Universal International Scientific Journal
192
Azimov Raximjon Karimovich
Andijon davlat universiteti
Uzbekistan
https://orcid.org/0000-0001-9630-513X
Annotatsiya:
Mazkur ishda analitik geometriya bo‘limiga oid muhim mavzulardan biri ikkinchi
tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamalari yoritilgan. Egri chiziqlarning umumiy tenglamasi asosida
ularning klassifikatsiyasi, geometrik xossalari, hamda koordinatalar o‘qini burish orqali tenglamani
soddalashtirish usullari tahlil qilingan. Shuningdek, ellips, giperbola va parabola kabi ikkinchi tartibli egri
chiziqlarning kanonik tenglamalari, ularning grafigini qurish, markaz va simmetriya xossalari keng
yoritilgan.
Kalit so‘zlar:
Ikkinchi tartibli tenglama, egri chiziqlar, kanonik tenglama, ellips, giperbola, parabola.
Аннотация:
В данной работе рассматривается одна из важных тем в области аналитической
геометрии: канонические уравнения кривых второго порядка. На основе общего уравнения кривых
анализируются их классификация, геометрические свойства и способы упрощения уравнения путем
поворота осей координат. Кроме того, подробно рассматриваются канонические уравнения кривых
второго порядка, таких как эллипс, гипербола и парабола, построение их графиков, а также свойства
центра и симметрии.
UNIVERSAL XALQARO ILMIY
JURNAL
IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLARNING KONONIK TENGLAMALARI
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 1
Published: 31.01.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
19
3
Ключевые слова:
Квадратное уравнение, кривые, каноническое уравнение, эллипс,
гипербола, парабола.
Abstract:
This work covers one of the important topics of the analytical geometry section, the
canonical equations of second-order curves. Based on the general equation of curves, their classification,
geometric properties, and methods of simplifying the equation by rotating the coordinate axis are analyzed.
Also, the canonical equations of second-order curves such as ellipse, hyperbola, and parabola, their graph
construction, center, and symmetry properties are widely covered.
Keywords:
Second-order equation, curves, canonical equation, ellipse, hyperbola, parabola.
Language:
Uzbek
Citation:
Azimov , R. (2025). CANONICAL EQUATIONS OF SECOND-ORDER CURVES.
Universal
International
Scientific
Journal,
2(1),
192–201.
Retrieved
from
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/1492
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15227510
Kirish.
Ushbu maqolada ikkinchi
tartibli
egri
chiziqlarning
kanonik
tenglamalari yoritiladi. Ikkinchi tartibli
egri chiziqlardan aylana, ellips, ellipsning
parametrik
tenglamasi,
giperbola,
parabolalarning ta’rifi, tenglamalari va
grafik tasvirlari misollar yordamida keltirib
o‘tiladi.
Aylana.
Ta’rif. Tekislikda berilgan
nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan
nuqtalarning geometrik o‘rniga aylana
deyiladi.
Faraz qilaylik
S
0
(a,b) – aylana
markazi
bo‘lsin.
Aylanani
ixtiyoriy
nuqtasidan markazgacha bo‘lgan masofani
R harfi bilan belgilaylik (1-rasm).
Faraz qilaylik M(x,y) – aylananing
ixtiyoriy nuqtasi bilan. Ta’rifga ko‘ra
|S
0
𝑀| = 𝑅.
Ikki nuqta orasidagi masofa
formulasiga ko‘ra
|S
0
𝑀| = √(𝑥 − 𝑎)
2
+ (𝑦 − 𝑏)
2
Bundan esa ,
√(𝑥 − 𝑎)
2
+ (𝑦 − 𝑏)
2
= R
yoki
(𝑥 − 𝑎)
2
+
(𝑦 − 𝑏)
2
=
𝑅
2
.
