MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
312
VILSON TEOREMASINING ISBOTI VA UNGA DOIR MISOL VA
MASALALAR YECHISH
Zahriddinova Shaxlo
“Matematika va ta`limda axborot texnologiyasi” kafedrasi o‘qituvchisi
Musayeva Mushtariy Suyarovna
Shahrisabz davlat pedagogika insituti
“Matematika va Informatika” yo‘nalishi 2- bosqich talabasi
Annotatsiya.Vilson teoremasi tub sonlarning faktoriali va modul
arifmetikadagi xususiyatlarini ifodalovchi muhim teoremalardan biridir. Teoremaga
ko‘ra, agar pp tub son bo‘lsa, u holda (p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}
tengligi o‘rinli bo‘ladi. Bu teoremaning isboti teskari elementlar va juftliklar hosil
qilish usuli orqali amalga oshiriladi. Shuningdek, Vilson teoremasidan foydalanib,
turli misol va masalalarni yechish mumkin. Bu mavzu tub sonlar va ularning
xossalarini chuqurroq tushunishga yordam beradi.
Kalit so‘zlar: Vilson teoremasi, faktorial, modul arifmetika, tub sonlar,
matematik isbot, teskari element, juftliklar usuli, qoldiq, masalalar yechish, misollar.
Annotation: Wilson's theorem is one of the important theorems that describe
the properties of factorials of prime numbers and modular arithmetic. According to
the theorem, if pp is a prime number, then the congruence (p−1)!≡−1(modp)(p-1)!
\equiv -1 \pmod{p} holds. The proof of this theorem is carried out using the method
of inverse elements and pairing. Additionally, Wilson's theorem can be used to solve
various examples and problems. This topic helps to gain a deeper understanding of
prime numbers and their properties.
Keywords: Wilson's theorem, factorial, modular arithmetic, prime numbers,
mathematical proof, inverse element, pairing method, remainder, problem solving,
examples.
Аннотация: Теорема Вильсона — одна из важных теорем,
описывающих свойства факториалов простых чисел и модульной арифметики.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
313
Согласно теореме, если pp — простое число, то выполняется сравнение
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}. Доказательство этой теоремы
осуществляется с использованием метода обратных элементов и
формирования пар. Кроме того, теорему Вильсона можно использовать для
решения различных примеров и задач. Эта тема помогает глубже понять
простые числа и их свойства.
Ключевые слова: Теорема Вильсона, факториал, модульная
арифметика, простые числа, математическое доказательство, обратный
элемент, метод пар, остаток, решение задач, примеры
Vilson Teoremasi:Vilson teoremasi matematikada, ayniqsa tub sonlar
nazariyasida muhim o‘rin tutadi. Ushbu teorema quyidagicha ifodalanadi:
Agar pp tub son bo‘lsa, u holda:
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}
ya'ni, (p−1)!(p-1)! faktorialining pp ga bo‘lgandagi qoldig‘i -1 bo‘ladi.
Agar pp tub son bo‘lmasa, ushbu tenglik bajarilmaydi.Vilson Teoremasining
Isboti
Vilson teoremasini isbotlash uchun quyidagi qadamlarni bajarish mumkin:
1.Faktorial
tushunchasi
(p−1)!(p-1)!
ni
quyidagicha
yozish
mumkin:(p−1)!=1
⋅
2
⋅
3
⋯
(p−1)(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) bu yerda barcha
sonlar pp dan kichik va pp ga nisbatan o‘zaro tubdir.
2. Modul bo‘yicha teskari elementlar.Har bir aa uchun modul pp bo‘yicha
teskari element bb mavjud bo‘lib,a
⋅
b≡1(modp)a \cdot b \equiv 1 \pmod{p} shartni
qanoatlantiradi.Agar a≠ba \neq b bo‘lsa, ular juftlik hosil qiladi va ularning
ko‘paytmasi 1 ga ekvivalent bo‘ladi.
3. O‘ziga teskari sonlar.Faqat ikkita son o‘ziga teskari bo‘lishi mumkin:
1≡1(modp)1 \equiv 1 \pmod{p}
p−1≡−1(modp)p-1 \equiv -1 \pmod{p}
Shuning uchun barcha sonlar juftlik hosil qilib, bekor bo‘ladi, faqat (p−1)(p-
1) qismi qoladi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
314
4. Yakuniy natija:(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}
Bu orqali teorema isbotlandi.
