JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
180
180
MAKTAB МАТЕМАТИКА КURSIDA KОMBINATORIKA
MASALALARINI YECHISHNI O’RGATISH METODIKASI
Saodat Pardaboyeva Ilxom qizi
JDPU,
Annotatsiya.
Kombinatorika masalalari hayotiy amaliotda ko’p uchraydigan
masalalar bo’lganligi sababli hozirgi davrda maktab matematika kursi o’quv
dasturlarida o’z o’rniga ega va bu turkim masalalri o’qituvchilardan alohida
tayorgarlikni talab etadi. Ushbu maqolada kombinatorika masalalarini maktab
o’quvchilariga samarali o’qitish metodikasi yoritilgan.
Kalit so’zlar:
kombinatsiya, kombinatorika, masala, variant, variantlar daraxti,
o’zlashtirish.
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ КОМБИНАТОКНЫХ
ЗАДАЧ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Saodat Pardaboyeva Ilxom qizi
Аннотация.
Поскольку
задачи
комбинаторики
являются
распространенными задачами в реальной жизни, в настоящее время они
занимают свое место в школьных программах по математике и требуют
специальной подготовки со стороны учителей. В данной статье описана
методика эффективного обучения школьников решению задач комбинаторики.
Ключевые слова
: комбинация, комбинаторика, задача, вариант, дерево
вариантов, освоение.
TEACHING METHODS FOR SOLVING COMBINATORIAL
PROBLEMS IN A SCHOOL MATHEMATICS COURSE
Saodat Pardaboyeva Ilxom qizi
DSPU
Annotation
. Since combinatorics problems are common problems in real life,
they currently occupy their place in school mathematics curricula and require special
training from teachers. This article describes the methodology of effective teaching of
schoolchildren to solve combinatorics problems.
Keywords
: combination, combinatorics, task, option, tree of options, mastering.
Hozir maktab oʼquvchilari oldingi avlodga qaraganda aqliy jihatdan rivojlangan
va ularga oddiy hisoblashga doir masalalarini yechish qiziqarli emas va zerikarli.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
181
181
Ularga mantiqiy fikrlash bilan bogʼliq yoki hayotiy vaziyatlar misollari yordamida
yechish mumkin boʼlgan masalalarni taklif etish zarur. Shuning uchun kombinatorika
va ehtimollikga doir masalalar – zamonaviy maktab oʼquvchilarni qiziqtirishi mumkin
boʼlgan masalalardir. Ularni oʼquvchilarga yechish uchun taklif qilish uchun dastlab
maktab matematika kursida bunday masalalarni yechishni oʼrgatishning optimal
usulini tanlash zarur.
Maktab matematika kursi oʼquv dasturlarida “Kombinatorika” mavzusiga doir
masalalar kam ekanligini hisobga olgan xolda ularni yechishni bolalar uchun qiziqarli
oʼyinga keltirish kerak. O’quvchilarning mavzuni o’zlashtirishga motivatsiyasini
oshirish uchun masalalar yechishni o’rgatishning samarali usullari tanlanishi lozim.
Maktab matematika kursi tizimli faoliyat gʼoyalari va tamoyillariga qurilgan
bo’lib oʼquvchilarda quyidagi sifatlarini shakllantirish imkonini beradi :
- oʼz-oʼzini rivojlantirish va uzluksiz taʼlimga tayyorlikni shakllantirish;
- faol oʼquv – bilish faoliyati;
- individual yosh, psixologik va fiziologik xususiyatlarni hisobga olgan holda
oʼquv jarayonini qurish.
Kombinatorika masalalarini oʼrganishda asosiy maqsad “Variantlar daraxti”
yordamida obʼektlar yoki ularning kombinatsiyalarining barcha mumkin boʼlgan
variantlarini tuzishni, masala shartiga javob beradigan kombinatsiyalarni ajratishni
oʼrgatishdan iborat.
Maktab matematika kursida oʼquvchilarga mumkin boʼlgan variantlarni
saralash, ularni maʼlum tartibda joylashtirish, barcha variantlarni birlashtirish (maʼlum
shart boʼyicha saralash va tartibga solish) ga doir elementar kombinator masalalari
beriladi. Baʼzan hayotda biz maʼlum bir muammoning bir nechta yechimlari mavjud
boʼlgan masalalarni yechishga duch kelamiz, ammo biz har bir yechimni tahlil
qilishimiz va bu holda qaysi biri toʼgʼri boʼlishini tushunishimiz kerak. Bunday
masalalrni yechish uchun barcha variantlarni saralash zarur, buning uchun esa
saralashning eng qulay usulini tanlab olishimiz kerak, unda takrorlanishlarsiz barcha
variantlarni koʼrishimiz mumkin. [3]
Matematika oʼqituvchisi oldida birinchi oʼrinda tizimli saralash koʼnikmasini
shakllantirish boʼyicha vazifa turadi. Kombinatorika masalalarini yechishni oʼqitishni
elementlari kam boʼlgan sodda masalalarni yechishdan boshlash zarur, chunki barcha
variantlarni saralash mazmunini anglash muximdir. Quyida bir necha masalalrni
yechish yo’llarini ko’rib chiqamiz
1 Masala.
“Uch oʼrtoq Аlisher, Sarvar va Аzamat futbolga ikkita chipta sotib
oldilar. Futbolga borishning nechta turli variantlar mavjud? ”
Yechim.
