ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 6 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
230
KOMBINATORIKANING PAYDO BO‘LISHI VA HAYOTIY MASALALARGA TADBIQI
Bozarov Dilmurod Uralovich
Rahmonov Bahodir Abduhomidovich
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti NTM.
Email:
https://doi.org/10.5281/zenodo.11543314
Annotatsiya.
Ushbu maqolada Kombinatorikaning paydo bo‘lishi va hayotiy masalalarga tadbiqi
haqidagi ma’lumotlar keltirilgan.
Tayanch so‘zlar:
kombinatorika, o‘rin almashtirish, o‘rinlashtirish, guruhlash, kombinatorika
masalalari, lototera o‘yini, to‘plam, telefon nomer, mashina nomeri
THE EMERGENCE OF COMBINATORICS AND ITS APPLICATION TO LIFE ISSUES
Abstract.
This article provides information about the emergence of combinatorics and its application
to real-life problems.
Key words:
combinatorics, permutation, placement, grouping, combinatorics problems, lottery
game, set, phone number, car number.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОМБИНАТОРИКИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ЖИЗНЕННЫМ
ВОПРОСАМ.
Аннотация.
В статье представлены сведения о возникновении комбинаторики и ее
применении в жизненных вопросах.
Ключевые слова:
комбинаторика, перестановка, размещение, группировка, задачи
комбинаторики, лотерея, множество, номер телефона, номер автомобиля
Kombinatorika atamasi lotincha
combinare
so‘zidan olingan bo‘lib, birlashtirish ma’nosini bildiradi.
Kombinator matematika
— matematikaning chekli toʻplamlar ustida bajariladigan amallarni oʻrganadigan
boʻlimi. Eng koʻp qo‘llanadigan amallari: 1) toʻplamni tartiblash, 2) toʻplamning qismlarini tuzish, 3)
toʻplamning tartiblangan qismlarini tuzish,
Kombinatorikaning
kombinator geometriya
deb ataladigan boʻlimida elementlari soni cheksiz koʻp
boʻlgan baʼzi toʻplamlar (geometrik figuralar) ham oʻrganilgan.
Kombinatorikaga oid dastlabki maʼlumotlar qadimdan maʼlum. XVII-XVIII asrlarda
kombinatorikaning asosiy masalalari ehtimollar nazariyasi yordamida oʻrganilgan. Kombinatorikaga dastlab
Kardano, Paskal, Galiley, Ferma, Leybnits, Bernulli kabi olimlar o‘z xissalarini qo‘shishgan. Keyinchalik,
XX asrga kelib elektron-hisoblash mashinalari, kompyuterlar va shu kabi texnikalarning yaratilishi bilan
kombinatorika tobora kengayib bordi; texnika va iqtisodiyotga keng tatbiq qilina boshlandi.
Olimlarning aytishicha, kombinatorika va ehtimollar nazariyasi elementlarini yaratishning asosiy
sharti odamlarning lotereya, zar, karta va boshqa tasodifiy oʻyinlarga qaramligi edi. Antik davrda qimor
o'yinlari katta ahamiyatga ega bo‘lgan. Ba’zilar boylik, yerlar, xotinlarni qo‘lga kiritdilar. Boshqalar esa oxirgi
ko‘ylaklarigacha yo‘qotdilar. Haqiqatan ham, xavfli o‘yinlar yoki tasodifiy o‘yinlarning ta’siri sodir bo‘ldi.
Biroq, fanning jadal rivojlanishini o‘z ichiga olgan ko‘proq fundamental sabablar bor edi: eksperimentlar, bir
qator eksperimentlar jarayonini bashorat qilish va natijalardagi xatoni baholash zarurati. Bularning barchasi
va yana ko‘p narsalar kombinatorika va ehtimollar nazariyasi elementlarining paydo bo‘lishiga olib keldi.
Cheklita son yoki harflardan turli xildagi guruhlarni biror qoida asosida tuzilgan barcha mumkin
bo‘lgan guruhlar sonini aniqlash masalalari
kombinatorika masalalari
deyiladi.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 6 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
231
Bugungi kunda kombinatorikaga oid ma’lumotlar inson faoliyatining turli xil sohalarida
qo‘llanilmoqda. Jumladan, matematika, kimyo, fizika, biologiya, lingvistika, axborot
texnologiyalari va boshqa sohalar bilan ish ko‘ruvchi mutaxassislar kombinatorikaning xilma-xil
masalalariga duch keladilar.
