ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
344
ISSIQLIK ALMASHINUVI SOHASI ICHIDAGI NUQTAVIY ISSIQLIK MANBALARI
BILAN BOGʻLIQ MASALALARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISH VA
YECHISH USULINI ISHLAB CHIQISH
Eshmurodov Mas’udjon Xikmatillayevich
Samarqand davlat arxitektura-qurilish universiteti, 140147, Samarqand, Uzbekistan.
ORCID ID:
https://orcid.org/0009-0005-0667-8116
masudeshmurodov@samdaqu.edu.uz
, +998933501484.
https://doi.org/10.5281/zenodo.13243020
Annotatsiya.
Toʻgʻri chiziqlar va oddiy quvish usullaridan birgalikda foydalanib,
parabolik tenglama asosida ikki oʻlchovli masalalarning ma’lum bir sinfidan kelib chiqadigan
chekli ayirmali tenglamalar sistemasini yechishning aniq analitik usuli ishlab chiqildi. Bu sinfga
Dekart koordinatalarining birida birinchi jinsli chegaraviy shartlarning va boshqa koordinatada
uch jinsli shartlarning ixtiyoriy kombinatsiyasini berish hollariga taalluqli.
Harakatlanuvchi elementlari boʻlgan yuqori haroratli va nuqtaviy issiqlik manbalarining
issiqlik uzatishini jadallash boʻyicha bir qator masalalar yechildi.
Manbaning toʻgʻri chiziqli va aylanma harakati uchun sinovdan oʻtgan, ixtiyoriy
trayektoriya boʻylab harakatlanuvchi nuqtaviy manbani sonli amalga oshirish uchun usul ishlab
chiqildi.
Kalit so‘z:
Issiqlik manbasi, harorat, izoterma, chegara, muhitning zichligi, nuqtaviy
manba.
DEVELOPMENT OF THE METHOD OF MATHEMATICAL MODELING AND
SOLUTION OF PROBLEMS RELATED TO POINT HEAT SOURCES IN THE FIELD
OF HEAT EXCHANGE
Abstract.
An exact analytical method for solving a system of finite-difference equations
arising from a certain class of two-dimensional problems based on the parabolic equation was
developed using straight lines and simple pursuit methods together. This applies to cases where
the class is given an arbitrary combination of first-order boundary conditions in one of the
Cartesian coordinates and three-order conditions in the other coordinate.
A number of issues related to acceleration of heat transfer of high-temperature and point
heat sources with moving elements have been solved.
A method is developed for the numerical implementation of a point source moving along
an arbitrary trajectory, tested for rectilinear and rotational motion of the source.
Key word:
Heat source, temperature, isotherm, limit, density of medium, point source.
РАЗРАБОТКА МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ТОЧЕЧНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА В
ОБЛАСТИ ТЕПЛООБМЕНА
Аннотация.
Совместно используя прямые линии и методы простого
преследования, разработан точный аналитический метод решения системы конечно-
разностных уравнений, возникающих из определенного класса двумерных задач,
основанный на параболическом уравнении. Это относится к случаям, когда классу задана
произвольная комбинация граничных условий первого порядка по одной из декартовых
координат и условий третьего порядка по другой координате.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
345
Решен ряд вопросов, связанных с ускорением теплоотдачи высокотемпературных
и точечных источников тепла с подвижными элементами.
Разработан метод численной реализации точечного источника, движущегося по
произвольной траектории, проверенный на прямолинейном и вращательном движении
источника.
Ключевые слова:
Источник тепла, температура, изотерма, предел, плотность
среды, точечный источник.
KIRISH:
Nuqtaviy manba yoki aniq uzluksiz qismlar (kesmalar)dagi manbalar bilan
bogʻliq masalalarni analitik yechish yetarlicha mashaqqatli ishdir.
Ish [1]da elementar uchastka boʻylab real gazning quvur orqali tashishning stasionar
masalalariga yoʻl-yoʻlakay gaz olinish holida ayrim yechimlar keltirilgan. Bu holda massa
saqlanish tenglamasining oʻng tomonida bu elementlar Dirakning delta funksiyasi va
Hevisaydning zinapoya funksiyasi yordamida ifodalangan. Yuqorida aytib oʻtilgan ishda bunday
masalalarni hal qilish uchun Furyening sinus va kosinuslar almashtirishlari qoʻllaniladi.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA USULLAR.