Bu yerda bolalarning barcha juftliklarini tuzish zarur:1)Алишер,
Сарвар
2)Алишер, Азамат
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
182
182
3)Сарвар, Азамат
Javob:
3 ta variant
Keyingi masala yuqorida keltirilgan masala asosida tuzilishi mumkin. Masala
shartiga bolalarning oʼtirgan joyi raqami gʼisobga olinish shartini qoʼshamiz. Endi
yangi masalada elementlarning tartibini hisobga olamiz. Poluchaetsya, chto mы budem
uchitыvatь v zadache poryadok elementov
2 Masala.
Uch oʼrtoq Аlisher, Sarvar va Аzamat futbolga birinchi qatorning 1 va
2 oʼrinlariga ikkita chipta sotib oldilar. Stadionning ushbu ikkita oʼrinlarini
egallashning nechta varianti bor? Shu variantlarning barchasini yozing.
Yechim.
Bu yerda bizga birinchi masala natijalari yordam beradi. Oldingi
masalada bolalar qaysi tartibda oʼtirishi axamiyatsiz edi. Ushbu masalada esa
oʼrinlarning tartibiga eʼtibor qaratish lozim. Variantlarning birini batafsil koʼrib
chiqamiz. Oʼyinga Аlisher va Sarvar bosin, u xolda bu bolalarning oʼtirishi mumkin
boʼlgan ikkita variantiga ega boʼlamiz. Birinchi variant: birinchi oʼrinda Аlisher
oʼtirishi mumkin, u xolda ikkinchi oʼringa Sarvar oʼtiradi, ikkinchi varian: birinchi
oʼringa Sarvar oʼtirsa, ikkinchi oʼringa Аlisher oʼtiradi. Demak, ikkita elementni turli
tartibda
ikki
usulda
joylashtirish
mumkin.
Shunday
qilib,
birinchi
masalaningechimidan bizning masalamiz uchun ikkita yechimga ega boʼldik. Koʼrinib
turibdiki oldingi masaladagi xar bir variant uchun yana bittadan variant xosil boʼladi
va natijada 6 ta variantga ega boʼlamiz.
Javob:
6 ta variant
Kombinatorika masalalarini oʼrganishda “Variantlar daraxti” berilgan masala
yechimini topish yoʼlini koʼra olish, barcha variantlarni hisobga olish va
takrorlanishlarning oldini olishga yordam beradi. “Variantlar daraxti” tartiblashtirilgan
toʼplamlarini hisoblash imkonini berishiga aloxida eʼtibor qaratish lozim. [2]
“Variantlar daraxti”ni tuzish uchun:
1) ildiz bo’lib hizmat qiluvchi nuqta belgilanadi;
2) shu nuqtadan barcha mumkin bo’lgan kesmalar (shoxlar) o’tkaziladi, va
ularning uchlarida kombinatsiyaning birinchi elementlari belgilanadi;
3) bu uchlardan yana kesmalar (shoxlar) o’tkaziladi, va ularning uchlarida
kombinatsiyaning ikkinchi elementlari belgilanadi;
4) ushbu jarayon kombinatsiya yakunlangancha davom etadi.
Natijada daraxtni eslatadigan chizma hosil bo’ladi. Bun day darxtning ildizidan
boshlab ketma – ket harakatlanilsa hosil bo’lgan ixtiyoriy kombinatsiyani o’qish
mumkin bo’ladi.
3 Masala.
1, 2,3 raqamlardan nechta ikki xonali son tuzish mumkin?
Yechim.
1, 2,3 raqamlardan tuzish mukin boʼlgan barcha ikki xonali sonlarni
yozib olamiz. Umuman biz sonlarni ixtiyoriy tartibda yozishimiz mukin, ammo biz
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
183
183
ularni oʼsish tartibida yozib olamiz, bu bizag sonlarni takrorlamasdan va birorta sonni
qoldirmasdan yozishga imkon beradi. Ushbu masalani yechish jarayonida bitta
raqamni ikki marta qoʼllash mumkinimi degan savol paydo boʼladi (agar oʼquvchilarda
bu kabi savol tugʼilmasa, u xolda oʼqituvchining oʼzi bu jixatga eʼtibor qaratishi lozim).
Ushbu masala shartida bunday shart taʼkidlanmagan, demak biz uni ikkala xol uchun
xam yechamiz. Xar bir xol uchun yechimlar soni turlicha boʼladi. Bundan xulosa shuki
ushbu shart masalani yechishda hisobga olinishi shart.
12,13,21,23,31,32 – raqamlar takrorlanmagan hol uchun
11,12,13,21,22,23,31,32,33 – raqamlar takrorlangan hol uchun.
Masala shartida takrorlanish haqida aytilganlik jixatiga eʼtibor qaratish lozim.