(1.1)
Aylana tenglamalari quyidagi
ko‘rinishlarda bo‘lishi mumkin:
(𝑥 − 𝑎)
2
+
𝑦
2
=
𝑅
2
,
S
0
(a;0), R
𝑥
2
+
(𝑦 − 𝑏)
2
=
𝑅
2
,
S
0
(0;b), R
𝑥
2
+
𝑦
2
=
𝑅
2
,
S
0
(0;0), R
Agar
M
1
(
x
1
;
y
1
), nuqta aylana tashqarisida
bo‘lsa,
(x
1
− 𝑎)
2
+
(y
1
+ b)
2
>
𝑅
2
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Agar
M
2
(
x
2
;
y
2
) nuqta aylana ichida
joylashgan bo‘lsa,
(x
2
− 𝑎)
2
+
(y
2
+ b)
2
<
𝑅
2
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Universal International Scientific Journal
19
4
1-rasm.
Quyidagi tenglamani qaraylik:
𝐴𝑥
2
+
𝐴𝑦
2
+
𝐷𝑥
+Ey + F = 0
(1.2)
bu erda
𝐴 ≠ 0
. Bu tenglamani barcha
xadlarini A ga bo‘lib quyidagi tenglamani
hosil qilamiz:
𝑥
2
+
𝑦
2
+
𝐷
A
x +
𝐸
A
y +
𝐹
A
= 0
(1.3)
yoki
(𝑥 +
𝐷
2A
)
2
+
(𝑦 +
𝐸
2A
)
2
=
𝐷
2
+ 𝐸
2
−4AF
4𝐴
2
(1.4)
Demak bundan ko‘rinadiki yuqori darajalar
oldidagi koeffitsintlar bir xil son bo‘lsa, bu
chiziq aylana bo‘lishi mumkin ekan.
1-Misol. Quyidagi tenglama bilan
berilgan aylanani markazi va radiusi
topilsin:
𝑥
2
+
𝑦
2
– 8x + 6y +16 = 0
Yechish: Bu tenglamani quyidagi
ko‘rinishda yechish ham mumkin:
(𝑥
2
− 8𝑥 + 16) + (𝑦
2
+ 6𝑦 + 9) −
9 + 16 − 10 = 0
yoki
(𝑥 − 4)
2
+ (𝑦 + 3)
2
= 3
2
Bu tenglamadan ko‘rinadiki
berilgan chiziq aylana ekan, uning
markazi
S
0
(4;-3) nuqtada, radiusi esa R =
3.
Ellips.
Ta’rif. Tekkislik nuqtalaridan
focus deb ataluvchi
𝐹
1
va
𝐹
2
nuqtalarga
bo‘lgan masofalarni yig‘indisi o‘zgarmas
bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rniga
ellips deyiladi.
Faraz qilaylik
𝐹
1
va
𝐹
2
lar ellipsning
fokuslari bo‘lsin va ular orasidagi masofani
2C bilan belgilaylik: (2-rasm).
|F
1
F
2
|
= 2C
2-rasm.
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan
foydalanib
|F
1
𝑀|
va
|F
2
𝑀|
larni topamiz.
|F
1
𝑀|
=
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
,
|F
2
𝑀|
=
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
Ta’rifga ko‘ra
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
+
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
= 2a
(2.1)
Hosil bo‘lgan ellipsni tenglamasini
soddaroq holda keltirish uchun uni
quyidagi ko‘rinishda yozamiz
Universal International Scientific Journal
195
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
= 2a
−√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
Tenglikni har ikki tomonini kvadratga
ko‘taramiz.
𝑥
2
+ 2cx + 𝑐
2
+ 𝑦
2
= 4
𝑎
2
–
4a
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
+
𝑥
2
-2cx +
𝑐
2
+
𝑦
2
.
Bu yerdan quyidagi ifoda kelib chiqadi:
𝑎√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
=
𝑎
2
– cx
Hosil bo‘lgan ifodani esa kvadratga
ko‘taramiz.
