MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
252
MUTIPLIKATIV FUNKSIYALAR VA EYLER FUNKSIYASIGA
DOIR MISOL VA MASALALAR YECHISH
Zahriddinova Shaxlo
“Matematika va ta’limda axborot texnologiyasi”
kafedrasi o‘qituvchisi
Boqiyeva Baxtiniso Dilshod qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti
“Matematika va Informatika” yo‘nalishi 2-bosqich talabasi
Annotatsiya.Multiplikativ
funksiyalar
va
Eyler
funksiyasi
sonlar
nazariyasining muhim bo‘limlaridan biridir. Multiplikativ funksiyalar, asosan,
sonlarning bo‘linish xususiyatlariga bog‘liq bo‘lib, ular sonlar orasidagi o‘zaro
bog‘lanishni tushunishda yordam beradi. Eyler funksiyasi esa natural sonlarning
to‘liq bo‘linadigan sonlar sonini aniqlashda qo‘llaniladi va uning sonlar
nazariyasida keng qo‘llanilishi mavjud. Ushbu bo‘limda, multiplikativ funksiyalar va
Eyler funksiyasining asosiy tushunchalari, ularning formulalari va amaliy misollarni
yechish jarayoni tahlil qilinadi.
Kalit
so‘zlar.Multiplikativ
funksiyalar,Eyler
funksiyasi,sonlar
nazariyasi,bo‘linish,to‘liq bo‘linadigan sonlar,Euler teoremasi,funksiya hisoblash
Annotation.Multiplicative functions and the Euler function are important
sections of number theory. Multiplicative functions depend primarily on the
divisibility properties of numbers, which help to understand the interrelationship
between numbers. The Euler function, on the other hand, is used in determining the
number of totally divisible numbers of natural numbers, and has a wide application
in number theory. In this section, the process of solving multiplicative functions and
basic concepts of the Euler function, their formulas and practical examples is
analyzed.
Keywords.Multiplicative
functions,
Euler's
Function,Number
Theory,division,totally divisible numbers,Euler's theorem, function computation
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
253
Аннотация.Мультипликативные функции и функция Эйлера-два
важных раздела теории чисел. Мультипликативные функции в основном
зависят от свойств деления чисел, которые помогают понять взаимосвязь
между числами. С другой стороны, функция Эйлера используется для
определения количества целых чисел, на которые делятся натуральные числа,
и имеет широкое применение в теории чисел. В этом разделе анализируются
основные понятия мультипликативных функций и функции Эйлера, их формулы
и процесс решения практических примеров.
Ключевые слова.Мультипликативные функции,функция Эйлера,теория
чисел,деление,целые числа,теорема Эйлера,исчисление функций
Kirish
.Sonlar nazariyasi, matematikada eng qadimiy va eng rivojlangan
bo‘limlardan biri bo‘lib, ko‘plab tushunchalar va funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Bu
bo‘limda biz multiplikativ
funksiyalar va Eyler funksiyasiga oid asosiy tushunchalar
va masalalar yechish usullariga to‘xtalamiz. Multiplikativ funksiyalar va Eyler
funksiyasi sonlar nazariyasida juda muhim o‘rin tutadi, chunki ular sonlarning
bo‘linish xususiyatlarini o‘rganish va sonlar orasidagi o‘zaro bog‘lanishlarni
tushunishda
keng
qo‘llaniladi.Multiplikativ
funksiyalar
sonlarning
ko‘paytiruvchilariga bog‘liq bo‘lib, ular ko‘plab sonlar nazariyasidagi masalalarni
yechishda asosiy vosita bo‘lib xizmat qiladi. Bu funksiyalar f(a
⋅
b)=f(a)
⋅
f(b) f(a /b) =
f(a) /f(b) sharti bilan tavsiflanadi, ya'ni ular sonlarning ko‘paytirish amali bilan
bo‘linadi. Bu turdagi funksiyalarni o‘rganish, sonlarning bo‘linish xususiyatlarini
tushunishga yordam beradi.Eyler funksiyasi esa natural sonlarning to‘liq bo‘linadigan
sonlar sonini aniqlashga yordam beradi. Bu funksiya, ayniqsa, tub sonlar nazariyasida
keng qo‘llaniladi va turli xil kriptografik tizimlarda ham muhim rol o‘ynaydi. Eyler
teoremasi esa, o‘zaro tub bo‘lgan sonlar bilan bog‘liq masalalarni yechishda juda
muhim ahamiyatga ega.Ushbu bo‘limda, multiplikativ funksiyalar va Eyler
funksiyasining asosiy tushunchalari, ular bilan bog‘liq formulalar va masalalar
yechish usullari haqida batafsil tushuncha beriladi. Bu tushunchalar nafaqat sonlar
nazariyasini o‘rganishga, balki matematikani amaliyotda qo‘llashga ham yordam
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
254
beradi.Multiplikativ funksiyalar sonlarning ko‘paytiruvchilariga bog‘liq bo‘lib,
ko‘plab turli sonlar nazariyasi masalalarini yechishda muhim rol o‘ynaydi. Ushbu
bo‘limda, ularning ta'rifi va ishlash printsipi haqida batafsil ma’lumot beriladi.
