509
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
Diofant tenglamalar. Chiziqli Diofant tenglamalarni Evklid algoritmi
yordamida yechish metodlari.
G`ayniddinov Shayxislom Tolibjon o`g`li
Namangan davlat pedagogika instituti Aniq fanlar kafedrasi o`qituvchisi.
Xo‘jamqulov Ravshanbek Hasanboy o‘g‘li
ravshanbekhan1@gmail.com
Abdullayeva Shahloxon Bahodir qizi
shahloa948@gmail.com
Namangan Davlat Pedagogika instituti Matematika – informatika yo‘nalishi 2-
kurs talabalari
Annotation:
This article is about Diophantine equations, which studies methods
for solving linear Diophantine equations using the Euclidean algorithm. Diophantine
equations are equations that have only integer solutions, and their study dates back to
the ancient Greek mathematician Diophantus.
Keywords:
Comparisons, Diophantine equations, Euclidean algorithm,
continued fraction, set, Diophantine equations in two unknowns, module.
Аннотация
:
Статья
посвящена
Диофантовым
уравнениям
,
в
которой
изучаются
методы
решения
линейных
Диофантовых
уравнений
с
использованием
алгоритма
Евклида
.
Диофантовы
уравнения
—
это
уравнения
,
имеющие
только
целочисленные
решения
,
и
их
изучение
восходит
к
древнегреческому
математику
Диофанту
.
Ключевые
слова
:
Сравнения
,
Диофантовы
уравнения
,
Алгоритм
Евклида
,
цепная
дробь
,
множество
,
Диофантово
уравнение
с
двумя
неизвестными
,
модуль
.
Annotatsiya:
Ushbu maqola Diofant tenglamalar haqida bo‘lib, unda chiziqli
Diofant tenglamalarini Evklid algoritmi yordamida yechish metodlari o‘rganiladi.
Diofant tenglamalar – faqat butun sonli yechimlarga ega bo‘lgan tenglamalar bo‘lib,
ularning o‘rganilishi qadimgi yunon matematigi Diofantusga borib taqaladi.
Kalit so‘zlar:
Taqqoslamalar, Diofant tenglamalar, Evklid algoritmi, zanjir
kasr, to‘plam, Ikki noma’lumli Diofant tenglamar, modul.
KIRISH
Diofant tenglamalar
.
( ,
, …
) = 0
ko‘rinishidagi tenglamalar Diofant tenglamalar deyiladi. Ushbu tenglamalar
qadim yunon tarixiga borib taqaladi. Yunon matematigi Diofant o‘zining “ Arifmetika”
nomli asarida algebraik tenglamalarni yechish usullari bayon qilib o‘tilgan.
Ta’rif.
n ta noma’lumli 1-darajali Diofant tenglamasi
+
+
⋯
+
= ,
ko‘rinishidagi tenglamalar bo‘lib, bu tenglamaning yechimi, bu tenglamani
qanoatlantiruvchi butun sonlar (
,
…
) majmuasidan iborat bo‘ladi.
Yechim mavjudligi.
Aytaylik,
+
+
⋯
+
= (1)
510
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
ko‘rinishidagi Diofant tenglama berilgan bo‘lsin. Ushbu tenglama butun sonlarda
yechimi bo‘lishi uchun
soni
,
, … ,
sonlarining eng katta umumiy
bo‘luvchisiga bo‘linishi kerak, ya’ni
( ,
, … ,
) =
bo‘lsin, agar
⋮
shart
bajarilsa
(1)
tenglamaning butun sonlarda yechimi mavjud bo‘ladi aks holda, yechimi
mavjud emas.
Teorema.
Agar,
(1)
tenglama uchun
,
…
koifsentlar o‘zaro tup bo‘lsa,
unda Diofant tenglamasi
+
+
⋯
+
= 1
butun sonlarda yechimga ega.
Teorema isboti.
Bizga M musbat sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin, b uchun
quyidagi tenglama
+
+
⋯
+
= ,
M to‘plamida eng kichik son mavjud bo‘lsin, va uni
bilan belgilab, yuqoridagi
tenglama uchun
′
,
′
…
′
buton sonlarni mos qo‘yamiz, shunda
′
+
′
+
⋯
+
′
=
tenglamaga ega bo‘lamiz.
uchun
=
∙
+
tenglik o‘rinli va bu yerda
0
≤
<
oraliqda bo‘lsin.
=
−
∙
=
′
+
′
+
⋯
+
′
ushbu tenglikni birlashtirib quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
=
−
(
+
+
⋯
+
)
∙
.
