Продольные колебания вязкоупругих стержней

Журнал:
Выпуск:
Отрасль знаний
CC BY f
52-56
43
6
Поделиться
Мирзоева, К. (2019). Продольные колебания вязкоупругих стержней. in Library, 19(1), 52–56. извлечено от https://inlibrary.uz/index.php/archive/article/view/8573
Кабира Мирзоева, Азербайджанский Государственный Педагогический университет

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры компьютерных  наук

0
Цитаты
Crossref
Сrossref
Scopus
Scopus

Аннотация

Среди динамических задач вязкоупругости следует выделить задачу о колебании вязкоупругих стержней, решения которых сводятся к интегро-дифференциальному уравнению Волтерра II рода. Решение этого уравнения требует задания аналитического вида ядра, либо решается различными численными методами. В данной работе предлагается приближенное решение этого интегро-дифференциального уравнения для произвольных ядер при малой вязкости.

Похожие статьи


background image

52

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #11 (51), 2019

УДК 539.374

Мирзоева Кабира Адиловна

кандидат физико-математических наук,

старший преподаватель кафедры Компьютерные

Науки Азербайджанского Государственного

Педагогического Университета

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

Mirzoeva Kabira Adil

candidate of physical and mathematical sciences,

Senior Lecturer, Computer Department

Science of Azerbaijan State

Pedagogical University

LONGITUDINAL VIBRATION OF VISCOELASTIC RODS

Аннотация.

Среди динамических задач вязкоупругости следует выделить задачу о колебании

вязкоупругих стержней, решения которых сводятся к интегро-дифференциальному уравнению Волтерра
II рода. Решение этого уравнения требует задания аналитического вида ядра, либо решается различными
численными методами. В данной работе предлагается приближенное решение этого интегро-
дифференциального уравнения для произвольных ядер при малой вязкости.

Summary

Among the dynamic problems of viscoelasticity, one should single out the problem of the

oscillation of viscoelastic rods, the solutions of which are reduced to the Volterra integro-differential equation of
the second kind. The solution of this equation requires specifying the analytical form of the kernel, or is solved by
various numerical methods. In this paper, we propose an approximate solution to this integro-differential equation
for arbitrary nuclei with low viscosity.

Ключевые слова: вязкоупругость, продольное колебание, плотность, изображение, оригинал,

мгновенный модуль упругости, метод усреднения.

Key words: visco-elasticity, longitudinal vibration, density, image, original, instantaneous elastic modulus,

averaging method.


Введение.

Известно, что при решении

нестационарных

динамических

задач

для

различных конструкций аналитический вид ядер
релаксации не задается. Поэтому решения строятся
с помощью некоторых приближенных методов,
которые приводят окончательное решение к
интегро-дифференциальных уравнений колебаний
вязкоупругих систем, реализуемые методом
усреднения, методом замораживания, методом
продолжений

и

методом

интегральных

преобразований Лапласа, Фурье, Меллина и их
комбинаций.

Однако,

методы

интегральных

преобразований неразрывно связаны со сложными
задачами обратного преобразования, которые в
случае более реальных соотношений между
напряжением и деформацией неизбежно приводят
к необходимости большего числа разрезов по
ветвям в процессе контурного интегрирования.

В данной работе предлагается приближенное

решение

уравнения

продольных

колебаний

вязкоупругих стержней для произвольных ядер при
малой

вязкости.

Изображение

решения

представлено в виде ряда, оригиналом первого
члена которого является решение этого уравнения,
полученного методом усреднения, а

учет

последующих членов улучшает точность решения
поставленной задачи.

Постановка и решение задачи.

Знаем, что

уравнение о продольных колебаниях упругих
стержней имеет вид:

𝜌

𝜕

2

𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡

2

= 𝐸

𝜕

2

𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

2

,

(1)


Где

𝐸 = 2𝜇(1 + 𝜈) = 2𝐺(1 + 𝜈),

𝜈

- число Пуассона, которые меняются в

небольших пределах и поэтому в дальнейшем
считается постоянным,

𝜌

- плотность материала,

𝐸

- мгновенный модуль Юнга.

