T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
142
ISSN:3030-3613
ANIQ INTEGRAL TATBIQLARI
Farg’ona davlat universiteti katta o’qituvchisi
Ismoilov Axrorjon Ikromjonovich
Farg’ona davlat universiteti 2-kurs talabasi
Abdubannonova O’g’ilxon Akramjon qizi
abdubannonovaogilxon@gmail.com
Farg’ona davlat universiteti 2-kurs talabasi
Soyipova Ominaxon Mirodiljon qizi
Fargʻona davlat universiteti talabasi
Annotatsiya
Ushbu mavzuda aniq integralning amaliy tatbiqlari o‘rganiladi. Xususan, sirt
maydonini, jismlar hajmini hisoblash, fizik kattaliklar — masalan, ish, massa markazi,
statik moment kabi tushunchalarni integral orqali ifodalash usullari ko‘rib chiqiladi.
Aniq integral matematik modellashtirishda, texnika, fizika va iqtisodiyot kabi fanlarda
keng qo‘llaniladi. Mavzu doirasida o‘quvchilar real hayotdagi masalalarni matematik
shaklga keltirib, integral orqali yechishni o‘rganamassa markazi,dilar. Bu esa nafaqat
nazariy bilimlarni chuqurlashtiradi, balki ularni amaliyotda qo‘llash ko‘nikmalarini
ham rivojlantiradi.
Kalit so’zlar:
aniq integral, integral hisoblash, sirt maydoni, hajm hisoblash,
fizik tatbiqlar, statik moment, kuch va energiya, matematik modellashtirish, koordinata
o’qlari.
Аннотация
В данной теме изучаются практические применения определённого
интеграла. В частности, рассматриваются методы вычисления площади
поверхности, объёма тел, а также физические величины — такие как работа,
центр массы, статический момент — с использованием определённого
интеграла. Определённый интеграл широко используется в математическом
моделировании, технике, физике и экономике. В рамках темы учащиеся учатся
формулировать реальные задачи в математической форме и решать их с
помощью интеграла. Это способствует не только углублению теоретических
знаний, но и развитию практических навыков их применения.
Ключевые слова:
определённый интеграл, интегральные вычисления,
площадь поверхности, вычисление объема, физические приложения,
статический момент, сила и энергия, математическое моделирование,
координатные оси.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
143
ISSN:3030-3613
Annotation
This topic explores the practical applications of the definite integral. In
particular, it examines methods for calculating surface area, volumes of solids, and
physical quantities such as work, center of mass, and static moment using definite
integrals. The definite integral is widely used in mathematical modeling, engineering,
physics, and economics. Within this topic, students learn to translate real-world
problems into mathematical form and solve them using integrals. This not only deepens
their theoretical understanding but also enhances their practical application skills.
Keywords:
definite integral, integral calculation, surface area, volume
calculation, physical applications, static moment, force and energy, mathematical
modeling, coordinate axes.
Kattaligi o’zgaruvchan va f(x) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy
nuqtani [a,b] kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan A ish
formula bilan hisoblanadi.
Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan
moddiy
nuqtaning [a,b] vaqt oralig’ida bosib o’tgan S masofasi S= v(b-a) formula bilan
hisoblanadi.
Tezligi har bir t vaqtda o’zgaruvchan va v=v(t) funksiya bilan aniqlanadigan
notekis harakatda moddiy nuqtaning [a,b] vaqt oralig’ida bosib o’tgan s masofasi
formula bilan aniqlanadi.
Ma’lumki,
inersiya
momenti
tushunchasi
mexanikaning
muhim
tushunchalaridan
biri hisoblanadi. Tekislikda m massaga ega bo’lgan A moddiy nuqta berilgan bo’lib,
bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki O nuqtagacha) bo’lgan masofa r ga teng bo’lsin.
U holda J=mr
2
miqdor
o’qga ( O nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi
Masalan, tekislikdagi m, massaga ega bo’lgan A=A (x,y) moddiy nuqtaning
koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos
ravishda
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
144
ISSN:3030-3613
formula orqali hisoblanadi.
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda
massaga ega
bo’lgan
moddiy nuqtalar
sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya
momentlari mos ravishda
formulalar orqali ifodalanadi.
Biror y=f(x) egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali
egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya
momentlar
formulalar orqali ifodalanadi.
Oxy
tekislikda
massalari
bo’lgan
material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda,
ko’paytmalar
massaning
va
o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.
Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini
va
lar bilan
belgilaymiz.U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan
formulalarni yozishimiz mumkin.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
145
ISSN:3030-3613
tenglama bilan berilgan AB egri chiziq yoyining og’irlik
markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi.
chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura
og’irlik markazining koordinatalari
formulalardan topiladi.
To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida y=f(x) [a,b] kesmada silliq (ya’ni
y=f(x) hosila uzluksiz ) bo’lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
146
ISSN:3030-3613
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametric tenglama
bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi
aniq integral bilan hisoblanadi.
Silliq egri chiziq qutb koordinatalarida
tenglama bilan
berilgan bo’lsa, yoy uzunligi
formula bilan hisoblanadi.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
147
ISSN:3030-3613
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_2-to’plam_Iyun-2025
148
ISSN:3030-3613
Xulosa qilib aytganda, aniq integral matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri
bo‘lib, uning nazariy asoslari hamda amaliy qo‘llanilishi keng ko‘lamli masalalarni hal
qilishda muhim o‘rin tutadi. Ushbu ish davomida aniq integralning fizik, geometrik va
mexanik tatbiqlari chuqur o‘rganildi. Xususan, yassi figuralarning yuzini hisoblash,
egri chiziq yoyining uzunligi, aylanma jismlarning hajmi va yuza maydonini topish
kabi masalalarning barchasi aniq integral orqali ifodalanishi mumkinligi ko‘rsatildi.
Shuningdek, aniq integralning fizikadagi tatbiqlari — masalan, ishni hisoblash,
kuchlarning ta’sirini aniqlash, og‘irlik markazini aniqlash va inersiya momentini
hisoblash kabi ko‘plab amaliy masalalarni yechishda asosiy vosita sifatida xizmat
qilishi ta’kidlandi. Bu esa aniq integralni nafaqat nazariy jihatdan, balki real hayotdagi
texnik va ilmiy masalalarda ham samarali qo‘llash mumkinligini isbotlaydi. Ushbu
mavzuni o‘rganish natijasida aniq integralning nafaqat matematik tahlil vositasi, balki
turli sohalardagi real muammolarni yechishda muhim metod ekanligi aniqlandi. Bu
mavzu bo‘yicha chuqur bilimlarga ega bo‘lish, kelgusida ilmiy tadqiqotlar olib borish
va amaliy masalalarni yechishda mustahkam poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar :
1.
1.Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press.
2.
Bryson, A. E., & Ho, Y. C. (1975). Applied Optimal Control: Optimization,
Estimation, and Control. CRC Press.
3.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007).
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge
University Press.
4.
Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Springer.
5.
Hairer, E., Nørsett, S. P., & Wanner, G. (1993). Solving Ordinary Differential
Equations I: NonstiffProblems. Springer-Verlag.