Yuqoridagi tenglikni soddalashtiramiz va
=
(1
−
)+
(
−
) +
⋯
+
(
−
).
∈
[0, )
da va
∈
(
> 0)
to‘plamdagi eng kichik musbat son bo‘lgani
uchun musbat son bo‘lishi mumkin emas, shunday qilib
= 0
bo‘lganidan
=
tenglikka ega bo‘lamiz. Shu tarzda, d soni
,
, … ,
sonlarining umumiy
bo‘luvchisi ekanligini ko‘ramiz. Agar (
,
, … ,
) = 1
bo‘lsa, unda
= 1
va
1
∈
, ya’ni tenglama butun sonlarda yechimga ega ekanini ko‘rishimiz mumkin.
Chiziqli Diofant tenglamalarni yechish uchun Evklid algoritmini ko‘rib
chiqaylik.
Evklid algoritmi ikki noma’lumli chiziqli Diofant tenglamalarini yechishda
qo‘llaniladi. Tenglama ko‘rinishi
∙
+
∙
=
dan iborat bo‘ladi.
Ikki noma’lumli Diofant tenglamarni Evklid algoritmi yordamida
quyidagicha
yechiladi:
Dastlab
( , )
ni topib olamiz. Agar
( , ) =
bo‘lsa, va
⋮
shartni bajarsa
tenglama butun sonlarda yechimga ega bo‘ladi.
Kengaytirilgan Evklid algoritmi orqali
( , ) =
ni
va
ning chiziqli
kombinatsiyasi sifatida ifodalash mumkin:
=
∙
+
∙
Tenglamani ga bo‘lib soddalashtiramiz:
∙
+
∙
=
511
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
va xususiy yechimni topamiz. Agar
va
xususiy yechim bo‘lsa, bu tenglama
uchun quyidagi umumiy yechim mavjud:
=
+
( , )
∙
=
−
( , )
∙
,
∈
(2)
1-misol
.
7 + 13 = 4
ushbu ikki noma’lumli Diofant tenglamani yechimini
toping.
Yechish.
Tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun (
,
, … ,
) = 1
shart
bajarilishi kerak. Bu yerda (
7,13) = 1
, shuning uchun tenglamaning butun sonlarda
yechimi mavjud ekan. [5,6,7,8]
Ushbu Diofant tenglamani Evklid algoritmidan foydalanib yechamiz:
= 1
ekanligi bizga ma’lum.
ni
7 va 13
ning chiziqli kombinatsiyasi orqali
ifodalab olamiz:
1 = 7
∙
2
−
1
∙
13
4 = 7 + 13
tenglama shu ko‘rinishda bo‘lgani uchun yuqoridagi tenglikni 4 ga
ko‘paytiramiz:
4 = 4
∙
(7
∙
2
−
1
∙
13),
Bu tenglikdan ko‘rinadiki,
= 8
va
=
−
4
xususiy yechimga ega bo‘lamiz.
Ushbu yechimdan umumiy javobni topishimiz mumkin. [1-10]
Umumiy yechimni topish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
=
+
( , )
∙
=
−
( , )
∙
,
∈
Umumiy yechimni quyidagicha ifodalaymiz:
= 8 + 13
∙
=
−
4
−
7
∙
,
∈
bundan ko‘rinadiki,
7 + 13 = 4
tenglama uchun butun sonlar ko‘rinishidagi
umumiy yechim
= 8 + 13
∙
=
−
4
−
7
∙
,
∈
dan iborat ekan. [6,7]
2-misol.
Ushbu ,
123 + 456 = 789
chiziqli Diofant tenglamani yechimini
toping.
Yechish.
Dastlab tenglamaning yechimi bor yoki yo‘qligini tekshiramiz:
(123, 456) = 3
789 ÷ 3 = 263,
ya’ni,
789
⋮
3
shart bajariladi va bu chiziqli Diofant tenglamaning butun sonlarda
yechimi mavjudligini va ular 3ta ekanini ko‘rsatadi. [5-10]
Ushbu tenglamani Evklid algoritmidan foydalanib yechamiz:
Bizga
= 3
ekani ma’lum, shuning uchun bu tenglamani
ga bo‘lib
soddalashtirib olamiz, shunda biz
41 + 152 = 263
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdagi
va
larni topish uchun taqqoslamalarning
yechishning zanjir kasr usuli qo‘l keladi. Yuqoridagi tenglamani quyidagicha ifodalab
olaylik:
512
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
41 + 152 = 263
⇔
41
≡
263 (
152)
41
≡
(152 + 111) (
152)
41
≡
111 (
152)
= 3 +
= 3 +
= 3 +
= 3 +
Bundan, zanjir kasrimiz
{3, 1, 2, 2, 2, 2}
ga teng ekan. Bu zanjir kasr orqali
ni topib olamiz. Bunda bizga
=
∙
+
formula qo‘l keladi.
n
0
1
2
3
4
5
3
1
2
2
2
2
3
4
11
26
63
152
Yuqoridagi jadvaldan
= 63
ekani ma’lum bo‘ladi.