𝑢(𝑥, 𝑡)

- перемещение,

𝜇

- постоянная Ламе.

Заменяя в (1)

𝜇

на

𝜇 − 𝜇

находим

𝜌

𝜕

2

𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

= 2𝜇(1 + 𝜈)

𝜕

2

𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

− 2(1 + 𝜈)𝜇

𝜕

2

𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

Здесь

2(1 + 𝜈)𝜇

= (1 + 𝜈) ∫ 𝛤̃(𝑡 − 𝜏)

𝑡

0

𝜕

2

𝑢(𝑥, 𝜏)

𝜕𝑥

2

𝑑𝜏


Учитывая это в последнем уравнении,

определяем

Если принять обозначение

𝛤̃(𝑡) = 2𝐺𝑅(𝑡)


background image

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #11 (51), 2019

53

И предположить, что материал стержня

обладает малой вязкостью, то интеграл

∫ 𝑅(𝑠)𝑑𝑠

𝑡

0

является положительным и малой сравнительно
единице, поэтому

∫ 𝑅(𝑠)𝑑𝑠

𝑡

0

= 𝜀 ∫ 𝑅(𝑠)𝑑𝑠 ≤ 𝜀

𝑡

0

Тогда получаем:

𝜌

𝜕

2

𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡

2

= 𝐸 [

𝜕

2

𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

2

− 𝜀 ∫ 𝑅(𝑡 − 𝜏)

𝜕

2

𝑢(𝑥,𝜏)

𝜕𝑥

2

𝑑𝜏

𝑡

0

]

(2)

Начальное условие примем в следующем виде:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜙

0

(𝑥)

при

𝑡 = 0

𝜕𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡

= 𝜙

1

(𝑥)

при

𝑡 = 0

(3)

А граничные условия примем в виде:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 0

при

𝑥 = 0

𝑢(𝑥, 𝑡) = 0

при

𝑥 = 𝑙

(4)


Где

𝑙

- длина стержня.

Частное решение уравнения (2), тождественно

не равное нулю ищем в виде:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)


Учитывая это в (2) для нахождения функций

𝑋(𝑥)

и

𝑇(𝑡)

, получаем два независимых уравнения

𝑋

(𝑥) + (

𝜆
𝑐

)

2

𝑋(𝑥) = 0

𝑇

(𝑡) + 𝜆

2

𝑇(𝑡) = 𝜀𝜆

2

∫ 𝑅(𝑡 − 𝜏)𝑇(𝜏)

𝑡

0

(5)


Решая первое уравнение при граничных

условиях (4), находим

𝑋

𝑘

(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠

𝜆

𝑘

𝑥

𝑐


Где

𝜆

𝑘

= ±

𝑘𝜋𝑐

𝑙

; 𝑘 = 0,1,2, …

𝑐 = √

𝐸

𝜌

- скорость распространения волн.

Таким образом, общее решение уравнения

колебания вязкоупругого стержня имеет вид:

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑

𝑋

𝑘

(𝑥)𝑇

𝑘

(𝑡)

𝑘=0

(6)


где

𝑋

𝑘

(𝑥)

- координатные функции, найденные

при решении соответствующей упругой задачи и не
зависят от параметров, характеризующих вязкое
свойства материала стержня, а функция

𝑇

𝑘

(𝑡)

является решением интегро-дифференциального
уравнения (5).

Таким образом, задача определения смещения

в стержне сводится к определению функций

𝑇

𝑘

(𝑡)

из уравнения (5).

