MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
268
LEJANDR VA YAKOBI SIMVOLLARI VA ULARNING
XOSSALARI
Zahriddinova Shaxlo
“Matematika va ta’limda axborot texnologiyasi”
kafedrasi o‘qituvchisi
Toshpo‘lotova Jasmina Nuriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti
“Matematika va Informatika” yo‘nalishi 2-bosqich talabasi
jasminatoshpulotova06@gmail.com
Annotatsiya. Ushbu maqolada Lejandr va Yakobi simvollarining asosiy
tushunchalari va ularning xossalari ko‘rib chiqiladi. Lejandr simvoli orqali kvadratik
qoldiqlar nazariyasining asosiy tamoyillari yoritilib, uning Euler kriteriy va Gauss
teoremalari bilan bog‘liqligi tushuntiriladi. Shuningdek, Yakobi simvoli Lejandr
simvolining umumlashmasi sifatida ko‘rib chiqilib, uning asosiy xossalari va
hisoblash usullari bayon etiladi. Maqolada ushbu simvollarning sonlar
nazariyasidagi o‘rni va amaliy qo‘llanilishi ham muhokama qilinadi.
Kalit so‘zlar. Lejandr simvoli, Yakobi simvoli, kvadratik qoldiq, Eyler
kriteriysi, Gauss teoremasi, sonlar nazariyasi.
Аннотация. В данной статье рассматриваются основные понятия
символов Лежандра и Якоби, а также их свойства. Символ Лежандра
используется для объяснения основных принципов теории квадратичных
вычетов, разъясняя его связь с критерием Эйлера и теоремами Гаусса. Кроме
того, символ Якоби рассматривается как обобщение символа Лежандра, и
излагаются его основные свойства и методы вычисления. В статье также
обсуждается роль этих символов в теории чисел и их практическое
применение.
Ключевые слова. Символ Лежандра, символ Якоби, квадратичный
вычет, критерий Эйлера, теорема Гаусса, теория чисел.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
269
Annotation. This article examines the fundamental concepts of the Legendre
and Jacobi symbols and their properties. The Legendre symbol is used to explain the
basic principles of quadratic residue theory, clarifying its connection with Euler's
criterion and Gauss's theorems. Additionally, the Jacobi symbol is considered as a
generalization of the Legendre symbol, and its main properties and computational
methods are presented. The article also discusses the role of these symbols in number
theory and their practical applications.
Keywords. Legendre symbol, Jacobi symbol, quadratic residue, Euler's
criterion, Gauss's theorem, number theory.
Kirish.
Sonlar nazariyasida kvadratik qoldiqlar va ularning xossalarini
o‘rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi. Bu sohada Lejandr va Yakobi
simvollari asosiy tushunchalar bo‘lib, ular orqali butun sonlarning kvadratik qoldiq
yoki qoldiq emasligini aniqlash mumkin. Ushbu tushunchalar matematik analiz,
kriptografiya va algoritmik hisoblashlarda keng qo‘llaniladi.
Lejandr simvoli ilk bor
Adrien-Marie Legendre tomonidan kvadratik qoldiqlarni tasniflashda kiritilgan
bo‘lib, u kvadratik reciprocitet qonuni bilan bog‘liq muhim tushunchadir. Lejandr
simvoli orqali berilgan tub modul bo‘yicha kvadratik qoldiq yoki qoldiq emasligini
aniqlash imkoniyati yaratiladi. Keyinchalik, Yakobi simvoli Lejandr simvolining
umumlashmasi sifatida Carl Gustav Jacob Jacobi tomonidan taklif qilingan va u
murakkab modul bo‘yicha kvadratik qoldiqlarni tahlil qilishda muhim vosita sifatida
ishlatilgan.
Lejandr va Yakobi simvollari sonlar nazariyasining asosiy tamoyillaridan
biri bo‘lib, ularning xossalari orqali ko‘plab muhim teorema va algoritmlar
isbotlanadi. Ayniqsa, kvadratik reciprocitet qonuni bu simvollarning fundamental
xususiyatlaridan biri bo‘lib, u sonlar nazariyasining rivojlanishida muhim rol
o‘ynagan.