𝑥
2
(𝑎
2
− 𝑐
2
) + 𝑦
2
𝑎
2
= 𝑎
2
(𝑎
2
− 𝑐
2
)
(2.2)
Quyidagi belgilashni kiritamiz:
𝑎
2
− 𝑐
2
=
𝑏
2
(2.3)
Natijada quyidagi tenglamaga ega
bo‘lamiz:
𝑥
2
𝑏
2
+
𝑦
2
𝑎
2
=
𝑎
2
𝑏
2
yoki
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1
(2.4)
Xosil bo‘lgan (2.4) tenglama
ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
Ellipsning fokuslaridan uning ixtiyoriy
nuqtasiga bo‘lgan masofalar uning fokal
radiuslari deyiladi, ya’ni
r
1
=
|F
1
𝑀|
,
r
2
=
|F
2
𝑀|
. Fokal radiuslar uchun
formulalar
keltirib chiqaramiz
r
2
=
|F
2
𝑀|
=
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
=
√𝑥
2
− 2cx + 𝑐
2
+ 𝑦
2
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1 dan
𝑦
2
=
𝑏
2
𝑎
2
(
𝑎
2
− 𝑥
2
)
bu
ifodani yuqoridagi
𝑦
2
ni o‘rniga olib borib
qo‘yamiz.
r
2
=
√𝑥
2
− 2cx + 𝑐
2
+
𝑏
2
𝑎
2
(𝑎
2
− 𝑥
2
)
=
√
𝑥
2
𝑎
2
−2cx𝑎
2
+𝑎
2
𝑐
2+
𝑏
2
𝑎
2
−𝑏
2
𝑥
2
𝑎
2
=
√
𝑥
2
(𝑎
2
−𝑏
2
)−2cx𝑎
2
+𝑎
2
(𝑐
2
+𝑏
2
)
𝑎
2
=
√
𝑥
2
𝑐
2
−2cx𝑎
2
+𝑎
4
𝑎
2
=
√
(cx−𝑎
2
)
2
𝑎
2
=
𝑐𝑥−𝑎
2
a
=
c
a
𝑥 − 𝑎
, bu yerda
𝑎
2
− 𝑐
2
=
𝑏
2
ekanligidan foydalandik.
c
a
= e belgilaymiz
va bu sonni ellipsning ekssentrisiteti deb
ataymiz. Natijada
r
2
fakal radius uchun
quyidagi formulani hosil qilamiz
r
2
=
𝑒𝑥 − 𝑎
.
𝑟
1
fakal radius uchun
r
1
= a – yex ifodani
hosil qilish mumkin.
Ellipsning xossalari.
1.
Agarda
M(x,y)
nuqtaning
koordinatalari
(2.4)
tenglamani
qanoatlantirsa, u holda
M
1
(x,-y),
M
2
(-x,y),
M
3
(-x,-y), nuqtalarning koordinatalari ham
(2.4) tenglamani qanoatlantiradi. Bundan
esa ellips
ox
o‘qiga,
oy
o‘qiga va
O
(0,0)
koordinata boshiga nisbatan simmetrik
joylashishi kelib chiqadi.
2.
Ellipsni koordinata o‘qlari bilan
kesishish nuqtalarini topamiz.
Aytaylik
y = 0
bo‘lsin:
𝑥
2
𝑎
2
= 1 , x =
±
a.
Demak ellips
Ox
o‘qini
A(-a;0)
va
B(a;0)
nuqtalardan kesib o‘tar ekan.
Aytaylik x = 0 bo‘lsin:
𝑦
2
𝑏
2
= 1, y=
±
b.
Bundan esa ellips
Oy
o‘qini C(0;b) va D(0;-
Universal International Scientific Journal
19
6
b) nuqtalarda kesib o‘tishi kelib chiqadi.
Hosil
bo‘lgan
A,B,C,D
nuqtalarga
ellipsning uchlari deyiladi.
3.
Yuqoridagi(2.4)
tenglamadan
ko‘rinib turibdiki
𝑥
2
𝑎
2
≤ 1 va
𝑦
2
𝑏
2
≤ 1, bundan
esa quyidagilarga ega bo‘lamiz:
|x| ≤ a va |y| ≤ b
yoki
-a ≤ x ≤ a va -b ≤ y ≤ b.
Endi ellipsning grafigini yasaymiz.
3-rasm.
1-Misol. Katta yarim o‘qi
Oy
o‘qida
bo‘lgan va uzunligi 10 ga teng, a fokuslar
orasidagi masofasi 8 ga teng bo‘lgan ellips
tenglamasi tuzilsin.
