ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
327
GOLDBAXNING BINAR VA TERNAR NATIJALARI BO‘YICHA OLINGAN
NATIJALAR
Muhammadqulov Ilyos Jo‘ramurod o‘g‘li
Termiz davlat universiteti 1-bosqich magistranti.
https://doi.org/10.5281/zenodo.10812165
Annotatsiya.
Ushbu tezisda Goldbaxning binar va ternar muammolari bo’yicha olingan
natijalar va masalalar bo’yicha kimlar ish olib borgan hamda qanday natijalar olishgani haqida
qisqacha to‘xtalib o‘tiladi.
Kalit so‘zlar:
Goldbax muammosi, binar muammo, ternar muammo.
GOLDBACH'S BINARY AND TERNARY RESULTS
Abstract.
In this thesis, the results of Goldbach's binary and ternary problems and who
worked on the problems and what results were obtained will be briefly discussed.
Key words:
Goldbach problem, binary problem, ternary problem.
БИНАРНЫЕ И ТРОЙНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГОЛЬДБАХА
Аннотация.
В данной диссертации будут кратко обсуждаться результаты
решения бинарных и тернарных задач Гольдбаха, а также кто работал над этими
проблемами и какие результаты были получены.
Ключевые слова:
задача Гольдбаха, бинарная задача, тройная задача.
Nemis matematigi Xristian Goldbax (Christian Goldbach(1690-1764)) nomi bilan
yuritiladigan Goldbax muammosi birinchi marta 1742-yilda Goldbax va Shvetsariyalik nemis
matematigi Eyler (Leonhard Euler 1707-1783) o‘rtasida yozishmalarda paydo bo‘lgan. 1742-yilda
Xristian Goldbax Leonard Eylerga yozgan xatida quyidagi taxminni aytadi:
Har qanday 6 dan kichik bo‘lmagan juft natural sonni ikkita toq tub son yig‘indisi
ko‘rinishida ifodalash mumkin. (Goldbaxning binar muammosi);
Har qanday 9 dan kichik bo‘lmagan toq natural sonni uchta toq tub son yig‘indisi
ko‘rinishida ifodalash mumkin. (Goldbaxning ternar muammosi).
Bu muammolar birgalikda Eyler-Goldbax muammosi deb ham yuritiladi.
X.Goldbax va L.Eyler orasidagi 1742-yildagi yozishmalardan Eyler-Goldbax muammosi
vujudga kelgan. U zamonaviy tilda quyidagicha ifodalanadi.
I. Har qanday toq natural
𝑛 ≥ 9
sonni uchta toq tub sonlarning yig‘indisi ko‘rinishida
yozish mumkin;
II. Har qanday juft natural
𝑛 ≥ 6
sonni ikkita toq tub sonlarning yig‘indisi ko‘rinishida
yozish mumkin.
Bu tasdiqlarning birinchisiga Goldbaxning ternar problemasi, ikkinchisiga esa binar
problemasi ham deb yuritiladi.
Tushunarliki, Goldbaxning binar problemasining o‘rinli ekanligidan ternar problemanig
o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
2𝑛 = 𝑝
1
+ 𝑝
2
bo‘lsa, u holda
2𝑛 + 3 = 𝑝
1
+ 𝑝
2
+
3
, tenglik barcha
𝑛 = 3,4, …
lar uchun bajariladi.
Bu muammolar o‘z vaqtida matematikaning juda ham qiyin problemalardan hisoblangan.
1912-yilgacha Goldbax problemasini hozirgi zamon matematikasi metodlari bilan yechib
bo‘lmaydi degan fikr mavjud bo‘lgan.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
328
Faqat 1919-yilga kelib V.Brun mohiyati jihatidan Eratosfen g‘alvirining
takomillashtirilgani bo‘lgan metodni ishlab chiqdi. U o‘z metodi yordamida har qanday yetarlicha
katta natural sonni har biri 9 tadan ortiq bo‘lmagan tub sonlar ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan ikkita
qo‘shiluvchining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin ekanligini ko‘rsatdi.