Ushbu maqola doirasida issiqlik
almashinuvi hududida harakatlanadigan nuqtaviy manba holini koʻrib chiqamiz. Issiqlikning
nuqtaviy manbai boshqa issiqlik manbalari yoki oqimlari boʻlmaganda tekis berilgan harorat
taqsimoti bilan chegaralanmagan tekislikda issiqlikning doiraviy taqsimlanishiga olib keladi.
Bunda uzatiladigan issiqlikning intensivligi masofa boʻyicha kvadratik qonunga muvofiq (
2
r
) kamayadi.
MUHOKAMA VA XULOSA:
Agar jarayon stasionar boʻlmasa, shu jumladan issiqlik
manbalarining quvvati vaqtga bogʻliq boʻlsa, masala umuman murakkablashadi. Ammo
harakatlanuvchi manba bilan bogʻliq masalalar ilgari koʻrib chiqilmagan.
NATIJA:
Agar hisoblash sohasi uch oʻlchamli boʻlsa va boshqa bir jinslimasliklar
boʻlmasa, u holda sferik sirtlardan iborat izotermalar kuzatiladi, issiqlik oqimining masofa
boʻyicha tushishi uchinchi tartib (
3
r
)ga ega.
KIRISH
Ikki yoki undan ortiq issiqlik manbalari mavjud boʻlganda kompleks oʻzgaruvchining
funksiyalari yordamida elektrostatika boʻyicha fizika kursida oʻrganilganidek, maydonlarning
birlashishi va oʻzaro ta’sirini (interferensiyasini) kuzatish mumkin. Qarama-qarshi ishorali ikkita
zaryad yetarlicha yaqin joylashganda dipolning elektrostatik maydoni masalasi yanada
koʻrgazmaliroq boʻladi.
Masalaning qoʻyilishi
.
( )
сq t
issiqlik chiqaruvchi manba (bu yerda
,
с
issiqlik
oʻtkazuvchi muhitning zichligi va issiqlik sigʻimi)
0
0
(
( ),
( ))
x t
y t
trayektoriya boʻylab bir jinsli
boshlangʻich haroratga ega boʻlgan
1 1
kvadrat maydon boʻylab harakatlanadi.
1.
Mohamed M. Mousa. Efficient numerical scheme based on the method of lines for the
shallow water equations // Journal of Ocean Engineering and Science, 2018. № 3, – P. 303-309.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
346
Agar
0
x
va
1
x
chegaralardagi harorat oʻzgarmas boʻlib qolsa va
0
y
va
1
y
chegarada issiqlikdan izolyatsiya qilingan holda issiqlik almashinuv jarayonini oʻrganish talab
etiladi. Manbaning dastlabki koordinatasi –
0
0
0
0
(
,
).
x
y
Haroratning boshlangʻich taqsimoti
0
( , ,0)
( , ),
T x y
T x y
x
boʻyicha chegaraviy shartlar:
(0, , )
(1, , )
0,
T
y t
T
y t
y
boʻyicha –
( ,0, )
( ,1, )
0.
T x
t
T x
t
y
y
Harakatlanuvchi
manbani hisobga olgan holda, ikki oʻlchovli jismning issiqlik holati quyidagi tenglama bilan
tavsiflanadi:
2
2
2
0
0
2
2
( ),
( )
( ).
T
T
T
a
x t
y t
q t
t
x
y
Ushbu masalaning barcha elementlari diskret koordinatalarda amalga oshirildi (bundan
Dirak delta funksiyasi mustasno) va manbaning koordinatasi uzluksiz va parametrik shaklda
berildi.
Ikki turdagi trayektoriyalar uchun yechim algoritmini tuzamiz.
Birinchi holda
( )
q t
const
nuqta manbasining toʻgʻri chiziq boʻylab
U
oʻzgarmas
tezlik
bilan
ilgarilanma
harakati koʻrib chiqiladi. Uning dastlabki joylashuvini
0
0
0
0
(
;
)
(0.5; 0)
x y
deb olsak, uning harakat qonuni
0
0
( )
0.5,
( )
x t
y t
Ut
tenglamalar
bilan tavsiflanadi.
