ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
11
TAQQOSLAMA VA ULARNING XOSSALARI HAQIDA
Zaxiriddinova Shahlo
Matematika va ta'limda axborot texnologiyasi kafedrasi oʻqituvchisi. Ilmiy rahbar
Nurmaxmatova Umida Abdiqahhor qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti Pedagogika fakulteti “Matematika va
informatika” yo‘nalishi 2- bosqich talabasi.
Murodulloyeva Jasmina Najim qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti “Matematika va
informatika” yo‘nalishi 2-bosqich talabasi.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15128952
Annotatsiya:
Ushbu maqolada algebra va sonlar nazariyasining muhim bo’limlaridan
biri bo’lgan taqqoslama tushunchasi hamda uning asosiy xossalari tahlil qilinadi.Taqqoslama
sonlar nazariyasida qoldiqlar sinfi orqali modulli arifmetika bilan chambarchas bog’liq bo’lib,
u turli xil matematik va kriptografik ilovalarda qo’llaniladi. Maqqolada taqqoslamaning asosiy
ta’rifi, ekvivalent munosabatlari, modulli arifmetikaga oid teoremalarning isboti, Eyler, Ferma
va Xitoy qoldiqlar teoremalari singari muhim natijalar tahlil qilinadi. Shuningdek,
taqqoslamaning algebraic tuzilmalardagi roli, ya’ni qoldiqlar sinfi guruhlari va halqalardagi
ifodalanishi ko’rib chiqiladi.
Kalit so’zlar:
Butun son, taqqoslama, modul, qoldiq, tenglama, tengsizlik.
Аннотатция:
В этой статье анализируется концепция сравнения, которая
является одним из важнейших разделов алгебры и теории чисел, а также ее основные
свойства. Сравнение тесно связано с модульной арифметикой через класс остатков в
теории
чисел,
которая
используется
в
различных
математических
и
криптографических приложениях. В статье анализируются основные определения
сравнения, отношения эквивалентности, доказательства теорем модульной
арифметики, а также важные результаты, такие как теоремы Эйлера, ферма, и
китайские теоремы об остатках. Также рассматривается роль сравнения в
алгебраических структурах, т. е. представление классов остатков в группах и кольцах.
Ключевые слова
: Целое число, сравнение, модуль, остаток, уравнение,
неравенство.
Annotation:
This article analyzes the concept of comparison, which is one of the most
important sections of algebra and number theory, as well as its basic properties. The
comparison is closely related to modular arithmetic through the remainder class in number
theory, which is used in various mathematical and cryptographic applications. The article
analyzes the basic definitions of comparison, equivalence relations, proofs of modular
arithmetic theorems, as well as important results such as the Euler, Fermat, and Chinese
remainder theorems. The role of comparison in algebraic structures, i.e. the representation of
classes of residuals in groups and rings, is also considered.
Keywords
: Integer, comparison, modulus, remainder, equation, inequality
Ta’rif: Bizga a va b butun sonlar m ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa, a va b sonlar m
modul bo’yicha taqqoslanuvchi deyiladi va a≡b(modm) shaklda yoziladi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
12
Masalan, a=15 b= 7 sonlari m=2 modul bo’yicha taqqoslanadi, ya’ni 15≡7(mod2).a=22
b=27 sonlari m=5 modul bo’yicha taqqoslanadi, ya’ni bu ham 22≡27(mod5) kabi yoziladi.
Buning ma’nosi 22 ni 5 ga bo’lgandagi qoldiq 27 ni 5 ga bo’lgandagi qoldiqqa teng deb
tushunishimiz mummkin.1-xossa: a va b sonlari m modul bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lishi
uchun a-b soni m ga bo’linishi zarur va yetarli .Isbot:Haqiqatdan a va b sonlari m ga qoldiqli
bo’lsa a=m*q
1
+r, b=m*q
2
+r 0≤r≤m-1 munosabatlarni hosil qiladi. Bu yerdan a-b=m(q
1
-q
2
)
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni a-b soni m ga bo’linadi. Demak, a va b sonlarining m modul
bo’yicha taqqoslanuvchanligi a=b+m*t ekanligi teng kuchlidir. Bundan esa quyidagi xossaning
o’rinli ekanligi bevosita kelib chiqadi. 2-xossa: Agar a≡b(modm) va b≡c(modm) bo’lsa, u
holda a≡c(modm).Endi taqqoslamaning asosiy xossalarini keltiramiz. 3-xossa: Bir hil modulli
taqqoslamalarni hadma-had qo’shish mumkin, ya’ni a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsa,
a+c≡b+d(modm).Isbot.Aytaylik, a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsin.U holda a-b va c-d sonlari
m ga bo’linadi.(a+c)-demak a+c ≡b+d(modm).4-xossa:Bir hil modulli taqqoslamalarni hadma-
had ko’paytirish mumkin, ya’ni a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsa a*c≡b*d (modm).
