ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
107
BIRINCHI DARAJALI BIR NOMAʼLUMLI TAQQOSLAMALARNI YECHISH
USULLARIGA DOIR MISOL VA MASALALAR YECHISH
Zaxiriddinova Shahlo Zaxiriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti Matematika va ta’limda axborot
texnologiyasi kafedrasi o’qituvchisi
Raxmatova Gulandom Baxrom qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti “Matematika va informatika”
yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130332
Annotatsiya:
Mazkur maqolada birinchi darajali bir nomaʼlumli taqqoslamalarni
yechish usullari yoritilgan. Taqqoslamalarning asosiy turlari, ularni yechishning algebraik va
analitik usullari hamda real hayotdagi qo‘llanilishiga doir misollar keltirilgan. Bundan
tashqari, mavzu bo‘yicha turli murakkablikdagi masalalar yechilib, ularning yechimiga izoh
berilgan.
Kalit so‘zlar:
Birinchi darajali taqqoslama, Evklid algoritmi, qoldiqlar sinfi, modulli
arifmetika, kongruensiya.
Annotation:
This article covers the methods of solving first-degree single-variable
congruences. The main types of congruences, algebraic and analytical methods for solving
them, and their real-life applications are discussed. Additionally, various problems of different
complexity levels are solved, and detailed explanations of their solutions are provided.
Keywords:
First-degree congruence, Euclidean algorithm, residue class, modular
arithmetic, congruence.
Аннотация:
В данной статье рассматриваются методы решения сравнений
первой степени с одним неизвестным. Освещены основные виды сравнений,
алгебраические и аналитические методы их решения, а также примеры их применения
в реальной жизни. Кроме того, решены задачи разного уровня сложности с подробным
объяснением решений.
Ключевые слова:
Сравнение первой степени, алгоритм Евклида, класс остатков,
модульная арифметика, конгруэнция.
Kirish:
Matematikaning muhim bo‘limlaridan biri algebra bo‘lib, u tenglamalar va
tengsizliklarni o‘rganadi. Birinchi darajali bir noma’lumli tengsizliklar ko‘plab sohalarda,
jumladan, iqtisodiyot, fizika va informatika fanlarida keng qo‘llaniladi. Tengsizliklarni yechish
va ularning natijalaridan foydalanish ilmiy va amaliy jihatdan muhim hisoblanadi. Bu
maqolada birinchi darajali bir noma’lumli tengsizliklarni yechish usullari, ularning tahlili va
real hayotdagi misollar bilan mustahkamlash masalalari ko‘rib chiqiladi. Mazkur maqolada
birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni yechishning asosiy usullari tahlil qilinib,
ularning amaliy qo‘llanilish doiralari va samaradorligi ko‘rib chiqiladi. Tadqiqot davomida
nazariy asoslar o‘rganilib, turli usullarning solishtirma tahlili olib boriladi. Shuningdek,
olingan natijalar misollar orqali mustahkamlanib, ularning real hayotdagi tatbiqlari yoritib
beriladi. Ushbu maqolaning asosiy maqsadi – birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni
yechish usullarini chuqur o‘rganish va ularning qaysi sharoitda samaraliroq qo‘llanishini
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
108
aniqlashdan iborat. Shu bilan birga, mazkur taqqoslamalarning matematika va axborot
texnologiyalari sohasidagi ahamiyati ham ko‘rsatib beriladi.
Mazkur maqolada birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni yechishning asosiy
usullari tahlil qilinib, ularning amaliy qo‘llanilish doiralari va samaradorligi ko‘rib chiqiladi.
Tadqiqot davomida nazariy asoslar o‘rganilib, turli usullarning solishtirma tahlili olib boriladi.
Shuningdek, olingan natijalar misollar orqali mustahkamlanib, ularning real hayotdagi
tatbiqlari yoritib beriladi.
Ushbu maqolaning asosiy maqsadi – birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni
yechish usullarini chuqur o‘rganish va ularning qaysi sharoitda samaraliroq qo‘llanishini
aniqlashdan iborat. Shu bilan birga, mazkur taqqoslamalarning matematika va axborot
texnologiyalari sohasidagi ahamiyati ham ko‘rsatib beriladi.
1-misol: Taqqoslamani yeching:
3x = 6 (mod 9)
Yechim:
1.
Taqqoslamani oddiy shaklga keltiramiz:
2.
3x = 6 + 9k, k butun son
x = 2 (mod 3)
x = 2 + 3k, k butun son
2-misol:
Taqqoslamani yeching:
5x = 10 ( mod15)
Yechim:
1. Ikkala tomonni 5 ga bo‘lamiz:
x = 2 (mod 3)
x = 2 + 3k, k butun son
Mavzuga doir adabiyotlar tahlili.
