P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
417
UNUMDOR HC MODELLARINING BIRI UCHUN TRANSLYATSION-
Namangan Davlat Pedagogika instituti Intellektual fanlar va axborot texnologiyalari
oktamaliyevikromjon@gmail.com
Namangan Davlat Pedagogika instituti 2-bosqich talabalari
Annotatsiya. Ushbu maqolada to`rt holatli unumdor Hard-Core (HC) modelida
ixtiyoriy
-
invariant Gibbs o`lchovi yagona emasligi isbotlangan.
Gibbs o`lchovi, Keli daraxti, unumdor Hard-Core (HC) modeli,
gamiltonian.
TRANSLATION-INVARIANT GIBBS MEASURES FOR ONE OF THE
FOUR-STATE HARD-CORE (HC) MODELS
Teacher at the Department of Intellectual Sciences and Information Technologies,
Namangan State Pedagogical Institute
oktamaliyevikromjon@gmail.com
Jurakhonov Asadillo
Second-year students at Namangan State Pedagogical Institute
Annotation: This article proves that the translation-invariant Gibbs measure is not
unique for the four-state Hard-Core (HC) model on a Cayley tree with arbitrary
when the graph is a "stick."
Keywords: Gibbs measure, Cayley tree, Hard-Core (HC) model, hamiltonian.
-
HC)
oktamaliyevikromjon@gmail.com
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
418
HC
-
HC),
Ma lumki, har bir Gibbs o lchoviga fizik sistemaning bitta fazasi mos qo yiladi va
va agar Gibbs o lchovi yagona bo lmasa, u holda faza almashishi mavjud, ya ni fizik
sistemani bir holatdan ikkinchi holatga o tadi. [1]
-Core (HC) modellari
tranlyatsion-invariant G
5 tartibli Keli daraxtida esa
6,7
k
tartibli Keli daraxtida ham
tranlyatsion-
. Biz ushbu ishda
8, 9
k
uchun ko`ramiz.
- bu
ta qirra chiqadi. Faraz qilaylik,
in, bu yerda
insidentlik funksiyasi
Agar
va
lar
uchnin
aytiladi va
kabi yoziladi. Keli daraxtida
( , )
d x y
( ,
)
x y V
masofa ushbu formula
bilan aniqlanadi:
1
1
0
1
1
0
( , )
min{
,
,...,
,
:
,
,...,
,
}.
d
d
d
d
d x y
d
x
x
x
x
x
Y
x x
x
x
Fiksirlangan
0
x
V
uchun ushbu belgilashlar kiritiladi:
0
0
{
( ,
)
},
{
( ,
)
},
n
n
W
x V d x x
n V
x V d x x
n
n
x W
uchun esa quyidagicha belgilash kiritamiz:
1
( )
{
: ( , ) 1}.
n
S x
y
W
d x y
HC-modeli.
-modelini qaraymiz. Qaralayotgan
modelda har bir
x
uchga
( ) {0,1, 2,3}
x
( ) 1, 2,3
x
ekanligi
x
( )
0
x
Konfiguratsiya.
Keli daraxtida konfiguratsiya
:
{0,1, 2,3}
V
kabi aniqlanadi.
V
orqali belgilanadi. Xuddi shunga
(
)
n
n
V
W
da konfiguratsiyalar aniqlanadi va
(
)
n
n
V
W
da aniqlangan barcha
(
)
n
n
V
W
kabi belgilanadi.
G
. Agar
(
)
n
V V
dagi
ixtiyoriy
,
x y
{ ( ), ( )}
x
y
G
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
419
konfiguratsiya Keli daraxtida
(
)
n
n
V
yoki W
G
joiz konfiguratsiya deyiladi.
G
joiz
(
)
n
G
G
V
orqali belgilaymiz.
G
:
G
R
funksiyadir.
funksiyaning
{0,1, 2,3}
i
uchlardagi
i
Berilgan
G
va
lar uchun
G HC
modelining gamiltoniani ushbu
( )
ln
G
x
x V
H
orqali aniqlanadi, bunda
G
.
[6] Agar shunday
G
unumdor graf deyiladi.
[6] ishda uchlari 0,1,2,3 (
x
-rasmga qarang): {0,1}
{1,2} {2,3}.
0 1 2 3
1-Rasm.