Применяя

интегральное

преобразование

Лапласа к уравнению (5) по времени

𝑡

и учитывая

(3), получаем:

𝑇̄

𝑘

(𝑝) =

𝑝𝜙

0

+𝜙

1

𝑝

2

+𝜆

𝑘

2

−𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄

(7)


Здесь при малых значениях времени параметр

𝑝

- является достаточно большим. Если мы

рассматриваем

материалы

с

мгновенной

упругостью, то изображение

𝑅̄(𝑝)

с увеличением

𝑝

стремится

к

нулю,

поэтому

выполняется

неравенство

|

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

| < 1

Тогда уравнение (7) представим в виде:

𝑇̄

𝑘

(𝑝) =

𝑝𝜙

0

+ 𝜙

1

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

1

1 −

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2


Или

𝑇̄

𝑘

(𝑝) =

𝑝𝜙

0

+𝜙

1

𝑝

2

+𝜆

𝑘

2

(

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄(𝑝)

𝑝

2

+𝜆

𝑘

2

)

𝑛

𝑛=0

(8)

Здесь

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

=

𝜀𝜆

𝑘

∫ 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

(𝑡 − 𝜏)

𝑡

0

𝑅(𝜏)𝑑𝜏 =

= 𝜀𝜆

𝑘

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

− 𝜀𝜆

𝑘

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

=

= 𝜀𝜆

𝑘

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

0

− 𝜀𝜆

𝑘

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

0

−𝜀𝜆

𝑘

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡

+ 𝜀𝜆

𝑘

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡


background image

54

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #11 (51), 2019

Если принять следующее обозначение

𝑅

𝑠

= ∫ 𝑅(𝜏)

0

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏, 𝑅

𝑐

= ∫ 𝑅(𝜏)

0

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝐴(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡

− 𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝑡 ∫ 𝑅(𝜏) 𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝜏𝑑𝜏

𝑡

То находим

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

=

𝜀𝜆

𝑘

𝑅

𝑐

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

𝑡 − 𝜀𝜆

𝑘

𝑅

𝑠

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

𝑡 − 𝜀𝜆

𝑘

𝐴(𝑡)


Последняя формула в изображениях Лапласа будет в виде:

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅̄(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

=

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑅

𝑐

− 𝜀𝜆

𝑘

𝑝𝑅

𝑠

− 𝜀𝜆

𝑘

(𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2

)𝐴̄(𝑝)

𝑝

2

+ 𝜆

𝑘

2


Учитывая это в (8), получаем:

𝑇̄

𝑘

(𝑝) =

𝑝𝜙

0

+𝜙

1

𝑎̄(𝑝)−𝜀𝜆

𝑘

2

𝑏̄(𝑝)

(9)

где

𝑎̄(𝑝) = (𝑝 +

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

)

2

+ 𝜆

𝑘

2

(1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

2

𝑏̄(𝑝) = 𝑅̄(𝑝) + 𝑅

𝑠

𝑝

𝜆

𝑘

+ 𝑅

𝑐

+

𝜀
4

(𝑅

𝑠

2

+ 𝑅

𝑐

2

)

Здесь

|

𝜀𝜆

𝑘

2

𝑏̄(𝑝)

𝑎̄(𝑝)

| < 1

Поэтому формулу (9) можем написать в виде:

𝑇̄

𝑘

(𝑝) =

𝑝𝜙

0

+𝜙

1

𝑎̄(𝑝)

[1 + 𝜀𝜆

𝑘

2 𝑏̄(𝑝)

𝑎̄(𝑝)

+ 𝜀

2

𝜆

𝑘

4 𝑏̄

2

(𝑝)

𝑎̄

2

(𝑝)

+ ⋯ ]

(10)

Отсюда для первого члена после обратное преобразования Лапласа находим:

𝑇

1

(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 (−

1

2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝑡) [𝜙

0

𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

(1 −

1

2

𝜀𝛤

𝑐

) 𝑡 +

𝜙

1

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝜆

𝑘

(1−

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

(1 −

1

2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡]

(11)

Последняя формула является решением поставленной задачи, полученное методом усреднения.
Для нахождения следующего приближения представим его в виде:

𝑇

2

(𝑡) = 𝜀𝜆

𝑘

2

𝑇

𝑘

0

(𝑡) ∗ 𝐿

−1

[

𝑏̄(𝑝)

𝑎̄(𝑝)

]

(12)

Где

𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

0

𝐿

−1

- оператор обратного преобразования Лапласа. Значит, надо вычислить оригинал функций

𝑏̄(𝑝)

𝑎̄(𝑝)

. С

этой целью представим его в виде:

𝑏̄(𝑝)
𝑎̄(𝑝)

