Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
51
KINEMATIK MASALA VA UNING YECHIMLARI
Kamalova Dilnavoz Ixtiyorovna
NDU “Fizika va astronomiya” kafedrasi professori
SHomurodova SHahzoda Akbar qizi
NDU “Fizika va astronomiya” yo’nalishi 2-bosqich talabasi
Annotatsiya:
Mazkur metodik qo‘llanmada kinematika bo‘yicha tanlab olingan
masalalarning to‘liq, bosqichma-bosqich yechimlari bayon etilgan. Har bir yechimda
fizik qonuniyatlar, tegishli formulalar va grafik tasvirlar asosida tahlil o‘tkaziladi.
Qo‘llanma umumiy o‘rta ta’lim, kasb-hunar maktablari, akademik litsey va kollej
o‘quvchilari, shuningdek, pedagoglar hamda oliy ta’limga tayyorgarlik ko‘ruvchilar
uchun mo‘ljallangan.
Kalit so'zlar:
Harakat turlari, kinematik tahlil, fizik qonunlar, grafiklar, masala
yechimi, o‘quv qo‘llanma, formulalar, tezlanish, vaqt, masofa
Аннотация:
В данном методическом пособии представлены полные
поэтапные решения отобранных задач по кинематике. В процессе решения
используются физические законы, соответствующие формулы и графические
иллюстрации. Пособие предназначено для учащихся общеобразовательных
школ, профессиональных колледжей, академических лицеев, а также для
преподавателей и абитуриентов.
Ключевые слова:
Bиды движения, кинематический анализ, физические
законы, графики, решение задач, учебное пособие, формулы, ускорение, время,
расстояние
Abstrakt:
This methodological guide contains fully detailed step-by-step
solutions to selected problems in kinematics. Each solution is analyzed using physical
laws, relevant formulas, and visual diagrams. The manual is designed for secondary
school students, vocational learners, academic lyceum attendees, teachers, and
university applicants.
Keywords:
types of motion, kinematic analysis, physical laws,
graphs, problem solving, educational guide, formulas, acceleration, time, distance.
1-masala:
Tramvay a tezlanish bilan harakatni boshladi. Undan L masofa orqada turgan
odam
𝑣
0
tezlik bilan tramvayga yugurdi. Odam tramvayga yetib ola oladimi? Agar ha
bo'lsa, qancha vaqtdan keyin?
Yechim:
Odamning bosib o'tgan masofasi:
𝑥
𝑜𝑑𝑎𝑚
= 𝑣
0
𝑡
.
Tramvayning bosib o'tgan masofasi:
𝑥
𝑡𝑟𝑎𝑚𝑣𝑎𝑦
=
𝑎𝑡
2
2
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
52
Odam tramvayga yetib olishi uchun
𝑥
𝑜𝑑𝑎𝑚
= 𝐿 + 𝑥
𝑡𝑟𝑎𝑚𝑣𝑎𝑦
bo'lishi kerak.
𝑣
0
𝑡 = 𝐿 +
𝑎𝑡
2
2
𝑣
0
𝑡 − 𝐿 −
𝑎𝑡
2
2
= 0
𝑎𝑡
2
− 2𝑣
0
𝑡 + 2 𝐿 = 0
Bu kvadrat tenglamani yechamiz:
𝑡 =
2𝑣
0
± √2𝑣
0
2
− 4𝑎(2𝐿)
2𝑎
Odam tramvayga yetib olishi uchun diskriminant
𝐷 = 𝑣
0
2
− 2𝑎𝐿 ≥ 0
bo'lishi
kerak.
Demak,
𝑣
0
2
≥ 2𝑎𝐿
bo'lsa, yetib ola oladi.
Agar D < 0 bo'lsa, yetib ola olmaydi.
Agar D = 0 bo'lsa, odam bir marta yetib oladi va tramvay bilan bir xil tezlikda
harakat qiladi.
Agar D > 0 bo'lsa, ikkita yechim mavjud:
𝑡
1
=
𝑣
0
−√𝑣
0
2
−2𝑎𝐿
𝑎
(birinchi
uchrashish) va
𝑡
1
=
𝑣
0
+√𝑣
0
2
−2𝑎𝐿
𝑎
(agar odam yugurishni davom ettirsa, tramvay uni
quvib o'tadi va keyin u odamni yana quvib yetishi mumkin, lekin bu odatda hisobga
olinmaydi). Birinchi vaqt yechim sifatida olinadi.
2-masala:
Tinch holatdan harakatni boshlagan jismning tezlanishi
𝑎(𝑡) = 𝑘𝑡
qonuni bilan
berilgan, bu yerda
𝑘
musbat doimiy. Jismning
𝑇
vaqtdan keyingi tezligini va bosib
o'tgan masofasini toping.
