Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
153
YUQORI TARTIBLI HOSILALAR VA ULARNING TATBIQLARI
G’aniyeva Malika Murodjon qizi-
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Mamajonova Maftuna Noyibjon qizi-
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Yunusova Aziza Mirzajon qizi-
Andijon davlat davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Elektron pochta: ganiyevamalika40@gmail.com
Annotatsiya:
Ushbu maqolada yuqori tartibli hosilaning asosiy tushunchalari va
ularning matematik tahlildagi o‘rni yoritilgan. Yuqori tartibli hosilalar funksiyaning
yanada chuqurroq xossalarini aniqlashda muhim vosita hisoblanadi. Maqolada
hosilaning fizikadagi, iqtisodiy modellardagi qo‘llanilishiga alohida e’tibor qaratilgan.
Shuningdek, differensial tenglamalarda yuqori tartibli hosilalarning ahamiyati ko‘rib
chiqilgan. Misollar orqali mavzuga oid nazariy bilimlar mustahkamlangan. Matematik
model yaratishda yuqori tartibli hosilalar yordamida aniqlik darajasini oshirish
mumkinligi ta’kidlangan. Mavzu talabalarga amaliy va nazariy bilimlarni
uyg‘unlashtirish imkonini beradi. Maqola matematik tahlil bilan shug‘ullanuvchi
talabalar va o‘qituvchilar uchun foydali bo‘lishi mumkin.
Abstract
: This article covers the basic concepts of higher-order derivatives and
their role in mathematical analysis. Higher-order derivatives are an important tool for
determining deeper properties of a function. The article pays special attention to the
application of derivatives in physics, engineering, and economic models. The
importance of higher-order derivatives in differential equations and the theory of
oscillations is also considered. Theoretical knowledge on the topic is reinforced
through examples. It is emphasized that using higher-order derivatives in creating
mathematical models can increase the level of accuracy. The topic allows students to
combine practical and theoretical knowledge. The article may be useful for students
and teachers involved in mathematical analysis.
Абстрактный
:В статье рассматриваются основные понятия производных
высшего порядка и их роль в математическом анализе. Производные высшего
порядка являются важным инструментом для определения более глубоких
свойств функции. Статья посвящена применению производных в физических и
экономических моделях. Также рассматривается важность производных
высшего порядка в дифференциальных уравнениях. Теоретические знания по
теме закрепляются на примерах. Подчеркивается, что уровень точности может
быть повышен за счет использования производных более высокого порядка при
создании математической модели. Предмет позволяет студентам сочетать
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
154
практические и теоретические знания. Статья может быть полезна студентам и
преподавателям, занимающимся математическим анализом.
Kalit so’zlar:
Yuqori tartibli hosila, mexanik ma’no, n-chi tartibli, induktiv,
Leybnits formulasi, tatbiq moddiy nuqta, matematik
induksiya, ketma-ket hisoblash,
o’zgaruvchi ko’paytuvchi, kasr-ratsional, differensial.
Keywords
:Higher-order derivative, mechanical sense, n-th order, inductive,
Leibniz formula, applied material point, mathematical induction, sequential
calculation, variable multiplier, fractional-rational, differential
Ключевые слова:
Производная высшего порядка, механическое значение,
n-й порядок, индуктивный, формула Лейбница, прикладная материальная точка,
математическая индукция, последовательное исчисление, переменный
множитель, дробно-рациональный, дифференциал.
Kirish.
Ma’lumki, mexanikaning ko’pgina masalalari yuqori tartibli hosilalar
yordamida yechiladi. Shu sababli bu hosilalarni o’rganish ham nazariy ham amaliy
ahamiyatga egadir.
1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi
.
Faraz qilaylik, biror (
a,b
) da hosilaga ega
f(x)
funksiya aniqlangan bo‘lsin.
Ravshanki,
f’(x)
hosila (
a,b
) da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan
funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar
f’(x)
funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni
f(x)
funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi
deyiladi va
y’’, f’’(x),
2
2
2
2
dx
)
x
(
f
d
,
dx
y
d
simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday
qilib, ta’rif bo‘yicha
y’’(x)=(y’)’
ekan.
Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa,
u uchinchi tartibli hosila deyiladi va
y’’’, f’’’(x),
3
3
3
3
dx
)
x
(
f
d
,
dx
y
d
kabi belgilanadi.
Demak, ta’rif bo‘yicha
y’’’=(y’’)’
.
Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga
o‘xshash aniqlanadi. Umuman
f(x)
funksiyaning
(n-1)-
tartibli
f
(n-1)
(x)
hosilasining
hosilasiga uning
n
-tartibli hosilasi deyiladi va
y
(n)
, f
(n)
(x),
n
n
n
n
dx
)
x
(
f
d
,
dx
y
d
simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha
n
-tartibli hosila
y
(n)
=(y
(n-
1)
)’
rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.