Ikkinchi holda, manba trayektoriyasi aylanadan iborat.
Issiqlik manbasining toʻgʻri chiziqli harakati holi.
Ushbu masalaning qabul qilingan
shartlariga koʻra
0
( )
(
1) / 2
,
x
x
x t
h N
const
bundan tashqari,
(
1) / 2
Nx
butun son.
0
( )
y t
ni diskretlashtirish
0
j
eng yaqin diskret koordinata bilan almashtirish orqali amalga
oshiriladi, ya’ni
0
0
/
, агар 0
0.5,
/
1, агар
0.5
1.
y
y
y
y
Ut
Ut h
j
h
j
Ut
Ut h
j
h
Bu yerda {a} – a ning butun qismi. Ushbu funksiyani kompyuterda bajarish
a
ni
0
j
butun
songacha yaxlitlash orqali amalga oshiriladi.
Bu masalaga boshqa nuqtai nazardan qarash mumkin. Masalan, qoʻzgʻalmas issiqlik
manbai
U
tezlikka ega bir jinsli oqim maydonida joylashgan. U holda issiqlik uzatish
tenglamasida
U
doimiy koeffisiyentga ega boʻlgan konvektiv had hosil boʻladi va bu had tufayli
masalaning (sonli) yechimi murakkablashadi.
U
tezlikning yoʻnalishi ordinata oʻqiga nisbatan
ma’lum bir burchakni tashkil etadi, tezlikning oʻzi esa vaqt funksiyasi boʻlgan variantlarni ham
koʻrib chiqish mumkin.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
347
1000
q
issiqlik
1-rasm.
0.05
/
,
U
m sek
manbasini
0
0
0.5,
x
y
Ut
tezlik
bilan
dagi harakatlantirish
natijasida
olingan
6
t
vaqtdagi
izotermalar.
1,
1,
49,
x
y
x
y
l
l
N
N
2
2
0.02,
0.001
/ ,
a
m
с
0.05
/
,
U
m sek
0
0
1,
0,
l
l
0
( , )
( , )
0,
l
y t
y t
( , )
( , )
0
x t
x t
hol uchun
hisoblash natijalarini keltiramiz. Issiqlik chiqarish intensivligi
1000.0
q
ni tashkil etdi.
Natijalar har 100 vaqt qadamida saqlandi va hisob 1001-vaqt qadamigacha davom ettirildi.
Natijalarni Excel muhitida intervali 5 boʻlgan izotermalar koʻrinishida tasvirladik.
4.10-4.12-rasmlarda
6
t
, 12 va 18 vaqt momentlari uchun izotermalar keltirilgan. Ularda
0
y
dagi
/
0
T
y
shartning sezilarli roli bor, chunki chegaralarda izotermalar abssissa
oʻqiga deyarli perpendikulyar.
Natijalar
0
t
va
20
t
da manba atrofida juda zich boʻlib chiqdi, bunga sabab
0
y
va
1
y
dagi
/
0
T
y
shart hisoblanadi.
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,6)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
348
2-rasm.
12
t
vaqt momenti izotermlari
1,
1,
49,
x
y
x
y
l
l
N
N
2
2
0.02,
0.001
/
,
a
m
sek
0.05
/
,
U
m sek
0
0
1,
0,
l
l
T
T
1000.0
q
3-rasm.
18
t
vaqt momenti izotermalari. Ma’lumotlar 2-rasmda
Yuqorida ta’kidlab oʻtilganidek, shuningdek ishlab chiqilgan dasturda keltirilgan
algoritmdagi tuzatishlar parametrik shaklda berilgan issiqlik manbai trayektoriyasini koʻrsatishga
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,12)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,18)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
349
tegishli. Quyida biz yetarlicha kichik vaqt qadami bilan ishonchli natijalar beradigan variantni
taqdim etamiz.
