ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
96
QUTB VA QUTB TOʻGʻRI CHIZIGʻI. PROYEKTIV TEKISLIKDAGI IKKINCHI
TARTIBLI CHIZIQLAR VA ULARNING KLASSIFIKATSIYASI
Zaxiriddinova Shahlo Zaxiriddin qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti Matematika va ta’limda
axborot texnologiyasi kafedrasi o’qituvchisi
Abdullayev Dilmurod Ubaydullo o’g’li
Shahrisabz davlat pedagogika instituti “Matematika va informatika”
yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130279
Annotatsiya:
Mazkur maqolada qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘i tushunchalari, ularning
xossalari hamda proyektiv geometriyadagi qo‘llanilishi yoritilgan. Shuningdek, proyektiv
tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlarning klassifikatsiyasi, ularning asosiy xususiyatlari va
dualik teoremasi bilan bog‘liqligi haqida ma’lumot berilgan.
Kalit so‘zlar:
qutb, qutb to‘g‘ri chizig‘i, proyektiv geometriya, ikkinchi tartibli chiziqlar,
konik kesimlar, dualik.
Аннотация.
В данной статье рассматриваются понятия полюса и полярной
прямой, их свойства и применение в проективной геометрии. Также освещается
классификация кривых второго порядка в проективной плоскости, их основные
характеристики и взаимосвязь с теоремой о двойственности.
Ключевые слова
: полюс, полярная прямая, проективная геометрия, кривые
второго порядка, конические сечения, дуальность.
Annotation.
This article examines the concepts of pole and polar line, their properties,
and applications in projective geometry. It also highlights the classification of second-order
curves in the projective plane, their main characteristics, and their relationship with the
duality theorem.
Keywords:
pole, polar line, projective geometry, second-order curves, conic sections,
duality.
Kirish.
Proyektiv geometriyada qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘i tushunchalari muhim o‘rin
tutadi. Ushbu tushunchalar ko‘pincha konuslar va ikkinchi tartibli chiziqlar bilan bog‘liq holda
o‘rganiladi. Shuningdek, proyektiv tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlar (konuslar) muhim
ob’ektlardan biri bo‘lib, ularning klassifikatsiyasi matematik va muhandislik sohalarida
qo‘llaniladi. Ushbu maqolada qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘ining asosiy xususiyatlari va ularning
proyektiv tekislikdagi roli yoritiladi. Shuningdek, ikkinchi tartibli chiziqlar turlari va ularning
geometrik klassifikatsiyasi haqida batafsil ma’lumot beriladi.
Qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘ining ta’rifi va xossalari.
Proyektiv geometriyada har bir
nuqta (qutb) uchun unga mos keluvchi qutb to‘g‘ri chizig‘i mavjud bo‘ladi. Qutb va qutb to‘g‘ri
chizig‘i orasidagi bog‘liqlik dualik tamoyiliga asoslanadi. Agar berilgan konik kesim bo‘lsa,
undagi istalgan nuqta uchun unga tegishli bo‘lgan qutb to‘g‘ri chizig‘i aniqlanadi.
Qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘ining asosiy xossalari
1. Agar nuqta konik kesim ichida joylashgan bo‘lsa, uning qutb to‘g‘ri chizig‘i konik
kesimni kesadi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
97
2. Agar nuqta konik kesim ustida yotsa, uning qutb to‘g‘ri chizig‘i shu nuqtadan o‘tuvchi
tangens bo‘ladi.
3. Agar nuqta konik kesim tashqarisida joylashgan bo‘lsa, uning qutb to‘g‘ri chizig‘i konik
kesimga tegishli ikkita tangens chizig‘i orqali aniqlanadi.
Proyektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar
Ikkinchi tartibli chiziqlar proyektiv geometriyaning muhim ob’ektlari bo‘lib, ular konik
kesimlar (ellips, parabola, giperbola) sifatida namoyon bo‘ladi. Ularning asosiy xususiyatlari
quyidagicha:
1. Ellips – barcha nuqtalari o‘zaro bir-biriga simmetrik bo‘lib, yopiq egri chiziq hosil
qiladi.
2. Parabola – faqat bitta yo‘nalish bo‘ylab ochiladigan egri chiziq.
3. Giperbola – ikki alohida shoxchadan iborat bo‘lib, simmetrik egri chiziq hosil qiladi.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning klassifikatsiyasi.
Ikkinchi tartibli chiziqlar proyektiv
muhitda quyidagicha tasniflanadi:
1. Chiziluvchi konuslar – barcha nuqtalari proyektiv tekislikdagi bitta umumiy nuqtaga
bog‘langan chiziqlar.
2. Asosiy konuslar – o‘zining simmetriya o‘qlari bo‘yicha ajraladigan chiziqlar.
3. Maxsus konuslar – proyektiv tekislikda aniqlangan maxsus nuqta va yo‘nalishlarga
ega bo‘lgan chiziqlar.