Isbot:Haqiqatdan a-b va c-d sonlari m ga bo’linishidan, a*c-b*d=(a-b)*c+b*(c-d) sonining
ham m ga bo’linishi kelib chiqadi. Demak, a*c≡b*d(modm).5-xossa:Taqqoslamaning xar bir
hadini va modulini bir hil songa ko’paytirish mumkin, ya’ni a≡b(modm) bo’lsa
a*k=b*k+m*k*t kelib chiqadi,ya’ni a*k≡b*k(modm*k) bo’ladi. Isbot.a≡b(modm) ekanligidan
a=b+m*t tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini k ga ko’paytirsak,
a*k=b*k+m*k*t kelib chiqadi, ya’ni a*k≡b*k(modm*k).6-xossa. Agar a va b sonlari m modul
bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lsa, u holda ular m ning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’yicha
taqqoslanuvchi bo’ladi.Isbot. a=b+m*t ekanligidan m=m
1
*q shartni qanoatlantiruvchi m
1
soni
uchun a=b+m
1
(q*t) kelib chiqadi, demak a≡b(modm
1
).Agar taqqoslama bir necha Modul
bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama shu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi
bo’yicha ha o’rinli bo’ladi.Agar taqqoslama biror m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu
taqqoslama modulning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’ladi.Taqqoslamaning bir qismi va modulining
EKUB bilan uning ikkinchi qismi va modulining EKUB i o’zaro teng bo’ladi.7-xossa.Agar a va
b sonlari m
1
,m
2
,….m
k
modular bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lsa, u holda a va b sonlarning en
kichik umumiy karralisi bo’yicha taqqoslanuvchi bo’ladi.
Isbot.a≡b(modm
1
), a≡b(modm
2
),…..,a≡b(modm
k
) ekanligidan a-b soning m
1
,m
2
,….,m
k
larning barchasiga bo’linishi kelib chiqadi. Demak, ularning eng kichik umumiy
karralisiga ham bo’linadi. Taqqoslama yuqori darajadagi sonlarning biror songa bo’lgandagi
qoldiqni topishda qulay. Taqqoslamaning xossasi bizga yechimga oson va qulay usulda yetib
borishimizga yordam beradi. Taqqoslama xossalarining xususiy xolati EYLER va FERMA
teoremalaridir . Ular faqat tup sonlar uchun o’rinli .
EYLER TEOREMASI:O’zaro tub bo’lgan a va m(m>1) sonlari uchun quyidagi munosabat
o’rinli: a
n(b)
≡1(modb) EKUB(a:m)=1 shart qanoatlantirsa taqqoslama yechimga ega bo’ladi.
EKUBI 1 ga teng bo’lsa o’zaro tub son deyiladi. FERMA TEOREMASI: a
p-1
≡1(modp). p tub son
bu teorema ferma teoresi deb yuritiladi.
Eyler teoremsidagi n(b)=(1-1/p
1
)*(1-1/p
2
)*…*(1-1/p
k
) kabi topiladi.Birinchi navbatda
n(b) topiladi va a ning darajasini aniqlandi.So’ng taqqoslamaning xossasidan foydalanib
taqqoslama qoldig’i topiladi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
13
1-misol:a=2511 sonini b= 123 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.Yechish.Qoldiqli bo’lishi
haqidagi teoremadan foydalanib a=b*q=r, 0≤r≤b ifodani topamiz.
2511=123*20+51.Demak a=2511 b=123 bo’lganda r=51 qoldiq qoladi.
2-misol. A=25
112
ni 16 ga bo’lish uchun taqqoslamaning xossalaridan foydalanamiz.
25=16*1+9 ekanligidan 25≡9(mod16) kelib chiqadi.Bundan 25
112
≡9
112
≡(9
2
)
56
≡81
56
81=16*5+1 ekanligini e’tiborga olsak, u holda 25
112
ga bo’lgandagi qoldiq 1 bo’ladi.
3-misol.Agar 100a+10b+c≡0(mod21) ekanligini isbotlang.
