabolik tenglamalarni
sonli yechish
masalalari
bo‘yicha chuqur ilmiy izlanishlar olib borildi. Xususan,
A.A. Samarskiy
,
A.V. Gulin
,
Yu.A. Dubovskiy
,
I.M. Gelfand
,
G. Kreys
,
K. Morton
va
D. Mayers
kabi olimlar
tomonidan ayrimali usullarning nazariy asoslari, stabillik va konvergentlik shartlari
aniq ishlab chiqildi.O‘zbek olimlari orasida esa akademik
Z.I. Khalilov
, professor
X.
T. Xamidov
,
S.N. Mahmudov
,
I.T. Nishonov
va boshqalar tomonidan ham sonli
usullar, ayniqsa, ayrimali sxemalarning turli qo‘llanmalari ishlab chiqilgan va
darsliklar yaratilgan. Bugungi kunda parabolik tenglamalarning sonli yechimlari
zamonaviy dasturlash tillarida algoritmlashtirilib, turli sohalarda keng qo‘llanilmoqda.
Ayniqsa,
C#
dasturlash tilida ushbu tenglamalarni modellashtirish imkoniyati ham
nazariy, ham amaliy tomondan katta ahamiyatga ega. Shunday ekan, bu maqolada
aynan parabolik tenglamalar uchun ayrimali sxemalar yordamida sonli yechimni
qanday qurish, uning nazariy asoslari, stabillik shartlari va C# tilida dasturiy
realizatsiyasi chuqur tahlil qilinadi.
ASOSIY QISM
1.
Parabolik
tenglamaning
fizik
mohiyati
Parabolik turdagi tenglamalar fizikadagi ko‘plab jarayonlarni ifodalaydi. Masalan,
issiqlikning bir modda bo‘ylab tarqalishi, elektr zaryadining diffuziyasi, bosim
o‘zgarishi kabi muammolar parabolik tenglama bilan modellashtiriladi. Eng oddiy
model bu — bir o‘lchamli issiqlik o‘tkazish tenglamasi:
𝜕𝜇
𝜕𝑡
= 𝛼
𝜕
2
𝜇
𝜕𝑥
2
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
138
ISSN:3030-3613
bu yerda
𝑢(𝑥, 𝑡)
— harorat funksiyasi,
𝛼
— issiqlik o‘tkazuvchanlik
koeffitsienti.
2.
Sonli
usulga
o‘tish
(ayrimali
sxema
yaratish)
Bu tenglamani analitik yechish har doim ham mumkin emas. Shuning uchun sonli
usullardan foydalaniladi. Sonli sxema qurishda,
𝑥
va
𝑡
o‘qlar bo‘yicha to‘r hosil
qilinadi:
1.
𝑥
𝑖
= 𝑖 ∙ ℎ, 𝑖 = 0, 1, . .. , 𝑁
2.
𝑡
𝑛
= 𝑛 ∙ 𝑡, 𝑛 = 0, 1, . . . , 𝑀
bu
yerda
ℎ
—
fazoviy
qadam,
𝑡
—
vaqt
qadami.
Faraz qilaylik, bizda boshlang‘ich shart quyidagicha:
𝜇(𝑥, 0) = 𝑠𝑖𝑛(𝜋, 𝑥)
va chegaraviy shartlar:
𝜇(0, 𝑡) = 0, 𝜇(1, 𝑡) = 0
3.
Eksplicit
(oldinga
qadam)
sxema
misoli
Bu sxema quyidagicha hosil qilinadi:
𝜇
𝑖
𝑛+1
= 𝜇
𝑖
𝑛
+ 𝛾(𝜇
𝑖
𝑛+1
− 2𝜇
𝑖
𝑛
+ 𝜇
𝑖−1
𝑛
)
bu yerda
𝛾 =
𝛼𝑡
ℎ
2
Ushbu sxema
faqat
𝛾 ≤ 0.5
bo‘lganda barqaror bo‘ladi.
Misol:
Faraz qilaylik,
𝛼 = 0.01, 𝐿 = 1, 𝑇 = 0.1, ℎ = 0.1, 𝑡 = 0.0005
Shunda:
𝛾 =
0.01 ∙ 0.0005
0.1
2
bu stabillik shartiga mos keladi.
4.
Implitsit
(orqaga
qadam)
sxema
misoli
Bu sxema esa quyidagicha:
𝜇
𝑖
𝑛+1
− 𝜇
𝑖
𝑛
𝑡
=
𝛼
2ℎ
2
[(𝜇
𝑖+1
𝑛+1
− 2𝜇
𝑖
𝑛+1
+ 𝜇
𝑖−1
𝑛+1
) + (𝜇
𝑖+1
𝑛
− 2𝜇
𝑖
𝑛
+ 𝜇
𝑖−1
𝑛
]
Bu sxema
ikkita vaqt qadamidagi
qiymatlarni o‘rtachalashtirib, barqarorlik va
aniqlikni oshiradi.