Misol va Masalalar Yechish
Misol 1:
p=7p = 7 uchun Vilson teoremasini tekshiramiz:
6!=1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6=7206! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720
720720 ni 7 ga bo‘lib qoldiqni topamiz:
720÷7=102(butun qismi)720 \div 7 = 102 \quad \text{(butun qismi)}
720−102×7=720−714=6720 - 102 \times 7 = 720 - 714 = 6 6!≡−1(mod7)6! \equiv -1
\pmod{7}
Demak, Vilson teoremasi bajariladi.
Masala 1:
p=11p = 11 bo‘lsa, 10!10! ning 11 ga bo‘lgandagi qoldig‘ini toping.
Yechim:10!=1
⋅
2
⋅
3
⋯
1010! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 10
Vilson teoremasiga ko‘ra:10!≡−1(mod11)10! \equiv -1 \pmod{11}
Demak, javob: −1-1 yoki 1010 (modul 11 bo‘yicha ekvivalent).
Vilson teoremasi shunday deyiladi:Agar pp tub son bo‘lsa, u
holda:(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} ya'ni, (p−1)!(p-1)! soni pp ga
bo‘lganda qoldiq -1 ga teng bo‘ladi.
Vilson teoremasining isboti
Faktorial tushunchasi:
(p−1)!=1
⋅
2
⋅
3
⋯
(p−1)(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1)
Teskari elementlar:Agar aa soni pp tub songa nisbatan teskari bo‘lsa, ya’ni
a−1a^{-1} mavjud bo‘lsa, u holda a
⋅
a−1≡1(modp)a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{p}.
Juftliklar hosil qilish:Mod pp bo‘yicha har bir aa uchun teskari son bb topiladi,
shundayki a
⋅
b≡1(modp)a \cdot b \equiv 1 \pmod{p}.Tub sonlarda bunday juftliklar
hosil qilish mumkin, bundan tashqari faqat a≡−a(modp)a \equiv -a \pmod{p} bo‘lsa,
a2≡1(modp)a^2 \equiv 1 \pmod{p} tenglik o‘rinli bo‘ladi.Maxsus qiymatlar:Faqat 11
va p−1p-1 o‘zining teskari o‘ziga teng. Shuning uchun faktorialda barcha sonlar juft-
juft bekor bo‘ladi, lekin (p−1)(p-1) qismi qolib ketadi:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
315
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}
Shunday qilib, teorema isbotlandi.
Misol va masalalar yechish
Misol 1
7 tub soni uchun Vilson teoremasini tekshiramiz:
(7−1)!=6!=1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6=720(7-1)! = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot
6 = 720
720720 sonini 7 ga bo‘lib qoldiqni topamiz:
720÷7=102 (butun qismi),720−102×7=720−714=6720 \div 7 = 102 \text{
(butun qismi)}, \quad 720 - 102 \times 7 = 720 - 714 = 6 6!≡−1(mod7)6! \equiv -1
\pmod{7}
Demak, Vilson teoremasi to‘g‘ri!
Masala 1
p=11p = 11 bo‘lganda (p−1)!(p-1)! ning 11 ga bo‘lgandagi qoldig‘ini toping.
Yechim:
(11−1)!=10!=1
⋅
2
⋅
3
⋯
10(11-1)! = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 10
Vilson teoremasiga ko‘ra:
10!≡−1(mod11)10! \equiv -1 \pmod{11}
Demak, javob: −1-1 yoki 1010.
Xulosa.
