ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
59
MARKAZIY PARALLEL PROEKTSIYALASH VA ULARNING XOSSALARI
Zaxiriddinova Shahlo Zaxiriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti Matematika va ta`limda
axborot texnologiyasi kafedrasi o`qituvchisi
Ulug`murodova Shaxlo Shuhrat qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti, Pedagogika fakulteti
“Matematika va informatika” yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15129058
Annotatsiya:
Ushbu maqolada markaziy va parallel proektsiyalash tushunchalari,
ularning asosiy xossalari va geometrik tavsiflari haqida batafsil ma'lumot berilgan. Markaziy
proektsiyalashning asosiy tamoyillari va parallel proektsiyalash bilan bog‘liq bo‘lgan asosiy
formulalar keltiriladi. Proektsiyalashning turli ko‘rinishlari orqali fazoviy shakllarni tasvirlash
usullari ham ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar:
markaziy proektsiyalash, parallel proektsiyalash, geometrik xossalar,
proektsiyalovchi chiziqlar, tasvirlash usullari.
Annotation:
This article provides a detailed overview of central and parallel
projections, their fundamental properties, and geometric characteristics. The principles of
central projection and the main formulas related to parallel projection are discussed. Different
methods of representing spatial objects through projection are also analyzed.
Keywords:
central projection, parallel projection, geometric properties, projecting lines,
representation methods.
Аннотация:
В данной статье представлен подробный обзор центрального и
параллельного проецирования, их основных свойств и геометрических характеристик.
Рассматриваются принципы центрального проецирования и основные формулы,
связанные с параллельным проецированием. Также анализируются различные методы
отображения пространственных объектов с помощью проекций.
Ключевые слова
: центральное проецирование, параллельное проецирование,
геометрические свойства, проецирующие линии, методы отображения.
Kirish.
Geometriyada turli fazoviy jismlarni ikki o‘lchovli tekislikka tasvirlash usullari
muhim o‘rin tutadi. Bunda asosiy proektsiyalash usullari — markaziy va parallel
proektsiyalash — fazoviy jismlarni tushunish va ularni tasvirlashda asosiy vosita hisoblanadi.
Markaziy proektsiyalash — proektsiyalash markazi orqali amalga oshiriladi, parallel
proektsiyalash esa bitta yo‘nalishda parallel tushadigan proektsiyalovchi to‘g‘ri chiziqlar
orqali hosil qilinadi.
Fazoviy figuralarni tekislikda tasvirlash masalasi qadimgi davrlardan beri turli
matematiklar tomonidan koʻrib chiqilgan. Ushbu muammoni hal qilish me'morlar, rassomlar,
muhandislar uchun amaliy jihatdan juda zarurdir. Stereometriyani oʻrgatishda matematika
oʻqituvchisi fazoviy jismlarni tekislikda tasvirlaydi va bunda bir qator muammolarga duch
keladi. Bunday muammoni hal qilishning eng oson usuli uch oʻlchamli Evklid fazosini
tekislikka parallel ravishda proyeksiyalash bilan bogʻliq. Parallel proyeksiyalash yordamida
fazoviy jismlarni tasvirlash usuli oddiy, ammo barcha masalalar uchun har doim ham qulay
emas. Masalan, uning yordami bilan rasmda fazoviy jismlarning badiiy tasvirini olish mumkin
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
60
emas, rassomlar markaziy proyeksiyalash deb ataladigan proyeksiyalashdan foydalanib,
tasvirlashning ancha murakkab usullarini qoʻllaydilar. Dastlab markaziy proyeksiyalash
tushunchasi bilan tanishamiz. Fazoda biror
𝛼
tekislik va unda yotmaydigan S nuqta berilgan
boʻlsin. Fazodagi ixtiyoriy P nuqtani olib S bilan tutashtiramiz. Hosil boʻlgan SP toʻgʻri chiziqni
𝛼
tekislik bilan kesishguncha davom ettiramiz va ularning kesishgan nuqtasini
𝑃
′ orqali
belgilaymiz. Bu
𝑃
′ nuqtaga P nuqtaning
𝛼
tekislikdagi markaziy proyeksiyasi, S nuqtani
proyeksiyalar markazi, SP toʻgʻri chiziqni proyeksiyalovchi toʻgʻri chiziq,
𝛼
tekislikni
proyeksiyalar tekisligi deyiladi. Korsatilgan usul bilan biror G figuraning
𝛼
tekislikdagi G′
proyeksiyasini yasaganimizdan keyin uni oʻxshash almashtirib G fuguraning tasviri G0 ni hosil
qilamiz. Ba’zi hollarda oʻxshash almashtirishni bajarishga zarurat tugʻilmaydi. Bunda figura
proyeksiyasining koʻrinishi albatta proyeksiyalar tekisligining proyeksiyalar yoʻnalishiga
nisbatan qanday joylashganiga bogʻliq boʻladi.