≡
(
−
1)
∙ ∙
(
)
≡
(
−
1)
∙
111
∙
63 (
152)
≡ −
6993 (
152)
≡
(151
−
7144) (
152)
≡
151 (
152).
= 151
tenglik orqali
ni quyidagicha topamiz:
263 = 41
∙
151 +
∙
152
⇒
=
−
39
Umumiy yechimni topish uchun (2) formuladan foydalanamiz:
= 151 +
∙
152
=
−
39
−
41
,
∈
Demak,
123 + 456 = 789
tenglamaning javobi
= 151 +
∙
152
=
−
39
−
41
,
∈
ga
teng ekan.
XULOSA VA TAKLIFLAR
Ushbu maqolada, Evklid algoritmi yordamida chiziqli Diofant tenglamalarini
yechish usullari, yechim mavjudligi shartlari va qadam-baqadam yechim jarayonlari
tahlil qilindi. Shu orqali, chiziqli Diofant tenglamalarning yechimlarini samarali topish
metodlari va ularning amaliy qo‘llanishlari haqida ma'lumot berildi. Mazkur
yondashuvlar, Diofant tenglamalarining murakkab masalalarini yechishda aniq va
tizimli yondashuvni shakllantiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. G.Xudoyberganov, A. Vorisov va boshqalar. Matematik analizdan
ma’ruzalar I, T., 2010.
2. A. G`oziyev, I. Isroilov, M. Yaxshiboyev, Matematik analizdan misol va
masalalar I, Toshkent, 2012.
3. Jumayev M.E., “Matematika o’qitish metodikasidan praktikum-Toshkent.:
O‘qituvchi, 2004.
4. Qahramon o‘g, O. K. I., Hasanboy o‘g, J. R. A., & Hasanboy o‘g, X. J. R.
(2024). ANIQ INTEGRAL YORDAMIDA BA’ZI BIR LIMITLARNI
HISOBLASH METODLARI. JOURNAL OF THEORY, MATHEMATICS
AND PHYSICS, 3(6), 23-27.
513
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
5.
Холмурадов
,
Ф
.
М
.,
Умрзаков
,
Ш
.
К
., &
Мамадалиев
,
У
.
Х
. (2024).
ЎҚУВЧИЛАРДА
АБСТРАКТ
ТАФАККУРНИ
ШАКЛЛАНТИРИШ
МЕТОДИКАСИНИ
ТАКОМИЛЛАШТИРИШ
.
Научный
Фокус
,
1
(11),
457-462.
6.
Polvanov,
R.
R.
(2023).
IKKINCHI
TARTIBLI
GRONUOLL
CHEGARALANISHLI
BOSHQARUVLAR
UCHUN
TUTISH
MASALASI.
RESEARCH AND EDUCATION
,
2
(12), 62-67.
7.
Mamatxonovich, X. F., Erkinjonovna, S. Z., Tolibjon og, G. S., &
Kosimovich, U. S. (2024). APPLICATIONS OF MATHEMATICAL
MODELS IN THE TEACHING OF MATHEMATICS: PERSPECTIVES
FOR GEOGRAPHY MAJORS.
Научный
Фокус
,
1
(11), 449-452.
8.
Solovev, T. M., Shaikhislam, G. B., Epstein, S. A., & Sokolova, M. D.
(2024). Properties and composition of Yakutian lignite as a source of humic
substances.
MIAB. Mining Inf. Anal. Bull
, (1), 67-79.
9.
Шайхислам
,
Г
.,
Соловьев
,
Т
.
М
.,
Эпштейн
,
С
.
А
.,
Пестряк
,
И
.
В
., &
Семина
,
И
.
С
.
ПОЛУЧЕНИЕ
ПОЧВОГРУНТОВ
НА
ОСНОВЕ
ОКИСЛЕННОГО
КАМЕННОГО
УГЛЯ
ДЛЯ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ
РЕКУЛЬТИВАЦИИ
НАРУШЕННЫХ
ЗЕМЕЛЬ
.
10.
SHAIKHISLAM, G., & Solovev, T. M. (2024). Mining informational and
analytical bulletin (scientific and technical journal).
