MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
260
LOBACHEVSKIY TEKISLIGINING TURLI MODELLARI.
LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASINING ZIDSIZLIGI
Zahriddinova Shaxlo
“Matematika va ta’limda axborot texnologiyasi”
kafedrasi o‘qituvchisi
Toshpo‘lotova Jasmina Nuriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti
“Matematika va Informatika” yo‘nalishi 2-bosqich talabasi
Annotatsiya. Ushbu maqolada Lobachevskiy geometriyasining asosiy
tushunchalari va uning zidsizligi masalasi ko‘rib chiqiladi. Xususan, Lobachevskiy
tekisligining turli modellari, jumladan, Poincare disk modeli, Poincare yarim tekislik
modeli va Beltrami–Klein modeli haqida batafsil ma’lumot beriladi. Shuningdek,
ushbu modellarning o‘zaro bog‘liqligi va ularning geometriya asoslari, postulatlarga
mosligi tahlil qilinadi. Maqolada Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi masalasi
ham yoritilib, uning matematik asoslari va isbotlari haqida fikr yuritiladi.
Kalit so‘zlar. Lobachevskiy geometriyasi, Poincare modeli, Beltrami–Klein
modeli, giperbolik geometriya, zidsizlik, parallel postulat, noyevklid geometriya.
Annotation. This article examines the fundamental concepts of Lobachevsky
geometry and the issue of its consistency. In particular, it provides a detailed analysis
of various models of the Lobachevsky plane, including the Poincaré disk model, the
Poincaré half-plane model, and the Beltrami–Klein model. Furthermore, the
interrelation of these models and their compatibility with the foundations of geometry
and postulates are analyzed. The article also addresses the consistency of
Lobachevsky geometry, discussing its mathematical foundations and proofs.
Keywords. Lobachevsky geometry, Poincaré model, Beltrami–Klein model,
hyperbolic geometry, consistency, parallel postulate, non-Euclidean geometry.
Аннотация. В данной статье рассматриваются основные понятия
геометрии Лобачевского и проблема её непротиворечивости. В частности,
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
261
подробно анализируются различные модели плоскости Лобачевского, включая
модель диска Пуанкаре, модель полуплоскости Пуанкаре и модель Бельтрами–
Клейна. Кроме того, исследуется взаимосвязь этих моделей и их соответствие
основам геометрии и аксиомам. В статье также затрагивается вопрос
непротиворечивости
геометрии
Лобачевского,
обсуждаются
её
математические основы и доказательства.
Ключевые слова. Геометрия Лобачевского, модель Пуанкаре, модель
Бельтрами–Клейна,
гиперболическая
геометрия, непротиворечивость,
постулат о параллельных, неевклидова геометрия.
Kirish. Evklid geometriyasi asrlar davomida matematikaning asosiy
tayanchlaridan biri bo‘lib kelgan. Biroq XIX asrda matematiklar orasida Evklidning
beshinchi postulatini isbotlashga bo‘lgan urinishlar yangi geometriyalar paydo
bo‘lishiga olib keldi. Ushbu tadqiqotlar natijasida rus matematigi Nikolay Ivanovich
Lobachevskiy tomonidan noyevklid geometriyasi yaratilgan. Lobachevskiy
geometriyasida parallel to‘g‘ri chiziqlar tushunchasi Evklid geometriyasidan farq
qiladi: berilgan to‘g‘ri chiziq va undan tashqarida yotgan nuqta orqali ushbu to‘g‘ri
chiziqqa parallel bo‘lgan bir nechta chiziqlar o‘tkazish mumkin. Ushbu yangi
geometriya klassik Evklid geometriyasining cheklovlaridan chiqib, fazoviy
tushunchalarni kengaytirishga xizmat qiladi. Lobachevskiy geometriyasining
tushunchalarini o‘rganish uchun turli matematik modellar ishlab chiqilgan. Ulardan
eng mashhurlari Poincare disk modeli, Poincare yarim tekislik modeli va Beltrami–
Klein modelidir. Ushbu modellar yordamida giperbolik fazodagi to‘g‘ri chiziqlar,
burchaklar va masofalar tushunchasi aniqlanadi hamda ushbu geometriyaning
zidsizligi isbotlanadi.
Mavzuga doir adabiyotlar tahlili
Lobachevskiy geometriyasi bo‘yicha ko‘plab ilmiy tadqiqotlar olib borilgan
bo‘lib, ushbu yo‘nalishda klassik va zamonaviy manbalar mavjud. Lobachevskiy
geometriyasining paydo bo‘lishi va rivojlanish jarayoni bo‘yicha asosiy manbalardan
biri
N.I.