Matematika fanida tengsizliklar algebraning muhim
yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, ko‘plab olimlar tomonidan o‘rganilgan. Masalan, algebra faniga
asos solgan Yevklid va boshqa matematiklar tengsizliklarni yechish bo‘yicha dastlabki
qonuniyatlarni kashf etganlar. Zamonaviy matematik adabiyotlarda birinchi darajali
tengsizliklarni yechishning turli usullari yoritilgan. Algebra bo‘yicha asosiy darsliklarda
tengsizliklarni yechish qoidalari va ularning dastlabki xossalari tushuntirilgan. Ba’zi
olimlarning tadqiqotlarida esa tengsizliklarni grafik usulda yechish, ularning iqtisodiy va ilmiy
modellashtirishdagi ahamiyati chuqur o‘rganilgan.
Birinchi darajali bir noma’lumli tengsizliklarni yechish usullari. Birinchi darajali bir
noma’lumli tengsizlik umumiy ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:
ax + b > c
Bunday tengsizliklarni yechishda quyidagi asosiy usullar qo‘llaniladi:
1. Oddiy algebraik o‘zgartirishlar usuli:
Tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil sonni qo‘shish yoki ayirish mumkin.
Tengsizlikning ikkala tomonini musbat songa bo‘lish yoki ko‘paytirish mumkin.
Agar tengsizlik manfiy songa bo‘linayotgan bo‘lsa, belgi o‘zgaradi.
2. Grafik usul: Tengsizlikni to‘g‘ri chiziq ko‘rinishida tasvirlash orqali uning yechim
to‘plamini topish.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
109
3. Interval usuli: Agar tengsizlik murakkab ifodadan iborat bo‘lsa, uni interval usuli bilan
yechish mumkin.
Misol va masalalar yechish
Misol 1.
Tengsizlikni yeching:
3x - 5 > 7
Yechish:
1. Tengsizlikning ikkala tomoniga 5 ni qo‘shamiz:
3x > 12
2. Ikkala tomonini 3 ga bo‘lamiz:
x > 4
Javob:
Tengsizlikning yechimlar to‘plamini toping:
5 - 2x < 1
Yechish:
1. Tengsizlikning ikkala tomonidan 5 ni ayiramiz:
-2x < -4
2. Ikkala tomonini -2 ga bo‘lamiz va belgi o‘zgaradi:
x > 2
Tadqiqot metodologiyasi.
Mazkur tadqiqot birinchi darajali bir noma’lumli
taqqoslamalarni yechish usullarini o‘rganish, ularning matematik xususiyatlarini tahlil qilish
va amaliy misollar orqali yechimlarni ko‘rsatishga qaratilgan. Tadqiqot metodologiyasi
quyidagi asosiy usullarga tayanadi:
1. Nazariy tahlil usuli. Tadqiqotning boshlang‘ich bosqichida algebraik taqqoslamalar,
ularning asosiy xususiyatlari va turli usullar yordamida yechilishi bo‘yicha nazariy
adabiyotlar va ilmiy maqolalar o‘rganildi. Matematik nazariya va algebraik qonuniyatlar
asosida taqqoslamalar yechishning umumiy qoidalari tahlil qilindi.
2. Matematik modellashtirish usuli. Birinchi darajali taqqoslamalarni yechishning turli
usullari amaliy misollar asosida modellashtirildi. Har bir usulning samaradorligi baholandi va
ularning qaysi sharoitda qo‘llanishi yaxshiroq ekani aniqlandi.
3. Eksperimental tadqiqot usuli. Amaliy tajribalar o‘tkazilib, turli matematik
misollarning yechimlari hisoblandi. Qabul qilingan usullarning natijalari tahlil qilinib, ularning
to‘g‘riligi tekshirildi. Natijalar boshqa matematik tadqiqotlar bilan solishtirilib, ularning
mantiqiy va aniq ekani isbotlandi.
4. Solishtirma tahlil usuli. Taqqoslamalarni yechishning turli usullari (masalan, Evklid
algoritmi, modulli hisoblash usuli, algebraik transformatsiyalar) o‘zaro taqqoslandi. Har bir
usulning afzallik va kamchiliklari ko‘rsatilib, qaysi holatlarda qaysi usuldan foydalanish
maqsadga muvofiq ekani aniqlab berildi.
5. Amaliy tadqiqot usuli. Olingan nazariy bilimlar real hayotdagi muammolar yechimiga
tatbiq etildi. Jumladan, kriptografiya, axborot xavfsizligi, kodlash tizimlarida birinchi darajali
taqqoslamalardan foydalanish amaliy jihatdan tahlil qilindi.