=

𝑅̄(𝑝)

𝑎̄(𝑝)

+

𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝑝 + 𝑑

𝑎̄(𝑝)

;

Где

𝑑 =

𝑅

𝑐

𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

+

𝜀𝜆

𝑘

4𝑅

𝑠

(𝑅

𝑠

2

+ 𝑅

𝑐

2

)

Тогда

𝐿

−1

[

𝑏̄(𝑝)
𝑎̄(𝑝)

] = 𝑅(𝑡) ∗ 𝑒𝑥𝑝 (−

𝜀
2

𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝑡) ⋅

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

(1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡

𝜆

𝑘

(1 −

1
2

) 𝜀𝑅

𝑐

+

+

𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝑒𝑥𝑝 (−

1

2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝑡) [𝑐𝑜𝑠 𝜆

𝑘

(1 −

1

2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡 +

𝑑−

𝜀
2

𝑅

𝑠

𝜆

𝑘

𝜆

𝑘

(1−

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

𝑠𝑖𝑛 𝜆

𝑘

(1 −

1

2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡]

(13)


background image

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #11 (51), 2019

55

Восстановление оригиналов следующих приближений ряда (11) не представляет трудности.
Из (11) и (12) выходит, что наличие вязкости материала в (2) приводит к затуханию сводных

колебаний стержня по экспоненциальному закону и наблюдается сдвиг фазы.

Для вычисления влияния члена (12) на решение, рассмотрим ядро Ржаницина

𝑅(𝑡) = 𝜀𝑡

𝛼−1

𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑡)

Где

0 < 𝛼 < 1, 𝛽

- постоянная,

𝜀

- некоторый малый параметр.

Для этого ядра из формулы (12) получаем

𝑇

2

(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 (−

1
2

𝜀𝜆𝑅

𝑠

𝑡) {[

𝜀𝐴

1

2

𝑐𝑜𝑠 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡 +

𝜀𝐴

4

2

𝑠𝑖𝑛 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡] ⋅

⋅ ∫ 𝑒

−𝛽𝜏

𝜏

𝛼−1

𝑠𝑖𝑛 2 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

𝑡

0

𝜏𝑑𝜏 + [

𝜀𝐴

1

2

𝑠𝑖𝑛 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡 −

𝜀𝐴

4

2

𝑐𝑜𝑠 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡] ×

× ∫ 𝑒

−𝛽𝜏

𝜏

𝛼−1

𝑡

0

𝑑𝜏 − [

𝜀𝐴

1

2

𝑠𝑖𝑛 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡 −

𝜀𝐴

4

2

𝑐𝑜𝑠 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡] ⋅

⋅ ∫ 𝑒

−𝛽𝜏

𝜏

𝛼−1

𝑐𝑜𝑠 2 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

𝑡

0

𝜏𝑑𝜏 +

𝑡

2

(𝐴

2

− 𝐴

6

) 𝑐𝑜𝑠 𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡 +

+ [

𝐴

2

+𝐴

6

2𝜆(1−

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

+

𝑡

2

(𝐴

3

+ 𝐴

5

)] 𝑠𝑖𝑛 𝜆 (1 −

1

2

𝜀𝑅

𝑐

) 𝑡}

где

𝑅

𝑠

= 𝜀𝛤(𝛼)(𝛽

2

+ 𝜆

2

)

𝛼

2

𝑠𝑖𝑛 [𝛼𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

𝜆

𝛽

)]

𝑅

𝑐

= 𝜀𝛤(𝛼)(𝛽

2

+ 𝜆

2

)

𝛼

2

𝑐𝑜𝑠 [𝛼𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

𝜆

𝛽

)]

𝛤(𝛼)

- гамма функция Эйлера.