Lobachevskiyning
o‘z asarlari hisoblanadi. Jumladan, uning
“Geometriyaning yangi bosh tamoyillari” (1835) nomli ishi noyevklid
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
262
geometriyasining ilk rasmiy taqdimoti hisoblanadi. Unda Lobachevskiy Evklidning
beshinchi postulatidan voz kechib, parallel chiziqlar haqida yangi qarashlarni ilgari
surgan. Shuningdek, B.R. Rosenfeldning “N.I. Lobachevskiy va uning geometriyasi”
(1976) asarida olimning hayoti, ilmiy faoliyati va uning matematikaga qo‘shgan
hissasi haqida batafsil ma’lumot berilgan.
Giperbolik geometriyaning asosiy tamoyillari va uning zidsizligi haqida S. P.
Novikov va I. M. Gelfandlarning “Matematik mantiq va geometriya” (1989) kitobida
keng yoritilgan. Ushbu kitobda matematik mantiq va geometriya tushunchalarining
bog‘liqligi, shuningdek, noyevklid geometriyaning turli modellari va ularning
matematik isbotlari keltirilgan. R. Bonola tomonidan yozilgan “Non-Euclidean
Geometry” (1912) kitobi esa klassik noyevklid geometriyaning rivojlanish tarixi va
asosiy tushunchalarini qamrab oladi. Unda Lobachevskiy va Riman geometriyalari
solishtirilib, ularning farqli jihatlari tahlil qilingan. Lobachevskiy tekisligining turli
modellari haqida H.S.M. Coxeterning “Introduction to Geometry” (1961) asari
muhim manba hisoblanadi. Ushbu kitobda Poincare disk modeli, Poincare yarim
tekislik modeli va Beltrami–Klein modeli haqida batafsil ma’lumot berilgan. Coxeter
ushbu modellarni oddiy vizual va analitik usullar yordamida tushuntirib, ularning
geometriyadagi ahamiyatini ko‘rsatgan.
Tadqiqotlar metodologiyasi
Ushbu tadqiqotda Lobachevskiy geometriyasining turli modellari va uning
zidsizligi masalasini o‘rganish uchun bir necha metodologik yondashuvlar qo‘llanildi.
Tadqiqotning nazariy va amaliy asoslarini mustahkamlash, turli modellarni tahlil
qilish va ularning geometriya tizimidagi o‘rnini aniqlash maqsadida quyidagi usullar
asos qilib olindi. Nazariy tahlil metodi - tadqiqot davomida noyevklid geometriya va
uning rivojlanish tarixi bo‘yicha mavjud ilmiy adabiyotlar, monografiyalar va ilmiy
maqolalar o‘rganildi. Ushbu usul orqali Lobachevskiy geometriyasining paydo
bo‘lishi, uning Evklid geometriyasidan farqli jihatlari va zamonaviy matematika
tizimidagi ahamiyati tahlil qilindi. Shuningdek, giperbolik fazoning asosiy
xususiyatlari, bu geometriyaning matematik va fizik sohalarda qo‘llanilishi haqida
mavjud ilmiy manbalar asosida umumiy xulosalar chiqarildi. Aksiomatik yondashuv
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
263
- Lobachevskiy geometriyasi an’anaviy Evklid geometriyasidan farqli aksiomalar
tizimiga asoslangan bo‘lib, ushbu tadqiqotda aksiomalar taqqoslab o‘rganildi.
Xususan, Evklidning beshinchi postulatidan farqli ravishda Lobachevskiy
geometriyasida parallel chiziqlar tushunchasi qanday shakllanishi matematik asoslar
bilan tushuntirildi. Ushbu metod orqali noyevklid geometriyaning nazariy izchilligi
va mantiqiy asoslari tadqiq etildi.
Matematik modellashtirish - Lobachevskiy geometriyasining turli modellarini
o‘rganish va ularning o‘zaro bog‘liqligini tushuntirish uchun matematik
modellashtirish usuli qo‘llanildi. Poincare disk modeli, Poincare yarim tekislik
modeli va Beltrami–Klein modeli orqali giperbolik fazoda to‘g‘ri chiziqlar,
masofalar, burchaklar va boshqa geometrik tushunchalarning ifodalanishi ko‘rib
chiqildi. Ushbu modellarni vizual va analitik jihatdan tahlil qilish orqali
Lobachevskiy tekisligining fazoviy tushunchalarini chuqurroq anglash imkoniyati
yaratildi. Mantiqiy dalillash va zidsizlikni isbotlash - Lobachevskiy geometriyasining
zidsizligi masalasini yoritish uchun matematik mantiq va aksiomatik tizimlarning
zidsizligi bo‘yicha olib borilgan tadqiqotlar o‘rganildi. Tadqiqotda Hilbert, Godel va
boshqa matematiklarning geometriyaning ichki zidsizligini tekshirishga oid ishlari
tahlil qilindi. Ushbu usul orqali Lobachevskiy geometriyasining ichki mantiqiy
izchilligi va uning boshqa matematik strukturalarga mos kelishi isbotlanadi. Tadqiqot
davomida qo‘llangan metodologik yondashuvlar yordamida Lobachevskiy
geometriyasining nazariy asoslari, turli modellarining matematik ifodalanishi va
uning zidsizligi har tomonlama yoritildi. Matematik modellashtirish va aksiomatik
yondashuv orqali ushbu geometriyaning mantiqiy izchilligi va amaliy ahamiyati
isbotlandi. Ushbu tadqiqot natijalari noyevklid geometriyaning matematik va fizik
fanlar bilan bog‘liq jihatlarini chuqurroq o‘rganishga imkon yaratadi.