Misol
.
y=x
4
funksiya berilgan.
y’’’(2)
ni hisoblang.
Yechish.
y’=4x
3
, y’’=12x
2
, y’’’=24x
, demak
y’’’(2)=24
2=48
.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
155
Yuqorida aytilganlardan, funksiyaning yuqori tartibli, masalan,
n-
tartibli
hosilalarini topish uchun uning barcha oldingi tartibli hosilalarini hisoblash zarurligi
kelib chiqadi. Ammo ayrim funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari uchun umumiy
qonuniyatni topish va undan foydalanib formula keltirib chiqarish mumkin.
Misol tariqasida ba’zi bir elementar funksiyalarning
n
-tartibli hosilalarini
topamiz.
1)
y=x
(x>0,
R)
funksiya uchun
y
(n)
ni topamiz. Buning uchun uning
hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz:
y’=
x
-1
, y’’=
(
-1) x
-2
, . . .
Bundan
(x
)
(n)
=
(
-1)(
-2)...(
-n+1)x
-n
(1)
deb induktiv faraz qilish mumkinligi kelib chiqadi. Bu formulaning
n
=1 uchun
o‘rinliligi yuqorida ko‘rsatilgan. Endi (1) formula
n=k
da o‘rinli, ya’ni
y
(k)
=
(
-
1)...(
-k+1)x
-k
bo‘lsin deb, uning
n=k+1
da o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Ta’rifga ko‘ra
y
(k+1)
= (y
(k)
)’
. Shuning uchun
y
(k+1)
=(y
(k)
)=(
(
-1)...(
-k+1)x
-k
)’=
(
-1)...(
-k+1)(
-k)x
-k-1
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa (8.1) formulaning
n=k+1
da ham o‘rinli bo‘lishini
bildiradi. Demak, matematik induksiya usuliga ko‘ra (8.1) formula
n
N
uchun
o‘rinli.
(8.1) da
=-1 bo‘lsin. U holda
x
y
1
funksiyaning
n
-tartibli hosilasi
1
1
1
2
1
1
n
n
n
)
n
(
x
!
n
)
(
x
)
n
)...(
)(
(
x
(2)
formula bilan topiladi.
2)
y=lnx
(
x
>0) funksiyaning
n
-tartibli hosilasini topamiz. Bu funksiyainng
birinchi hosilasi
x
'
y
1
bo‘lishidan hamda (8.2) formuladan foydalansak,
n
n
)
n
(
)
n
(
)
n
(
x
)!
n
(
)
(
x
)
'
y
(
y
1
1
1
1
1
1
(3)
formula kelib chiqadi.
3)
y=sinx
bo‘lsin. Ma’lumki, bu funksiya uchun
y’=cosx
. Biz uni quyidagi
)
x
sin(
x
cos
'
y
2
ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra
y=sinx
funksiyaning keyingi tartibli
hosilalarini hisoblaymiz.
),
x
sin(
x
sin
)'
x
(cos
"
y
2
2
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
156
),
x
sin(
x
cos
)'
x
sin
(
'
'
'
y
2
3
)
x
sin(
x
sin
)'
x
cos
(
)
y
)
IV
(
2
4
Bu ifodalardan esa
y=sinx
funksiyainng
n
-tartibli hosilasi uchun
)
n
x
sin(
y
)
n
(
2
(4)
formula kelib chiqadi. Uning to‘g‘riligi yana matematik induksiya usuli bilan
isbotlanadi.
Xuddi shunga o‘xshash
)
n
x
cos(
)
x
(cos
)
n
(
2
(5)
ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Masalan,
x
sin
)
x
cos(
)
x
cos(
)
x
(cos
)
(
2
3
2
115
115
.
2. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi.
Ikkinchi tartibli hosila sodda mexanik ma’noga ega. Faraz qilaylik moddiy
nuqtaning harakat qonuni
s=s(t)
funksiya bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning
birinchi tartibli hosilasi
v(t)=s’(t)
harakat tezligini ifodalashi bizga ma’lum. Ikkinchi
tartibli
a=v’(t)=s’’(t)
hosila esa harakat tezligining o‘zgarish tezligi, ya’ni harakat
tezlanishini ifodalaydi.
Misol
. Moddiy nuqta
s=5t
2
+3t+12
(
s
metrlarda,
t
sekundlarda berilgan) qonun
bo‘yicha to‘g‘ri chiziqli harakat qilmoqda. Uning o‘zgarmas kuch ta’sirida harakat
qilishini ko‘rsating.
Yechish.
s’=(5t
2
+3t+12)’=10t+3; s’’=(10t+3)’=10
, bundan
a=10m/s
2
bo‘lib,
harakat tezlanishi o‘zgarmas ekan. Nьyuton qonuni bo‘yicha kuch tezlanishga
proportsional. Demak, kuch ham o‘zgarmas ekan.