𝐴

1

=

𝜀𝜆𝜙

0

1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

; 𝐴

2

= 𝜀𝜆𝜙

0

𝑅

𝑠

; 𝐴

3

=

𝜀𝑅

𝑠

𝜙

0

(𝑑 −

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆)

1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

;

𝐴

4

=

𝜀 (𝜙

1

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜙

0

)

(1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

2

; 𝐴

5

=

𝜀𝑅

𝑠

(𝜙

1

1
2

𝜀𝜆𝑅

𝑠

𝜙

0

)

1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

𝐴

6

=

𝜀𝑅

𝑠

(𝜙

1

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜙

0

𝜆) (𝑑 −

1
2

𝜀𝑅

𝑠

𝜆)

𝜆 (1 −

1
2

𝜀𝑅

𝑐

)

2


Для полипропилена на рисунке построены графики функций

𝑇

1

(𝑡)

и

𝑇

2

(𝑡)

при следующих значениях

параметров:

𝛼 = 0.1; 𝛽 = 0.05; 𝜀 = 0.09; 𝜙

0

= 0; 𝜙

1

= 1

Рис.1. Зависимость частоты колебаний оболочки при разных видах ядер ползучести.

0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4

3.8 4.2

0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2


background image

56

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #11 (51), 2019

Из рисунка видно, что учет последующих

членов ряда улучшает точность решения, так как
при низших значениях частоты погрешность мала,
а с увеличением частоты она увеличивается. При

𝜆 = 100

амплитуда

𝑇

2

(𝑡)

при некоторых значениях

времени составляет

20 − 25%

амплитуды

𝑇

1

(𝑡)

.

Для вычислений и получения значений целью

построения графиков создана программа расчета на
алгоритмическом языке DELPHI 7.

Литература

1.

Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое

кручение вязкоупругих цилиндрических стержней

// Механика полимеров: Сб. науч. Тр. / АН СССР.
1975. №3, С. 482-492

2.

Ларионов Г.С. Исследование колебаний

релаксирующих систем методом усреднения //
Механика полимеров, 1969, № 5, С. 806-813

3.

Работнов Ю.Н. Элементы наследственной

механики твердых тел / М., Наука, 1977

4.

Brilla, J. Laplace transform and new

mathematical theory of vascoelasticity / J. Brilla //
Meccanica. 1997. Vol. 32, № 3. - P. 187-195.

5.

Joseph, D. D. Fluid Dynamics of Viscoelastic

Liquids / D.D.Joseph // Springer-Verlag, 1990.

УДК 539.3:534.26

Библиографические ссылки

Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней // Механика полимеров: Сб. науч. Тр. / АН СССР. 1975. №3, С. 482-492

Ларионов Г.С. Исследование колебаний релаксирующих систем методом усреднения // Механика полимеров, 1969, № 5, С. 806-813

Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / М., Наука, 1977

Brilla, J. Laplace transform and new mathematical theory of vascoelasticity / J. Brilla // Meccanica. 1997. Vol. 32, № 3. - P. 187-195.

Joseph, D. D. Fluid Dynamics of Viscoelastic Liquids / D.D.Joseph // Springer-Verlag, 1990. УДК 539.3:534.26

Hepagreen - восстановление нормальной работы печени Androgard — препарат для настоящих мужчин Androgard — препарат для настоящих мужчин Byutivit - Натуральный продукт для женщин любого возраста Byutivit - Натуральный продукт для женщин любого возраста Byutivit - Натуральный продукт для женщин любого возраста Maksimus - Натуральный продукт, для бодрости и энергии Lactovita - Номер один в естественном улучшении иммунитета Lactovita - Номер один в естественном улучшении иммунитета Avicenna’s Lab inLibrary — это научная электронная библиотека UACD - Антикоррупционный дайджест Узбекистана inConference - научно-практические конференции inScience - Журнал Общество и инновации Gulyamov - Гулямов Саид Саидахрарович MUVI24 - Смотрите фильмы онлайн, большая коллекция, новинки кинопроката Megatorg - Доска объявлений Megatorg.net: сайт бесплатных частных объявлений Skinormil - Космецевтика активного действия Pils - Интернет-аптека >METAMED - Фармацевтическая компания с полным спектром услуг All.Tube - Смотрите онлайн видео бесплатно в хорошем качестве Dexaflu - от симптомов гриппа и простуды UMAR PROEKT - Комплексное проектирование UZDA - Ассоциации стоматологов Узбекистана