Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
145
IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR VA ULARNING ANALITIK TALQINI.
G’aniyeva Malika Murodjon qizi -
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Alijonova Mohizar Quvvatali qizi-
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Alijonova Zulhumor Nodirbek qizi-
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Elektron pochta: ganiyevamalika40@gmail.com
Annotatsiya:
Mazkur maqolada ikkinchi tartibli sirtlarning turlari va ularning
analitik ifodalari yoritilgan. Asosiy e’tibor konus,silindr,ellipsoid, giperboloid,
paraboloid kabi sirtlarga qaratilgan. Har bir sirtning tenglamasi, geometrik shakli va
grafik ko‘rinishi tahlil qilingan. Maqolada sirtlarning klassifikatsiyasi va ularni
farqlash usullari ko‘rsatib o‘tilgan. Amaliy masalalarda bunday sirtlarning muhimligi,
xususan, fizika va muhandislikda qo‘llanilishi bayon etilgan. Har bir sirt uchun
misollar keltirilib, ularning grafik tasvirlari orqali tushunishni osonlashtirishga harakat
qilingan. Maqola geometriya va analitik geometriya fanlarini o‘rganayotgan talabalar
uchun foydalidir. U nafaqat nazariy, balki amaliy bilimlarni ham o‘z ichiga oladi.
Abstract:
This article discusses the types of second-order surfaces and their
analytical expressions. The main attention is paid to surfaces such as conus,ellipsoids,
hyperboloids, and paraboloids. The equation, geometric shape, and graphical
representation of each surface are analyzed. The article presents the classification of
surfaces and methods for distinguishing them. The importance of such surfaces in
practical problems, in particular their use in physics and engineering, is described.
Examples are given for each surface, and an attempt is made to facilitate understanding
through their graphical representations. The article is useful for students studying
geometry and analytical geometry. It contains not only theoretical but also practical
knowledge.
Аннотация
: В статье рассматриваются типы поверхностей второго порядка
и их аналитические выражения. Основное внимание уделяется таким
поверхностям, как сфера, конус, цилиндр, эллипсоид, гиперболоид и
параболоид. Были проанализированы уравнение, геометрическая форма и
графическое представление каждой поверхности. В статье представлена
классификация поверхностей и методы их различения. Объясняется важность
таких поверхностей в практических вопросах, в частности их применение в
физике и технике. Для каждой поверхности приведены примеры, и сделана
попытка облегчить понимание с помощью их графических изображений. Статья
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
146
полезна студентам, изучающим геометрию и аналитическую геометрию. Он
включает в себя не только теоретические, но и практические знания.
Kalit so’zlar:
Sirt, dekart koordinatalar sistemasi, sirt tenglamasi, ikkinchi tartibli
sirt, sfera,konus sirt, paraboloid silindr, bir pallali giperboloid, markaz, elliptik sirt,
ellipsoid, paraboloid, ikki pallali giperboloid.
Keywords:
Surface, Cartesian coordinate system, surface equation, second-order
surface, sphere, conical surface, paraboloid cylinder, single-shell hyperboloid, center,
elliptical surface, ellipsoid, paraboloid, double-shell hyperboloid.
Ключевые слова:
Поверхность, декартова система координат, уравнение
поверхности, поверхность второго порядка, сфера, коническая поверхность,
параболоидный цилиндр, однослойный гиперболоид, центр, эллиптическая
поверхность, эллипсоид, параболоид, двухслойный гиперболоид.
Sirt va uning tenglamasi
Berilgan to’g’ri burchakli dekart koordinatlari sistemasida koordinatalari
F (x;y;z)=0 (1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni
sirt
deb ataladi. (1)
ztenglama umuman
sirt tenglamasi
deb ataladi. Bu tenglama
x, y, z
o’zgaruvchilarning
briga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama
z
ga nisbata yechilishi
mumkin bo’lsin, bu holda
z=f (x,y)
(2)
deb yozish mumkin, bunda
f (x,y)
– x,y
o’zgaruvchilarning funksiyasidir.
Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko’ra sirt tenglamasi deb uch o’zgaruvchili
shunday
f(x,y,z)=0 yoki z=f(x,y)
tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda yotgan
har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi. Shunday qilib fazodagi nuqtalarning
geometrik o’rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar koordinatalarini o’zaro
bog’lovchi (1) tenglama bilan tasvirlanadi.
Aksincha,
x; y; z;
o’zgaruvchilarni bog’lovchi har qanday (1) tenglama
koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik
o’rnini, ya’ni sirtni aniqlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib kelinadi;
1.
Fazodagi biror sirt o’zining umummiy xossasi bilan nuqtalarining
geometrik o’rni, deb berilgan. Uning tenglamasini tuzish kerak.
2.
Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama
yordamida uning xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
147
To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o’zgaruvchi
x; y; z
koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali
Ax
2
+By
2
+Cz
2
+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0
(3)
algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar
ikkinchi tartibli sirtlar
deb ataladi.
Bu tenglamada A, B, C, D, E, F koeffisentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi
kerak.
Sfera
Ma’lumki fazoda markaz deb ataluvchi
0 (x
1
, y
1
, z
1
)
nuqtadan bir xil uzoqlikda
joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni
sfera
deb ataladi. Markazdan sferagacha
bo’lgan masofa uning radiusi deyiladi. Ta’rifga ko’ra
0(x
1
,y
1
,z
1
)
nuqtadan sfera ustidagi
ixtiyoriy
M (x, y, z
) nuqtagacha bo’lgan masofa R radiusi bo’lib, u qo’yidagicha
hisoblanadi:.
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
z
z
у
у
x
x
R
yoki
(x-x
1
)
2
+(y-y
1
)
2
+(z-z
1
)
2
=R
2
(5).
Endi (5)
tenglamada qavslarni ochamiz
x
2
+y
2
+z
2
-2x
1
x-2y
1
y-2 z
1
z+x
1
2
+y
1
2
+z
1
2
-R
2
=0.
Bu
x, y, z
koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamadan iborat.
Misol.
x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+6z-2=0
tenglama sfera tenglamasi ekanligini isbotlang.
Uning markazi va radiusini toping.
Yechish.
Berilgan tenglamaning chap tomonini qo’yidagicha shakl
almashtiramiz:
(x
2
-2x+1)+(y
2
+4y+4)+(z
2
+6z+9)-14-2=0
yoki
(x-
1)
2
+(y+2)
2
+(z+3)
2
=16.
Bu esa markazi 0 (1; -2; -3) nuqtada, radiusi esa R=4 ga teng
bo’lgan sfera tenglamasi kelib chiqadi.
Eslatma. Bizga ma’lumki, fazoda to’g’ri chiziq ikki tekislikning kesishishdan
hosil bo’ladi. Xuddi shuningdek fazoda egri chiziq ikki sirtning kesishish natijasida
hosil bo’ladi va u ikki
F(x;y;z)=0, f(x,yz)=0
tenglamaning berilishi bilan aniqlanadi.
Konus sirt
Berilgan L chiziqini kesuvchi va berilgan P nuqtadan o’tuvchi barcha to’g’ri
chiziqlardan tashkil topgan sirt
konus sirt
deb ataladi. Bunda L chiziq konus sirtning
yunaltiruvchisi
, konus sirtini tashkil etuvchi to’g’ri chiziqlarning har biri unng
yasovchisi
, P esa konus sirtning
uchi
deyiladi (5-chizma).
Misol uchun uchi koordinata boshida, yo’naltiruvchi esa
z
=c tekislikda yotuvchi
va yarim o’qlari
a
va
b
lar bo’lib
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
148
1
2
2
2
2
b
у
a
x
c
z
(6).
ellipsdan iborat bo’lgan konus sirtini qaraymiz. Bu sirt
ikkinchi tartibli konus
deyiladi.