Eyler funksiyasi φ(n) (n) natural sonning nn dan kichik bo‘lgan va nn bilan
o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini ko‘rsatadi. Bu funksiya, ayniqsa, sonlar
nazariyasidagi bo‘linish va tub sonlar bilan bog‘liq masalalarni yechishda
qo‘llaniladi. Eyler teoremasi.Eyler teoremasi, agar aa va nn o‘zaro tub bo‘lsa, unda
aφ(n)≡1(modn)
𝑎
1−𝑝
tengligi to‘g‘ri bo‘ladi. Bu teoremalar sonlar nazariyasida,
ayniqsa, kriptografiya sohasida keng qo‘llaniladi. Multiplikativ funksiyalar va Eyler
funksiyasiga doir masalalar, bu funksiyalarning qanday ishlashini va turli xil sonlar
nazariyasidagi masalalarni yechishda qanday qo‘llanilishini ko‘rsatadi.Ushbu
bo‘limning maqsadi, multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasining matematik
ahamiyatini tushunish va ularni turli masalalarni yechishda qanday ishlatish
mumkinligini o‘rganishdir.
Mavzuga doir adabiyotlar tahlili.
Multiplikativ funksiyalar va Eyler
funksiyasi sonlar nazariyasida muhim o‘rin tutadi. Bu mavzu bo‘yicha turli
tadqiqotlar va ilmiy ishlar mavjud bo‘lib, ularning bir qismi matematik nazariyaning
rivojlanishiga, ba’zilari esa amaliy qo‘llanmalarga bag‘ishlangan. Ushbu bo‘limda,
multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasiga oid asosiy adabiyotlarni tahlil qilamiz
va ularning matematikahviyda qanday qo‘llanilishi haqida umumiy tushuncha
beramiz.Multiplikativ funksiyalar matematikada bir qancha muhim sohalarda keng
qo‘llaniladi. Eng ko‘p ishlatiladigan multiplikativ funksiyalardan biri Mo‘bius
funksiyasi (µ(n)) va Divisor funksiyasi (σ(n)) hisoblanadi. Möbius funksiyasi sonlar
nazariyasida sonlarning bo‘linish xususiyatlarini tahlil qilishda qo‘llaniladi, ayniqsa,
ularning tub bo‘luvchilariga oid masalalarda. Möbius funksiyasi haqidagi ilk
ishlanmalar 19-asrning oxirlarida nemis matematikasi August Möbius tomonidan
ishlab chiqilgan.Mo‘bius funksiyasi (μ(n)\mu(n)) o‘ziga xos xususiyatlarga ega
bo‘lib, uning qiymati sonlarning tub bo‘luvchilari soniga va bo‘luvchilarining
ko‘payishiga bog‘liq. Agar nn soni tub sonlardan tashkil topgan bo‘lsa, μ(n)=1\mu(n)
= 1; agar nn ning bo‘luvchilari soni ikki marta takrorlansa, μ(n)=−1\mu(n) = -1; agar
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
255
nn ning bo‘luvchilari orasida takrorlanadigan tub sonlar mavjud bo‘lsa, μ(n)=0\mu(n)
= 0.Bir nechta tadqiqotlar va monografiyalarda, masalan, Niven, Zuckerman, va
Montgomeryning “An Introduction to the Theory of Numbers” (1960) asarida,
multiplikativ funksiyalarning xususiyatlari batafsil tahlil qilingan. Bu asarda,
multiplikativ funksiyalarning umumiy xususiyatlari va ularning qo‘llanilishi aniq
tasvirlangan. Eyler funksiyasi (φ(n)\varphi(n)) bo‘yicha ilmiy ishlar juda katta. Eyler
funksiyasi nn sonining 1 dan nn gacha bo‘lgan sonlar orasida nn bilan o‘zaro tub
bo‘lgan sonlar sonini ifodalaydi. Eyler funksiyasi sonlar nazariyasining ajralmas
qismi bo‘lib, ayniqsa, Eyler teoremasi uning muhim ahamiyatini ko‘rsatadi.Eyler