Endi yassi va fazoviy figuralarni tekislikdagi tasvirlarini yasashda keng qoʻllaniladigan
proyeksiyalashlardan biri - parallel proyeksiyalash usuli bilan tanishamiz.
Biror
𝛼
tekislik va unga parallel boʻlmagan
𝑢⃗
vektorni qaraymiz.
Ta’rif
. M nuqtaning
𝛼
tekislikka
𝑢⃗
vektor yoʻnalishidagi parallel proyeksiyasi deb M
nuqtadan oʻtib
𝑢⃗
vektorga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning
𝛼
tekislik bilan kesishishidan
hosil boʻlgan
𝑀
′ nuqtaga aytiladi.
Parallel proyeksiyalashning asosiy xossalarini qarab chiqamiz
.
1.
Nuqtaning proyeksiyasi nuqta boʻladi
.
Isbot
. Proyeksiyalanuvchi M nuqtadan oʻtuvchi
𝑀𝑀
′ nur
𝛼
telislikka parallel boʻlmagani
uchun uni bitta
𝑀
′ nuqtada kesadi.
2.
Toʻgʻri chiziqning parallel proyeksiyalashdagi tasviri toʻgʻri chiziq boʻladi
.
Isbot.
Proyeksiyalovchi nurlarning yoʻnalishi u toʻgʻri chiziqqa parallel boʻlib
proyeksiyalanuvchi
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziq va u toʻgʻri chiziqlar parallel boʻlmasin.
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri
chiziqda ixtiyoriy nuqtani, masalan
𝐴
′ nuqtani olib bu nuqtadan u toʻgʻri chiziqqa parallel
𝐴
′
𝐴
toʻgʻri chiziqni oʻtkazamiz (A nuqta
𝐴
′
𝐴
toʻgʻri chiziqning
𝜎
tekislikdagi izi).
𝐴
′
𝐴
va
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri
chiziqlar orqali
𝛼
tekislik oʻtkazamiz. Bu tekislik proyeksiyalovchi nurlarga parallel boʻlib
𝜎
tekislikni AB toʻgʻri chiziq boʻyicha kesadi. AB toʻgʻri chiziq
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziqning
𝜎
tekislikdagi proyeksiyasi boʻladi.
Haqiqatan ham, agar
𝛼
tekislikda
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziqning ixtiyoriy
𝐶
′ nuqtasidan
proyeksiyalovchi nurlarga parallel
𝐶
′
𝐶
toʻgʻri chiziq oʻtkazsak u holda
𝜎
tekislik va
𝐶
′
𝐶
toʻgʻri
chiziqning kesishgan C nuqtasi
𝐶
′ nuqtaning
𝜎
tekislikdagi proyeksiyasi boʻladi. Fazoda
𝐶
′
nuqtadan berilgan yoʻnalishga parallel qilib faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkinligi
uchun C nuqta yagonadir. Bunda
𝛼
tekislikni proyeksiyalovchi tekislik deyiladi. Agar
proyeksiyalanuvchi
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziq va u toʻgʻri chiziqlar parallel boʻlsa bu toʻgri chiziqning
𝜎
tekislikdagi proyeksiyasi nuqtadan iborat boʻladi. 3. Proyeksiyalanuvchi
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziq
kesmalarining
𝐴
′
𝐶
′ :
𝐶
′
𝐵
′ nisbati bu kesmalarning AB toʻgʻri chiziqdagi proyeksiyalarining
𝐴𝐶
:
𝐶𝐵
nisbatiga teng.
(Kesmalarning oddiy nisbati parallel proyeksiyalashda invariyantdir)
Isbot
.
𝐴
′
𝐵
′ toʻgʻri chiziq va uning proyeksiyasi AB toʻgʻri chiziq bitta tekislikda yotadi.