Asosiy qism.
1. Yuqori tartibli hosilaning asosiy xossalari.
1-xossa.
Agar
u(x)
va
v(x)
funksiyalar
n
-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
bu ikki funksiya yig‘indisining
n
-tartibli hosilasi uchun
(u(x)+
v(x))
(n)
= u
(n)
(x)+
v
(n)
(x)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
157
Isboti
. Aytaylik
y=u+v
bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket
hisoblash natijasida quyidagilarni hosil qilamiz:
y’=u’+v’, y’’=(y’)’=(
u’+v’)’=u’’+v’’.
Matematik induksiya metodidan foydalanamiz, ya’ni
n=k
tartibli hosila uchun
y
(k)
=u
(k)
+v
(k)
tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilamiz va
n=k+1
uchun
y
(k+1)
=u
(k+1)
+v
(k+1)
ekanligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham, yuqori tartibli hosilaning ta’rifi, hosilaga ega bo‘lgan
funksiyalar xossalaridan foydalanib
y
(k+1)
=(y
(k)
)’=(u
(k)
+v
(k)
)’= =(u
(k)
)’+(v
(k)
)’=
u
(k+1)
+v
(k+1)
ekanligini
topamiz.
Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra
y
(n)
=u
(n)
+v
(n)
tenglik ixtiyoriy
natural
n
uchun o‘rinli deb xulosa chiqaramiz.
2-xossa
. O‘zgarmas ko‘paytuvchini
n
-tartibli hosila belgisi oldiga
chiqarish mumkin:
(Cu)
(n)
=Cu
(n)
.
Bu xossa ham matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlanadi.
Isbotini o‘quvchilarga qoldiramiz.
Misol
.
y
=
6
5
3
2
2
x
x
x
funksiyaning
n
-tartibli hosilasi uchun formula
keltirib chiqaring.
Yechish.
Berilgan
kasr-ratsional
funksiyaning
maxrajini
ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
(x
2
-5x+6)=(x-2)(x-3
). So‘ngra
3
2
3
2
3
2
x
B
x
A
)
x
)(
x
(
x
(6)
tenglik o‘rinli bo‘ladigan
A
va
B
koeffitsientlarni izlaymiz. Bu koeffitsientlarni
topish uchun tenglikning o‘ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz va ikki kasrning
tenglik shartidan foydalanamiz. U holda
2x+3=A(x-3)+B(x-2),
yoki
2x+3=(A+B)x+(-3A-2B)
tenglikka ega bo‘lamiz. Ikki ko‘phadning tenglik shartidan (ikki ko‘phad teng
bo‘lishi uchun o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsientlar teng bo‘lishi
zarur va yyetarli) quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi:
3
2
3
2
B
A
,
B
A
Bu sistemaning yechimi
A
=-7,
B
=9 ekanligini ko‘rish qiyin emas. Topilgan
natijalarni (1) tenglikka qo‘yamiz va yuqorida isbotlangan xossalardan foydalanib,
berilgan funksiyaning
n
-tartibli hosilasini kuyidagicha yozish mumkin:
y
(n)
=-
7
)
n
(
x
2
1
+9
)
n
(
x
3
1
(7)
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
158
Endi
2
1
x
va
3
1
x
funksiyalarning
n-
tartibli hosilalarini topishimiz lozim.
Buning uchun
u
=
a
x
1
funksiyaning
n
-tartibli hosilasini bilish yyetarli. Bu funksiyani
u=(x+a)
-1
ko‘rinishda yozib, ketma-ket hosilalarni hisoblaymiz. U holda
u’=-(x+a)
-2
, u’’=2(x+a)
-3
, u’’’=-2
3(x+a)
-3
=-6(x+a)
-4
.
Matematik induksiya metodi bilan
u
(n)
=(-1)
n
n!(x+a)
-n-1
(8)
Shunday qilib, (8.7) va (8.8) tengliklardan foydalanib quyidagi
y
(n)
=-7
(-1)
n
n!(x-2)
-n-1
+9
(-1)
n
n!(x-3)
-n-1
=(-1)
n
n!
n
n
)
x
(
)
x
(
2
7
3
9
natijaga erishamiz.
2. Leybnits formulasi.
Agar
u(x)
va
v(x)
funksiyalar
n
-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bu ikki
funksiya ko‘paytmasining
n
-tartibli hosilasi uchun
...
v
u
C
...
'
'
v
u
C
'
v
u
'
C
v
u
)
uv
(
)
k
(
)
k
n
(
k
n
)
n
(
n
)
n
(
n
)
n
(
)
n
(
2
2
1
+
)
n
(
)
n
(
n
n
uv
v
'
u
C
1
1
(9)
formula o‘rinli bo‘ladi. Bunda
!
k
)
k
n
)...(
n
(
n
C
k
n
1
1
.