funksiyasi va unga doir izlanishlar haqida bir nechta asarlar mavjud. Masalan, Niven
va
Zuckermanning yuqorida tilga olingan asarida Eyler funksiyasi, uning
xususiyatlari va uning boshqa funksiyalar bilan o‘zaro bog‘lanishi haqida keng
muhokama qilinadi. Shuningdek, Hardy va Wrightning “An Introduction to the
Theory of Numbers” (2008) asarida Eyler funksiyasining matematikamizi
rivojlanishidagi o‘rni va uning qo‘llanilishi yanada chuqurroq o‘rganilgan.Eyler
funksiyasining tarixi va rivojlanishi bilan bog‘liq bir nechta ilmiy maqolalar ham
mavjud, ularda Eyler funksiyasi, uning umumiy xususiyatlari, va u bilan bog‘liq turli
masalalar yoritilgan. Euler’s Totient Function and Applications nomli maqolada,
Eyler funksiyasining kriptografiyada, ayniqsa RSA algoritmida qanday ishlatilishi
tahlil qilinadi.Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasining amaliy qo‘llanilishi
sonlar nazariyasining rivojlanishiga katta hissa qo‘shgan. Ayniqsa, RSA algoritmi
kabi zamonaviy kriptografik tizimlar uchun, bu funksiyalar juda muhimdir. RSA
algoritmi Eyler funksiyasiga asoslanadi, chunki bu algoritmda ikki katta tub sonning
yig‘indisini hisoblash va ularning o‘zaro tub bo‘lishi juda katta rol
o‘ynaydi.Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasining amaliy qo‘llanilishi
bo‘yicha ilmiy adabiyotlar, xususan, Knuthning “The Art of Computer Programming”
(1968) va Rivest, Shamir, va Adlemanning RSA algoritmi haqidagi ishlari bu sohada
muhim manba bo‘lib xizmat qiladi.Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasi
haqidagi adabiyotlarni tahlil qilganimizda, bu funksiyalarning nafaqat nazariy, balki
amaliy qo‘llanishi ham nihoyatda keng ekanligini ko‘rdik. Multiplikativ funksiyalar
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
256
sonlar nazariyasining asosi sifatida ishlaydi va ko‘plab boshqa matematik sohalarga
ta'sir ko‘rsatadi, ayniqsa, bo‘linish, tub sonlar va kriptografiya sohalarida. Eyler
funksiyasi esa o‘zaro tub bo‘lgan sonlarni tahlil qilishda, shuningdek, RSA va boshqa
zamonaviy kriptografik tizimlar uchun juda muhimdir. Bu bo‘limdagi tahlil shuni
ko‘rsatadiki, multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasi matematik nazariyada va
amaliyotda katta ahamiyatga ega.
Tadqiqotlar metodologiyasi.
Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasi
(yoki Eylerning to‘liq funksiyasi) haqidagi tadqiqotlar matematikaning muhim
sohalaridan biri bo‘lib, ularning tahlili va yechimlari ko‘plab amaliy masalalarni hal
qilishda qo‘llaniladi. Ushbu mavzu bo‘yicha tadqiqotlar metodologiyasi ko‘plab
yondashuvlarni o‘z ichiga oladi.Multiplikativ funktsiyalar - bu funksiya f(n) ning
quyidagi xususiyatga ega bo‘lishi kerak: agar mm va nn musbat butun sonlar bo‘lib,
ular o‘zaro tub bo‘lsa, unda f(mn)=f(m)
⋅
f(n). Bu turdagi funksiyalar ko‘pincha sonlar
nazariyasida uchraydi, masalan, bo‘linish xususiyatlarini o‘rganishda. Misollar
sifatida oddiy funktsiyalar: φ(n) (Eyler funktsiyasi), d(n) (bo‘luvchilar soni), va σ(n)
(bo‘luvchilar yig‘indisi) keltirilishi mumkin.