Yechim:
Tezlikni topish uchun tezlanishni integrallaymiz:
𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡)𝑑(𝑡) =
𝑘𝑡
2
2
+ 𝐶
Tinch holatdan boshlagani uchun
𝑣(0) = 0
𝐶
1
= 0
𝑣(𝑡) =
𝑘𝑡
2
2
T vaqtdan keyingi tezlik:
𝑣(𝑇) =
𝑘𝑡
2
2
Masofani topish uchun tezlikni integrallaymiz:
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
53
𝑥(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑(𝑡) = ∫
𝑘𝑡
2
2
𝑑(𝑡) =
𝑘𝑡
3
6
+ 𝐶
2
𝑥(0) = 0
𝐶
2
= 0
𝑥(𝑡) =
𝑘𝑡
3
6
T
vaqtdan
keyingi
masofa:
𝑥(𝑇) =
𝑘𝑇
3
6
3-masala:
Balandligi
𝐻
bo'lgan minoradan bir vaqtda ikkita tosh otildi: birinchisi gorizontal
𝑣
1
tezlik bilan, ikkinchisi pastga
𝑣
2
tezlik bilan. Ularning yerga tushish vaqtlari qanday
farq qiladi?
Yechim:
Birinchi tosh (gorizontal otilgan): Vertikal harakat faqat erkin tushish.
𝐻 =
𝑔𝑡
1
2
2
𝑡
1
= √
2𝐻
𝑔
Ikkinchi tosh (pastga otilgan): Vertikal harakat
tezlanuvchan, boshlang'ich tezlik
𝑣
2
𝐻 = 𝑣
2
𝑡
2
+
𝑔𝑡
2
2
2
2𝑣
2
𝑡
2
+ 𝑔𝑡
2
2
− 2𝐻 = 0
𝑡
2
=
−2𝑣
2
± √(2𝑣
2
)
2
− 4𝑔(−2𝐻)
2𝑔
Vaqt musbat bo'lishi kerak, shuning uchun
𝑡
2
=
−𝑣
2
± √(𝑣
2
)
2
+ 4𝑔𝐻
2𝑔
Vaqtlar farqi:
|𝑡
1
− 𝑡
2
| =
|
|√2𝐻
𝑔
−
−𝑣
2
+ √𝑣
2
2
+ √𝑣
2
2
+ 2𝑔𝐻
𝑔
|
|
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
54
4-masala:
Aylanma yo'l bo'ylab
𝑅
radiusli aylana bo'ylab harakatlanayotgan jismning
tezligi
𝑣(𝑡) = 𝑘𝑡
2
qonuni bilan o'zgaradi. Uning
𝑡
vaqtdagi urinma tezlanishini va
normal tezlanishini toping.
Yechim:
Urinma tezlanish (tangensial tezlanish) tezlikning o'zgarish tezligini ifodalaydi:
𝑎
𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑘𝑡
2
)
𝑑𝑡
= 2𝑡
Normal tezlanish (markazga intiluvchi tezlanish) tezlik vektorining yo'nalish
o'zgarishi tufayli yuzaga keladi:
𝑎
𝑛
=
𝑣
2
𝑅
=
(𝑘𝑡
2
)
2
𝑅
=
𝑘
2
𝑡
4
𝑅
5-masala:
Masala: Vertikal devorga
𝑣
0
tezlikda, gorizontga
𝜃
burchak ostida otilgan jism
devorga tegish vaqtini va devorga tegish balandligini toping. Devorning masofasi
𝐿
.
Havoning qarshiligini hisobga olmang. (Masalada "Havoning qarshiligini hisobga
oling" deyilgan, lekin odatda olimpiada masalalarida, agar boshqacha aytilmagan
bo'lsa, havoning qarshiligi hisobga olinmaydi. Agar hisobga olinsa, yechish ancha
murakkablashadi va analitik yechim har doim ham topilavermaydi. Shuning uchun
standart holatda yechim beriladi).
Yechim:
Jismning gorizontal harakati tekis harakatdir:
𝑥(𝑡) = (𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃 )𝑡
Jism devorga
𝑥(𝑡) = 𝐿
bo'lganda tegadi:
𝐿 = (𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃 )𝑡
𝑡
𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ
=
𝐿
𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃
Vertikal harakat:
𝑦(𝑡) = (𝑣
0
𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑡 −
𝑔𝑡
2
2
Devorga tegish balandligi:
𝑦
𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ
= (𝑣
0
𝑠𝑖𝑛𝜃) (
𝐿
𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃
) −
𝑔
2
(
𝐿
𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃
)
𝑦
𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ
= 𝐿𝑡𝑎𝑛𝜃 −
𝑔𝐿
2
2𝑣
0
2
𝑐𝑜𝑠
2
𝜃
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
55
6-masala:
Qudug'ga tosh tashlandi va uning suvga tegish ovozi t vaqtdan keyin eshitildi.