Yechish. Faraz qilaylik izlanayotgan ellips
tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lsin.
𝑥
2
9
+
𝑦
2
25
= 1.
Bizga ma’lumki, 2c = 8, 2b = 10, c = 4, b =
5 bo‘ladi. Katta yarim o‘q oy o‘qida
joylashganligi uchun
𝑏
2
− 𝑎
2
=
𝑐
2
yoki
𝑏
2
− 𝑐
2
=
𝑎
2
bo‘ladi. Bu ifodalardan
foydalanib a ni topamiz.
𝑎
2
=
25 − 16 = 9.
bundan a = 3.
Ellipsning kanonik tenglamasi
quyidagicha bo‘lar ekan:
𝑥
2
9
+
𝑦
2
25
= 1.
Ellipsning parametrik tenglamasi.
Faraz qilaylik C nuqta AB – kesmani
uzunliklari AC = a va CB = b kesmalarga
ajratsin. (4-rasm)
4-rasm.
Aytaylik C nuqta birinchi chorakda
bo‘lsin aytaylik C nuqta berilgan bo‘lsin.
Bu C nuqtadan
ox
va
oy
o‘qlariga
perpendikulyarlar
tushiramiz,
natijada
CAC
2
uchburchakdan
x = a ∗ cos ƶ
va
C BC
1
uchburchakdan
y = b ∗ sin ƶ
ifodalarga ega bo‘lamiz.
Bu hosil bo‘lgan formulalar AB
kesma
koordinata
o‘qlarida
harakatlanganda ham o‘rinli bo‘ladi, bu
yerda t, 0 dan 2π gacha o‘zgaradi. Bunday
harakat natijasida
C(x,y)
nuqta ellipsini
chizadi. Natijada ellipsning parametrik
tenglamasi
quyidagicha
bo‘lishini
ko‘rishimiz mumkin:
𝑥 = 𝑎 ∗ cos ƶ
,
𝑦 = 𝑏 ∗ sin ƶ
.
Giperbola.
Ta’rif:
Tekislik
nuqtalaridan fokus deb ataluvchi
F
1
va
F
2
Universal International Scientific Journal
19
7
nuqtalargacha
bo‘lgan
masofalar
ayirmasini moduli o‘zgarmas bo‘lgan
nuqtalarni geometric o‘rniga giperbola
deyiladi.
Faraz qilaylik
F
1
va
F
2
fokuslar
orasidagi masofa 2C ga teng bo‘lsin (5-
rasm).
5-rasm.
Giperbola tenglamasini M nuqta
birinchi chorakda bo‘lgan hol uchun
chiqaramiz.
|F
1
𝑀|
=
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
,
|F
2
𝑀|
=
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
Ta’rifga ko‘ra bu masofalar
ayirmasi o‘zgarmas bo‘lisshi kerak:
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
-
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
= 2a (4.1)
Bu tenglamani soddaroq holda
keltirish uchun uni quyidagi ko‘rinishda
yozib olamiz:
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
=
√(𝑥 + 𝑐)
2
+ 𝑦
2
+2a
Oxirgi tenglamani har ikki tomonini
kvadratga ko‘taramiz.
cx -
𝑎
2
=2a
√(𝑥 − 𝑐)
2
+ 𝑦
2
Bu tenglamani ham kvadratga
ko‘taramiz, natijada (21.1) tenglama
quyidagi ko‘rinishga keladi:
𝑥
2
(𝑐
2
− 𝑎
2
)
-
𝑎
2
𝑦
2
=
𝑎
2
(
𝑐
2
− 𝑎
2
)
(4.2)
Bu yerda
𝑐
2
-
𝑎
2
=
𝑏
2
belgilacak
natijada (4.2) tenglama quyidagi
ko‘rinishga keladi:
𝑥
2
𝑏
2
-
𝑎
2
𝑦
2
=
𝑎
2
𝑏
2
yoki
𝑥
2
𝑎
2
-
𝑦
2
𝑏
2
= 1
(4.3)
Hosil bo‘lgan (4.3) tenglama
giperbolaning kanonik tenglamasi
deyiladi.
