THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
98
KOPULA FUNKSIYALAR VA ULAR BILAN BOG‘LIQ SKLAR
TEOREMASI.
Avazov Bekzod Mamanazarovich
Toshkent davlat agrar universiteti
Axborot tizimlari va texnologiyalari kafedra
Assistenti
Telefon: +998 91 453 96 40
Email: bekzodavazov2@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15544755
Annatatsiya:
Kopula funksiyalari yordamida ehtimollikning ko‘p o‘lchovli
taqsimot qonunini tuzishimiz mumkin. Ular qaralayotgan ko‘p o‘lchovli tasodifiy
miqdorlar komponentalari orasidagi mavjud bog‘liqlik xarakterini va ko‘p
o‘lchovli qonunini analiz qilish bilan bir o‘lchovli marginal taqsimotlar orqali
ifodalanadi.
Kalit so’zlar:
Kopula. Kopula funksiya. Abe Sklar. Sklar teoremasi. Tasodifiy
miqdorlar.
Ma’lumki, sug‘urta ishi, tibbiyot, biologiya, sotsiologiya, moliya bilan
bog‘liq boshqa ko‘plab sohalardagi amaliy masalalarda ko‘p o‘lchovli o‘zaro
bog‘liq tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlarini o‘rganish muhim
ahamiyatga egadir. Kopula atamasi lotincha “copula” so‘zidan olingan bo‘lib,
bog‘lanish, bog‘lovchi va bog‘liqlik degan ma’nolarini anglatadi. Kopula funksiya
tushunchasini dastlab, fransuz matematiki Abe Sklar tomonidan 1959 yildagi
ilmiy maqolasida kiritgan bo‘lsada, lekin uni 1990 yillar oxirlaridan boshlab
chuqur o‘rganishni boshlandi. Bunda 1999 yilda New Yorkning mashhur
“Springer-Verlag” nashriyotida chop etilgan R.B.Nelsenning “An Intoduction to
Copulas” nomli kitobi [2] asosiy rol o‘ynadi. Keyinchalik, uning ikkinchi nashri
ham 2006 yilda chop etilgan. Kopula funksiyalari bilan bog‘liq statistik ilmiy
tadqiqotlar tez suratda rivojlanib bordi. Hozirgi kunga kelib, kopula –
funksiyalari juda ko‘p sohalarda, biostatistika (Lambert, Vanderhende, 2002),
gidrologiya (Zhang, Singh, 2006) klimatalogiya (Salvadori, De Michele, 2007) va
boshqa fan tarmoqlarining amaliy masalalariga tadbiq etilmoqda.
1. Psevdo-teskari funksiya tushunchasi va u yordamida aniqlangan
ikki o‘lchovli funksiyani kopula funksiya bo‘lishi uchun zarur va yetarli
shartlari
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimot funksiyasi
,
H x y
va uning marginal taqsimotlari
,
F x
G y
lar bo‘lsin. Agar
X
va
Y
lar
bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda
,
H x y
F x G y
bo‘ladi, ya’ni birgalikdagi taqsimot,
ikkita faktorlar taqsimotlarning ko‘paytmasidan iborat bo‘ladi. Lekin keyinchalik
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
99
biz ko‘ramiz bu tasdiq har doim ham yaxshi natija beravermaydi. Shuning uchun
ham kopula funksiyalarning eng muhim oilasi Arximed kopula funksiyalari
(oilasi) ni ta’rifini va xossalarini o‘rganamiz. Buning uchun biz bir nechta yangi
tushunchalarni ta’rifi orqali kiritib olamiz.
1-ta’rif: Aytaylik
1
: 0,1
R
- uzluksiz, qat’iy kamayuvchi funksiya bo‘lib,
1
0
bo‘lsin. Quyidagi tenglik bilan aniqlanuvchi
1
t
funksiyaga
t
ning
psevdo-teskarifunksiyasi deyiladi:
1
1
,
0
0 ,
0,
0
.
t
t
t
t
(1)
1
t
- funksiya
0;
da uzluksiz va o‘smaydigan va
0,
0
da esa qat’iy
kamayuvchi funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari
0,1
da
1
u
u
va
1
,
0
0 ,
min ,
0
0 ,
0
,
t
t
t
t
t
. Agar
0
bo‘lsa, u holda
1
1
t
t
bo‘ladi.
t
– ba’zan generator kopula deb ham ataladi.
Лемма – 1.
Agar
: 0,1
0,
- uzluksiz va qat’iy kamayuvchi, hamda
1
0
bo‘lib,
1
t
- funksiya
t
ning psevdo-teskari funksiyasi bo‘lsin,
hamda funksiya
2
,
: 0,1
0,1
C u v
quyidagi tenglik bilan aniqlansin:
1
,
C u v
u
v
. (2)
U holda
,
C u v
funksiya 1-ta’rifdagi
i
– shartni qanoatlantiradi.
Isboti:
1
, 0
0
0
C u
u
ва
1
1
,1
1
,
C u
u
u
u
xuddi shunday
0,
0,
1,
C
v
G
v
v
.
■
Keyingi keltiriladigan lemmada (2) tenglik bilan aniqlanuvchi kopula
funksiyaning 2 marta o‘suvchi bo‘lishiga zarur va yetarli shartlarni beriladi.