Ikkinchi holda, issiqlik manbasining trayektoriyasi
0.25
R
radiusli va markazi
(0.5;0.5)
nuqtada boʻlgan aylanadan iborat boʻladi:
0
0
( )
0.5 0.25cos
,
( )
0.5 0.25sin
.
x t
t
y t
t
Jarayon davriy xarakterga ega: ikkiga teng vaqt davomida manba toʻliq aylana hosil qiladi.
Nuqtaviy manbaning chiziqli aylanma tezligi
ga teng.
0
t
da u
3 / 4; 1 / 4 ,
1 / 2
t
da
(1 / 2; 3 / 4),
1
t
da -
(1 / 4; 1 / 4),
3 / 4
t
da
(1 / 2; 1 / 4)
nuqtada boʻladi
2
t
da
(3 / 4; 1 / 4)
boshlangʻich nuqtaga qaytadi va hokazo.
Dekart koordinatalarida manba trayektoriyasi
2
2
1
1
1
.
2
2
16
x
y
aylana
tenglamasi bilan tavsiflanadi. Kamdan kam hollarda manba trayektoriyasi
x
h
va
y
h
qadamli
toʻrning
( , )
i j
tuguni bilan ustma-ust tushadi. Qadamlarni maydalash bu yerda yordam bermaydi.
Dasturda biz hisob-kitoblarda manba nuqtasiga yaqin boʻlgan tugunni manba joylashuv
nuqtasi sifatida oldik. Agar bunday tugunlar bir nechta boʻlsa, u holda trayektoriya yoʻnalishiga
yaqin tugun tanlandi.
Shunday qilib, tenglama quyidagicha koʻrinishga ega:
2
2
2
2
2
1
1
1
1
( )
cos
,
sin
.
2
4
2
4
T
T
T
a
q t
t
t
t
x
y
Bunday holda, chekli-ayirmali tenglamaning oʻng qismida
0
0
0
( ,
)
i,
n
n
n
f
i
j
q
j
had hosil
boʻladi.
0
n
i
va
0
n
j
qiymatlarni,
masalan, quyidagi tarzda aniqlash mumkin:
0
0
1
1
1
1
1
cos
/
,
sin
/
.
1
2
4
2
4
x
y
x
y
x
y
i
t
h
j
t
h
h
h
Manba joylashgan nuqtadan toʻr toʻgʻri toʻrtburchak uchlarigacha boʻlgan masofalar
kvadratlarini hisoblaymiz:
2
2
2
2
2
1
0
1
1
1
2
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
0
1
1
1
4
1
1
1
1
(
)
(
) ,
(
(
1)
)
(
) ,
(
(
1)
)
(
(
1)
) ,
(
)
(
(
1)
) .
x
y
x
y
x
y
x
y
r
x
i h
y
j h
r
x
i
h
y
j h
r
x
i
h
y
j
h
r
x
i h
y
j
h
Agar hisoblangan masofalar kvadratlarining eng kichigi
2
1
r
boʻlsa, u holda manba
joylashuvi tugunlari uchun
0
1
0
1
,
i
i
j
j
diskret koordinatalarni qabul qilamiz; agar
2
2
r
boʻlsa
0
1
0
1
1,
;
i
i
j
j
- agar
2
3
r
boʻlsa
1
1
1
1
1,
1;
i
i
j
j
va agar
2
4
r
boʻlsa
0
1
0
1
,
1
i
i
j
j
deb qabul qilamiz.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
350
Bu usul
0
0
0
0
( ),
( )
x
x t
y
y t
parametrik shaklda berilgan ixtiyoriy uzluksiz
trayektoriyali manbaga qoʻllanilishi mumkin. Manbalar sonini koʻpaytirish mumkin.
Trayektoriyalarning xususiyatiga qarab, sonli integrallash qadamlarini tanlash kerak boʻladi.
Batafsil
illyustrativ
rasmlar
49,
x
y
N
N
2
2
0.100
/
,
a
m
sek
0.002,
10000.0
q
da olindi. Hisoblashlar vaqt boʻyicha 2001-qadamgacha olib borildi.
Natijalar har 100 vaqt qadamda saqlandi. Izotermalarni vizualizatsiya qilish Excel muhitida har 5
darajadan keyin amalga oshirildi.