Eyler funksiyasi esa, nn soni uchun bo‘linmasi bo‘lgan butun sonlarning
sonini hisoblashga mo‘ljallangan. Uning formulasi quyidagicha beriladi:
𝜑(𝑛) = 𝑛 (1 −
1
𝑝1
) (1 −
1
𝑝2
) … (1 −
1
𝑝𝑘
)
bu yerda p
1
, p
2,
… p
k
–n ning tub bo‘luvchilari.
Multiplikativ
funksiyalarning
va
Eyler
funksiyasining
algebraik
xususiyatlarini o‘rganish. Bu funksiyalarning ta'rifi, xususiyatlari va qoidalari ustida
ishlash. Masalan, to‘liq bo‘linma formulalarini o‘rganish yoki multiplikativ
funksiyalarni turli formulalar va tenglamalarda qo‘llash.Multiplikativ funksiyalarni
hisoblashda va formulalar keltirishda induktsiya usulidan foydalanish. Bu metod
orqali turli masalalar yechiladigan oddiy formulalar va tenglamalar hosil
bo‘ladi.Chizmalar va kompyuter dasturlari yordamida multiplikativ funksiyalarning
xususiyatlarini tekshirish. Masalan, sonlar bo‘yicha hisob-kitoblar qilish va hisoblash
natijalarini sinash.Multiplikativ funksiyalarning turli turlari o‘rtasidagi farqlarni
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
257
taqqoslash. Eyler funksiyasi, bo‘luvchilar soni, bo‘luvchilar yig‘indisi kabi
funksiyalarni o‘zaro solishtirish va ularning amaliy qo‘llanishlari ustida
ishlash.Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasining sonlar nazariyasidagi
qo‘llanilishlarini, masalan, cryptography (kriptografiya), maxfiylikni ta'minlash va
algoritmik tahlilga tatbiq qilish. Multiplikativ funksiyalarni, shu jumladan Eyler
funksiyasini ishlatish orqali amaliy masalalarni yechish. Misollarni ishlab chiqish va
ularning
yechimini
kompyuter
dasturlari
orqali
tekshirish.Tadqiqotlarda
metodologiya sifatida yuqoridagi yo‘nalishlarni birlashtirib, yangi formulalar va
xususiyatlarni kashf qilish, matematik nazariyalarni rivojlantirish, va ular orqali
amaliy sohalarga tatbiq qilish muhim ahamiyatga ega.
Xulosa va takliflar.
Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasi sonlar
nazariyasining muhim tarkibiy qismlarini tashkil etadi. Ushbu funksiyalar matematik
tadqiqotlarda keng qo‘llaniladi, ayniqsa, bo‘linish xususiyatlarini o‘rganish, sonlarni
analiz qilish, va turli amaliy sohalarda, masalan, kriptografiya va algoritmik tahlil
kabi sohalarda. Multiplikativ funksiyalar, shuningdek, ular orasida Eyler funksiyasi,
sonlar bo‘yicha sezilarli xususiyatlarga ega bo‘lib, ular o‘zaro tub bo‘luvchilarning
sonini hisoblashda va turli sonlar ustida hisob-kitoblar qilishda yordam beradi.Eyler
funksiyasining teorematik va amaliy jihatlari bilan bog‘liq tadqiqotlar ko‘plab
matematik masalalarni yechishga yordam beradi, shu bilan birga, yangi natijalarga
erishish va matematik teoriya bilan amaliy muammolarni hal qilishda ko‘plab
imkoniyatlarni yaratadi. Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasi yordamida
sonlar nazariyasining ko‘plab qiyin masalalarini hal qilish mumkin. Tadqiqotlar,
shuningdek, sonlar teoriyasining yanada rivojlanishiga hissa qo‘shadi.Multiplikativ
funksiyalarning yangi turlari va ularning xususiyatlarini o‘rganish, shuningdek, Eyler
funksiyasining umumlashtirilgan versiyalarini ishlab chiqish foydali bo‘lishi
mumkin. Bu orqali yangi nazariyalar va yechimlar topilishi mumkin.Kompyuter
texnologiyalari yordamida multiplikativ funksiyalarni hisoblashda yangi algoritmlar
va metodlarni ishlab chiqish, sonlar nazariyasining murakkab masalalarini samarali
yechish imkonini yaratadi.Multiplikativ funksiyalar, ayniqsa Eyler funksiyasi,
kriptografik algoritmlar va xavfsizlik sohalarida juda muhim hisoblanadi. Bu sohada
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
258
yanada chuqur tadqiqotlar olib borish va yangi xavfsizlik protokollarini ishlab chiqish
foydali bo‘ladi.Multiplikativ funksiyalar va Eyler funksiyasining nazariyasini
o‘quvchilarga va talabalarga o‘qitishda ko‘proq amaliy misollar va qo‘llanmalardan
foydalanish. Bu usul orqali talabalar sonlar nazariyasiga qiziqishlarini oshirishi va
murakkab matematik tushunchalarni osonroq o‘zlashtirishi mumkin.Multiplikativ
funksiyalarni o‘rganishda sonlar bo‘yicha bo‘linish xususiyatlarini yanada chuqurroq
tahlil qilish va yangi bog‘lanishlar kashf qilish mumkin. Bu, o‘z navbatida, matematik
modellar va ilmiy ishlanmalar uchun yangi imkoniyatlar yaratadi.Shuningdek, ushbu
sohadagi tadqiqotlarni davom ettirish, uning nafaqat matematik, balki amaliy
sohalarda ham keng qo‘llanilishini ta'minlashga xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1.