2. Dualik tamoyili va qutb to‘g‘ri chizig‘ining roli
Proyektiv geometriyada dualik tamoyili asosida har bir nuqtaga bitta to‘g‘ri chiziq va har
bir to‘g‘ri chiziqqa bitta nuqta mos keladi. Shu tamoyil asosida qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘i
quyidagicha tushuntiriladi: Berilgan har bir nuqta uchun faqat bitta qutb to‘g‘ri chizig‘i
mavjud. Berilgan har bir to‘g‘ri chiziq uchun faqat bitta qutb nuqtasi mavjud.
Agar nuqta konik kesimning ichida bo‘lsa, qutb to‘g‘ri chizig‘i uni kesadi. Agar
tashqarisida bo‘lsa, u faqat ikkita nuqtada tegishli bo‘ladi.
Bu dualik tamoyili proyektiv geometriyaning asosiy xususiyatlaridan biri bo‘lib,
proyektiv tasvirlash usullarida keng qo‘llaniladi.
3. Proyektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlarning qo‘llanilishi
Ikkinchi tartibli chiziqlar nafaqat geometriyada, balki boshqa ilmiy va amaliy sohalarda
ham qo‘llaniladi:
Optika va yorug‘lik sinishi: Ko‘zgular va linzalar orqali yorug‘likning sinishi va aks etishi
ko‘pincha ellips, parabola va giperbola yordamida tahlil qilinadi.
Mexanika va muhandislik: Tuzilmalar va materiallarning kuch taqsimoti (masalan,
ko‘priklar, binolar va aerodinamika) ikkinchi tartibli chiziqlarga asoslanadi.
Astronomiya: Sayyoralar harakati va orbitalari ellips shaklida bo‘lgani sababli,
astronomiyada proyektiv geometriya usullari qo‘llaniladi.
Kompyuter
grafikasida
proyektiv
o‘zgarishlar:
Perspektiv
proyeksiya
va
transformatsiyalar ikkinchi tartibli chiziqlar orqali tasvirlanadi.
4. Proyektiv tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlarni klassifikatsiya qilishning yangi
usullari.
An’anaviy tasniflashdan tashqari, zamonaviy matematikada ikkinchi tartibli chiziqlar
quyidagi yondashuvlar orqali tahlil qilinmoqda:
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
98
1. Affine invariant usullar: Bu usulda chiziqlarning parametrik xossalari o‘rganilib,
ularning moslashuvchanligi tahlil qilinadi.
2. Topologik yondashuv: Ikkinchi tartibli chiziqlarning geometriyasi faqat koordinata
tizimiga emas, balki ularning fazodagi bog‘liqligiga ham asoslanadi.
3. Kompyuter grafikasi usullari: Sun’iy intellekt yordamida konik kesimlarni avtomatik
tasniflash algoritmlari ishlab chiqilmoqda.
5. Qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘ining tarixiy rivojlanishi
Qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘i tushunchasi dastlab qadimgi yunon matematiklari
tomonidan kiritilgan. Quyidagi muhim tarixiy bosqichlarni keltirish mumkin:
Evklid (mil. avv. 300-yillar): Geometrik munosabatlar va tangenslar haqida ilk
tushunchalar.
Apolloniy (mil. avv. 200-yillar): Konik kesimlar nazariyasini shakllantirdi.
Paskal (1623-1662): Paskal teoremasi orqali proyektiv geometriya va konik kesimlarni
bog‘ladi.
Germite va Pluker (19-asr): Qutb to‘g‘ri chizig‘ining analitik ifodalari ishlab chiqildi.
Bu tushunchalar hozirgi zamon geometriyasining shakllanishiga asos bo‘ldi.
Adabiyot tahlili.
Ikkinchi tartibli chiziqlar va qutb to‘g‘ri chizig‘i bo‘yicha ko‘plab ilmiy
manbalar mavjud. Quyidagi asarlar muhim ahamiyatga ega:
1. Chizma geometriya va proyektiv geometriya bo‘yicha darsliklar
2. Proyektiv geometriya va dualik tamoyili bo‘yicha ilmiy maqolalar
3. Geometriyaning amaliy qo‘llanilishi bo‘yicha texnik adabiyotlar
Xulosa.
Qutb va qutb to‘g‘ri chizig‘i tushunchalari proyektiv geometriyaning asosiy
tamoyillaridan biri bo‘lib, ular ikkinchi tartibli chiziqlarning tahlilida muhim o‘rin tutadi.
Proyektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar turli ilmiy va muhandislik sohalarida keng
qo‘llaniladi.
Kelajakda ushbu mavzu bo‘yicha tadqiqotlarni yanada chuqurlashtirish va yangi
geometriya modellarini ishlab chiqish ilmiy ahamiyatga ega.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Клейн Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей» – Москва, 2010.
2.
Попов А.В. «Проективная геометрия» – Санкт-Петербург, 2015.
3.
Оринбоев А., Йўлдошев Б. «Чизма геометрия» – Тошкент, 2020.
4.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. «Geometry and the Imagination» – Chelsea Publishing, 1952.
5.
Coxeter H.S.M. «Projective Geometry» – Springer-Verlag, 1995.