Vilson teoremasi matematikada, ayniqsa tub sonlar nazariyasida
muhim o‘rin tutadi. Ushbu teorema yordamida istalgan sonning tub yoki tub
emasligini tekshirish mumkin. Vilson teoremasi shuni ko‘rsatadiki, agar ppp tub son
bo‘lsa, unda (p−1)!(p-1)!(p−1)! ning ppp ga bo‘lgandagi qoldig‘i har doim −1-1−1 ga
teng bo‘ladi. Bu teorema matematik isbotlar, modul arifmetika va kombinatorika
masalalarida ham qo‘llaniladi.Matematik masalalarni yechishda Vilson teoremasidan
foydalanish orqali tub sonlar bilan bog‘liq ko‘plab murakkab muammolarni
soddalashtirish mumkin. Shu bilan birga, u oddiy tublikni tekshirish usullaridan farqli
ravishda amaliy hisob-kitoblarda unchalik tez ishlatilmaydi, chunki faktoriallar juda
katta sonlarni hosil qiladi.Darslarda qo‘llash, o‘quvchilarga Vilson teoremasini
tushuntirish uchun real misollar va masalalar yechish tavsiya etiladi. Ilovalarni
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
316
kengaytirish, Vilson teoremasi orqali boshqa tub sonlarga oid xususiyatlarni
o‘rganish va chuqurroq tadqiq qilish mumkin. Dasturlashda qo‘llash, tub sonlarni
aniqlash algoritmlarida Vilson teoremasidan foydalanish imkoniyatlari o‘rganilishi
lozim.Kombinatorikadagi ahamiyatini tahlil qilish, bu teorema faktoriallar bilan
bog‘liq bo‘lgani uchun kombinatorikada qanday ishlatilishini chuqurroq o‘rganish
mumkin. Yangi isbot usullarini izlash, Vilson teoremasining alternativ isbotlarini
topish va ularni o‘quvchilarga taqdim etish matematikani yanada qiziqarli qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Uktamov, M. "Modeling the professional training development of future teachers
through computer training." Science and innovation 2.B9 (2023): 139-141.
2. Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Iqtisodiyotni raqamlashtirish
sharoitida iqtisodiy jarayonlar va moliyaviy munosabatlarning transformatsiyasi."
Nashrlar (2024): 38-41.
3. O‘G‘Li, Madadjon O‘Ktam. "Kuzatuv quduqlarida yer osti suvlarini gidrorejim
parametrlarini masofaviy nazorat qilishning avtomatlashgan tizimlari." Science and
Education 2.12 (2021): 202-211.
4. Musirmonov, Shohboz, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Moliya bozorini
rivojlantirishda yashil iqtisodiyotga o‘tishining muammolari va yechimlari." Nashrlar
(2024): 374-377.
5. Muhammadiyev, Alijon, and Shukurullo Aliqulov. "PROSPECTS OF USING
COMPUTER TECHNOLOGIES IN MODERN EDUCATION." Наука и
технология в современном мире 3 (2024): 90-92.
6. Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "XXI ASR YOSHLARINING
AXBOROT PSIXOLOGIK XAFSIZLIGINI TA’MINLASH MASALALARI."
Universal xalqaro ilmiy jurnal 1 (2024): 445-447.
7. Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "SHAXSLARDA
TAVAKKALCHILIK BILAN BOG ‘LIQ VIRTUAL O ‘YINLARGA
MOYILLIGINI PSIXOLOGIK XUSUSIYATLARI." Universal xalqaro ilmiy jurnal
1 (2024): 776-777.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
317
8. Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "CURRENT ISSUES OF
TEACHING UZBEK AND RUSSIAN LANGUAGES IN THE PROCESS OF
GLOBALIZATION." Models and methods in modern science 3 (2024): 187-191.
9. Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "TEXNIKA OLIY TA’LIM
MUASSASALARIDA XORIJIY TILLARNI O ‘QITISHNING DOLZARB
MASALALARI." Прикладные науки в современном мире: проблемы и решения
3 (2024): 10-12.
10. Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "TA’LIM TIZIMIGA
INNOVATSION
TEXNOLOGIYALARNI
JORIY
ETISH
VA
INTEGRATSIYALASH MASALALARI." Общественные науки в современном
мире: теоретические и практические исследования 3 (2024): 46-49.
11. Madadjon, O‘Ktamov. "PEDAGOGIKA OLIY TA’LIM MUASSASALARI
TALABALARINING
INFORMATIKADAN
AXBOROT-TEXNOLOGIK
KOMPETENTLIGINI RIVOJLANTIRISH METODIKASI." Academic research in
educational sciences 4.CSPU Conference 1 (2023): 275-281.
12. Октамов, Мададжон, Жасмина Тошполотова, and Яйра Мусурманова. "Aniq
fanlarni o ‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalarni qo ‘llagan holda dars
jarayonlarini tashkil etish." Новый Узбекистан: наука, образование и инновации
1.1 (2024): 432-434.