Qudug'ning chuqurligini toping. Tovush tezligi c ga teng.
Yechim:
Toshning quduq tubiga tushish vaqti
𝑡
1
ℎ =
𝑔𝑡
1
2
2
𝑡
1
= √
2ℎ
𝑔
Tovushning tepaga ko'tarilish vaqti
𝑡
2
ℎ = 𝑐𝑡
2
𝑡
2
=
ℎ
𝑐
Umumiy vaqt :
𝑡 = 𝑡
1
+ 𝑡
2
𝑡 = √
2ℎ
𝑔
+
ℎ
𝑐
Bu yerdan h ni topish kerak.
𝑡 −
ℎ
𝑐
= √
2ℎ
𝑔
Kvadratga ko'taramiz:
(𝑡 −
ℎ
𝑐
)
2
=
2ℎ
𝑔
1
𝑐
2
ℎ
2
−
2(𝑡𝑔 + 𝑐)
𝑐𝑔
ℎ + 𝑡
2
= 0
Bu
ℎ
ga nisbatan kvadrat tenglama. Diskriminant va kvadrat formula
yordamida h ni topish mumkin. (Odatda,
𝑐 ≫ √2𝑔ℎ
bo'lgani uchun
ℎ
𝑐
ni e'tiborsiz
qoldirish mumkin, u holda
𝑡 ≈ √
2ℎ
𝑔
va
ℎ ≈
𝑔𝑡
2
2
.
7-masala:
Bir nuqtadan
𝑣
1
tezlik bilan harakatlangan jism, undan
𝑇
vaqtdan keyin xuddi shu
yo'nalishda
𝑣
2
tezlik bilan boshqa jism harakatlandi. Ikkinchi jism birinchisini qancha
vaqtdan keyin quvib yetadi?
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
56
Yechim:
Birinchi jism
𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
vaqtda bosib o'tgan masofasi:
𝑆
1
= 𝑣
1
𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
Ikkinchi jism
𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
− 𝑇
vaqtda bosib o'tgan masofasi:
𝑆
1
=
𝑣
1
( 𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
− 𝑇)
.
Ular quvib yetganda,
𝑆
1
= 𝑆
1
.
𝑣
1
𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
=
𝑣
2
( 𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
− 𝑇)
.
𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
=
𝑣
2
𝑇
𝑣
1
− 𝑣
2
Ikkinchi jism harakat boshlagandan keyin qancha vaqtdan so'ng quvib yetishi:
𝑡
𝑞𝑢𝑣𝑖𝑏 𝑦𝑒𝑡𝑖𝑠ℎ
= 𝑡
𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦
− 𝑇 =
𝑣
2
𝑇
𝑣
1
− 𝑣
2
− 𝑇 =
2𝑣
2
𝑇
𝑣
1
− 𝑣
2
Bu yechim
𝑣
2
> 𝑣
1
bo'lgan holat uchun o'rinli. Agar
𝑣
2
≤ 𝑣
1
bo'lsa, ikkinchi
jism birinchisini quvib yeta olmaydi.
8-masala:
Yuguruvchi
100
metr masofani
𝑡
1
vaqtda yugurdi va ortga qaytib yana 100 metr
masofani
𝑡
2
vaqtda yugurdi. Uning butun yo'ldagi o'rtacha tezligini va o'rtacha
tezlanishini toping.
Yechim:
Umumiy bosib o'tgan masofa (yo'l):
𝑆 = 100𝑚 + 100𝑚 = 200𝑚
Umumiy
vaqt:
𝑇 = 𝑡
1
+ 𝑡
2
O'rtacha tezlik (skalyar):
𝑣
𝑜
′
𝑟𝑡
=
𝑆
𝑇
O'rtacha tezlanishni topish
uchun tezlik o'zgarishi kerak. Lekin bu yerda boshlang'ich va oxirgi tezliklar
berilmagan, faqat o'rtacha tezlik haqida gap ketmoqda.
O'rtacha tezlanishni aniq hisoblash uchun boshlang'ich va oxirgi nuqtalardagi
tezliklar kerak. Agar "o'rtacha tezlanish" deganda tezlik vektorining o'zgarishi
nazarda tutilsa, yuguruvchi boshlang'ich nuqtaga qaytib kelganligi sababli, uning
umumiy siljishi nolga teng.
Agar jism boshlang'ich nuqtaga qaytib kelsa, o'rtacha siljish tezligi nolga teng,
chunki siljish vektori nolga teng.
O'rtacha tezlanish esa
𝑎
𝑜′𝑟𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
∆𝑣
∆𝑡
. Bu yerda
∆𝑣
aniq emas. Odatda bu turdagi
masalalarda "o'rtacha tezlik" so'zi o'rtacha yo'l tezligi ma'nosida ishlatiladi.