Ellipsoid
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
(7)
tenglama bilan aniqlangan sirt
ellipsoid
deb ataladi.
a, b, c
sonlar
ellipsoidning
yarim o’qlari
deb ataladi. Bu tenglamada
x;y;z
o’zgaruvchi koordinatalar juft darajada
qatnashganligi uchun ellipsoid koordinata tekisliklariga simmetrik joylashgan bo’ladi.
Ellipsoidning formasini tasavvur qilish uchun uni koordinata tekisliklar bilan kesamiz.
Masalan, (14) ellipsoidni
oxy
tekislikka paralel bo’lgan
z=h
tekislik bilan kessak
kesimda ellipis hosil bo’ladi. Haqiqatan
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
x
h
z
tenglamalardan
z
ailikatani chiqarsak
1
2
2
2
2
2
2
c
h
в
у
a
x
chiziq hosil bo’ladi. Bundan
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
c
h
в
у
)
c
h
a
x
1-chizma.
hosil bo’ladi. Bu esa yarim o’qlari qavs ichida turgan sonlardan iborat bo’lgan
ellipsdan iboratdir. Ellipisoid boshqa koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan
kesish natijasida kesimda ellipslar hosil bo’lishini ko’rish qiyin emas. Ellipisoid 1-
chizmada tasavirlangan ko’rinishga ega.
Ko’rinib turibdiki, ellipsoidni koordinata tekisliklari bilan kessak ham kesimda
ellipslar hosil bo’ladi. Xusussiy holda
a=b
bo’lsa tenglama ellipisoidni,
a=b=c
bo’lsa
sferani ifoda etadi.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
149
Giperboloidlar
A.
Bir pallali giperboloid
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
(8)
tenglama bilan aniqlanadigan sirt
bir pallali
giperboloid
deb ataladi.
Bir pallali giperboloidni
y
=0 tekislik bilan kessak,
0xz
tekislikda yotadigan ABCD giperbola hosil bo’ladi. Uning
tenglamasi
0
1
2
2
2
2
у
c
z
a
х
(9)
Xuddi shuningdek bir pallali giperbolaidni
x=0
tekislik bilan kessak kesimda
EFGH giperbola hosil bo’lib unming tenglamasi.
0
1
2
2
2
2
х
c
z
a
у
(10)
dan iborat bo’ladi (2-chizma).
Bir pallali giperbolaidni
z=h
tekislik bilan kesilsa teng-lamasi qo’yidagi
ko’inishda bo’lgan BFCG ellips hosil bo’ladi:
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
c
h
в
у
)
c
h
a
x
(11)
Agar h=0 bo’lsa eng kichik yarim o’qlara ega bo’lgan oxy tekislikda yotuvchi
ellips hosil bo’ladi.
B. Ikki pallali giperboloid.
2-chizma.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
150
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
tenglma bilan aniqlanadigan sirt
ikki pallali giperboloid
deyiladi. Kooridanata tekisliklari ikki pallali giperboloid
uchun simmetriya teiksliklaridan iborat. Bu sirtni
oxz
va
oyz
tekisliklari bilan kesilsa mos ravishda quyidagi
giperbollar hosil bo’ladi.
0
1
2
2
2
2
у
c
z
a
х
va
0
1
2
2
2
2
х
c
z
a
у
(12)
4-chizma.
Bu giper bolalar 4-chizmada tasvirlangan.
Agar ikki pallali giperbolaidni
z=
h tekislik bilan
kessak, kesimda
h
Z
c
h
в
у
c
h
a
x
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
tenglama bilan ifodalanuvchi ellipis hosil bo’ladi.
. Paraboloidlar
A. Elliptik paraboloid.
Ushbu
q
у
p
x
z
2
2
2
(13)
tenglama bilan aniqlanadigan sirt
elliptik paraboloid
deb ataladi. Bu tenglamada
p
va q lar bir xil ishorali deb hisoblanadi. Aniqlik uchun p>0, q>0 deb olinadi.