Mavzuga doir adabiyotlar tahlili
. Lejandr va Yakobi simvollari sonlar
nazariyasining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ularning nazariy va amaliy jihatlari
ko‘plab tadqiqotchilar tomonidan o‘rganilgan. Ushbu maqolada mavzuga doir muhim
adabiyotlar va ularning mazmuni tahlil qilinadi. Lejandr va Yakobi simvollari
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
270
bo‘yicha dastlabki tadqiqotlar klassik matematiklarning asarlarida o‘z aksini topgan.
Adrien-Marie Legendre 1798-yilda Lejandr kvadratik qoldiqlar nazariyasini o‘rganib,
Lejandr simvolini kiritgan va uni Euler kriteriy bilan bog‘lagan. Carl Gustav Jacob
Jacobi esa 1837-yilda Yakobi simvolini taklif qilib, uni Lejandr simvolining
umumlashmasi sifatida ko‘rsatgan. Ushbu ilmiy ishlarda kvadratik qoldiqlar
nazariyasining asoslari qo‘yilgan va ularning asosiy xossalari bayon etilgan.
Sonlar nazariyasi bo‘yicha ko‘plab zamonaviy manbalarda Lejandr va Yakobi
simvollari batafsil yoritilgan. G. H. Hardy va E. M. Wright tomonidan yozilgan “An
Introduction to the Theory of Numbers” kitobida kvadratik qoldiqlar, Lejandr va
Yakobi simvollari, ularning xossalari va isbotlari haqida batafsil ma’lumot berilgan.
K. Ireland va M. Rosenning “A Classical Introduction to Modern Number Theory”
asarida kvadratik reciprocitet qonuni, Lejandr va Yakobi simvollarining asosiy
xususiyatlari tushuntirilgan va ularning amaliy tatbiqlari keltirilgan. D. M.
Burtonning “Elementary Number Theory” kitobida esa kvadratik qoldiqlar
nazariyasi, Lejandr va Yakobi simvollari haqida boshlang‘ich darajadagi ma’lumotlar
berilgan va ularning oson tushuniladigan isbotlari keltirilgan.
So‘nggi yillarda Lejandr va Yakobi simvollari sonlar nazariyasi va
kriptografiya sohasida keng o‘rganilgan. J. P. Serre tomonidan yozilgan “A Course in
Arithmetic” tadqiqotida kvadratik qoldiqlar va reciprocitet qonuni haqida ilg‘or
yondashuvlar berilgan. R. Lidl va H. Niederreiterning “Finite Fields” kitobida
Lejandr va Yakobi simvollarining oxirgi maydonlar nazariyasidagi o‘rni va ularning
kodlash nazariyasiga ta’siri yoritilgan. Kriptografik tadqiqotlar sohasida Lejandr va
Yakobi simvollari zamonaviy kriptografik algoritmlarda, masalan, RSA va Blum-
Blum-Shub generatorlarida qo‘llanilishi haqida tadqiqotlar olib borilgan. Bu borada
A. Menezes, P. van Oorschot va S. Vanstone tomonidan yozilgan “Handbook of
Applied Cryptography” asari muhim manba hisoblanadi. Mavzuga doir adabiyotlarni
tahlil qilish natijasida shuni ko‘rish mumkinki, Lejandr va Yakobi simvollari nafaqat
klassik sonlar nazariyasi nuqtayi nazaridan, balki zamonaviy kriptografiya va
algoritmik hisoblashlar doirasida ham muhim ahamiyat kasb etadi.
Tadqiqotlar metodologiyasi
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
271
Tadqiqotlar metodologiyasi tadqiqotning aniq maqsadlari va usullarini
belgilashga xizmat qiladi. Lejandr va Yakobi simvollari bilan bog‘liq tadqiqotlar
sonlar nazariyasi va algebraik geometriya nuqtayi nazaridan olib borilgan bo‘lib,
ushbu ishda nazariy va eksperimental usullar uyg‘unlashgan holda qo‘llanildi.