Giprbolaning xossalari:
1)
Agarda
M(x,y)
nuqtaning
koordinatalari
(4.3)
tenglamani
qanoatlantirsa, u holda
M
1
(𝑥, 𝑦)
,
M
2
(−𝑥, 𝑦)
,
M
3
(−𝑥, −𝑦)
nuqtalarning
koordinatalari
ham
(4.3) tenglamasi qanoatlantiradi.
Bundan esa giperbola Ox o‘qiga, Oy
o‘qiga va O(0,0) koordinata boshiga
nisbatan simmetrik joylashishi kelib
chiqadi;
2)
Giperbolani koordinata o‘qlari bilan
kesishish nuqtalarini topamiz.
Aytaylik y = 0 bo‘lsin:
𝑥
2
𝑎
2
= 1, x = ±a
demak giperbola ox o‘qini A(-a;0) va
B(a;0) nuqtalarda kesib o‘tar ekan.
Aytaylik x = 0 bo‘lsin :
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1
,
𝑦
2
=
−𝑏
2
bundan esa
y = ±𝑏√−1 = ±bi
.
Bundan esa giperbola Oy o‘qini kesib
o‘tmasligi kelib chiqadi;
3)
Giperbolaning (4.3) tenglamasini y
ga nisbatan yetib, quyidagiga ega
bo‘lamiz;
y = ±
b
a
√𝑥
2
− 𝑎
2
Bu tenglikdan ko‘rinadiki u haqiqiy
qiymatlarni, |x| ≥a bo‘lganda qabul qiladi.
Bundan esa x≥a shartni qanoatlantiruvchi
giperbola nuqtalariga uning o‘ng tarmog‘i,
x≤-a shartni qanoatlantiruvchi giperbola
Universal International Scientific Journal
19
8
nuqtalariga uning chap tarmog‘i deb
ataymiz.
4)
Giperbolaning (4.3) tenglamasida x
≥a, bo‘lsa , y > 0 bo‘ladi, natijada
y =
b
a
√𝑥
2
− 𝑎
2
ga ega bo‘lamiz.
Bu tenglikdan x ortib borgan sari y
ham ortib borishi kelib chiqadi.
Quyidagi to‘g‘ri chiziqni qaraylik
Y =
𝑏
a
𝑋
(4.4)
Giperbola
M
nuqtasining
ordinatasing y bilan (4.4) to‘g‘ri chiziq ʆ
nuqtasining ordinatasini
Y
bilan belgilaylik
Y
ni
X=x
bo‘lganda solishtirib ko‘ramiz (6
- rasm).
O‘z-o‘zidan ravshanki, agarda x > a
𝑥
2
>
𝑥
2
− 𝑎
2
, yoki x >
√𝑥
2
− 𝑎
2
, bundan esa
𝑏
a
x >
𝑏
a
√𝑥
2
− 𝑎
2
, yoki Y > y
6-rasm.
Endi
Y – y
ayirmani baxolaymiz:
Y – y =
𝑏
a
𝑥 −
𝑏
a
√𝑥
2
− 𝑎
2
=
𝑏
a
[x -
√𝑥
2
− 𝑎
2
]=
=
𝑏
a
*
(x−√𝑥
2
−𝑎
2
)(𝑥+√𝑥
2
−𝑎
2
))
x+√𝑥
2
−𝑎
2
)
=
𝑎𝑏
x+√𝑥
2
−𝑎
2
)
(4.5)
Hosil bo‘lgan (4.5) dan
𝑥 ̵ > ∞
limitga
o‘tamiz.
lim
𝑥→∞
(𝑌 − 𝑦)
=
lim
𝑥→∞
𝑎𝑏
𝑥+√𝑥
2
−𝑎
2
)
= 0
Bundan esa giperbolaning M nuqtasi
(4.4) to‘g‘ri chiiqga yaqinlashib borishi
kelib chiqadi. Bu (4.4) to‘g‘ri chiziqga
giperbolaning asimtatasi deyiladi.
Huddi yuqoridagidek
y = −
𝑏
a
𝑥
to‘g‘ri chiziq ham giperbola uchun
asimtota bo‘ladi.
