ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
125
ARALASH TIPDAGI TENGLAMA UCHUN TRIKOMI MASALASI.
Chorieva S.T.
f.-m.f.f.d. (PhD), dots. TerDU.
Yuldosheva Ch.T.
1-kurs magistrant, TerDU.
Mamaraimov B.Q.
Aniq fanlar kafedrasi mudiri, TerDUAL.
https://doi.org/10.5281/zenodo.10781502
Annotatsiya.
Aralash tipdagi tenglama uchun Trikomi masalasining qo’yilishi,
ta’riflangan masalalarning yechimlarining yagonaligi yekstremum printsipi asosida isbotlanishi
keltirilgan, Trikomidan keyingi ishlar va ular yechimlari haqida so’z yuritilgan.
Kalit so’zlar:
aralash tipdagi tenglama, Trikomi masalasi, xarakteristika, singulyar
integral tenglama, Bitsadze-Samarskiy masalasi.
TRICOMI'S PROBLEM FOR A MIXED-TYPE EQUATION.
Abstract.
Tricomi's problem for a mixed type equation is presented, the uniqueness of the
solutions of the described problems is proved based on the extremum principle, works after
Tricomi and their solutions are discussed.
Key words:
equation of mixed type, Tricomi problem, characteristic, singular integral
equation, Bitsadze-Samarsky problem.
ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА.
Аннотация.
Представлена задача Трикоми для уравнения смешанного типа,
доказана единственность решения описанных задач на основе принципа экстремума,
обсуждаются работы после Трикоми и их решения.
Ключевые слова:
уравнение смешанного типа, задача Трикоми, характеристика,
сингулярное интегральное уравнение, задача Бицадзе-Самарского.
Ko’plab ilmiy-amaliy tadqiqotlar aralash turdagi tenglamalar uchun lokal va nolokal
chegaraviy masalalarni tadqiq etishga olib keladi. Bu masalalar ko’plab fizik, ximik va biologik
jarayonlarning tabiiy matematik modeli hisoblanadi va ular gaz dinamikasida, aerodinamikada,
gidrodinamikada, sirtlarning cheksiz kichik egilishi nazariyasida, matematik biologiyada va
fanning boshqa bo’limlarida o’z tadbiqlarini topgandir. Tabiiy jarayonlarning matematik
modellarini tadqiq etish aralash turdagi tenglamalarning nazariy asosini tashkil etadi.
Singulyar koeffitsientli aralash turdagi tenglamalar uchun, kichik hadlar oldidagi
koeffitsientlari qabul qiladigan qiymatlariga qarab korrekt masalalarni qo’yish va ularni tadqiq
etish ilmiy izlanishlarning muhim yo’nalishlaridan hisoblanadi. Aralash tipdagi tenglama deb, u
o’rganilayotgan sohaning bir qismida yelliptik, qolgan qismida yesa giperbolik tipga tegishli
bo’lgan tenglamaga aytiladi. Sohaning bu qismlari o’tish chiziqlari bilan ajratilgan bo’lib, unda
tenglama parabolik tipda bo’ladi yoki tenglama aniqlanmagan.
Aralash turdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalani 1920-yilda birinchi bo’lib italyan
matematigi Franchesko Trikomi o’rgandi.
Ushbu Trikomi tenglamasi
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
126
0
2
2
2
2
y
u
x
u
y
(1)
0
y
yarim tekislikda uchlari
)
0
,
1
(
A
va
)
0
,
1
(
B
nuqtada bo’lgan va
0
y
yarim
tekislikda yotuvchi
)
(
:
x
f
y
chiziq bilan,
0
y
yarim tekislikda yesa (1) tenglamaning A
va B nuqtalardan chiquvchi
0
)
(
3
2
:
2
3
y
x
AC
1
)
(
3
2
:
2
3
y
x
BC
xaraktiristikalar bilan chegaralangan bir bog’lamli D sohada o’rganiladi.
Trikomi masalasi:
D sohada (1) tenglamanig ushbu
l
s
s
u
0
),
(
2
1
0
),
(
x
x
u
AC
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin, bu yerda
s
chiziqning
)
0
;
1
(
B
nuqtdan boshlab hisoblanga
𝐵𝑀
̌
yoyi uzunligi
)
(
,
s
y
s
x
M
,
)
(
),
(
x
s
berilgan uzliksiz silliq funksiyalar.