2-Lemma. Agar
1
,
va
C
1-lemmadagi gipotezalarni qanoatlantirsa, u
holda
,
C u v
- 2 marta o‘suvchi funksiya bo‘ladi faqat va faqat shu holdagi agar
0,1
v
, hamda
1
2
u
u
lar uchun
2
1
2
1
,
,
C u v
C u v
u
u
. (3)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa.
Isboti:
Haqiqatdan
ham
,
(3)
tengsizlik
ushbu
2
2
1
1
,1
;
,1
,
0
C u
C u v
C u
C u v
tengsizlik bilan ekvivalent. Bu esa
,
C u v
- 2
marta o‘suvchi ekanligidan kelib chiqadi. Faraz qilayliк (3) tengsizlik o‘rinli
bo‘lsin.
1
2
1
2
,
0,1 ,
v v
v
v
sonlarni tanlash mumkinki, ular uchun
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
100
2
1
2
2
0,
0
1,
C
v
v
v
C
v
o‘rinli. Ammo,
,
C u v
- uzluksiz (chunki
va
1
lar
ham uzluksiz) va
0,1
t
uchun
2
1
,
C t v
v
yoki
2
1
v
t
v
. Bundan
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
,
,
C u v
C u v
u
v
u
v
1
1
2
2
1
2
u
v
t
u
v
t
2
2
1
2
2
2
1
2
,
,
,
,
,
,
C c u v
t
C c u v
t
C u v
C u v
.
Demak,
,
C u v
- 2 marta o‘suvchi ekan.
3-teorema. Agar
: 0,1
0,
- uzluksiz, qat’iy kamayuvchi,
1
0
va
1
- funksiya (1) tenglik bilan aniqlanuvchi
ning psevdo-teskari funksiyasi
bo‘lsa, u holda (2) tenglik bilan aniqlanuvchi
2
,
: 0,1
0,1
C u v
funksiya kopula
funksiya bo‘ladi, faqat va faqat shu holdaki, agar
qavariq funksiya bo‘lsa.
Isboti: Biz avval
(2) tenglik bilan aniqlangan
,
C u v
- kopula funksiya
chegaralanganlik shartini qanoatlantirishini ko‘rsatgan edik (1-Lemmaga
qarang). Endi (3) tengsizlik faqat va faqat
- qavariq bo‘lishini ko‘rsatishimiz
kerak. Shuni ta’kidlash kerakki,
- qavariq bo‘ladi, faqat va faqat shu holdaki,
agar
1
- qavariq bo‘lsa. (3) tengsizlik quyidagi tenglikka ekvivalent
1
1
2
u
u
v
1
2
1
u
u
v
, bunda
1
2
u
u
, xuddi shunday, agar biz
1
2
,
a
u
b
u
va
C
v
bo‘lsa, u holda (3) yana quyidagi tengsizlikka ham
ekvivalent bo‘ladi:
1
1
1
1
,
a
b c
b
a
c
(4)
bu yerda
a b
va
0
c
. Faraz qilaylik (3) tengsizlik bajarilsin, ya’ni
1
uchun (4) o‘rinli bo‘lsin.
1
0;
S t
lar uchun
0
s
t
bo‘lsin. Agar
2
s t
a
,
b
s
va
2
t
s
C
deb olsak, (4) dan
1
1
1
2
2
s
t
s t
. (5)
Bundan
1
- o‘rtacha qavariq (midconvex),
1
- uzluksiz bo‘lgani uchun
1
ni qovariq funksiya ekanligi kelib chiqadi.
Boshqa tomondan,f.q.
1
– qavariq bo‘lsin. Fiksirlangan
,
a b
va
0,1
c
lar
uchun, bunda
,
0
a
b c
va
a b
a b c
deb olsak,
1
a
b
a
c
va
1
b
c
b
a
c
bundan
1
1
1
1
a
b
a
c
,
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
101
1
1
1
1
b
c
b
a
c
.
Ikkala tengsizlikni qo‘yib yuborsak, u holda (4) tengsizlikni hosil qilamiz.
Teorema to‘liq isbotlandi.
■
XULOSA
Matematik statistikaning asosiy yo‘nalishlardan biri statistik baholash
nazariyasining eng muhim tushunchasi noma’lum parametrlarni baholash va
olingan baholarning xossalarning o‘rganish masalalariga bag‘ishlangandir.
Ma’lumki, so‘ngi 10-12 yillar ichida statistik baholashning yangi kopula
funksiyalari yordamida baholash usuli keng foydalanilmoqda. Bunda asosan
kopulalar oilasi to‘liq o‘rganilgan bo‘lib, ular yordamida statistik baholar tadqiq
etilgan.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Joe H. Multivariate models and dependence concepts. // London: Chapman
Hall. 1997. – 418 p.
2. Nelsen R.B. An introduction to Copulas. // Second Edition. Springer,
NewYork. 2006. – 269 p.
3. http://www.gummy-stuff.org/copula-1.htm
4. http://www.gummy-stuff.org/copula-2.htm
5. http://www.gummy-stuff.org/copula-3.htm
6. http://www.cerna.ensmp.fr/Documents/MA-CopulaCatalogue.pdf