Bu toʻgʻri chiziqlar kesishib biron burchak hosil qilsin. Hosil boʻlʻgan burchak
𝐴
′
𝐵
′ va
𝐴𝐵
tomonlarini
𝐴𝐴
′ ,
𝐵𝐵
′ ,
𝐶𝐶
′ parallel toʻgʻri chiziqlar bilan kesishib proporsional kesmalar
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
61
hosil qiladi, yani
𝐴
′
𝐶
′ :
𝐶
′
𝐵
′ =
𝐴𝐶
:
𝐶𝐵
.
𝐴
′
𝐵
′ va
𝐴𝐵
toʻgʻri chiziqlar parallel boʻlganda bu
munosabat bajarilishi ravshan.
4.
Parallel toʻgʻri chiziqlarning proyeksiyalari ham parallel boʻladi.
Isbot.
𝑎
′va
𝑏
′ parallel toʻgʻri chiziqlar boʻlsin. Bu toʻgʻri chiziqlarning proyeksiyalari
boʻlgan
𝑎
va
𝑏
toʻgʻri chiziqlarning parallel boʻlishini koʻrsatamiz. a ′ va b′ toʻgʻri chiziqlarni
proyeksiyalovchi
𝛼
va
𝛽
tekisliklar oʻzaro parallel boʻlgani uchun bu tekisliklarning
proyeksiyalar tekisligi bilan kesishishidan hosil boʻlgan toʻgʻri chiziqlar ham parallel boʻladi.
5.
Ikkita parallel toʻgʻri chiziqlardagi kesmalar nisbati bu kesmalar
proyeksiyalari nisbatiga teng.
Isbot
. A′B′ va C′D′ kesmalar parallel boʻlsin. U holda 4-xossaga koʻra ularning
proyeksiyalari ham parallel boʻladi. Endi
𝐴
′
𝐵
′ :
𝐶
′
𝐷
′ =
𝐴𝐷
:
𝐶𝐷
ekanligini isbotlaymiz. Buning
uchun B′ va D′ nuqtalarni tutashtiramiz va A′ nuqtadan B′D′ toʻgʻri chiziqqa parallel toʻgʻri
chiziqqa oʻtkazamiz. Bu toʻgʻri chiziqning C′D′ kesma bilan kesishgan nuqtasi E′ boʻlsin. B′D′ va
A′E′ kesmalar BD va AE parallel kesmalarga proyeksiyalanadi. 3-xossaga koʻra
𝐸
′
𝐷
′ :
𝐶
′
𝐷
′ =
𝐸𝐷
:
𝐶𝐷
, ammo ABDE – parallelogramm boʻlgani uchun E′D′ = A′B′, ED = AB va 4-xossaga koʻra
AE ‖ BD. Demak
𝐴
′
𝐵
′ :
𝐶
′
𝐷
′ =
𝐴𝐷
:
𝐶𝐷
.
6. Agar proyeksiyalanayotgan kesma proyeksiyalar tekisligiga parallel boʻlsa uning
proyeksiyasi oʻziga parallel va teng boʻladi.
7. Agar proyeksiyalanayotgan burchak yotgan tekislik proyeksiyalar tekisligiga parallel
boʻlsa uning proyeksiyasi oʻziga teng boʻladi.
Mavzuga doir adabiyotlar tahlili:
Markaziy va parallel proektsiyalash mavzusiga doir adabiyotlar geometriyaning asosiy
nazariy asoslarini qamrab oladi va ularning matematik modellari, xossalari hamda amaliy
qo‘llanilishi bo‘yicha batafsil ma’lumot beradi. Quyida ushbu mavzu bilan bog‘liq asosiy
adabiyotlar tahlil qilinadi:
1. S. M. Nikolskiy – "Geometriya asoslari" (2018)
Bu kitob umumiy geometriya nazariyasi asoslariga bag‘ishlangan bo‘lib, unda proektsiyalash
tushunchalari chuqur o‘rganiladi. Markaziy va parallel proektsiyalash masalalari asosiy
geometriya qonuniyatlari bilan bog‘liq holda yoritilgan. Muallif proektsiyalash jarayonini
tasvirlashda:
Markaziy proektsiyalash formulasini matematik asos bilan tushuntiradi.