Kombinatorikada asosan o‘rin almashtirish, o‘rinlashtirish va guruhlashlar bo‘yicha turli
masalalarga duch kelamiz. Bunda o‘rin almashtirish uchun
𝑃
𝑛
= 𝑛!
(1), o‘rinlashtirish uchun
𝐴
𝑛
𝑚
=
𝑛!
(𝑛−𝑚)!
(2) va guruhlash uchun esa
𝐶
𝑛
𝑚
=
𝑛!
(𝑛−𝑚)!∗𝑚!
(3) formulalari ishlatiladi.
Endi turli masalalarni ko‘rib chiqaylik:
1
a
-masala
. Sinfdagi 25 ta o‘quvchini sinf jurnaliga necha xil usul bilan yozish mumkin?
Yechish
: Bu misol o‘rin almashtirish formulasiga tushadi, ya’ni (1) formulaga ko‘ra
𝑃
𝑛
=
𝑛!
formula yordamida hisoblanadi. Shuning uchun javobi 25! bo‘ladi.
1
b
-masala
. 25 ta o‘quvchini 5 tadan qilib o‘rinlashtirsak nechta o‘rinlashtirish hosil
bo‘ladi?
Yechish:
(2) formulaga asosan
𝐴
25
5
=
25!
20!
=
20!∗21∗22∗23∗24∗25
20!
= 6375600
bo‘ladi.
1
c
-masala
. 25 ta o‘quvchini 5 tadan qilib guruhlasak nechta guruh hosil bo‘ladi?
Yechish:
(3) formulaga asosan
𝐶
25
5
=
25!
(25−5)!∗5!
=
25!
20!∗5!
=
21∗22∗23∗24∗25
1∗2∗3∗4∗5
= 53130
bo‘ladi.
Izoh:
o‘rinlashtirish va guruhlashning farqi shundaki, har bir guruhdagi
𝑚
ta o‘quvchidan
𝑚!
xil o‘rinlashtirish hosil qilish mumkin. Shuning uchun ularning orasidagi farq
𝑚!
ga teng
bo‘ladi.
2-masala
. Bizga
1, 2, 3, 4, 5
raqamlari berilgan bo‘lsin. Bu raqamlar yordamida nechta uch
xonali son hosil qilish mumkin?
Yechish:
(2) formulaga ko‘ra
𝑁 = 𝐴
5
3
=
5!
(5−3)!
=
5!
2!
= 3 ∗ 4 ∗ 5 = 60
ta raqamlar
takrorlanmaydigan uch xonali sonlarni hosil qilish mumkin. Agar raqamlar takrorlanadigan
sonlarni ham olsak,
𝑁 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125
ta son hosil bo‘ladi.
Diqqat!
Agar berilgan raqamlar ichida nol ham bo‘lsa, hisoblashlarda nolni e’tiborga olish
kerak, chunki uch xonali sonning birinchi raqamini nol bilan boshlasak, u uch xonali son bo‘lmay
qoladi. Masalan, 012 ni olsak, u ikki xonali sonni ifodalaydi.
3-masala.
Anvar do‘sti Sarvarga qo‘ng‘iroq qilmoqchi bo‘lib nomerini tera boshladi.
Lekin, afsuski u do‘stining nomerini oxirgi 2 tasini eslay olmadi, ammo uning turli raqamlar
ekanligini bilar edi. Shunda Anvar do‘stiga qo‘ng‘iroq qilishi uchun u telefoniga necha marta
nomer terishi kerak?
Yechish:
Aytaylik Sarvarni nomeri +99890 975 89 xx bo‘lsin. U xx ni terish uchun unda
10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ta raqam bor. Raqamlar turli xil bo‘lganligi uchun uni
o‘rin
almashtirish
formulasiga qo‘yishimiz mumkin:
𝑁 = 𝐴
10
2
=
10!
(10−2)!
=
10!
8!
= 9 ∗ 10 = 90
. Demak,
Anvar do‘stiga qo‘ng‘iroq qilishi uchun 90 marta nomer terishi kerak ekan.
4-masala
. Toshkent-Samarqand M-39 yo‘lida Cobalt rusumli avtomabil yo‘l harakati
qoidalariga bo‘ysunmagan holda harakatlanayotgan edi. Uni YPX xodimi to‘xtatmoqchi
bo‘lganda, u to‘xtamasdan harakatni davom ettirdi. YPX xodimi mashina nomerini to‘liq ko‘ra
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 6 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
232
olmadi, ya’ni
70 ∆ ∇∇5 DB
shaklda ekanligini ko‘rdi. Bu yerda
∆
-harf,
∇∇
-raqamlar. Savol,
bunday nomerli mashinalar soni nechta?