Natija va muhokama
Tadqiqot davomida Lobachevskiy geometriyasining asosiy modellari, uning
matematik aksiomalari va zidsizlik masalasi chuqur tahlil qilindi. Olingan natijalar
ushbu geometriyaning nazariy va amaliy ahamiyatini aniqlashga imkon berdi.
Tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatdiki, Lobachevskiy geometriyasi uchta asosiy model
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
264
– Poincare disk modeli, Poincare yarim tekislik modeli va Beltrami–Klein modeli
orqali ifodalanishi mumkin. Ushbu modellar yordamida giperbolik fazoda parallel
chiziqlar, masofalar va burchaklarning qanday tasvirlanishi tushuntirildi. Xususan,
Evklidning beshinchi postulatidan voz kechish natijasida noyevklid geometriya
tamoyillari shakllangani va bu geometriyada parallel chiziqlar tushunchasi Evklid
geometriyasidan tubdan farq qilishi aniqlandi. Tadqiqot davomida matematik
aksiomatik tizimlar asosida Lobachevskiy geometriyasining ichki zidsizligi
isbotlandi. Hilbert va boshqa matematiklar tomonidan ishlab chiqilgan aksiomatik
yondashuvga tayangan holda, ushbu geometriyaning qat’iy mantiqiy asoslari borligi
ko‘rsatildi. Bu esa, noyevklid geometriyaning nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy
nuqtayi nazardan ham dolzarb ekanini tasdiqlaydi.
Shuningdek, tadqiqot Lobachevskiy geometriyasining zamonaviy fan va
texnologiyalar, jumladan, fizika va kosmologiya sohalarida keng qo‘llanilishini
ko‘rsatdi. Albert Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasi giperbolik fazolar bilan
bog‘liq bo‘lib, Lobachevskiy geometriyasi bilan uzviy aloqadorligi aniqlandi.
Bundan tashqari, ushbu geometriya axborot texnologiyalari va muhandislik
sohalarida ham qo‘llanilishi mumkinligi tadqiqot davomida aniqlab berildi. Tadqiqot
natijalari noyevklid geometriyaning matematik sistemalar ichida mustahkam o‘rin
egallaganligini ko‘rsatdi. Uning zidsizligi, amaliy ahamiyati va turli modellar
yordamida vizual hamda analitik jihatdan tasvirlanishi uni yanada chuqurroq
o‘rganish uchun qulay imkoniyat yaratadi. Kelgusida Lobachevskiy geometriyasining
fizika va muhandislik sohalaridagi qo‘llanilish imkoniyatlarini yanada kengroq
o‘rganish tavsiya etiladi.
Xulosa va takliflar
Lobachevskiy
geometriyasi
noyevklid
geometriyaning
asosiy
yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, uning zidsizligi isbotlangan va turli modellar orqali
ifodalanishi tasdiqlangan. Tadqiqot davomida ushbu geometriyaning asosiy
tamoyillari, Poincare disk modeli, Poincare yarim tekislik modeli hamda Beltrami–
Klein modeli orqali qanday tasvirlanishi ko‘rib chiqildi. Olingan natijalar shuni
ko‘rsatdiki, Lobachevskiy geometriyasi fazoviy tuzilmalarni o‘rganishda muhim
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
265
nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.Shuningdek, tadqiqot jarayonida Lobachevskiy
geometriyasining zidsizligi va mantiqiy izchilligi matematik aksiomatik tizimlar
asosida isbotlandi. Ushbu geometriyaning fizikaga, xususan, Eynshteynning umumiy
nisbiylik nazariyasiga bevosita aloqadorligi aniqlangan bo‘lib, u zamonaviy fan va
texnologiyalar uchun ham muhim ahamiyat kasb etishi tasdiqlandi.
Tadqiqot natijalariga tayangan holda quyidagi takliflarni ilgari qo‘yamiz.
Birinchidan, matematika ta’limida noyevklid geometriyani kengroq o‘rganish zarur.
