ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
23
PROEKTIV TEKISLIKDAGI QO’ZG’ALMAS TO’G’RI CHIZIQ. PROEKTIV
GEOMETRIYA NUQTAI NAZARIDAN YEVKLID GEOMETRIYASI
Zaxiriddinova Shahlo Zaxiriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti Matematika va ta’limda
axborot texnologiyasi kafedrasi o’qituvchisi
Rajapova Zilola Bahriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti
“Matematika va informatika” yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15128980
Annotatsiya:
Ushbu maqolada proektiv geometriyada qoʻzgʻalmas toʻgʻri chiziq
tushunchasi tahlil qilinadi va uning Yevklid geometriyasidagi ekvivalent tushunchalar bilan
solishtirilishi koʻrib chiqiladi. Proektiv tekislikda barcha toʻgʻri chiziqlar kesishishi, jumladan,
parallel chiziqlarning ham umumiy "cheksizlik nuqtasi" mavjudligi tushuntiriladi. Shu asosda,
proektiv geometriyada cheksizlik toʻgʻri chizigʻi muhim qoʻzgʻalmas chiziq sifatida qaraladi.
Maqolada proektiv oʻzgarishlar natijasida oʻz holatini oʻzgartirmaydigan toʻgʻri chiziqlarning
matematik tavsifi va ularning amaliy ahamiyati ham yoritiladi. Bu mavzu Yevklid va proektiv
geometriyalar oʻrtasidagi farqni tushunishda muhim oʻrin tutadi.
Kalit soʻzlar:
Proektiv geometriya, qoʻzgʻalmas toʻgʻri chiziq, proektiv tekislik, Yevklid
geometriyasi, cheksizlik toʻgʻri chizigʻi, proektiv oʻzgarish, parallel chiziqlar, kesishish nuqtasi,
homogen koordinatalar, markaziy proyeksiya.
Annotation:
This paper analyzes the concept of a fixed straight line in projective
geometry and examines its comparison with equivalent concepts in Euclidean geometry. It
explains the common "point of infinity" where all straight lines intersect in the projective
plane, including parallel lines. Accordingly, in projective geometry, the line at infinity is
regarded as an important fixed line. The article also covers the mathematical description of
straight lines that do not change their position as a result of projective changes and their
practical significance. This topic is important in understanding the difference between
Euclidean and projective geometries.
Keywords:
Projective geometry, fixed straight line, projective plane, Euclidean
geometry, straight line at infinity, projective transformation, parallel lines, point of
intersection, homogeneous coordinates, central projection.
Аннотация:
В данной статье анализируется понятие фиксированной прямой в
проективной геометрии и исследуется его сравнение с эквивалентными понятиями в
евклидовой геометрии. Это объясняет общую «точку бесконечности», где все прямые
пересекаются в проективной плоскости, включая параллельные. Соответственно, в
проективной геометрии линия на бесконечности рассматривается как важная
фиксированная линия. Также в статье рассматривается математическое описание
прямых, не меняющих своего положения в результате проективных изменений, и их
практическое значение. Эта тема важна для понимания разницы между евклидовой и
проективной геометриями.
Ключевые слова:
Проективная геометрия, фиксированная прямая, проективная
плоскость, евклидова геометрия, прямая на бесконечности, проективное
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
24
преобразование, параллельные прямые, точка пересечения, однородные координаты,
центральная проекция
Kirish:
Geometriya turli fazoviy munosabatlarni o‘rganadigan qadimiy va fundamental
fanlardan biridir. Yevklid geometriyasi uzoq vaqt davomida asosiy geometrik nazariya sifatida
xizmat qilgan bo‘lsa-da, rivojlangan matematik tahlillar natijasida proektiv geometriya kabi
yangi yo‘nalishlar shakllandi. Proektiv geometriya, ayniqsa, tasvirlash va proyeksiya
qonuniyatlarini o‘rganishda muhim rol o‘ynaydi. Proektiv geometriyaning asosiy
xususiyatlaridan biri shundaki, unda har ikkita to‘g‘ri chiziq albatta kesishadi. Bu, ayniqsa,
cheksiz uzoqdagi nuqtalar va cheksiz uzoqdagi chiziq tushunchalari bilan bog‘liq. Shu sababli,
oddiy Yevklid geometriyasida parallel bo‘lgan chiziqlar proektiv geometriyada o‘zaro
kesishuvchi qilib qaraladi. Mazkur maqolada proektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq
tushunchasi tahlil qilinadi. Avval proektiv fazo va proektiv tekislik asoslari bayon etiladi,
so‘ngra bu tekislikda ba’zi chiziqlarning proektiv o‘zgarishlar ostida qanday o‘zgarishi yoki
o‘zgarmasligi tushuntiriladi. Yevklid va proektiv geometriya o‘rtasidagi farqlar ham batafsil
yoritilib, proektiv geometriyaning amaliy qo‘llanilishi, jumladan, tasvirlash geometriyasi va
optikada qanday ishlatilishi muhokama qilinadi.
