10
BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALAR
Saliyeva Sevara Maʼmirbek qizi
Andijon Davlat Pedagogika Instituti
"Informatika va aniq fanlar"kafedrasi oʻqituvchisi
Xaminjonova Nargiza Burxonjon qizi
Andijon Davlat Pedagogika Instituti talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.14292493
Annotatsiya:
Ushbu maqolada bichiziqli va kvadratik formalarning oʻziga xos jihatlari,
xususiyatlari, hozirgi kundagi holati va uni tahlil qilish masalalari yoritib berilgan.
Kalit soʻzlar:
bichiziqli formalar, kvadratik formalar, teoremalar, qutbiy forma, matritsa,
simmetrik bizchiqli forma.
Key words:
linear forms, quadratic forms, theorems, polar form, matrix, symmetric
linear form.
Matematikada bichiziqli va kvadratik formulalar bir-biriga yaqin tushunchalar
hisoblanadi.
1. Bichiziqli formalar (Bichiziqli tenglamalar)
Bichiziqli tenglama — bu ikkinchi darajali tenglama bo'lib, o'zgaruvchining kvadrati
(ya'ni) mavjud. U umumiy ko'rinishda quyidagicha ifodalanadi:ax^2 + bx + c = 0, , va —
koeffitsiyentlar (real sonlar), — o'zgaruvchi,, chunki agar bo'lsa, bu tenglama chiziqli
tenglama (ya'ni birinchi darajali tenglama) bo'ladi.Kvadratik tenglama — bu bichiziqli
tenglamaning aniq nomidir. Kvadratik tenglamalar ko'pincha kvadratik formulalar yordamida
yechiladi.
Bichiziqli tenglama misoli:
Misol uchun:
2x^2 - 4x + 1 = 0
2. Kvadratik formula
Uch o‘lchovli fazoda ikkinchi tartibli sirtlar ushbu ko‘rinishdagi tenglamalar bilan
beriladi:p(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f
Bu tenglamada birinchi yig'indi ishorasi bilan yozilgan ifoda kvadratik formadir. Ikkinchi
yig'indi ishorasi bilan chiziqli forma yozilgan, nihoyat - ozod had. Bu tushunchalardan
foydalanib o‘lchovli fazoda sirt tenglamasiga ta'rif berishimiz mumkin. fazoda
koordinatalaritenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli gipersirt
deyiladi.Kvadratik formula — bu bichiziqli tenglamalarni yechish uchun ishlatiladigan
matematik formuladir. Kvadratik tenglamaning yechimlarini topish uchun kvadratik formula
quyidagicha:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, , va — tenglama koeffitsiyentlari, belgisi ikki xil
yechim mavjudligini bildiradi, — diskriminant bo'lib, yechimlarning haqiqiy yoki kompleks
ekanligini aniqlashga yordam beradi.Diskriminantning tahlili:Agar , tenglamada ikki haqiqiy
va turli yechimlar mavjud.Agar , tenglamada bitta haqiqiy yechim mavjud (boshqa so'z bilan
aytganda, ikkita bir xil yechim).Agar , tenglamada haqiqiy yechimlar mavjud emas (faqat
kompleks yechimlar mavjud bo'ladi).3. Kvadratik tenglamaning misoli
x^2 - 3x + 2 = 0.
1. Diskriminantni hisoblash:
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1
11
2. Kvadratik formulani qo'llash:
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2}
x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1
4. Bichiziqli ifodalarAgar "bichiziqli formalar" deganda bichiziqli ifodalarni nazarda
tutgan bo'lsangiz, bu ifodalar quyidagi shaklda bo'ladi:
f(x) = ax^2 + bx + c
Bichiziqli va kvadratik formalar orasidagi moslik.
Asosiy o'xshashliklar:
Shakl: Ikkala ifoda ham ikkinchi darajali polinom shaklida bo'ladi. Bichiziqli ifoda va
kvadratik tenglama umumiy ko'rinishda:
ax^2 + bx + c
Ko'rsatilgan elementlar: Ikkala shaklda ham uchta asosiy element mavjud:
(x^2 ning koeffitsiyenti), (x ning koeffitsiyenti), (doimiy).
Farqlar:
Bichiziqli ifoda (polinom) funksiya sifatida ishlatiladi, ya'ni bu ifoda biror qiymatni olish
uchun ning har qanday qiymati uchun natijani hisoblash imkonini beradi. Buning natijasida
grafik chizish mumkin bo'ladi.
Masalan: funksiyasi ga bog'liq qiymatlarni beradi.
Kvadratik tenglama esa tenglama bo'lib, bu tenglama uchun ning qiymatlari (yechimlar)
topilishi kerak. Kvadratik tenglama yo'naltirilgan tenglama bo'lib, yechimlarni topish uchun
kvadratik formula yoki boshqa usullar ishlatiladi.Masalan: tenglamasining yechimlari va
bo'ladi.
Bichiziqli ifoda va kvadratik tenglama o'rtasidagi bog'liqlik:Kvadratik tenglama
bichiziqli ifodaning maxsus holidir. Bichiziqli ifodani tenglama sifatida ko'rib, uni 0 ga
tenglashtirish orqali kvadratik tenglama hosil bo'ladi.Agar bichiziqli ifodani tenglamaga
aylantirsangiz, masalan:
f(x) = ax^2 + bx + c = 0
Bichiziqli ifoda (polinom) va kvadratik tenglama o'rtasida asosiy moslik bor, chunki
ikkisi ham shaklida bo'ladi.Farqi shundaki, bichiziqli ifoda funktsiya sifatida ishlatiladi va
qiymatlar hosil qiladi, kvadratik tenglama esa tenglama sifatida ishlatiladi va uning
yechimlarini topish kerak bo'ladi.
References:
1.
"Oliy matematika" – Sh. X. Sodiqov, T. X. Toshboev, 2010 yil, O‘zbekiston Milliy
Universiteti nashriyoti.
2.
"Chiziqli algebra va analitik geometriya" – A. S. Alimov, 2009 yil, Fan va texnologiya
nashriyoti.
3.
"Oliy matematika asoslari" – X. X. Rasulov, 2013 yil, Toshkent Davlat Universiteti
nashriyoti.
4.
"Matematik analiz va chiziqli algebra" – U. M. Safarov, 2008 yil, O‘zbekiston nashriyoti.
5.
w.w.w.arxiv.uz