Lobachevskiy geometriyasi umumiy o‘rta ta’lim va oliy ta’lim dasturlariga chuqurroq
kiritilishi lozim. Bu talabalar va tadqiqotchilarning fazoviy geometriyani chuqurroq
tushunishiga yordam beradi. Ikkinchidan, Lobachevskiy geometriyasi modellarining
amaliy tadqiq etilishi muhim ahamiyatga ega. Giperbolik fazolarni ifodalovchi
modellar fizika, informatika va muhandislik sohalarida kengroq qo‘llanilishi uchun
ilmiy-tadqiqot ishlarini rivojlantirish zarur.
Uchinchidan, noyevklid geometriyaning zamonaviy texnologiyalarga
tatbiqini kengaytirish lozim. Lobachevskiy geometriyasi kvant fizikasi, axborot
texnologiyalari va sun’iy intellekt sohalarida tadbiq etilishi mumkin. Shu sababli,
mazkur yo‘nalishdagi ilmiy izlanishlarni kengaytirish lozim. To‘rtinchidan,
matematik modellashtirish va kompyuter dasturlaridan foydalanish imkoniyatlarini
oshirish zarur. Lobachevskiy geometriyasini chuqurroq o‘rganish va vizualizatsiya
qilish uchun kompyuter dasturlaridan, jumladan, MATLAB, GeoGebra va boshqa
matematik simulyatsiya vositalaridan keng foydalanish tavsiya etiladi. Xulosa qilib
aytganda, Lobachevskiy geometriyasi matematik, fizik va texnologik tadqiqotlar
uchun muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Uning ta’lim jarayonida va amaliy
fanlarda qo‘llanilishini kengaytirish ushbu yo‘nalishda yangi ilmiy natijalarga
erishish imkonini beradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
Uktamov, M. "Modeling the professional training development of future teachers
through computer training." Science and innovation 2.B9 (2023): 139-141.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
266
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Iqtisodiyotni raqamlashtirish
sharoitida
iqtisodiy
jarayonlar
va
moliyaviy
munosabatlarning
transformatsiyasi." Nashrlar (2024): 38-41.
O‘G‘Li, Madadjon O‘Ktam. "Kuzatuv quduqlarida yer osti suvlarini gidrorejim
parametrlarini masofaviy nazorat qilishning avtomatlashgan tizimlari." Science and
Education 2.12 (2021): 202-211.
Musirmonov, Shohboz, and Jasmina Toshpo‘lotova. "Moliya bozorini
rivojlantirishda
yashil
iqtisodiyotga
o‘tishining
muammolari
va
yechimlari." Nashrlar (2024): 374-377.
Muhammadiyev, Alijon, and Shukurullo Aliqulov. "PROSPECTS OF USING
COMPUTER TECHNOLOGIES IN MODERN EDUCATION." Наука и
технология в современном мире 3 (2024): 90-92.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "XXI ASR YOSHLARINING
AXBOROT
PSIXOLOGIK
XAFSIZLIGINI
TA’MINLASH
MASALALARI." Universal xalqaro ilmiy jurnal 1 (2024): 445-447.
Musurmanova,
Yayra,
and
Jasmina
Toshpo‘lotova.
"SHAXSLARDA
TAVAKKALCHILIK BILAN BOG ‘LIQ VIRTUAL O ‘YINLARGA
MOYILLIGINI PSIXOLOGIK XUSUSIYATLARI." Universal xalqaro ilmiy
jurnal 1 (2024): 776-777.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "CURRENT ISSUES OF
TEACHING UZBEK AND RUSSIAN LANGUAGES IN THE PROCESS OF
GLOBALIZATION." Models and methods in modern science 3 (2024): 187-191.
Musurmanova, Yayra, and Jasmina Toshpo‘lotova. "TEXNIKA OLIY TA'LIM
MUASSASALARIDA XORIJIY TILLARNI O ‘QITISHNING DOLZARB
MASALALARI." Прикладные науки в современном мире: проблемы и
решения 3 (2024): 10-12.
Toshpo‘lotova, Jasmina, and Yayra Musurmanova. "TA’LIM TIZIMIGA
INNOVATSION
TEXNOLOGIYALARNI
JORIY
ETISH
VA
INTEGRATSIYALASH MASALALARI." Общественные науки в современном
мире: теоретические и практические исследования 3 (2024): 46-49.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-23
Часть–2_ Март –2025
267
Madadjon, O‘Ktamov. "PEDAGOGIKA OLIY TA’LIM MUASSASALARI
TALABALARINING
INFORMATIKADAN
AXBOROT-TEXNOLOGIK
KOMPETENTLIGINI RIVOJLANTIRISH METODIKASI." Academic research in
educational sciences 4.CSPU Conference 1 (2023): 275-281.
Октамов, Мададжон, Жасмина Тошполотова, and Яйра Мусурманова. "Aniq
fanlarni o ‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalarni qo ‘llagan holda dars
jarayonlarini tashkil etish." Новый Узбекистан: наука, образование и
инновации 1.1 (2024): 432-434.