Elliptik parabolaidni
oxz
va
oyz
koordinata tekisliklari bilan kesish natijasida
kesimda mos ravishda
0
2
2
у
p
x
z
va
0
2
2
x
q
у
z
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
151
parabolalar hosil bo’ladi. Agar elliptik paraboloidni
z=h (h>0)
tekislik bilan kesilsa kesimda
h
z
qh
у
рh
x
1
2
2
2
2
(14)
ellips hosil bo’ladi. Uning yarim o’qlari
рh
a
2
qh
b
2
bo’ladi (5-chizma).
Agar p=q bo’lsa,
2pz=x
2
+y
2
(15)
aylanma parabolaidga ega bo’lamiz.
B. Giperbolik paraboloid
Ushbu
q
у
p
x
z
2
2
2
(16)
tenglama bilan aniqlangan sirt
giperbolik parabolaid
deb ataladi. Aniqlik
uchun
p>0, q>0
deb hisoblandi. Bu sirtni
oxz
tekislik bilan kesilsa, natijada
2pz=x
2
, y=0
(17)
parabola hosil bo’ladi (6-chizma ).
Agar gipeorbolaidni
x=h
tekislik bilan kesilsa
h
x
q
у
р
x
z
2
2
2
yoki
h
x
у
р
h
z
q
2
2
)
2
(
2
(18)
parabola hosil bo’ladi.
h ning har xil qiymmatlarda
oyz
tekislikka paralel bo’lgan tekisliklarda
yotuvchi parabolalar oilasiga ega bo’lamiz.
Gipebolik parabolaidni
z=h
tekislik bilan kessak, kesimda
5-chizma
6-chizma.
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
43-son_1-to’plam_Aprel -2025
ISSN: 3030-3621
152
h
z
h
q
у
р
x
2
2
2
(19)
chiziq hosil bo’ladi. Bu chiziq haqiqiy o’qi
z=h
tekislikda, h>0 bo’lganda,
ox
o’qqa parallel giperbolani, h<0 bo’lganda, esa haqiqiy o’qi
oy
uqqa parallel
giperbolani tasvirlaydi. h=0 bo’lganda (19) tenglama
0
2
2
q
у
р
x
ko’rinishni
oladi. Bu tenglama esa
0
q
у
р
х
va
0
q
у
р
х
tenglamalarga ajraladi. Bular
koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamalaridir.
Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli sirtlar analitik geometriyaning muhim
mavzularidan biri bo‘lib, fazodagi murakkab shakllarni o‘rganishda asosiy rol
o‘ynaydi. Ellipsoid, giperboloid, paraboloid kabi sirtlar ko‘plab amaliy sohalarda,
jumladan fizika, muhandislik va arxitekturada keng qo‘llaniladi. Ularning
tenglamalari orqali sirtlarning geometrik xossalari va grafigi aniqlanadi. Har bir
sirtning o‘ziga xos xususiyatlari ularni bir-biridan farqlashga imkon beradi. Bu
sirtlarni o‘rganish fazoviy fikrlashni rivojlantiradi va amaliy masalalarni yechishda
foydalidir. Mavzu bo‘yicha berilgan misollar va grafiklar nazariy bilimlarni
mustahkamlashga xizmat qiladi. Ikkinchi tartibli sirtlarni chuqur o‘rganish talabalar
uchun geometriya fanida mustahkam asos yaratadi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
"Analitik geometriya" Muallif: A.Y. Narmanov
2.
"Analitik geometriya va vektorlar algebrasi" Mualliflar: S. Otakulov, A.O.
Musayev Nashriyot: Fan va texnologiyalar nashriyoti
3.
"Matematika. I-qism: Chiziqli algebra va analitik geometriya"
4.
Muallif: B.A. Xudayarov Nashriyot: Fan va texnologiya Toshkent, 2018 yil
5.
"Chiziqli algebra va analitik geometriya. I-kitob. Analitik geometriya" Muallif: J.O.
Aslonov Nashriyot: Innovatsiya-Ziyo Toshkent, 2020 yil
6.
"Chizma geometriya" Muallif: T.D. Azimov Nashriyot: IQTISOD-MOLIYA
Toshkent, 2008 yil