Isboti
. Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Ma’lumki,
(uv)’=u’v+uv’
. Bu esa
n
=1 bo‘lganda (9) formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi.
Shuning uchun (9) formulani ixtiyoriy
n
uchun o‘rinli deb olib, uning
n+1
uchun ham
to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. (9) ni differensiyalaymiz:
)
n
(
n
n
)
n
(
n
n
)
k
(
)
k
n
(
k
n
)
k
(
)
k
n
(
k
n
)
n
(
n
)
n
(
n
)
n
(
n
)
n
(
n
)
n
(
)
n
(
n
v
'
u
C
v
'
'
u
C
...
v
u
C
v
u
C
...
'
'
'
v
u
C
'
'
v
u
C
'
'
v
u
'
C
'
v
u
'
C
'
v
u
v
u
)
uv
(
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
+
)
n
(
)
n
(
uv
v
'
u
1
(10)
Ushbu
!
k
)
k
n
)...(
n
(
n
)!
k
(
)
k
n
)...(
n
(
n
C
C
,
C
n
)
n
(
)
n
(
n
n
C
'
C
'
C
n
'
C
k
n
k
n
n
n
n
,
n
n
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
=
k
n
C
!
k
))
k
(
n
...(
n
)
n
(
1
1
1
1
tengliklardan foydalanib, (10) ni quyidagicha yozamiz:
)
n
(
)
k
(
k
n
k
n
)
n
(
n
)
n
(
n
)
n
(
n
uv
...
v
u
C
...
'
'
v
u
C
'
v
u
C
v
u
)
uv
(
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
159
Demak, (9) formula
n+1
uchun ham o‘rinli ekan. Isbot etilgan (9) formula
Leybnits formulasi
deb ataladi.
3. Leybnits formulasi tatbiqlari.
Misol
.
y=x
3
e
x
ning 20-tartibli hosilasi topilsin.
Yechish.
u=e
x
va
v=x
3
deb olsak, Leybnits formulasiga ko‘ra
)
(
x
)
(
x
)
(
x
)
(
x
)
(
)
e
(
'
'
)'
x
(
C
)
e
(
'
)'
x
(
C
)
e
(
)'
x
(
C
)
e
(
x
y
17
3
3
20
18
3
2
20
19
3
1
20
20
3
20
x
)
(
x
)
(
e
)
x
(
...
)
e
(
)
x
(
C
20
3
16
4
3
4
20
bo‘ladi.
(x
3
)’=3x
2
, (x
3
)’’=6x, (x
3
)’’’=6,
(x
3
)
(4)
=0
tengliklarni va
y=x
3
funksiyaning hamma keyingi hosilalarining 0 ga
tengligini, shuningdek
n
uchun
(e
x
)
(n)
=e
x
ekanligini e’tiborga olsak,
)
C
x
C
x
C
x
(
e
y
x
)
(
3
20
2
20
2
1
20
3
20
6
6
3
tenglik hosil bo‘ladi.
Endi koeffitsientlarni hisoblaymiz:
1140
6
18
19
20
3
18
19
20
190
2
19
20
20
3
20
2
20
1
20
!
C
,
C
,
C
Demak,
).
x
x
x
(
e
y
x
)
(
6840
1140
60
2
3
20
Xulosa qilib aytganda, yuqori tartibli hosilalar funksiyalarning murakkab xatti-
harakatlarini chuqurroq o‘rganish imkonini bunda esa ko’rib turganimizdek Leybnits
formulasi va uning tatbiqlari yordam beradi. Ular matematik tahlilda, ayniqsa
differensial tenglamalarni yechishda, muhim rol o‘ynaydi. Shuningdek, fizikadagi
harakat qonunlarini, iqtisodiy modellardagi o‘zgarishlarni va texnik jarayonlardagi
dinamikani aniqlashda keng qo‘llaniladi. Yuqori tartibli hosilalar yordamida
funksiyalarning egri chiziqliligi, burilish nuqtalari va tebranish xossalari aniqlanadi.
Bu esa nazariy bilimlarni amaliyotda qo‘llash imkoniyatini kengaytiradi. Mavzu
matematik tahlil fanining asosiy qismlaridan biri bo‘lib, talabalarga chuqur matematik
fikrlashni shakllantirishda katta yordam beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 2005,
2.
Fixtengols G. M. „Kurs differensialnogo i integralnogo ischeleniya“ M.: 1970.
3.
Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar
to`plami. T., «O‘zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
4.
Demidovich B. P. “Sbornik zadach i uprajneni po matematicheskomu analizu” T.:
1972.
5.
Ilin V. A., Poznyak E. G. “Maematik analiz asoslari” I qism, T.: 1981.