7-rasm.
Agar giperbolaning M(x,y) nuqtasi
birinchi chorakda bo‘lsa uning fakal
radiuslari uchun quyidagi formulalarni
keltirib chiqarishimiz mumkin:
r
1
= 𝑎 + 𝑒𝑥
r
2
= 𝑎 + 𝑒𝑥
.
(4.6)
Xususiy holda a = b bo‘lsa, bunday
ipergiperbola teng tomonli giperbola
deyiladi. Bu holda giberbolaning kononik
tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
𝑥
2
− 𝑦
2
=
𝑎
2
(4.7)
1-Misol. Uchlari ellipsning fokuslarida
joylashgan, a fokusi esa ellipsning
uchlarida joylashgan giperbola tenglamasi
tuzilsin.
𝑥
2
16
+
𝑦
2
9
= 1
Yechish: Ellips tenglamasidan
quyidagilarga bo‘lamiz:
Universal International Scientific Journal
199
𝑎
2
𝑒
= 16,
𝑎
𝑒
= 4,
𝑏
2
𝑒
= 9,
𝑏
𝑒
= 3.
Bizga malumki (19.3) dan
𝑎
2
𝑒
− 𝑐
2
𝑒
=
𝑏
2
𝑒
,
16 − 𝑐
2
𝑒
= 9,
𝑐
𝑒
=
√7
.
Izlanayotga giperbola tenglamasi quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi:
𝑥
2
𝑎
2
𝑔
-
𝑦
2
𝑏
2
𝑔
= 1.
Masalani shartiga ko‘ra quyidagiga ega
bo‘lamiz:
𝑎
𝑔
=
𝑐
𝑒
=
√7
.,
𝑐
𝑔
=
𝑎
𝑒
= 4.
Giperbolada
𝑐
2
𝑔
− 𝑎
2
𝑔
=
𝑏
2
𝑔
, 16 – 7 =
𝑏
2
𝑔
,
𝑏
2
𝑔
= 9.
undan esa giperbola tenglamasi
𝑥
2
7
-
𝑦
2
9
=1
bo‘lishi kelib chiqadi.
Parabola.
Ta’rif.
Tekislik
nuqtalaridan fokus deb ataluvchi F
nuqtagacha bo‘lgan masofa, direktrisa deb
ataluvchi to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan
masofaga
teng
bo‘lgan
nuqtalarning
geometrik o‘rniga parabola deyiladi (8-
rasm).
8-rasm.
Parabola fokusidan direktsiyagacha
bo‘lgan masofadan P bilan belgilaymiz,
ya’ni |NF| = P, y holda F fokusni
koordinatalari F(
𝑃
2
;2) bo‘ladi.
Agar
M(x,y)
–
parabolaning
ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsa ta’rifga ko‘ra
|FM| = |
𝑁
1
𝑀|
(5.1)
N(
−
𝑃
2
;0),
𝑁
1
(
−
𝑃
2
;y).
Ikki
nuqta
orasidagi
masofa
formulasiga ko‘ra
|FM| =
√(𝑥 −
𝑃
2
)
2
+ 𝑦
2
, |
𝑁
1
𝑀
| =
√(𝑥 +
𝑃
2
)
2
,
√(𝑥 −
𝑃
2
)
2
+ 𝑦
2
=
√(x +
P
2
)
2
.
Bu tenglikni har ikki tomonini
kvadratga ko‘taramiz.
𝑥
2
− px +
𝑝
2
4
+ 𝑦
2
=
𝑥
2
+ px +
𝑝
2
4
,
yoki
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
(5.2).
Hosil bo‘lgan (5.2) tenglamaga
parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
Parabolaning xossalari.
1)
Agar
M(x,y)
nuqtaning
koordinatalari
(5.2)
tenglamani
qanoatlantirsa, u holda
M
1
(𝑥, −𝑦)
nuqtaning koordinatalari ham (5.2)
tenglamani qanoatlantiradi. Demak
parabola
ox
o‘qiga
nisbatan
simmetrik bo‘lar ekan:
2)
Parabola koordinata boshidan o‘tadi,
chunki
0(0,0)
,
nuqtaning
koordinatalari
(5.2)
tenglamani
qanoatlantiradi:
3)
𝑥 =
𝑦
2
2p
bo‘lgani uchun parabola
nuqtalarini absissasi manfiy bo‘lmas
ekan;
Universal International Scientific Journal
201
4)
Parabolaning (5.2) tenglamasidan
ko‘rinib turibdiku, x ortgan sari u
ham ortib boradi (9 -rasm).