NATIJA
4-rasmda turli vaqtlar uchun olingan izotermalar tasvirlangan. Jadvalda bu vaqtlar va
vaqtga bogʻliq ravishda manbaning joylashuvi koordinatalari koʻrsatilgan.
4.1-jadval
Izotermalar shaklda koʻrsatilgan 4-shaklda keltirilgan issiqlik manbasini hisoblash vaqti va
koordinatalari
Vaqt
Manba abssissasi
Manba ordinatasi
0.4
0.57725
0,73776
0.8
0.29775
0,64695
1.4
0.42275
0,26224
2.0
0.75000
0,50000
2.4
0.57725
0,73776
4.6
0.57725
0,26224
5-rasm. Issiqlik manbaining
0
0
( ) 0.5 0.25cos ,
( ) 0.5 0.25sin
x t
t y t
t
qonun boʻyicha
harakatida hosil boʻlgan izotermalar.
2
2
0.100
/
,
a
m
sek
0.002,
10000.0
q
XULOSA
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
351
Qoʻllanilgan approksimatsiya formulalari aniqlikning fazoviy koordinatalar boʻyicha
ikkinchi tartibini va vaqt boʻyicha birinchi tartibini ta’minlaydi. Vaqt boʻyicha aniqlik tartibini
vaqt boʻyicha markaziy sxema yordamida oshirish mumkin.
Usul chegaraviy shartlarda trigonometrik va uzilishga ega funksiyalar ishtirok etgan
oʻrnatish masalalarida sinovdan oʻtkazildi va oʻrnatishning
5
10
gacha aniqligiga erishildi.
REFERENCES
1.
Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов
тепло– и массообмена. – М.: Наука, 1984. – 288 с.
2.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
3.
Каримбердиева С. Численные методы решения дифференциально–разностных
уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре. – Ташкент: Фан, 1983. – 112 с.
4.
Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам. –Тр. МИ
АН СССР, 1949, том 28. – С. 73–103. (Из Общероссийского математического портала
Math–Net).
5.
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.:
Физматгиз,1963.
6.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре (изд. 4–е дополн.). – М.: Наука, 1971. –
272 с.
7.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической
физики. – М.: Наука, 1972. – 688 с.
8.
Khujaev, J Khujaev, M Eshmurodov and K Shaimov. Differential-difference method to
solve problems of hydrodynamics. Journal of Physics: Conference Series 1333. 2019. -P.
1-8.
9.
Khujaev I, Khujaev J. Modification of the method of lines for solving onedimensional
equation of parabolic type under the boundary conditions of second and first genera //
International Scientific Journal: Theoretical & Applied Science, Philadelphia, USA. –
2018.
–
Vol.
58.
–
Issue
2.
–
Pp.
144-153.
–
DOI:
https://dx.doi.org/10.15863/TAS.2018.02.58.31.
10.
Хужаев И.К., Хужаев Ж.И., Равшанов З.Н. Численно-аналитические методы
решения задач на собственные числа и вектора для метода прямых на
прямоугольных областях // Проблемы вычислительной и прикладной математики. –
Ташкент, 2017. – №4(10). – С. 76-83.
11.
Шаимов К.М., Эшмуродов М.Х., Хужаев И.К. Дифференциально-разностный метод
для двумерных линейных задач теплопередачи // Научный вестник. СамГУ – 2020, –
№1(121). – C.78-87(01.00.00.; № 2).
12.
M Kh Eshmurodov, K.M. Shaimov, I Khujaev and J Khujaev Method of lines for solving
linear equations of mathematical physics with the third and first types boundary conditions.
Journal of Physics: Conference Series 2131 (2021) 032041, doi:10.1088/1742-
6596/2131/3/032041
13.
K. M. Shaimov, M. Kh. Eshmurodov, I. Khujaev and Zh. I. Khujaev The Method of Lines
for Solving Equations of Mathematical Physics with Boundary Conditions of the First and
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
352
Third Types // The method of lines for solving equations of mathematical physics with
boundary conditions of the first and third types, Cite as: AIP Conference Proceedings 2612,
030028 (2023); https://doi.org/10.1063/5.0124614, Published Online: 15 March 2023