G
4
0,
1,
2,
3,
:
,
,
,
x
x
x
x
x
z x
z
z
z
z
z
R
V
-
1, 2,...
n
va
0
uchun
n
G
V
#
1
,
1
n
n
n
n
n
x x
x W
Z
z
n
1
n
Z
normallan
#
,
n
G
n
n
Vn
n
x x
x W
Z
z
Agar ixtiyoriy
1
n
va
1
1
n
G
n
V
uchun ushbu
1
1
1
1
2
n
n
Wn
n
n
G
n
n
n
n
V
n
1
tenglik bajarilsa, u holda
n
-ketligi muvofiqlik
shartini qanoatlantiradi deyiladi. Bu yerda
1
n
n
konfiguratsiyalar birlashmasi.
Bunday holda
,
G
B
da shunday yagona
n
va
n
G
n
V
lar
:
n
n
G
V
n
n
,
bunda
B
G
algebradir.
(2) shartlarni qanoat
:
\
x
z x V
x
z
a
funktsiyaga mos
0
aktivlikka ega
G
HC
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
420
L G
G
,
0,1,2,3
G
ij i j
A
A
a
orqali
G
1,
,
0,
,
.
G
ij
ij
agar i j
L G
a
a
agar i j
L G
.
Teorema 1.
[3] (1) formula bilan aniqlangan
,
1,2,3,...,
n
n
x V
zarur va yetarli:
00 0,
0,1 1,
02 2,
0,3
0,
30 0,
31 1,
32 2,
33
'
'
'
'
,
'
'
y
y
y
x
y S x
y
y
y
a z
a z
a z
a
z
a z
a z
a z
a
10 0,
1,1 1,
1,2 2,
1,3
1,
30 0,
31 1,
32 2,
33
'
'
'
'
,
3
'
'
'
y
y
y
x
y S x
y
y
y
a z
a z
a z
a
z
a z
a z
a z
a
20 0,
2,1 1,
2, 2 2,
2,3
2,
30 0,
31 1,
32 2,
33
'
'
'
'
,
'
'
'
y
y
y
x
y S x
y
y
y
a z
a z
a z
a
z
a z
a z
a z
a
bunda
,
,
3,
'
/
,
0,1,2.
i x
i x
x
z
z
z
i
2
0
,
x
z
z
R
x
x
-invariant yechimlarni qaraymiz. (3) dan
G
0
2
1
1
0
1
2
2
2
2
1
,
,
.
4
k
k
k
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
2
k
Teorema 2.
[4]
2
k
va
0
G
tayoq uchun bitta Hard-
mavjud.
3
k
G
2
z
2
z
va
0
z
ikkinchi
1
1
1
1
1
.
5
1
k
k
k
z
z
f z
z
(5) tenglamadan
ni topamiz:
1
1
1
1
.
6
1
1
k
k
k
z
z
z
z
Teorema 3.
[5]
HC
modeli uchun
G
1.
1,
4
k
k
va
0
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
421
2.
5, 6, 7
k
1
cr
va
2
cr
mavjudki,
1
cr
va
2
cr
da
faqat bitta,
1
cr
yoki
2
cr
da ikkita va
1
2
cr
cr
Teorema 4.
8
k
yoki
9
k
HC
modeli uchun
G
tayoq holida
shunday
1
cr
va
2
cr
mavjudki,
1
cr
va
2
cr
da faqat bitta,
1
cr
yoki
2
cr
Isboti.
Avval (6) tenglamani
8
k
1
z
x
deb
belgilaymiz. (6) dagi
( )
x
funksiyani tahlil qilib,
0,
0
0
x
va
x
da
x
x
funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz:
63
9
8
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
54
36
84
126
126
84
36
9
1
'
0
2
8
28
56
70
56
28
8
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Bu tenglamadan
9
8
7
6
5
4
3
2
2
54
36
84
126
126
84
36
9
1 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
2, 26793,
26, 2497
x
x
.
x
funksiyaning grafigi
1
max
0
x
x
x
va
2
min
x
x
x
max
1
2
min
x
x
x
x
x
oraliqda esa kamayuvchiligi ravshan (2-rasmga qarang). Bundan
ning har bir qiymatiga ushbu
1
2
0,3102925
cr
x
2
1
1, 491194534
cr
x
oraliqlarda
x
ning faqat bitta qiymati,
1
cr
va
2
cr
da ikkita qiymati va
1
2
cr
cr
oraliqda
x
ning aniq uchta qiymati mos keladi.