Adabiyotlar tahlili:
Proektiv geometriya va uning asosiy tushunchalarini yorituvchi
ilmiy manbalar va monografiyalar ko‘plab tadqiqotchilar tomonidan o‘rganilgan. Ushbu
bo‘limda proektiv tekislik, proektiv o‘zgarishlar va qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziqlar mavzusiga oid
muhim adabiyotlar tahlil qilinadi.
1. Klassik manbalar
:
Proektiv geometriyaning asoslari Yevklid geometriyasidan farqli
bo‘lib, uni o‘rganish asosan 19-asrda rivojlandi. Jan-Viktor Ponsel va August Möbius kabi
matematiklar ushbu sohaga asos solgan. Keyinchalik Feliks Kleyn va David Hilbert proektiv
geometriyaning fundamental asoslarini mustahkamladi.
Poncelet, J.V. (1822). "Traité des propriétés projectives des figures"
Ushbu asarda proektiv xossalar va cheksiz uzoqdagi nuqtalar tushunchasi kiritilgan.
Klein, F. (1872). "Erlangen Program"
Bu asar proektiv geometriyani boshqa geometriyalar bilan bog‘lashda muhim o‘rin
tutadi.
2. Zamonaviy o‘quv qo‘llanmalari va darsliklar . Hozirgi vaqtda proektiv geometriya
bo‘yicha ko‘plab darsliklar mavjud bo‘lib, ularning aksariyati universitet darajasida o‘qitiladi.
Masalan: Coxeter, H.S.M. (1961). "Projective Geometry". Bu kitobda proektiv fazo, chiziqli
o‘zgarishlar va perspektiv transformatsiyalar haqida batafsil ma’lumot berilgan.
Hartshorne, R. (1997). "Foundations of Projective Geometry"
Bu asar proektiv geometriyaning zamonaviy asoslarini o‘z ichiga olgan bo‘lib, algebraik
geometriya bilan bog‘liq jihatlarni ham yoritadi.
3. Tadqiqot maqolalari va ilmiy ishlanmalar
Oxirgi yillarda proektiv geometriya kompyuter grafikasi, sun’iy intellekt va tasvirlarni
qayta ishlashda qo‘llanilmoqda. Masalan:
Semple, J.G., & Kneebone, G.T. (1952). "Algebraic Projective Geometry"
Bu tadqiqotda algebraik geometriya bilan proektiv geometriyaning o‘zaro bog‘liqligi
tahlil qilingan.
Hartley, R., & Zisserman, A. (2003). "Multiple View Geometry in Computer Vision"
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
25
Ushbu kitob proektiv geometriyaning zamonaviy amaliyotini, ayniqsa, 3D tasvirni qayta
ishlashda qo‘llanilishini yoritadi.
4. Proektiv geometriyaning amaliy tadqiqotlari
Bugungi kunda proektiv geometriya quyidagi sohalarda qo‘llaniladi:
Kompyuter grafikasi (tasvir proyeksiyalari va perspektiv transformatsiyalar)
Fotogrammetriya (yo‘nalish va koordinatalarni tiklash)
Optik sistemalar va linzalar dizayni
Ushbu yo‘nalishlar bo‘yicha quyidagi ilmiy manbalar muhim o‘rin tutadi:
Ma, Y., Soatto, S., Kosecka, J., & Sastry, S. (2004). "An Invitation to 3-D Vision"
Bu kitob proektiv geometriyaning kompyuter ko‘rish tizimlarida qanday qo‘llanilishini
tushuntiradi.