Parallel proektsiyalashdagi parallellikning saqlanishi va uning amaliy ahamiyatini
ko‘rsatadi.
Ko‘rinishdagi o‘zgarishlar orqali markaziy va parallel proektsiyalash o‘rtasidagi
farqlarni taqqoslaydi.
Kitobning afzallik tomoni shundaki, unda nazariy asoslar bilan birga proektsiyalashning
amaliy masalalari ham keng yoritilgan. Biroq, markaziy proektsiyalashning kompyuter
grafikasi va zamonaviy texnologiyalardagi qo‘llanilishiga kam e’tibor berilgan.
2. B. M. Veynberg – "Proektsion geometriya" (2016)
Bu kitob proektsion geometriyaning nazariy va amaliy asoslariga bag‘ishlangan. Muallif
quyidagi jihatlarni batafsil tahlil qiladi:
Markaziy va parallel proektsiyalashning matematik asoslari.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
62
Proektsiyalash jarayonidagi parallellik va kesim mutanosibligining saqlanishi.
Markaziy proektsiyalashda o‘lchamlar o‘zgarishi va perspektiv tasvir hosil qilish
usullari.
Kitobning asosiy ustunligi shundaki, unda proektsion geometriyaning nazariy asoslari bilan
birga muhandislik va chizma fanlari bilan bog‘liq masalalar yechimlari ko‘rsatib berilgan.
Biroq, kitobda markaziy va parallel proektsiyalashning kompyuter grafikasi sohasidagi
qo‘llanilishi chuqur yoritilmagan.
3.
R. T. Yunusov – "Oliy geometriya" (2020)
Yunusovning ushbu kitobi oliy geometriya nazariyasi asoslariga bag‘ishlangan bo‘lib, unda
proektsiyalash usullari batafsil tahlil qilinadi. Muallif quyidagi masalalarga alohida e’tibor
beradi:
Markaziy va parallel proektsiyalashning nazariy asoslari.
Proektsiyalash jarayonidagi geometrik munosabatlar.
Proektsiyalash natijasidagi o‘lcham o‘zgarishlari va burchaklarning saqlanishi.
Amaliy masalalar orqali proektsiyalash usullarining mustahkamlabKlient-server
arxitekturalari bo‘yicha ilmiy maqolalar va tadqiqotlar shuni ko‘rsatadiki, markazlashgan va
tarqatilgan tizimlarning afzalliklari va kamchiliklari bor. So‘nggi yillarda ko‘p pog‘onali va
bulutli arxitekturalarga bo‘lgan talab ortib bormoqda.
Tadqiqot metodologiyasi.
Tadqiqot metodologiyasi — ilmiy ish jarayonida
qo‘llaniladigan usul va yondashuvlar majmuasi bo‘lib, mavzuni o‘rganish va ma’lumotlarni
tahlil qilish usullarini o‘z ichiga oladi. "Markaziy va parallel proektsiyalash" mavzusi bo‘yicha
tadqiqot metodologiyasida asosiy maqsad — markaziy va parallel proektsiyalashning nazariy
asoslarini tahlil qilish, ularning xossalari va amaliy qo‘llanilishini o‘rganishdan iborat. Ushbu
tadqiqot quyidagi metodologik asoslar orqali amalga oshiriladi:
1
. Nazariy metodlar
Bu metodlar orqali markaziy va parallel proektsiyalashning asosiy tushunchalari,
qonuniyatlari va nazariy asoslari tahlil qilindi:
Matematik tahlil – proektsiyalashning matematik formulalari, ular orasidagi bog‘liqliklar
va o‘zaro munosabatlar o‘rganildi.
Taqqoslash – markaziy va parallel proektsiyalash natijasidagi o‘lcham, shakl va ko‘rinish
o‘zgarishlari solishtirildi.
Formalizatsiya – proektsiyalash jarayoni matematik model asosida tushuntirildi.
2.
Amaliy metodlar
Amaliy metodlar orqali nazariy asoslar real misollar bilan mustahkamlandi:
Proektsiyalash natijalarini tasvirlash – markaziy va parallel proektsiyalash natijalarini
grafik chizmalar orqali ko‘rsatish.
Modellashtirish – uch o‘lchamli jismlarni markaziy va parallel proektsiyalash orqali
tasvirlash.