Izoh:
)
,
(
y
x
u
funksiya (1) tenglamaning regulyar yechimi deyiladi, agarda bu funksiya
ushbu shartlarni qanoarlantirsa:
1)
)
,
(
y
x
u
D
yopiq sohada uzluksiz;
2)
y
x
u
u
,
–
birinchi tartibli hosilalar
D
yopiq sohaning barcha (A va B nuqtadan
tashqari) nuqtalarida uzluksiz;
3)
ikkinchi tartibli hosilalar
D
- ochiq sohaning barcha (balkim parabolik buzilish
chizig’idan tashqari) nuqtalarda uzluksiz;
4)
)
,
(
y
x
u
funksiya
AB
D
sohada (1) tenglamani qanoatlantiradi.
Trikomi o’z masalasini
chiziq
4
1
9
4
2
1
3
2
y
x
normal chiziqning ixtiyoriy kichik uzunlikdagi
A
A
va
B
B
yoylar bilan tugaydi,
sohaning qolgan qismida yesa normal soha
0
D
dan tashqarida yotibdi deb faraz qilib o’rgangan.
Trikomi masalasi
y
x
u
x
)
0
,
(
)
(
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
127
noma’lun funksiyaga nisbatan ushbu
1
0
1
0
3
2
)
(
)
(
)
,
(
)
(
2
1
1
3
1
)
(
x
F
dt
t
t
x
k
dt
t
xt
x
t
x
t
x
t
x
(2)
singulyar integral tenglamani yechishga olib kelinadi, bu yerda
k(x,t)
– Fredgol’m yadrosi.
Trikomi masalasi uchun ushbu yekstrimum prinsipi o’rinlidir: Trikomi masalasining
yechimi, agar u AC haraktristikada nolga teng bo’lsa, o’zining musbat maksimumini va manfiy
minimumini AB ochiq kesmada yerishmaydi. Bu prinsip birinchi marta A. B. Bitsadze tomonidan
isbotlangan.
Trikomi masalasi uchun ekstremum printsipini
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
u
y
x
c
u
y
x
b
u
y
x
a
u
yu
y
x
yy
xx
(3)
0
)
,
(
,
0
)
,
(
y
x
b
y
x
a
shart asosida isbotlanadi.
Ekstremum prinsipining ahamiyati shundan iboratki, undan Trikomi masalasi yechimining
yagonaligi kelib chiqadi.
Aralash turdagi tenglamalar sohasida faoliyat yuritayotgan mutaxassislar uchun singulyar
koeffitsientli aralash turdagi tenglamalar uchun nolokal masalalarni tadqiq etish ular faoliyatining
ajralmas qismiga aylanib qoldi. Singulyar koeffitsientli buziluvchan va aralash turdagi tenglamalar
uchun chegaraviy masalalar nazariyasi o’ziga xos muhim xususiyatlarga ega, masalalarning
korrekt qo’yilishiga tenglamaning kichik hadlari oldidagi koeffitsientlar kuchli ta’sir ko’rsatadi,
ya’ni kichik hadlar oldidagi koeffitsientlarning qabul qiladigan qiymatlariga qarab, tenglama
yechimi yoki ularning hosilalari tenglama tipi o’zgaradigan chiziq atrofida chegaralangan yoki
chegaralanmagan bo’lishi mumkin, va bu holda boshlang’ich shartlar bu tenglamalar uchun
salmoq bilan beriladi.
Frankl-Bitsadze-Samarskiy masalasi.
Ushbu
0
/
0
y
yy
xx
m
u
y
u
u
y
signy
(4)
tenglamani o’rganildi. (4) tenglama
iy
x
z
, kompleks tekisligining
0
z
m
l
yuqori yarim
tekisligida uchlari
)
0
,
1
(
A
va
)
0
,
1
(
B
nuqtalarda va yuqori yarim tekislikda joylashgan
)
(
:
x
f
y
chizig’i bilan,
0
Im
z
pastki yarim tekislikda yesa (4) tenglamaning
AC
va
BC
xarakteristikalari bilan chegaralangan bir bog’lamli
D
sohada o’rganiladi.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
128
Ishda (4) tenglama uchun Bitsadze-Samarskiy masalasining shartlarini parallel
xarakteristikalardagi qiymatlarining kasr tartibli xosilalarini o’zida birlashtirgan masalaning
korrektligi o’rganilgan. Ta’riflangan masalaning yagonaligi yekstremum printsipi yordamida,
mavjudligi yesa integral tenglamalar usulida isbotlangan. Integral tenglamalardan singulyar
integral tenglamalar, Viner-Xopf integral tenglamasi, Fredgol’mning II-tur integral tenglamalar
nazariyalaridan foydalanilgan.
