428
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
Taqqoslamalar va qoldiqli bo‘lish bilan bo‘g‘liq muammolarni hal
qilishda Xitoy Qoldiqlar Teoremasi.
G`ayniddinov Shayxislom Tolibjon o`g`li
Namangan Davlat Pedagogika instituti Aniq fanlar kafedrasi o`qituvchisi
Xo‘jamqulov Ravshanbek Hasanboy o‘g‘li
Ibrohimjonova Mohinabonu Jamoliddin qizi
Namangan Davlat Pedagogika instituti Matematika – informatika yo‘nalishi 2-
kurs talabalari
Annotation: This article provides detailed information about the concept of
modular arithmetic and its main elements, the remainder and the Chinese Remainder
Theorem. Modular arithmetic, that is, the concept of remainder, is widely used in
number theory and mainly involves working with the remainder that remains after
dividing an integer by another integer. A step-by-step solution of the algorithm for the
Chinese Remainder Theorem is also described.
Keywords:
Module, arithmetic, remainder, algorithm, remainder, comparison,
ChRT, mathematics, algebra.
Аннотация
:
В
этой
статье
представлена
подробная
информация
о
понятии
модульной
арифметики
и
ее
основных
элементах
,
делении
на
остаток
и
китайской
теореме
об
остатке
.
Модульная
арифметика
,
то
есть
понятие
деления
остатка
,
широко
используется
в
теории
чисел
и
в
основном
предполагает
работу
с
остатком
,
который
остается
в
результате
деления
целого
числа
на
другое
целое
число
.
Также
описано
пошаговое
решение
алгоритма
Китайской
теоремы
об
остатках
.
Ключевые
слова
:
Модуль
,
арифметика
,
остаток
,
алгоритм
,
деление
остатка
,
сравнение
, X
К
O,
математика
,
алгебра
.
Annotatsiya: Ushbu maqolada modulyar arifmetika tushunchasi va uning
asosiy elementlari bo‘lgan qoldiqli bo‘lish va Xitoy Qoldiqlar Teoremasi haqida
batafsil ma’lumot beriladi. Modulyar arifmetika, ya’ni qoldiqli bo‘lish tushunchasi
sonlar nazariyasida keng qo‘llaniladi va asosan biror butun sonni boshqa bir butun
songa bo‘lish natijasida qoladigan qoldiq bilan ishlashni nazarda tutadi. Shuningdek,
Xitoy Qoldiqlar Teoremasi algoritmining qadam – baqadam yechimi ham bayon
qilingan.
Kalit so‘zlar:
Modul, arifmetika, qoldiq, algoritm, qoldiqli bo‘lish, taqqoslama,
XQT, matematika, algebra.
Kirish
Modulyar arifmetika – matematikaning sonlar nazariyasiga oid bo‘lib, unda
sonlar ustida “ Qoldiqli bo‘lish” amali asosida operatsiyalar bajariladi. Qoldiqli bo‘lish
va taqqoslamalar algebraik hisoblashlarda , ayniqsa, kriptografiya va kompyuter
ilmlarida keng qo‘llaniladi. Bu maqolada qoldiqli bo‘lish bilan bog‘liq muammolar va
ularning yechimlari muhokama qilinadi.
Modulyar arifmetika ikki son o‘rtasidagi taqqoslash orqali qoldiqni hisoblashni
nazarda tutadi. Ikkita son va sonlari
modul bo‘yicha teng, ya’ni va sonlarini
ga bo‘lgandagi qoldiqlar teng bo‘lsa, bu quyidagicha ifodalanadi:
≡
(
)
429
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
Modulyar tenglamalarda taqqoslamalar eng keng tarqalgan muammolardan biri
hisoblanadi. Eng oddiy ko‘rinishdagi modulyar tenglama quyidagicha bo‘lishi
mumkin:
≡
(
)
[2,4,6,8]
Qoldiqli bo‘lish va Xitoy Qoldiqlar Teoremasi (XQT)
Xitoy qoldiqlar teoremasi modulyar arifmetikada qoldiqli bo‘lish bilan bog‘liq
murakkab muammolarni yechish uchun samarali usuldir. [1-11]
Teorema
: Aytaylik,
≡
(
)
≡
(
)
⋮
≡
(
)
va
,
, . . . ,
sonlari o‘zaro tup bo‘lsa, bu tizimning yagona yechimi
mavjud.
Taqqoslamalar sistemasining har qanday ikkita yechimini m=
∙
∙
. . .
∙
ga bo‘lganda bir xil qoldiq qoladi.
Isbot
: Faraz qilaylik,
(
,
)
=1,
= 1, 2, … ,
shart o‘rinli bo‘lsin.
∃
,
∈
, = 1, 2, … ,
uchun
∙
≡
1(
)
o‘rinli bo‘lsin, u holda
taqqoslamalar xossasiga ko‘ra
∙
∙
≡
(
)
bo‘ladi. U holda
=
∑
∙
∙
sonini qaraylik. Bu son uchun
≡
∙
∙
(
)
≡
∙
∙
(
)
≡
(
)
bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki,
soni teoremani qanoatlantiradi.
Aytaylik,
soni ham taqqoslamalar sistemasining yechimi bo‘lsin. U holda
≡
(
)
⇒
−
≡
0(
)
⇒
(
−
)
⋮
,
bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki, teoremamiz isbotlandi. [1-9]
Xitoy Qoldiqlar Teoremasini qo‘llash usuli:
har bir
bo‘yicha
=
∙
∙
…
∙
modulini hisoblab olamiz. Har bir modul
uchun
quyidagi miqdorni hisoblaymiz:
=
topilgan har bir
uchun
sonni, ya’ni bu ikki sonning ko‘paytmasini
bilan
taqqoslaganda 1 qoldiq qoladigan sonni topamiz:
≡
1(
)
sonini
uchun teskari element deb ham atashimiz mumkin.