Yechish:
∆
-harflar o‘rniga ingliz alifbosidagi 25 (I dan boshqa) ta harf ishlatiladi,
∇
-
raqamlar o‘rniga esa 10 ta raqam ishlatiladi. Shunday ekan, mashinalar soni
𝑁 = 26 ∗ 10 ∗ 10 =
2600
ta bo‘lar ekan.
5-masala.
Lotoreya o‘yinlaridan birini, ya’ni 36/5 o‘yinini misol qilib olaylik. Bu o‘yinda
36 ta shar bo‘lib, siz aynan 5 ta sharni topishingiz kerak. Shu 5 ta sharni topish ehtimolligini
hisoblang.
Yechish:
Yuqoridagi (2) formulaga ko‘ra
𝐴
36
5
=
36!
(36−5)!
=
36!
31!
= 32 ∗ 33 ∗ 34 ∗ 35 ∗ 36 =
45239040
ta kombinatsiya hosil bo‘lar ekan. Buning ehtimolli
𝑝 =
1
45239040
. Ya’ni, siz bu
o‘yinda aniq g‘olib bo‘lishingiz uchun 45 mln 239 ming 40 ta bilet sotib olishingiz kerak. Bu
nimani anglatadi? Agar bilet narxi 5000 so‘mdan bo‘lsa,
45239040 ∗ 5000 = 226195200000
so‘m, ya’ni 226 mlrd 195 mln 200 ming so‘m xarajat qilish kerak ekan.
Diqqat!
Bu o‘yindagi sovrun 226 mlrd 195 mln 200 ming so‘mdan ko‘p pul mukofoti
qo‘yilsa, siz foyda bilan chiqishingiz mumkin. Bunday mukofotlar qo‘yilmaganli sababli, siz bu
o‘yinni o‘ynamaganingiz ma’qul!
Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki, kombinatorika elementlaridan hayotimizda
uchraydigan barcha hisob-kitob ishlarida, jumladan: bank, texnika, kompyuter, ishlab chiqarish va
sanoat, har xil lotoreya o‘yinlari va shu kabi sohalarda foydalanishimiz mumkin ekan.
REFERENCES
1.
Бозаров Д. У. Determinantlar mavzusini mustaqil oqishga doir misollar //Журнал
Физико-математические науки. – 2022. – Т. 3. – №. 1.
2.
Bozarov D. U. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumidan foydalanib, tekislikdagi
ikkita figura orasidagi masofani topish //Oriental renaissance: Innovative, educational,
natural and social sciences. – 2022. – Т. 2. – №. 11. – С. 292-301.
3.
Bozarov D. Chiziqli va kvadratik modellashtirish mavzusini mustaqil o ‘rganishga doir
misollar //Евразийский журнал математической теории и компьютерных наук. –
2022. – Т. 2. – №. 6. – С. 24-28.
4.
Maxmudovna G. M., Olimovich T. E., Uralovich B. D. Types and uses of mathematical
expressions //ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal. –
2021. – Т. 11. – №. 3. – С. 746-749.
5.
Allamova M., Bozarov D. Trigonometrik tengsizliklar yechimlarining innovatsion
qo‘llanilishi //Евразийский журнал математической теории и компьютерных наук. –
2023. – Т. 3. – №. 1. – С. 75-78.
6.
Dilmurod B., Islom A. Parallel ikkita to’g’ri chiziq orasidagi masofa //Innovations in
Technology and Science Education. – 2023. – Т. 2. – №. 8. – С. 465-478.
7.
Uralovich B. D. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalariga oid masalalar //Science and
innovation. – 2022. – Т. 1. – №. A2. – С. 163-171.
8.
Bozarov D. Methods of developing economic competence on the basis of interdisciplinary
relationship //Modern Science and Research. – 2023. – Т. 2. – №. 12. – С. 131-137.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 6 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
233
9.
Muratovich, M. R., Ollokulovich, X. I., & Karaboev, A. A. (2023). Military Pedagogical
Science: Problems And Solutions. Texas Journal of Multidisciplinary Studies, 16, 20-22.
10.
Bozarov
D.
Bo‘lajak
iqtisodchi
talabalarning
iqtisodiy
kompetensiyasini
rivojlantirishning matematik tahlili //Академические исследования в современной
науке. – 2023. – Т. 2. – №. 27. – С. 84-90.
11.
Uralovich B. D. et al. About the properties of networks //Academia Science Repository. –
2023. – Т. 4. – №. 04. – С. 353-357.