Keyinchalik B.Brun natijasi bir necha bor yaxshilandi, lekin Goldbax problemasini bu
metod bilan yechib bo‘lmadi. Shunga qaramasdan B.Brun metodi, keyinchalik esa uning turli
shakl o‘zgartirilgan variantlari: A.Selberg g‘alviri, Yu.Linnikning katta g‘alvirlari tub sonlar
taqsimoti nazariyasida tadbiq etilib, bu sohada salmoqli natijalar olish imkonini berdi.
Ingliz matematiklari G.Xardi va Dj.Littlvud (Hardy G.H., Littlewood J.E.) lar 1924-yilda
Goldbaxning ternar problemaga doiraviy usulni qo‘llab, hozircha isbotlanmagan Dirixle
𝐿 −
funksiyaning no‘llari haqidagi Rimanning umumlashgan gipotezasini(URG) (unga ko‘ra Dirixle
𝐿 −
funksiyasi)
𝐿(𝑠, 𝜒) = ∑
𝜒(𝑛)
𝑛
𝑠
∞
𝑛=1
, 𝑅𝑒𝑠 = 𝜎 > 1, (𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝑡)
(1)
(bunda
𝜒(𝑛) −
Dirixle xarakteri) ning barcha trivilal bo‘lmagan no‘llari
𝜎 =
1
2
to‘g‘ri
chiziqda yotadi)
o‘rinli deb qarab yetarlicha katta
𝑛
toq sonining uchta tub son yig‘indisi
𝑛 =
𝑝
1
+ 𝑝
2
+ 𝑝
3
ko‘rinishda ifodalashlar soni
ℛ (𝑛)
uchun asimptotik formula oladilar.
I.M.Vinogradov o‘zi yaratgan trigonometrik yig‘indilar metodi yordamida 1937-yilda
yetarlicha katta
𝑛 ≥ 𝑁
0
lar uchun bu masalani hal qildi. 1956-yilda K.G.Borozdkin bunda
𝑁
0
≤
𝑒𝑥𝑝𝑒𝑥𝑝𝑒𝑥𝑝(41,96)
bo‘lishi kerak ekanligini ko‘rsatdi. Keyinchalik bu natija Chen Jingren va
A.Qosimovlar tomonidan bir necha bor yaxshilandi.
(1, 𝑁
1
)
oraliqdagi toq sonlar uchun Goldbaxning ternar problemasining o‘rinli ekanligi
kompyuterlar yordamida tekshirib ko‘rilgan. Shuning uchun ham faqat
(𝑁
1
, 𝑁
0
) −
oraliqda
problemaning o‘rinli ekanligini isbotlash qoldi. Bu sohadgi oxirgi natija J.M.Deshouillers, G.
Effinger, H.Te Riele va D. Zinoviev larga tegishli. Ular agar URG o‘rinli bo‘lsa, ternar
problemaning barcha toq
𝑛 ≥ 6
lar uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatdilar. Lekin URG esa hozircha
to‘la isbotlamagan.
Ikkita tub son yig‘indisi haqidagi problеmani esa Rimanning umumlashgan gipotеzasiga
tayanib ham hal etib bo‘lmadi. G.Xardi va Dj.Littlvudlar faqatgina “dеyarli barcha” juft sonlarning
ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanishinigina ko‘rsata oldilar xolos, ya'ni agar
𝐸(𝑋)
bilan
𝑋
dan katta bo‘lmagan va ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanmaydigan dеb gumon
qilingan juft sonlar sonini bеlgilasak
lim
𝑋→∞
𝐸(𝑋)
𝑋
= 0
(2) ekanligini isbotladilar.