Xulosa.
Birinchi darajali bir nomaʼlumli taqqoslamalar matematikaning muhim
yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, ularning tadqiqoti son nazariyasi va modulli arifmetikada keng
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
110
qo‘llaniladi. Ushbu taqqoslamalarni yechish turli usullar yordamida amalga oshiriladi,
jumladan, Evklid algoritmi, qaytarma elementlar usuli va Xitoy qoldiqlar teoremasi kabi
yondashuvlar mavjud. Bu usullar har biri o‘ziga xos xususiyatlarga ega bo‘lib,
taqqoslamalarning turli hollarda qo‘llanilishiga imkon yaratadi. Birinchi darajali
taqqoslamalar matematikaning nazariy jihatlaridagina emas, balki amaliy sohalarda ham
katta ahamiyatga ega. Ayniqsa, kriptografiya, kodlash nazariyasi, kompyuter xavfsizligi va
axborot uzatish tizimlarida keng qo‘llaniladi. Masalan, RSA kabi zamonaviy shifrlash
algoritmlari aynan modulli arifmetikaga asoslangan bo‘lib, ularning ishonchliligi
taqqoslamalar yordamida aniqlanadi. Bundan tashqari, bu soha bank tizimlari, elektron tijorat
va internetdagi shaxsiy ma’lumotlarni himoya qilishda ham katta rol o‘ynaydi.
Taqqoslamalarni yechish usullari bo‘yicha o‘rganishlar shuni ko‘rsatadiki, ularning
ba’zilari oddiy hisoblash usullari bilan hal qilinishi mumkin bo‘lsa, boshqalari ancha
murakkab bo‘lib, maxsus algoritmlar va formulalarga ehtiyoj seziladi. Ayniqsa, modulli
arifmetika asosidagi kongruensiya tenglamalarini hal qilishda aniq va tizimli yondashuv
zarur. Shu bois bu mavzuni chuqur o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni oshirish, balki amaliy
muammolarni hal qilishda ham foydali bo‘ladi. Kelgusida ushbu mavzu bo‘yicha tadqiqotlarni
yanada kengaytirish va turli yangi usullarni o‘rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Xususan,
son nazariyasi va algoritmik yondashuvlarni birlashtirish orqali taqqoslamalarni yanada
samarali yechish yo‘llarini ishlab chiqish mumkin. Bundan tashqari, zamonaviy dasturlash
tillari va kompyuter texnologiyalaridan foydalanish ushbu masalalarni avtomatlashtirish va
katta hajmdagi hisob-kitoblarni bajarishda katta yutuqlarga olib kelishi mumkin.
Umuman olganda, birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni o‘rganish
matematikani chuqur tushunish va amaliy muammolarni hal qilishda katta foyda keltiradi.
Ushbu sohada chuqur izlanishlar olib borish orqali nafaqat nazariy bilimlar mustahkamlanadi,
balki zamonaviy texnologiyalar bilan bog‘liq real hayot masalalarini ham samarali hal qilish
imkoniyati paydo bo‘ladi. Mazkur tadqiqot davomida birinchi darajali bir noma’lumli
taqqoslamalarni yechishning turli usullari nazariy va amaliy jihatdan tahlil qilindi. O‘rganilgan
usullar asosida taqqoslamalar yechimlari isbotlandi va ularning matematik asoslari
mustahkamlandi. Tadqiqot natijalari algebra va raqamli hisob-kitoblar sohasida qo‘llash
uchun samarali metodik yo‘nalishlarni belgilashga yordam beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Axmedov A., Muxamedov B. Algebra va sonlar nazariyasi. – Toshkent: O‘zbekiston Milliy
Ensiklopediyasi, 2022.
2.
Vahobov N. Matematika asoslari. – Toshkent: Fan va Texnologiya, 2021.
3.
Xabibullayev S., Karimov U. Algebra va analiz asoslari. – Toshkent: O‘zMU nashriyoti,
2020.
4.
Kalandarov R. Sonlar nazariyasiga kirish. – Samarqand: SamDU, 2019.
5.
Shamsiev M. Modulli arifmetika va uning amaliy qo‘llanilishi. – Toshkent: Iqtisod-Moliya,
2023.
6.
Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. – Oxford University
Press, 2008.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
111
7.
Rosen K. H. Elementary Number Theory and Its Applications. – Pearson, 2018.
8.
Davenport H. The Higher Arithmetic. – Cambridge University Press, 2017.
9.
Koblitz N. A Course in Number Theory and Cryptography. – Springer, 2012.
10.
Knuth D. The Art of Computer Programming. – Addison-Wesley, 2011.