Agar masalada "o'rtacha tezlanish" so'zi berilgan bo'lsa va boshlang'ich va
oxirgi tezliklar haqida ma'lumot bo'lmasa, uni topish mumkin emas. Ehtimol, bu
savolda "o'rtacha tezlik" (skalyar) tushunilgan.
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
57
9-masala:
Oqim tezligi
𝑣
𝑜
bo'lgan daryo bo'ylab, daryo kengligi
𝐿
. Qayiqning suvga nisbatan
tezligi
𝑣
𝑞
. Qayiqning daryoni eng qisqa vaqtda va eng qisqa masofada kesib o'tishi
uchun uning tezligi qanday yo'naltirilishi kerak?
Yechim:
Eng qisqa vaqtda kesib o'tish:
Qayiq daryo oqimiga perpendikulyar yo'nalishda harakatlanishi kerak, ya'ni
𝑣
𝑞
daryo oqimiga
90
daraja burchak ostida.
Vaqt:
𝑡
𝑚𝑖𝑛
=
𝐿
𝑣
𝑞
Bu holda qayiq oqim bo'ylab
𝑆
𝑥
= 𝑣
𝑜
𝑡
𝑚𝑖𝑛
= 𝑣
𝑜
𝐿
𝑣
𝑞
masofaga siljiydi.
Eng qisqa masofada (to'g'ri qarama-qarshi sohildan chiqish) kesib o'tish:
Qayiqning yerga nisbatan tezligi daryo oqimiga perpendikulyar bo'lishi kerak.
Buning uchun qayiq suvga nisbatan ma'lum bir burchak
𝛼
ostida, oqimga qarshi
yo'nalishda harakatlanishi kerak.
Bu holda
𝑣
𝑦𝑒𝑟
= √𝑣
𝑞
2
− 𝑣
𝑜
2
(Pifagor teoremasi bo'yicha). Bu faqat
𝑣
𝑞
>
𝑣
𝑜
bo'lgandagina mumkin.
Agar
𝑣
𝑞
≤ 𝑣
𝑜
bo'lsa, qayiq hech qachon to'g'ri qarama-qarshi sohildan chiqa
olmaydi.
Vaqt:
𝑡 =
𝐿
𝑣
𝑦𝑒𝑟
=
𝐿
√𝑣
𝑞
2
− 𝑣
𝑜
2
Yo'nalish:
𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑣
𝑜
𝑣
𝑞
, bu yerda
𝛼
daryo oqimiga qarshi yo'nalishdagi
burchak.
10-masala:
Vertikal yuqoriga otilgan jism, uchish nuqtasiga qaytib kelgunicha
𝑇
vaqt o'tgan
bo'lsa, uning boshlang'ich tezligini va maksimal balandligini toping. Havoning
qarshiligini hisobga olmang.
Yechim:
Ko'tarilish vaqti tushish vaqtiga teng, va umumiy vaqtning yarmiga teng:
𝑡
𝑘𝑜
′
𝑡𝑎𝑟𝑖𝑙𝑖𝑠ℎ
= 𝑡
𝑡𝑢𝑠ℎ𝑖𝑠ℎ
=
𝑇
2
Ko'tarilish vaqti formulasi:
Ta'limda raqamli texnologiyalarni tadbiq etishning zamonaviy tendensiyalari va rivojlanish omillari
45-to’plam_2-qism_Iyul-2025
58
𝑡
𝑘𝑜
′
𝑡𝑎𝑟𝑖𝑙𝑖𝑠ℎ
=
𝑣
0
𝑔
Demak,
𝑇
2
=
𝑣
0
𝑔
𝑣
0
=
𝑔𝑇
2
Maksimal balandlik formulasi:
𝐻
𝑚𝑎𝑥
=
𝑣
0
2
2𝑔
𝐻
𝑚𝑎𝑥
=
(𝑔𝑇/2)
2
2𝑔
=
𝑔
2
𝑇
2
/4
2𝑔
=
𝑔𝑇
2
8
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1
Fizika. Umumiy o'rta ta'lim maktablarining 10-sinfi uchun darslik. * M. Nuritdinov,
A. Abdukarimov, R. Abdullayev. Fizika (Mexanika). Toshkent: "O'qituvchi", 2007.
2
H.R. Rahimov, Sh.B. Boltaboyev. Fizika (Mexanika, Molekulyar fizika). Toshkent:
Adabiyot uchqunlari, 2012.
3
R. Fayzullayev. Fizika. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun darslik.
Toshkent: Fan va texnologiya, 2010.
4
D.V. Sivuxin. Umumiy fizika kursi. I tom. Mexanika. Moskva: Nauka, 1979.
5
I.V. Saveliev. Umumiy fizika kursi. 1-tom. Mexanika. Moskva: Nauka, 2001.