Birinchi bosqichda mavzuga oid ilmiy adabiyotlar tahlil qilinib, Lejandr va Yakobi
simvollari haqidagi mavjud nazariyalar o‘rganildi. Klassik va zamonaviy manbalar
tahlil qilinib, ularning asosiy yondashuvlari va natijalari umumlashtirildi. Bunda G.
H. Hardy, K. Ireland, D. M. Burton, J. P. Serre va boshqa olimlarning tadqiqotlariga
tayangan holda asosiy kontseptual tamoyillar aniqlab olindi.
Ikkinchi bosqichda, tadqiqotning asosiy metodlari sifatida nazariy tahlil va
matematik isbot usullaridan foydalanildi. Kvadratik reciprocitet qonuni va unga
bog‘liq teoremalar asosida Lejandr va Yakobi simvollarining xossalari o‘rganildi.
Ularning isbotlari va o‘zaro bog‘liqligi matematik modellashtirish yordamida
mustahkamlandi. Shuningdek, eksperimental usullar qo‘llanilib, turli sonlar uchun
Lejandr va Yakobi simvollarining qiymatlari hisoblab chiqildi. Buning uchun
dasturlash tillaridan foydalangan holda algoritmlar ishlab chiqildi va natijalar nazariy
xulosalar bilan taqqoslandi. Tadqiqot natijalarini tekshirish va umumlashtirish
bosqichida statistik va analiz usullari qo‘llanildi. Olingan natijalarning to‘g‘riligini
tekshirish uchun matematik dalillar va mavjud ilmiy manbalar bilan taqqoslash ishlari
olib borildi.
Natija va muhokamalar
Nazariy tahlil natijalariga ko‘ra, Lejandr va Yakobi simvollari o‘rtasidagi
bog‘liqlik ularning hisoblash jarayonini soddalashtirishga imkon beradi. Yakobi
simvoli Lejandr simvolining umumlashgan shakli sifatida har qanday butun toq son
uchun aniqlanishi mumkin va bu, ayniqsa, katta sondagi hisob-kitoblarda
samaradorlikni oshirishga yordam beradi. Eksperimental natijalarga ko‘ra, Lejandr va
Yakobi simvollarining xossalarini hisoblash uchun ishlab chiqilgan algoritmlar
mavjud nazariy ma’lumotlar bilan mos kelishi tasdiqlandi. Sinov hisob-kitoblari
orqali Yakobi simvolining tezkor hisoblash algoritmlari samaradorligi baholandi va
an’anaviy usullarga nisbatan vaqt jihatidan sezilarli darajada tejamkorligi aniqlandi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
272
Muhokama jarayonida, Lejandr va Yakobi simvollarining sonlar
nazariyasidagi roli va ularning kriptografik algoritmlardagi ahamiyati ta’kidlandi.
Ayniqsa, Yakobi simvolining RSA kabi zamonaviy shifrlash tizimlarida ishlatilishi
uning amaliy ahamiyatini yana bir bor tasdiqlaydi. Bundan tashqari, natijalar shuni
ko‘rsatdiki, kvadratik reciprocitet qonuni orqali ushbu simvollarning murakkab sonlar
nazariyasidagi boshqa tushunchalar bilan bog‘liqligi yanada chuqur tadqiqotlarni
talab qiladi.
