Yanvar, 2025-Yil
145
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
А.Калилаев
Каракалпакский государственный университет имени Бердаха
Учитель.
Нилуфар Уразбаева
Студент.
https://doi.org/10.5281/zenodo.14634671
Аннотация. В статье рассматривается понятие момента импульса в квантовой
механике, являющееся фундаментальной характеристикой микрочастиц. Описываются
операторы момента импульса, их квантование и коммутационные соотношения. Особое
внимание уделено различию между орбитальным моментом импульса, возникающим
вследствие движения частицы в пространстве, и спином — внутренним моментом
импульса, не связанным с пространственным положением. Приводятся собственные
значения операторов момента импульса и проекции на оси, обсуждаются их физические
интерпретации. Важное место занимают сферические гармоники как решение задач с
центральными силами, а также роль момента импульса в симметриях квантовых
систем.
Ключевые слова: квантование, операторы момента импульса, спин, орбитальное
квантовое число, коммутационные соотношения, сферические гармоники, собственные
значения, проекция момента импульса.
Момент импульса в квантовой механике — это одно из фундаментальных понятий,
связанное с симметрией вращения и важное для описания движения микрочастиц. Он
отличается от классической механики рядом особенностей, связанных с квантованием.
Оператор момента импульса. В квантовой механике момент импульса описывается
оператором, который действует на волновую функцию. Он связан с вращением и
симметрией пространственных перемещений. Для трехмерного пространства его
компоненты по осям
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
записываются через операторы координат
𝑟
̂ = (
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
) и
импульса
𝑝
̂ = (
𝑝𝑥
,
𝑝𝑦
,
𝑝𝑧
) следующим образом:
𝐿
̂
𝑥
=
𝑦
̂
𝑝
̂
𝑧
−
𝑧
̂
𝑝
̂
𝑦
,
𝐿
̂
𝑦
=
𝑧
̂
𝑝
̂
𝑥
−
𝑥
̂
𝑝
̂
𝑧
,
𝐿
̂
𝑧
=
𝑥
̂
𝑝
̂
𝑦
−
𝑦
̂
𝑝
̂
𝑥
Здесь
𝐿
̂
𝑥
,
𝐿
̂
𝑦
,
𝐿
̂
𝑧
— это компоненты оператора момента импульса.
Квантование момента импульса. Основное отличие квантовой механики от
Yanvar, 2025-Yil
146
классической заключается в том, что момент импульса может принимать только
дискретные значения. Это квантование связано с тем, что собственные значения
операторов момента импульса оказываются квантованными
Для полного момента импульса
𝐿
̂
2
, который равен сумме квадратов его
компонентов:
𝐿
̂
2
=
𝐿
̂
2
+
𝐿
̂
2
+
𝐿
̂
2
𝑥
𝑦
𝑧
Собственные значения оператора выражаются как:
𝐿
2
= ℏ
2
𝑙
(
𝑙
+ 1)
где
𝑙
— это орбитальное квантовое число, которое может принимать целые
значения
𝑙
= 0,1,2,3, ….
Компоненты момента импульса также квантованы. Например, для проекции на ось
𝑧
(оператор
𝐿
̂
𝑧
) собственные значения равны:
𝐿𝑧
= ℏ
𝑚𝑙
где
𝑚𝑙
— это магнитное квантовое число, которое может принимать значения
𝑚𝑙
= −
𝑙
, −
𝑙
+ 1, … ,
𝑙
− 1,
𝑙
.
Спин как внутренний момент импульса. В квантовой механике наряду с
орбитальным моментом импульса существует еще одна форма момента импульса — спин.
Спин — это внутренняя характеристика частиц, которая не связана с движением в
пространстве. Он также квантован, и собственные значения спина для частицы
характеризуются спиновым квантовым числом
𝑠
. Для электрона, например, и возможные проекции спина на ось равны:
ℏ
𝑆𝑧
= ±
2
Коммутационные соотношения. Операторы момента импульса не коммутируют
между собой, что приводит к ограничению на возможность одновременного точного
измерения всех его компонент. Коммутационные соотношения для компонент момента
импульса следующие:
[
𝐿
̂
𝑥
,
𝐿
̂
𝑦
] =
𝑖
ℏ
𝐿
̂
𝑧
, [
𝐿
̂
𝑦
,
𝐿
̂
𝑧
] =
𝑖
ℏ
𝐿
̂
𝑥
, [
𝐿
̂
𝑧
,
𝐿
̂
𝑥
] =
𝑖
ℏ
𝐿
̂
𝑦
Это означает, что нельзя точно знать одновременно, например,
𝐿𝑥
и
𝐿𝑦
, но можно
знать
𝐿
2
и одну из компонент, например,
𝐿𝑧
.
Yanvar, 2025-Yil
147
𝑙
Сферические гармоники. В задачах, связанных с центральными силами
(например, в атоме водорода), момент импульса играет важную роль, и волновая
функция часто записывается в терминах сферических гармоник. Эти функции
𝑌
𝑚𝑙
(
𝜃
,
𝜙
)
являются собственными функциями операторов
𝐿
̂
2
и
𝐿
̂
𝑧
.
Заключение
Момент импульса в квантовой механике — это фундаментальное понятие,
тесно связанное с симметрией и дискретностью возможных состояний частиц. Это
квантованная величина, которая описывается через операторы и их собственные значения.
REFERENCES
1.
Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Курс теоретической ф изики: Учеб. пособ.: Для
вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 6-е изд.,
испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 800 с. - ISBN 5-9221- 0530-2
2.
Сакурай Д. Дж., Наполитано Дж. Современная квантовая механика. — М.:
Физматлит, 2014
3.
В.Н.Глазков, «Введение в квантовую физику» v.20.12.2015
4.
Месси А. Квантовая механика. — М.: Мир, 1971
5.
Фейнмановские лекции по физике. Т. I (1–2) / Ричард Фейнман, Роберт Лейтон,
Мэтью Сэндс; [пер. с англ. О.А. Хрусталева, Г.И. Копылова, А.В. Ефремова]. —
Москва: Издательство АСТ, 2019. — 448 с. — (Фейнмановские лекции по физике)
6.
Швингер Дж. — «Квантовая теория момента импульса»
7.
Барбье Л. — «Теория спина в квантовой механике»