CHEGARA SHARTLARI
ayrimali sxemalar bilan yechishda
boshlang‘ich shart
va
chegara shartlari
juda muhim hisoblanadi
masalan:
boshlang‘ich shart:
𝜇(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥)
chegaraviy shartlar:
𝜇(0. 𝑡) = 𝜑
1
(𝑡), 𝜇(𝐿, 𝑡) = 𝜑
2
(𝑡)
ushbu shartlar sxemaga integratsiyalanib, yechim jarayonida to‘g‘ri natija
olishga yordam beradi.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
139
ISSN:3030-3613
C#
tilida
eksplicit
sxemani
amalda
ko‘rish
Quyida C# dastur kodi orqali oldinga qadam sxemasi hisoblanadi:
using System;
class Program
{
static void Main()
{ int Nx = 10;
int Nt = 100;
double L = 1.0;
double T = 0.5;
double alpha = 1.0;
double dx = L / Nx;
double dt = T / Nt;
double r = alpha * dt / (dx * dx);
double[] x = new double[Nx + 1];
double[,] u = new double[Nx + 1, Nt + 1];
u(x, 0) = sin(pi * x)
for (int i = 0; i <= Nx; i++)
{
x[i] = i * dx;
u[i, 0] = Math.Sin(Math.PI * x[i]);
}
u(0, t) = u(1, t) = 0
for (int n = 0; n < Nt; n++)
{ u[0, n + 1] = 0;
u[Nx, n + 1] = 0;
for (int i = 1; i < Nx; i++)
{
u[i, n + 1] = u[i, n] + r * (u[i - 1, n] - 2 * u[i, n] + u[i + 1, n]);
}
}
Console.WriteLine("x \t u(x, T=0.5)");
for (int i = 0; i <= Nx; i++)
{
Console.WriteLine($"{x[i]:F2} \t {u[i, Nt]:F6}");
}
}
}
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
140
ISSN:3030-3613
7.
Dastlabki
natijalarni
tahlil
qilish
Hisoblangan qiymatlar orqali grafigini chizish mumkin. C# da Chart kutubxonalari
yoki Python’da matplotlib yordamida vizual ko‘rinish yaratish mumkin. Bu orqali vaqt
davomida issiqlik qanday tarqalayotgani tahlil qilinadi.
Xulosa. Parabolik tenglamalar — fizikada, muhandislikda va boshqa sohalarda
keng qo‘llaniladigan matematik modellar sirasiga kiradi. Ularni sonli usullar orqali
yechish, ayniqsa, analitik yechim mavjud bo‘lmagan hollarda muhim ahamiyat kasb
etadi. Mazkur maqolada parabolik tenglamalarni yechish uchun eksplitsit (aniq)
ayrimali sxemalarning nazariy asoslari yoritildi va amaliy jihatlari C# dasturlash tili
yordamida kompyuterda modellashtirildi.Ayrimali sxemalar yordamida masalaning
boshlang‘ich va chegaraviy shartlari asosida sonli yechimlar aniqlandi. Dasturda
olinadigan natijalar, ayniqsa vaqt o‘tishi bilan harorat tarqalishining qanday
o‘zgarishini ko‘rsatib berdi. Bu usulni qo‘llashda barqarorlik, yaqinlik va aniqlik kabi
mezonlarga e’tibor berish zarurligi isbotlandi. Amaliy tajriba natijalari sxemaning
barqarorligi va samaradorligini ko‘rsatdi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Самарский А. А., Гулин А. В.
Численные методы
. — Москва: Наука, 1989.
2.
Калиткин Н. Н.
Численные методы
. — Москва: Наука, 1978.
3.
Morton K. W., Mayers D. F.
Numerical Solution of Partial Differential Equations:
An Introduction
. — Cambridge University Press, 2005.
4.
Strikwerda J. C.
Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations
. —
SIAM, 2004.
5.
Smith G. D.
Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference
Methods
. — Oxford University Press, 1985.
6.
Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P.
Numerical Recipes:
The Art of Scientific Computing
. — Cambridge University Press, 2007.
7.
Ilyasov A. X., Murodov O. A.
Sonli usullar
. — Toshkent: O‘zMU nashriyoti, 2019.
8.
Mamatqulov U. N., Ochildiyev S. A.
Differensial tenglamalarni sonli yechish
usullari
. — Toshkent: Fan va texnologiyalar nashriyoti, 2018.
9.
Shamsiev A. I., Raxmatov J. T.
Kompyuterda matematik modellashtirish
. —
Farg‘ona: FarDU nashriyoti, 2021.
10.
Isaacson E., Keller H. B.
Analysis of Numerical Methods
. — Dover Publications,
1994.
11.
Ames W. F.
Numerical Methods for Partial Differential Equations
. — Academic
Press, 1992.
12.
Tikhonov A. N., Samarskii A. A.
Equations of Mathematical Physics
. — Dover
Publications, 2011.
13.
Ершов С. В.
Разностные методы решения краевых задач
. — Санкт-
Петербург: Питер, 2004.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
141
ISSN:3030-3613
14.
LeVeque R. J.
Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential
Equations
. — SIAM, 2007.
15.
Seyfullayev A. B.
Amaliy matematik fizik tenglamalar
. — Toshkent: O‘zbekiston,
2001.