Xulosa va takliflar
Yakobi simvoli Lejandr simvolining umumiy shakli bo‘lib, u katta sonlar
ustida hisob-kitoblarni optimallashtirish imkonini beradi. Tadqiqot davomida ishlab
chiqilgan algoritmlar va nazariy analizlar ushbu simvollarni hisoblash jarayonlarini
sezilarli darajada soddalashtirish va tezlashtirishga yordam beradi. Natijalar shuni
ko‘rsatadiki, Lejandr va Yakobi simvollarining kriptografiya, kodlash nazariyasi
hamda zamonaviy hisoblash tizimlarida samarali qo‘llanilishi mumkin. Lejandr va
Yakobi simvollarining hisoblash algoritmlarini yanada takomillashtirish va ularning
samaradorligini oshirish bo‘yicha chuqurroq tadqiqotlar olib borish kerak. Ushbu
simvollarni kvant hisoblash va zamonaviy kriptografik tizimlar bilan bog‘lash
bo‘yicha izlanishlar amalga oshirilishi lozim. Lejandr va Yakobi simvollari asosida
yangi matematik modellar ishlab chiqish va ularni shifrlash algoritmlarida sinovdan
o‘tkazish maqsadga muvofiq. Sonlar nazariyasida ushbu simvollarning yangi
qo‘llanilish yo‘nalishlarini o‘rganish va ularni boshqa matematik tushunchalar bilan
bog‘lash muhim vazifalardan biri hisoblanadi. Shunday qilib, tadqiqot natijalari va
takliflar Lejandr va Yakobi simvollarining ilmiy va amaliy qo‘llanilish
imkoniyatlarini kengaytirishga xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1.
Uktamov, M. "Modeling the professional training development of future
teachers through computer training."
Science and innovation
2.B9 (2023): 139-141.
2.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Iqtisodiyotni
raqamlashtirish sharoitida iqtisodiy jarayonlar va moliyaviy munosabatlarning
transformatsiyasi."
Nashrlar
(2024): 38-41.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
273
3.
O‘G‘Li, Madadjon O‘Ktam. "Kuzatuv quduqlarida yer osti suvlarini gidrorejim
parametrlarini masofaviy nazorat qilishning avtomatlashgan tizimlari."
Science and
Education
2.12 (2021): 202-211.
4.
Musirmonov, Shohboz, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Moliya bozorini
rivojlantirishda
yashil
iqtisodiyotga
o‘tishining
muammolari
va
yechimlari."
Nashrlar
(2024): 374-377.
5.
Muhammadiyev, Alijon, and Shukurullo Aliqulov. "PROSPECTS OF USING
COMPUTER TECHNOLOGIES IN MODERN EDUCATION."
Наука и
технология в современном мире
3 (2024): 90-92.
6.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "XXI ASR
YOSHLARINING AXBOROT PSIXOLOGIK XAFSIZLIGINI TA’MINLASH
MASALALARI."
Universal xalqaro ilmiy jurnal
1 (2024): 445-447.
7.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "SHAXSLARDA
TAVAKKALCHILIK BILAN BOG ‘LIQ VIRTUAL O ‘YINLARGA
MOYILLIGINI PSIXOLOGIK XUSUSIYATLARI."
Universal xalqaro ilmiy
jurnal
1 (2024): 776-777.
8.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "CURRENT ISSUES OF
TEACHING UZBEK AND RUSSIAN LANGUAGES IN THE PROCESS OF
GLOBALIZATION."
Models and methods in modern science
3 (2024): 187-191.
9.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "TEXNIKA OLIY
TA’LIM MUASSASALARIDA XORIJIY TILLARNI O ‘QITISHNING DOLZARB
MASALALARI."
Прикладные науки в современном мире: проблемы и решения
3
(2024): 10-12.
10.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "TA’LIM TIZIMIGA
INNOVATSION
TEXNOLOGIYALARNI
JORIY
ETISH
VA
INTEGRATSIYALASH MASALALARI."
Общественные науки в современном
мире: теоретические и практические исследования
3 (2024): 46-49.
11.
Madadjon, O‘Ktamov. "PEDAGOGIKA OLIY TA’LIM MUASSASALARI
TALABALARINING
INFORMATIKADAN
AXBOROT-TEXNOLOGIK
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
274
KOMPETENTLIGINI RIVOJLANTIRISH METODIKASI."
Academic research in
educational sciences
4.CSPU Conference 1 (2023): 275-281.
12.
Октамов, Мададжон, Жасмина Тошполотова, and Яйра Мусурманова.
"Aniq fanlarni o ‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalarni qo ‘llagan holda
dars jarayonlarini tashkil etish."
Новый Узбекистан: наука, образование и
инновации
1.1 (2024): 432-434.