Isbot.Taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o’zaro tub songa 4 songa
ko’paytiramiz :400a+40b+4c≡0(mod21). 400=21*19+1, 40=21*2+(-2), 4=0*21+4 lardan
foydalanib, quyidagi taqqoslamalarni yozamiz :
400a≡a(mod21), chunki 400a-a=399a:21
40b≡-2b(mod21), chunki 40b-(-2b)=42b:21
4c≡4c(mod21),chunki 4c-4c=0:21
Berilgan taqqoslamadan yuqoridagi taqqoslamalarni e’tiborga olib,400a+40b+4c≡a-
2b+4c(mod21) taqqoslamani hosil qilamiz .Demak,400a+40b+ 4c≡0(mod21)
Shartdan a-2b+4c≡0(mod21) kelib chiqadi. Taqqoslama — butun sonlarni modulli
arifmetika nuqtayi nazaridan o‘zaro bog‘liq ekanligini ifodalovchi munosabatdir. Bu
tushuncha modulli arifmetika va sonlar nazariyasining asosiy qismidir.Sonlar nazariyasida
taqqoslamalar ko‘plab amaliy masalalarda qo‘llaniladi, jumladan, kriptografiya, kodlash
nazariyasi, algoritmik murakkablik nazariyasi va boshqa sohalarda. Xususan, Eylеr va
Fermaning kichik teoremalari, Xitoy qoldiqlar teoremasi kabi natijalar taqqoslamalar
nazariyasida muhim o‘rin tutadi.Algebraik nuqtai nazardan esa, taqqoslamalar hal qilish
usullari guruhlar, halqalar va maydonlar nazariyasiga bog‘liq bo‘lib, ular orqali algebraik
tuzilmalar o‘rganiladi. Shu sababli, taqqoslama algebra va sonlar nazariyasi fanlari o‘rtasida
mustahkam bog‘liqlikni ifodalaydi hamda matematik tafakkurni rivojlantirishda muhim
vositalardan biri hisoblanadi. Taqqoslamalar nazariyasi kriptografiya, kodlash nazariyasi va
algoritmik murakkablik kabi zamonaviy fan sohalarida ham keng qo‘llaniladi. Shu bois,
algebra va sonlar nazariyasi fanida taqqoslamalar matematikani rivojlantirishda muhim
vosita hisoblanadi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Ayupov Sh.A., Ibragimov M.M., Kudaybergenov K.K., Funksional analizdan misol va
masalalar. O‘quv qo‘llanma.
2.
Nukus. Bilim 2009. – 300 bet. 2. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and
Number theory. 2010. – 523 p.
3.
Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006. – 297 p.
4.
Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p.
5.
Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. – 584 p.
6.
Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. –386 с.
7.
Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие.
2014. – 52 с.
8.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. 1948. – 178 c.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
14
9.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 1998. – 320 с.
10.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000 г. – 272 с.
11.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000 г. – 368 с.
12.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979 г. – 559 с.
13.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 2008. – 432 c.
14.
Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010 г. 480 с.
15.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007 г. – 416 c.
16.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, Санкт-Петербург, 1999 г.
– 304 с.
17.
Саримсоқов Т.А. Функционал анализ курси. Тошкент, «Ўзбекистон», й.
18.
Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент,
«Ўзбекистон», 2001 й.
19.
H.To‘rayev. Matematik mantiq va diskret matematika. — Т., « 0‘qituvchi», 2003.
20.
Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. - М.,
«Просвещение», 1986.
21.
Пихтарников Л.М., Сукачьева Т.Г. Математическая логика. — Санкт-Петербург,
«Лан», 1999.
22.
A.S.Yunusov. Matematik mantiq va algoritmlar nazariyasi elementlari. — Т., «Yangi asr
avlodi», 2006.
23.
Сборник задач по алгебре. Под. ред. А.Кострикина. ~ М., «Наука», 1987.
24.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. — М., «Высшая школа», 1979.
25.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебе. М., «Наука», 1974
26.
Холод Н.И. Пособие к решению задач по линейной алгебре и линейному
программированию. — Минск, Изд. Б ГУ, 1971.
27.
Конева А.А.. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Часть 3. - М.,
«Просвещение», 1984.
28.
A.S.Yunusov, D.I.Yunusova. Algebra va sonlar nazariyasidan modul texnologiyasi asosida
tayyorlangan nazorat topshiriqlari to‘plami. — Т., TDPU. 2004.
29.
Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел. — М., 1984.
30.
Шнеперман Л. Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. — Минск,
«Высшейшая школа», 1982.
31.
Завало С.Т. и др. Алгебра и теория чисел. Ч. I, II. — К., «Выша школа», 1983, 1986 гг.
32.
Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник задач по теории чисел. — М., 1969.