Umumiy yechimni
≡
∙
∙
(
) (1)
ushbu formuladan foydalanib tizimdagi barcha modullarga mos keladigan yagona
qiymatini topamiz.
430
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
1-misol.
Quyidagi tenglamalar tizimining yechimini toping.
≡
2(
3 )
≡
3(
5 )
≡
2(
7 )
Yechish. Modulni hisoblaymiz
= 3
∙
5
∙
7 = 105
topilgan modul orqali
larni hisoblaymiz:
=
105
3
= 35
=
105
5
= 21
=
105
7
= 15
Har bir topilgan
lar uchun teskari elementni topamiz:
35
∙
≡
1 (
3)
21
∙
≡
1 (
5)
15
∙
≡
1 (
7)
Yuqoridagi tenglikdan ko‘rinadiki,
larning qiymati quyidagicha ekan:
= 2
= 1
= 1
Yuqoridagi tengliklardan ushbu tenglamalar tizimining yagona bo‘lgan
yechimini (1) formula orqali topib olamiz :
≡
∙
∙
(
)
≡
(2
∙
35
∙
2) + (3
∙
21
∙
1) + (2
∙
15
∙
1) (
105)
≡
140 + 63 + 30 (
105)
≡
233 (
105)
≡
(210 + 23) (
105)
≡
23 (
105)
Demak, ushbu tenglamalar tizimi uchun
= 23 (
105)
yagona yechimi
ekan.
Xulosa
Modulyar arifmetika va taqqoslamalar bilan bog‘liq muammolar sonlar
nazariyasida va zamonaviy kriptografiyada muhim o‘rin tutadi. Xitoy qoldiqlar
teoremasi murakkab tenglamalar tizimini yechish uchun samarali usul bo‘lib, ayniqsa,
modul bo‘yicha ishlash talab qilinadigan masalalarda qo‘llaniladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Ibrohimov, M. (2024). Raqamli ta’lim davrida innovatsion tarbiya
texnologiyalarining
talabalar
tarbiyaviy
faoliyatidagi
o
‘rni.
Физико
-
технологического
образование
, (1).
2. Tolibjon o'g, S. G. A. (2022). Boshqaruvlar aralash chegaralanishli bo'lgan
hol uchun yopiq sodda graflarda quvish-qochish masalasi.
431
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
3. Qizi, D. J. U., & Qizi, S. J. U. (2023). Raqamli ta’lim davrida innovatsion tarbiya
texnologiyalarining talabalar tarbiyaviy faoliyatga kirishishida tutgan o ‘rni. Science
and innovation, 2(Special Issue 10), 564-566.
4.
Xolmuradov, F. M. (2024). Differentsial tenglamalar fanini oqitishda
konpetensiyaviy va adaptiv yondashuvlardan foydalanish metokasi.
Научный
Фокус
,
1
(11), 172-178.
5. Axmedovich, I. M. (2024). Xorijiy tadqiqotlarda bo ‘lajak pedagoglarning
kasbiy faoliyatini ijtimoiy kompetentlik asosida rivojlantirish zaruriyatlari. Science
and innovation, 3(Special Issue 41), 446-449.
6.
Polvanov, R. R. (2023). Ikkinchi tartibli gronuoll chegaralanishli boshqaruvlar
uchun tutish masalasi.
research and education
,
2
(12), 62-67.
7. Axmedovich, I. M. (2024). Xorijiy tajribalar tahlili asosida talabalar ijtimoiy-
kasbiy kompetentligini rivojlantirishda hamkorlik mexanizmlari. Science and
innovation, 3(Special Issue 16), 86-88.
8.
Mamatxonovich, X. F., Erkinjonovna, S. Z., Tolibjon og, G. S., &
Kosimovich, U. S. (2024). Applications of mathematical models in the teaching of
mathematics: perspectives for geography majors.
Научный
Фокус
,
1
(11), 449-452.
9. Ibroximov, M.
А
. (2023). Professional ta’lim yo ‘nalishi talabalarining ijtimoiy
kompetentlikni rivojlantirishda ta’lim va amaliyot integratsiyasi. Academic research in
educational sciences, 4(TMA Conference), 175-179.
10.
Старцев
,
А
.
Н
., &
Мирзаев
,
Т
.
С
. (2011).
О
нестандартных
методах
оценивания
в
моделях
авторегрессии
в
неустойчивых
случаях
.
Журнал
Средневолжского
математического
общества
, 13(2), 25-35.
11.
Старцев
,
А
.
Н
., &
Мирзаев
,
Т
.
С
.
О
новом
подходе
к
оценке
параметров
процесса
авторегрессии
второго
порядка
в
критическом
случае
.
O‘zbekiston matematika jurnali, 151.
12.
Muzaffarxo
ʼ
jaevna, M. S. (2023). Differensi
а
l tengl
а
m
а
l
а
r f
а
nini
o
ʼ
qitishd
а
ped
а
gogning k
а
sbiy kompetentsiyasini rivojl
а
ntirish mu
а
mmosining
n
а
z
а
riy t
а
hlili. Journal of innovations in scientific and educational research, 6(12),
74-78.
13.
Muzaffarkhujayevna, M. S. (2021, December). Issues of teaching
mathematics in secondary schools. In Archive of Conferences (pp. 69-70).
14.
Maxsudova, S. (2020). On a boundary problem for an equation of
shifted type with different orders of degeneracy. Scientific Bulletin of Namangan
State University, 2(1), 36-39.
15.
Maxsudova, S., & Hamitov, A. Scientific Bulletin of Namangan State
Universit y.