2-Rasm.
x
funksiyaning
8
k
dagi grafigi.
x
1
2
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
422
Endi (6) tenglamani
9
k
1
z
x
deb
belgilaymiz. (6) dagi
( )
x
funksiyani tahlil qilib,
0,
0
0
x
va
x
da
x
x
funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz:
80
10
9
8
7
6
5
4
3
2
10
10
2
6
5
4
3
2
1
2
70
45
120
210
252
210
120
45
10
1
'
0
2
1
1
3
12
19
15
6
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Bu tenglamadan
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2
70
45
120
210
252
210
120
45
10
1 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
2, 40879
34, 2901
x
x
.
x
funksiyaning grafigi
1
max
0
x
x
x
va
2
min
x
x
x
max
1
2
min
x
x
x
x
x
oraliqda esa kamayuvchiligi ravshan (3-rasmga qarang). Bundan
ning har bir qiymatiga ushbu
1
2
0,19901941
cr
x
2
1
1, 63586062
cr
x
oraliqlarda
x
ning faqat bitta qiymati,
1
cr
va
2
cr
da ikkita qiymati va
1
2
cr
cr
oraliqda
x
ning aniq uchta qiymati mos keladi.
2-Rasm.
x
funksiyaning
9
k
dagi grafigi.
Teorema 5.
HC
modeli uchun
G
tayoq holida
shunday
1
cr
va
2
cr
mavjudki,
1
cr
va
2
cr
da faqat bitta,
1
cr
yoki
2
cr
Isbot.
1
z
x
deb belgilaymiz. (6) dagi
( )
x
funksiyani tahlil
qilib,
0,
0
0
x
va
x
da
x
x
funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz:
Bu tenglamadan
x
1
x
2
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
423
emas.
[Dekart teoremasi:
]
2
i
2
tadan oshmaydi. Ildizlar soniga aniqlik kiritish
uchun
funksiyani tahlil qilaylik. Ushbu funksiya
uchun shunday
oraliqni topaylikki, bu oraliqda
funksiyaning ikkala musbat
,
bo
deb qaraylik, bunda:
ga intiladi.
oraliqda
funksiyaning bitta musbat ildizi
mavjud. Endi,
u
bundan
funksiyaning
oraliqda yana
Natija.
Qaralayotgan
funksiyaning
va
oraliqlarda
uchun
2
tadan ortiq musbat ildiz mavjud emas.
x
funksiyaning grafigi
1
max
0
x
x
x
va
2
min
x
x
x
max
1
2
min
x
x
x
x
x
oraliqda esa kamayuvchiligi ravshan. Bundan
ning har bir
qiymatiga ushbu
oraliqlarda
x
ning faqat bitta qiymati,
1
cr
va
2
cr
da ikkita qiymati va
1
2
cr
cr
oraliqda
x
ning aniq uchta qiymati mos keladi.
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
424
Xulosa.
Demak, to`rt holatli unumdor Hard-Core (HC) modelida ixtiyoriy
-invariant Gibbs
o`lchovi yagona emas.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Rozikov U. A.
Gibbs measures on Cayley trees. Singapore: World Sci., 2013.
2. Khakimov R.M. The uniqueness of the Translation-invariant Gibbs measure for four state HC-
models on a Cayley tree. Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics.
2015, 8(2), P.165-172.
3.
2016.
-352
4. Xakimov, R. M. (2019). IMPROVEMENT OF ONE RESULT FOR THE POTTS MODEL ON
THE CALEY TREE.
Scientific and Technical Journal of Namangan Institute of Engineering and
Technology
,
1
(6), 3-8.
5. Umirzaqova, K. O. (2020). PERIODIC GIBBS MEASURES FOR HARD-CORE
MODEL.
Scientific Bulletin of Namangan State University
,
2
(3), 67-73.
6.
nishda Maple platformasidan foydalanish
imkoniyatlari va amaliy jihatlari.
Universal xalqaro ilmiy jurnal
,
1
(12), 335-338.
7.
OPISH
USULLARI.
Science and innovation
,
3
(Special Issue 57), 275-277.
8.
DLARI.
Science
and
innovation
,
3
(Special Issue 57), 411-416.
9.
(pp. 166-166).
10.