Hisoblash usullari – proektsiyalash natijasida hosil bo‘lgan obyektlarning o‘lchamlarini
hisoblash.
3.
Eksperimental metodlar
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
63
Eksperimental metodlar yordamida olingan natijalar asosida proektsiyalash
jarayonidagi o‘zgarishlar tahlil qilindi:
Real obyektlar bilan ishlash – turli geometrik jismlarni markaziy va parallel
proektsiyalash orqali tasvirlash va ularni taqqoslash.
Amaliy misollar bilan tekshirish – proektsiyalash natijasidagi o‘lcham va shakllarning
haqiqiy obyekt bilan mosligini aniqlash.
4.
Grafik metodlar
Bu metodlar orqali proektsiyalash natijalarini vizual tarzda tasvirlash amalga oshirildi:
Chizmalar – markaziy va parallel proektsiyalash natijasidagi geometrik shakllarni
grafiklarga tushirish.
Diagrammalar – proektsiyalash natijalaridagi o‘zgarishlarni ko‘rsatish.
Kompyuter grafikasi – proektsiyalash jarayonini maxsus dasturlar yordamida
modellashtirish.
5.
Tarixiy metod
Proektsiyalash usullarining tarixiy rivojlanishi va ularning zamonaviy qo‘llanilishiga
doir ma’lumotlar o‘rganildi:
Proektsiyalashning kelib chiqishi – qadimgi yunon matematiklari (Evklid, Pifagor)
tomonidan asoslangan qonuniyatlar.
Renessans davrida qo‘llanilishi – san’at va arxitektura sohasida perspektiv tasvirlash.
Zamonaviy qo‘llanilishi – kompyuter grafikasi, muhandislik va dizayn sohalaridagi
rivojlanishlar.
6.
Sintetik metod
Tadqiqot davomida olingan nazariy va amaliy natijalar umumlashtirilib, markaziy va
parallel proektsiyalash o‘rtasidagi bog‘liqliklar tahlil qilindi. Bu metod orqali quyidagi
natijalar chiqarildi:
Markaziy va parallel proektsiyalash o‘rtasidagi asosiy farqlar va umumiy xossalar
belgilandi.
Proektsiyalash natijasidagi geometrik o‘zgarishlar matematik modellar bilan izohlandi.
Amaliy masalalarga tatbiq qilish imkoniyatlari ko‘rsatildi.
Xulosa:
Markaziy va parallel proektsiyalashlar fazoviy jismlarni tasvirlashning asosiy
usullari hisoblanadi. Markaziy proektsiyalash yordamida tasvirlar realroq ko‘rinadi, lekin
o‘lchamlar o‘zgarishi mumkin. Parallel proektsiyalash esa o‘lchamlar mutanosibligini saqlab,
texnik chizmalar va muhandislikda ko‘proq qo‘llaniladi. Har ikkala proektsiyalash usuli turli
maqsadlarda qo‘llaniladi va geometriyaning asosiy nazariy masalalarini yechishda muhim rol
o‘ynaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
S. M. Nikolskiy, Geometriya asoslari, Moskva, 2018.
2.
B. M. Veynberg, Proektsion geometriya, Toshkent, 2016.
3.
R. T. Yunusov, Oliy geometriya, Toshkent, 2020.
4.
D. Hilbert, Geometriyaning asoslari, Moskva, 2015.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
64
5.
Никольский С. М. "Геометрия. Учебник для вузов" – Москва: Наука, 2018. – 432 с.
6.
Вейнберг Б. М. "Проекционная геометрия" – Москва: Высшая школа, 2016. – 368 с.
7.
Юнусов Р. Т. "Высшая геометрия" – Ташкент: Университет, 2020. – 284 с.
8.
Балтин И. В., Смирнов С. В. "Аналитическая геометрия" – Санкт-Петербург: Лань,
2017. – 415 с.
9.
Kiselev A. P. "Analytical Geometry" – Moscow: Mir Publishers, 2019. – 320 p.
10.
Исмоилов А. Ш. "Проекцион геометрияси ва унинг амалий қўлланилиши" –
Тошкент: Фан, 2021. – 276 б.
11.
Арнольд В. И. "Математические методы классической механики" – Москва: Наука,
2015. – 418 с.
12.
Гельфанд И. М., Линт А. "Координатная геометрия" – Москва: Наука, 2016. – 350 с.