Adabiyotlar tahlili shuni ko‘rsatadiki, proektiv geometriya nazariy jihatdan chuqur
tadqiq qilingan bo‘lib, hozirgi kunda amaliy jihatdan ham keng qo‘llanilmoqda. Klassik
matematik nazariyalardan boshlab, zamonaviy kompyuter grafikasi va sun’iy intellekt
sohalarigacha bo‘lgan jarayonda proektiv geometriyaning ahamiyati tobora ortib bormoqda.
Tadqiqot metodologiyasi:
Ushbu tadqiqot proektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri
chiziq tushunchasini matematik jihatdan tahlil qilish, uni Yevklid geometriyasi bilan
solishtirish va proektiv geometriyaning amaliy qo‘llanilishiga e’tibor qaratishdan iborat.
Tadqiqot quyidagi metodologik yondashuvlarga asoslanadi:
1. Nazariy tahlil
Tadqiqotning dastlabki bosqichi sifatida proektiv geometriyaning asosiy tushunchalari,
jumladan: Proektiv fazo va tekislik , proektiv o‘zgarishlar
Cheksiz uzoqdagi chiziq va nuqtalar
Qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziqlar tahlil qilinadi.
Bu bosqichda matematik nazariyalar va ularning rivojlanishi haqidagi klassik manbalar
(Klein, Coxeter, Hartshorne) asosida o‘rganish olib boriladi.
2. Analitik va algebraik metodlar
Matematik asoslarni mustahkamlash uchun proektiv fazoda to‘g‘ri chiziqlarni
ifodalashning algebraik yondashuvi ishlatiladi:
Gomogen koordinatalar yordamida to‘g‘ri chiziq ifodalari
Proektiv transformatsiyalar ostida chiziqlarning o‘zgarishi
Matritsalar yordamida proektiv o‘zgarishlar
Bu metodlar yordamida qo‘zg‘almas chiziqlarning algebraik shartlari chiqariladi va
proektiv fazodagi invariantlik xossalari o‘rganiladi.
3. Kompyuter modellashtirish va grafik tahlil : Proektiv geometriyaning amaliy
jihatlarini ko‘rsatish maqsadida:
Matlab, Python (SymPy va NumPy) yoki GeoGebra dasturlarida proektiv
transformatsiyalar modellashtiriladi.
Grafik vositalar yordamida proektiv tekislikdagi chiziqlar va ularning invariant xossalari
vizuallashtiriladi.
Bu usul ayniqsa kompyuter grafikasi va 3D tasvir ishlash sohalarida proektiv
geometriyaning ahamiyatini ko‘rsatish uchun muhimdir.
4. Yevklid va proektiv geometriyani solishtirish
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
26
Yevklid geometriyasi va proektiv geometriyaning asosiy farqlari tahlil qilinadi:
Parallelizm tushunchasi: Yevklidda parallel chiziqlar kesishmaydi, proektivda esa ular
cheksiz uzoq nuqtada kesishadi.
O‘lcham va shakl saqlanishi: Yevklid geometriyasida masofa va burchaklar saqlanadi,
proektiv geometriyada esa perspektiva va proyeksiya asosiy rol o‘ynaydi.
Cheksiz uzoqdagi chiziqning mavjudligi: Yevklid geometriyasida bunday tushuncha yo‘q,
lekin proektiv geometriyada bu muhim rol o‘ynaydi.
Bu solishtirishlar orqali proektiv geometriyaning afzalliklari va cheklovlari aniqlanadi.
5. Ilmiy maqolalar va zamonaviy tadqiqotlarni tahlil qilish
Proektiv geometriyaning real amaliyotda, jumladan:
Kompyuter grafikasi
Sun’iy intellekt va tasvir qayta ishlash
Optik va fotogrammetriya tizimlari
dagi qo‘llanilishiga oid ilmiy maqolalar o‘rganiladi.
Bunda Google Scholar, IEEE Xplore va Springer bazalaridan foydalanib, so‘nggi
tadqiqotlar tahlil qilinadi.
Tadqiqot metodologiyasi nazariy, algebraik va eksperimental usullarni o‘z ichiga oladi.