Bizning masalada raqamlarning takrorlanishi haqida soʼz olib borilmagan, demak
barcha holatlar qaralishi shart.
Javob:
6-ta ikki xonali son – takrorlanishsiz; 9-ta ikki xonali son – takrorlanish
bilan.
Masalaga doir “Variantlar darxti” ni quyidagicha tasvirlash mumkin
1.
rasm. Raqamlar takrorlanadi.
2.
rasm. Raqamlar takrorlanmaydi.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
184
184
4 Masala.
Chorshanba kuni 7 sinfda reja bo’yicha 5 dars o’tilishi kerak:
matematika, fizika, ona tili, tarix, informatika. Agar dars jadvalida ikkinchi dars
matematika bo’lish kerak bo’lsa, uni nechta variantda tuzish mumkin
Yechim.
Bizga bir kunda o’tilishi lozim bo’lgan 5 ta dars berilgan va ularni bir
kunlik dars jadvaliga joylashning barcha variantlarini tuzish talab etiladi. Har bir dars
bir marta o’tilishi va albatta matematika fani ikkinchi darsda o’tilishini hisobga olish
zarur. Variantlar daraxtini tuzish uchun barcha fanlarni katta harflar orqali belgilab
olamiz. Biz 5 ta elementni necha usulda joylash mumkinligini aniqlaymiz. Bizda
birinchi o’ringa joylash mumkin bo’lgan elementlar soni 4 ta. Aytaylik, birinchi dars
ona tili bo’lsin, ikkinchisi albatta algebra bo’lsin, va bizda 3 ta fan qoladi, ularni 6
usulda dars jadvaliga joylash mumkin. Huddi shu amallarni tarix, fizika, informatika
darslariga takrorlaymiz. Natijada, 5 ta fanni tartiblashtirishning 24 ta usulga ega
bo’lamiz.
Masalaga doir “Variantlar darxti”ni quyidagicha tasvirlash mumkin
3.
rasm. Variantlar daraxti.
Ushbu masalani jadval tuzib ham ishlash mumkin
1-Jadval
Darslarni dars jadvaliga joylashtirish variantlari
Dars №
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
O
O
O
O
O
O
F
F
F
F
F
F
2
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
3
F
F
I
I
T
T
O
O
T
T
I
I
4
I
T
F
T
F
I
T
I
O
I
O
T
5
T
I
T
F
I
F
I
T
I
O
T
O
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–80_Issue-1_July-2025
185
185
Dars №
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
I
I
I
I
I
I
T
T
T
T
T
T
2
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
3
F
F
O
O
T
T
O
O
F
F
I
I
4
O
T
F
T
F
O
F
I
O
I
O
F
5
T
O
T
F
O
F
I
F
I
O
F
O
Javob:
24 ta usul.
Kombinatorika masalalarini grafik usulda yechishni o’rgatishda o’quvchilar bilan
yechilgan masalalarni tahlil qilish, so’ngra mustaqil yechish uchun shu kabi
masalalarni berish mavzuni yanada yaxshiroq o’zlashtirishga imkon beradi.
Masalalarning mazmuni boshlang’ich darjada bo’lishi lozim, chunki o’quvchilar
kombinatorika elementlari bilan endigina tanishishni boshlamoqdalar. O’quvchilar
variantlar daraxtlari, jadvallar va grafiklar yordamida mumkin bo'lgan yechimlarni
tuzishni o'rganadilar.
Xulosa qilib aytish mumkinki kombinatorika masalalarni yechish ko’nikmasini
shakllantirish va rivojlantirish asosida o’quvchilarning aqliy faoliyati, mantiqiy
tafakkuri takomillashtiriladi va inson uchun muhim bo'lgan kombinatsiyalash
qobiliyati shakllanadi.
ADABIYOTLAR RO’YXATI
1.
Азовский В.В. Решение некоторых учебных задач по комбинаторике:
пособие по решению задач / В.В. Азовский. – Самара: СИПКРО, 2011. – 185
с.
2.
Воробьева Г.В. Пропедевтика изучения элементов стохастики на уроках
математики в начальных классах / Г.В. Воробьева // Педагогическое
образование в России. – 2015. – №4. – С. 70–76.
3.
Демидова Т.Е. Элементы стохастики в курсах математики факультетов
подготовки учителей начальной школы / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П.
Тон-ких, А.Г. Рубин // Начальная школа плюс-минус до и после. – 2005. –
№3. – C. 5–9.
4.
Полякова Т.А. Элементы теории вероятности и математической статистики
в цикле естественнонаучных дисциплин школьного курса / Т.А. Полякова //
Омский научный вестник. – 2017. – №2(57). – 3 (61).
5.
Эрназарова Н.Х. Решение комбинаторных задач – как средство
формирования стохастической линии в обучении математике. Статья в
журнале Educational Research in Universal Sciences 211 – 216 с.
6.
Эрназарова Н.Х Конструирование текстовых задач как средство повышения
интереса учеников к математике. Сборник материалов международной
научно
– технической конференции
“Инновационные решения
технических, инжинерно – технических задач производства”. 225-227с.