9 -rasm.
1-Misol. Avtomobil fonarinig kesimi
parabola shaklida bo‘ladi. Fonarning
diametri 20sm , chuqurligi 10sm. Parabola
fokusining koordinatalari topilsin (10 -
rasm).
Yechish. Parabola fokusi F ning
koordinatasi
P
2
ni topish uchun uning
tenglamasini tuzamiz.
Izlanayotgan parabola tenglamasi
quyidagicha ko‘rinishda bo‘ladi:
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
10-rasm.
Koordinatalar sistemasini shunday
tanlaymizki, parabolaning simmetrik o‘qi
ox o‘qi bilan ustma ust tushsin, ucti esa
koordinata boshida bo‘lsin (3.10 - rasm).
Bu
tanlangan
koordinatalar
sistemasiga
nisbatan
parabolani
A
nuqtasini
koordinatalarni
A(10;10)
bo‘ladi.
A
nuqtani
koordinatalarini
parabola tenglamasiga qo‘yamiz.
10
2
= 2𝑝10
bundan esa p = 5,
demak,
parabola
fokusi
F(
5
2
;0)
koordinatalarga ega bo‘lar ekan.
2-Misol. y =
𝑥
2
- 4x + 5 parabolaning
fokusini aniqlang (11 - rasm).
Yechish:
Parabolaning
kanonik
tenglamasini
tuzamiz,
buning
uchun
quyidagicha almashtirishni bajaramiz:
x = X + 2, y = Y + 1
Natijada quyidagi tenglamaga ega
bo‘lamiz:
𝑥
2
= 𝑌
Bu yerdan ko‘rinadiki 2P = 1 , P =
1
2
|
𝐹𝑂
1
|
=
𝑃
2
teng bo‘lishi kerak
|𝐹0
1
| = √(𝑦 − 1)
2
= y – 1, y -1 =
P
2
, y =
P
2
+ 1 =
1
4
+1, y =
5
4
;
Demak, F(2;
5
4
).
11 -rasm.
Xulosa.
Mazkur ish davomida
ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy
tenglamasi va uning kanonik ko‘rinishga
keltirish usullari o‘rganildi. Tenglama
koeffitsiyentlari va diskriminant asosida
egri chiziqning turi — ellips, parabola yoki
giperbola — aniqlanishi ko‘rsatildi. Egri
chiziqlarning
geometrik
xossalari,
fokuslar, direktrisalar, simmetriya o‘qlari,
markaz va cho‘qqi nuqtalari kabi
elementlar chuqur tahlil qilindi. Bundan
tashqari,
koordinatalar
sistemasini
Universal International Scientific Journal
202
o‘zgartirish
orqali
tenglamani
soddalashtirish (ya’ni kanonik shaklga
keltirish)
metodikasi
o‘zlashtirildi.
Natijada, talabalar ikkinchi tartibli egri
chiziqlarni grafik jihatdan tasavvur qilish,
ularning algebraik va geometrik tahlilini
amalga
oshirish,
hamda
amaliy
masalalarda qo‘llash bo‘yicha zarur
nazariy bilim va amaliy ko‘nikmalarga ega
bo‘ldilar.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1.
Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая
геометрия. Изд. М. Просвещение – 1970 стр. 375.
2.
Artikbayev A., Geometriya (Planimetriya) Toshkent – 2024. 229-bet
3.
Narmanov A.Y., Analitik geometriya. Toshkent, 2008, 172-bet
4.
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Комплекс задач из
аналитической геометрии. Тaшкент, 2006, 546-c.
5.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Т. Ўқитувчи, 1983, 206-c
6.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Санкт-Петербург-Москва, Изд. Лай, 2003г. стр. 336.