1930-yilda L.G.Shnirеlman sonlar nazariyasining additiv masalalarini yеchish uchun yangi
mеtodni taklif etdi. U o‘zi taklif etgan mеtod bilan shunday bir
𝑟
absolyut doimiysi mavjudki, har
bir
𝑛
natural sonini
𝑟
tadan ortiq bo‘lmagan tub sonlar yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin
ekanligini ko‘rsatdi. Lеkinda L.G.Shnirеlman isbotidagi
𝑟
soni ancha katta bo‘lib chiqdi
(
r≤8·
10
5
). Kеyinchalik
𝑟
ning qiymati kеtma-kеt bir nеcha bor N.P.Romanov, X.Xеylbron,
Е.Landau, Shеrka, D.Richchi, X.Shapiro, J.Varga, In Ven-Linya, N.I.Klimov, R.Von va boshqa
matеmatiklar tomonidan yaxshilandi. A.F.Lavrik faqatgina L.G.Shnirеlman mеtodidan
foydalanib
𝑟 = 8
dan yaxshi natija olish mumkin emasligini ko‘rsatdi. Shuning uchun ham
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
329
ko‘pchilik mualliflar o‘z izlanishlarida L.G.Shnirеlman mеtodining boshqa mеtodlar bilan
kombinatsiyasidan foydalanganini aytib o‘tish joizdir. Lekin binar problema hozirgacha to‘la hal
etilgan emas. Bu sohada N.G.Chudakov, T.Esterman va Van-der-Corputlar Vinogradovning
trigonometrik yig‘indilar metodini qo‘llab deyarli barcha juft sonlarning ikkita toq tub sonning
yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanishini ko‘satdilar. Aniqroq qilib aytganda agar
𝐸(𝑋)
bilan
[2, 𝑋)
oraliqdagi ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanmaydigan juft sonlarning sonini
belgilasak, yuqoridagi mualliflar belgilangan
𝐴 > 0
soni uchun
𝐸(𝑋) ≪
𝑋
𝑙𝑛
𝐴
𝑥
(3)
bahoning o‘rinli ekanligini isbotladilar. Bu natija boshqa mеtod bilan Yu.Linnik
tomonidan ham isbot qilingan.
A.F.Lavrik
𝑛
juft sonining ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalashlar soni,
ya’ni
𝑛 = 𝑝
1
+ 𝑝
2
tenglamaning tub sonlardagi yechimlari soni
ℛ (𝑛)
uchun asimptotik formula oladi. Bu
formula
(1, 𝑋)
oraliqdagi
𝑛
ning ko‘pi bilan
ℛ (𝑛)
≪
𝑋
𝑙𝑛
𝐴
𝑥
(4)
ta qiymatidan boshqa barcha qiymatlari uchun o‘rinli.
Keyinchalik
𝐸(𝑋)
ning yuqoridagi baholari bir necha bor yaxshilandi. Jumladan
R.C.Vaughan
𝐸(𝑋) < 𝑋𝑒𝑥𝑝(−𝑐√𝑙𝑛𝑋),
(5)
R.C.Vaughan va H.L.Montgomerylar
𝐸(𝑋) < 𝑋
1−𝛿
,
(6)
bunda
δ
,
0 < δ < 1
shartni qanoatlantiruvchi effektiv konstanta. R.C.Vaughan va
H.L.Montgomerylarda, agar URG o‘rinli bo‘lsa,
𝛿 =
1
2
+ 𝜀
deb olish mumkin ekaligini aytib
o‘tganlar. Bu yerda
𝜀 > 0
yetarlicha kichik o‘zgarmas son. I.Allakov, J.Chen, C.Pan lar
tomonidan
𝛿
ning qiymati aniqlashtirilib yetarlicha katta
𝑋
lar uchun
𝐸(𝑋) < 𝑋
0,96
(7) baholar olingan.
REFERENCES
1.
Allakov I. Sonlar nazariyasining ba’zi additiv masalalarini analitik usullar bilan yechish.-T ,
«Ta’lim» 2012, 200b.
2.
Аллаков И.
А. Об исключительном множестве в бинарной проблеме Гольдбаха. - Т.:
1981, 76 с. - С решением редколлегии Узб. матем. журнала Деп. в ВИНИТИ 30.10.81. №
5166-81.
3.
Лаврик А.Ф. К. бинарным проблемам аддитивной теории простых чисел в связис
методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова // Вестник ЛГУ.-Ленинград,1961.
-№13.-С. 11-27.
4.
Ш.Х. Михелевич. “Теория чисел”. 2-нашри; “Висшая школа” М. 1967 г.