D
va
D
orqali
D
sohaning mos ravishda
0
y
va
0
y
yarim tekislikda yotuvchi
qismlarini belgilaymiz,
0
С
va
1
С
orqali yesa
)
0
,
(
с
Е
nuqtadan chiquvchi xarakteristikalarning
mos ravishda
AC
va
BC
xarakteristikalar bilan kesishish nuqtasini belgilaymiz, bu yerda
0
)
1
,
1
(
y
I
с
o’qining intervali.
( )
q x
orqali [ ,1]
c
kesmani [ 1, ]
c
kesmaga akslantiruvchi funksiyani kiritamiz. Bu yerda
( )
0, (1)
1, ( )
q x
q
q c
c
. Bu xossalarga yega bo’lgan funktsiya sifatida ushbu chiziqli
funktsiyani keltiramiz ( )
,
q x
kx
bu yerda
(1
) /(1
),
2 /(1
).
k
c
c
c
c
FBS
masalasining qo’yilishi.
D
sohada ushbu shartlarni qanoatlantiruvchi
)
,
(
y
x
u
funksiya topilsin:
1.
;
,
D
C
y
x
u
2.
D
C
y
x
u
2
,
va bu sohada (4) tenglamani qanoatlantiradi;
3.
)
,
(
y
x
u
funksiya
D
sohada (4) tenglamaning
D
sohada
1
R
sinfga tegishli yachimi;
4.
I
intervalda ushbu ulanish sharti bajariladi
,
\
,
lim
lim
0
0
0
0
c
I
x
y
u
y
y
u
y
y
y
(5)
shu bilan birga bu limitlar
с
х
х
,
1
nuqtalarda
2
1
kichik tartibdagi maxsuslikka yega
bo’lishi mumkin. Bu yerda
)
2
(
2
/
)
2
(
0
m
m
ushbu shartlar bajariladi
5.
,
,
u x y
x
1
1
x
(6)
1
1
*
0
1,
0
,
0
( )
( ( ))
( )
( )
( ),
[ ,1]
x
c x
a x D
u
q x
b x D
u
x
c x
x
c
1
x
c
. (7)
( ( ), 0)
( , 0)
( ),
[ ,1]
u q x
u x
f x
x
c
(8)
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
129
Bu yerda
1
1
,
1,
,
c x
x
D
D
kasr tartibli differentsial operatorlar
)
(
0
x
,
)
(
1
x
,
АС
va
BC
xarakteristikalarni
0
,
0
x
M
,
1
,
0
с
х
nuqtadan chiquvchi xarakteristikalar bilan kesishish
nuqtasining affiksi
2
2
0
0
0
1
2
1
,
2
4
m
x
m
x
i
x
2
2
*
0
0
0
2
2
4
m
x
c
m
x
i
x
c
(9)
)
(
,
,
,
,
0
0
0
x
c
x
b
x
a
x
x
o’zining
aniqlanish
sohasi
yopig’ida
uzluksiz
differentsiallanuvchi funktsiyalar bo’lib ular uchun ushbu shartlar bajariladi
0
)
(
)
(
2
0
2
0
x
b
x
a
(10)
)
(
x
funktsiya esa ushbu ko’rinishda ifodalanadi
)
(
~
)
1
(
)
(
2
x
x
x
. (11)
Ta’riflangan masalalarning yechimlarining yagonaligi ekstremum printsipi asosida,
mavjudligi esa singulyar integral tenglamalar nazariyasi, Viner-Xopf tenglamalar nazariyasi va
Fredgol’m integral tenglamalar nazariyasi yordamida isbotlangan. Ko’pgina duch kelingan
nostandart holatlar muvofaqiyatli hal etilgan.
REFERENCES
1.
Salaxitdinov M.S. Matematik fizika tenglamalari. Toshkent. «O’zbekiston», 1994.
2.
Smirnov M.M. Uravneniya smeshannogo tipa. M.: Vыsshaya shkola.1985, -304.