Uktamov, M. "Modeling the professional training development of future
teachers through computer training."
Science and innovation
2.B9 (2023): 139-141.
2.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Iqtisodiyotni
raqamlashtirish sharoitida iqtisodiy jarayonlar va moliyaviy munosabatlarning
transformatsiyasi."
Nashrlar
(2024): 38-41.
3.
O‘G‘Li, Madadjon O‘Ktam. "Kuzatuv quduqlarida yer osti suvlarini gidrorejim
parametrlarini masofaviy nazorat qilishning avtomatlashgan tizimlari."
Science and
Education
2.12 (2021): 202-211.
4.
Musirmonov, Shohboz, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Moliya bozorini
rivojlantirishda
yashil
iqtisodiyotga
o‘tishining
muammolari
va
yechimlari."
Nashrlar
(2024): 374-377.
5.
Muhammadiyev, Alijon, and Shukurullo Aliqulov. "PROSPECTS OF USING
COMPUTER TECHNOLOGIES IN MODERN EDUCATION."
Наука и
технология в современном мире
3 (2024): 90-92.
6.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "XXI ASR
YOSHLARINING AXBOROT PSIXOLOGIK XAFSIZLIGINI TA’MINLASH
MASALALARI."
Universal xalqaro ilmiy jurnal
1 (2024): 445-447.
7.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "SHAXSLARDA
TAVAKKALCHILIK BILAN BOG ‘LIQ VIRTUAL O ‘YINLARGA
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
259
MOYILLIGINI PSIXOLOGIK XUSUSIYATLARI."
Universal xalqaro ilmiy
jurnal
1 (2024): 776-777.
8.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "CURRENT ISSUES OF
TEACHING UZBEK AND RUSSIAN LANGUAGES IN THE PROCESS OF
GLOBALIZATION."
Models and methods in modern science
3 (2024): 187-191.
9.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "TEXNIKA OLIY TA'LIM
MUASSASALARIDA XORIJIY TILLARNI O ‘QITISHNING DOLZARB
MASALALARI."
Прикладные науки в современном мире: проблемы и решения
3
(2024): 10-12.
10.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "TA’LIM TIZIMIGA
INNOVATSION
TEXNOLOGIYALARNI
JORIY
ETISH
VA
INTEGRATSIYALASH MASALALARI."
Общественные науки в современном
мире: теоретические и практические исследования
3 (2024): 46-49.
11.
Madadjon, O‘Ktamov. "PEDAGOGIKA OLIY TA’LIM MUASSASALARI
TALABALARINING
INFORMATIKADAN
AXBOROT-TEXNOLOGIK
KOMPETENTLIGINI RIVOJLANTIRISH METODIKASI."
Academic research in
educational sciences
4.CSPU Conference 1 (2023): 275-281.
12.
Октамов, Мададжон, Жасмина Тошполотова, and Яйра Мусурманова.
"Aniq fanlarni o ‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalarni qo ‘llagan holda
dars jarayonlarini tashkil etish."
Новый Узбекистан: наука, образование и
инновации
1.1 (2024): 432-434.