Proektiv geometriya asoslari tahlil qilinib, uning matematik va amaliy jihatlari kompyuter
modellashtirish hamda real ilmiy tadqiqotlar asosida mustahkamlanadi.
Xulosa:
Ushbu tadqiqotda proektiv tekislikdagi qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq tushunchasi
tahlil qilindi va uning proektiv geometriya nuqtai nazaridan qanday ahamiyatga ega ekani
yoritildi. Tadqiqot natijalariga ko‘ra, quyidagi asosiy xulosalar chiqarildi:
1. Proektiv geometriya va Yevklid geometriyasining farqlari
Proektiv geometriyada har ikkita to‘g‘ri chiziq albatta kesishadi, chunki cheksiz
uzoqdagi chiziq tushunchasi mavjud.
Yevklid geometriyasida parallel chiziqlar kesishmaydi, ammo proektiv geometriyada
ular cheksiz uzoq nuqtada kesishuvchi sifatida qaraladi.
O‘lcham va burchaklarning o‘zgarishi proektiv fazoda boshqa qonuniyatlarga
bo‘ysunadi, ya'ni proyeksiya va perspektiva asosiy rol o‘ynaydi.
2. Qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziqlarning ahamiyati
Proektiv transformatsiyalar ostida ba’zi chiziqlar invariant (o‘zgarmas) bo‘lib qoladi.
Cheksiz uzoqdagi chiziq ko‘p proyektiv o‘zgarishlarda qo‘zg‘almas bo‘lib qoladi va bu
geometriyaning fundamental tushunchalaridan biridir.
Algebraik jihatdan qo‘zg‘almas chiziqlar proyektiv matritsalar yordamida ifodalanib,
ularning invariantlik shartlari aniqlanadi.
3. Amaliy qo‘llanilish sohalari
Kompyuter grafikasi va sun’iy intellekt: Tasvirlarni proyeksiya qilish va 3D
modellashtirishda proektiv geometriya asosiy tamoyillardan biri hisoblanadi.
Fotogrammetriya va tasvir qayta ishlash: Rasm va videolardagi ob’ektlarning holatini
tiklash va moslashtirishda proektiv transformatsiyalar qo‘llaniladi.
Optika va fizikada: Yorug‘lik va linza tizimlarida proyektiv model ishlatiladi.
4. Tadqiqotning ilmiy ahamiyati
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
27
Proektiv geometriya fundamental matematik yo‘nalish bo‘lib, Yevklid geometriyasini
umumlashtiradi. Bugungi zamonaviy texnologiyalarning rivojlanishida (kompyuter grafikasi,
robototexnika, sun’iy intellekt) uning ahamiyati ortib bormoqda.
Proektiv geometriyada qo‘zg‘almas to‘g‘ri chiziq tushunchasi nafaqat nazariy, balki
amaliy jihatdan ham muhim ahamiyat kasb etadi. Ushbu tadqiqot orqali proektiv fazodagi
invariant chiziqlar va ularning o‘zgarishlarga nisbatan xususiyatlari tahlil qilindi. Kelajak
tadqiqotlar proektiv transformatsiyalarning yanada murakkab turlarini va ularning ilg‘or
texnologiyalardagi rolini o‘rganishga qaratilishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Poncelet, J.V. (1822). Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Bachelier.
2.
Klein, F. (1872). Erlangen Program: A Comparative Review of Geometries.
Mathematische Annalen.
3.
Coxeter, H.S.M. (1961). Projective Geometry. Springer-Verlag.
4.
Hartshorne, R. (1997). Foundations of Projective Geometry. Springer.
5.
Semple, J.G., & Kneebone, G.T. (1952). Algebraic Projective Geometry. Oxford University
Press.
6.
Hartley, R., & Zisserman, A. (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision.
Cambridge University Press.
7.
Ma, Y., Soatto, S., Kosecka, J., & Sastry, S. (2004). An Invitation to 3-D Vision: From
Images to Geometric Models. Springer.
8.
Griffiths, P., & Harris, J. (1978). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience.
9.
Berger, M. (1987). Geometry I & II. Springer-Verlag.
10.
Goldman, R. (2009). An Integrated Introduction to Computer Graphics and Geometric
Modeling. CRC Press.
